高考二輪理科突破6類解答題

突破6類解答題

一、三角函數(shù)問題重在“變”一一變角、變式與變名

三角函數(shù)類解答題是高考的熱點(diǎn),其起點(diǎn)低、位置前，但由于其公式多，性質(zhì)繁,使不少同學(xué)對其有種

畏懼感.突破此類問題的關(guān)鍵在于“變”一一變角、變式與變名.

(1)變角：已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的

變換以及三角形內(nèi)角和定理的變換運(yùn)用.如

a=(a+P)-P=(a-P)+P,2a=(a+g)+(a-P),2a=(0+a)-(0-a).

(2)變式:根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形，使其更貼近某個公式,方法通常有：“常值代換”“逆用、

變形用公式”“通分約分”“分解與組合”“配方與平方”等.

(3)變名:通過變換函數(shù)名稱達(dá)到減少函數(shù)種類的目的，方法通常有“切化弦”“升次與降次”等.

三

角

函

數(shù)|統(tǒng)一名|

解

答

題

例1在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=|.

⑴求b和sinA的值；

⑵求sin(24+：)的值.

解析(1)在AABC中，因?yàn)閍>b,故由sinB=|,可得cosB=|.由己知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accos

B=13,所以b=V13.

由正弦定理套=白，得sinA='asinB=甯,(變式)

b

所以,b的值為"W,sinA的值為甯.

(2)由⑴及a<c,得cos

所以sin2A=2sinAcosA=||,cos2A=1-2sir12AAM（變名）

故sin卜Z+t）=sin2Acos^+cos2Asin；^^.（變角）

變式:利用恒等變換變?yōu)閟inA=誓.

變名：利用二倍角公式實(shí)現(xiàn)三角函數(shù)名稱的變化.

變角:把2A+9的三角函數(shù)表示為2A和：的三角函數(shù).

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▲破解策略求解此類題目的策略：

既要注重三角知識的基礎(chǔ)性，又要注重三角知識的應(yīng)用性,突出與代數(shù)、幾何、向量等知識的綜合聯(lián)

系.“明確思維起點(diǎn)，把握變換方向,抓住內(nèi)在聯(lián)系,合理選擇公式”是三角變換的基本要決.在解題時，

要緊緊抓住“變”這一核心,靈活運(yùn)用公式與性質(zhì)，仔細(xì)審題，快速運(yùn)算.

跟蹤集訓(xùn)

（2017鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測）4ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知B=2C,2b=3c.

（1）求cosC;

（2）若c=4,求AABC的面積.

二、數(shù)列問題重在“歸”一一化歸、歸納

等差數(shù)列與等比數(shù)列是兩個基本數(shù)列,是一切數(shù)列問題的出發(fā)點(diǎn)與歸宿.首項(xiàng)與公差（比）稱為等差

數(shù)列（等比數(shù)列）的基本量.只要涉及這兩個數(shù)列的數(shù)學(xué)問題,我們總希望把條件化歸為等差或等比數(shù)列

的基本量間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.這種化歸為基本量處理的方法是等差或等比數(shù)列特有的

方法,對于不是等差或等比的數(shù)列,可從簡單的個別的情形出發(fā),從中歸納出一般的規(guī)律、性質(zhì),這種歸納

思想便形成了解決一般性數(shù)列問題的重要方法:觀察、歸納、猜想、證明.由于數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，

也可根據(jù)題目的特點(diǎn)，將數(shù)列問題化歸為函數(shù)問題來解決.

廣I基本量I廠|錯位相減法I

T倒序相加法|

七空T等差(比)數(shù)列|求利裂項(xiàng)相消困

一

數(shù)T分組求和法|

列

解基本方法

答~?jI—

題一回二I公式法|

一

T求通項(xiàng)I-T累加法”

類比歸納|T累乘法

H歸納

不完全歸納I數(shù)學(xué)歸納法F待定系數(shù)法I

例2(2017課標(biāo)全國III,17,12分)設(shè)數(shù)列｛aj滿足ai+3a2+-+(2n-l)an=2n.

⑴求｛aj的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛篇｝的前n項(xiàng)和.

角畢析(1)因?yàn)閍i+3a2+…+(2nT)an=2n,

故當(dāng)n22時，

@1+3&+…+(2n-3)an-i=2(n-1).(歸納)

兩式相減得(2n-l)an=2(n22).

所以an=一--(n三2).

2n-l

又由題設(shè)可得a尸2,

從而凡｝的通項(xiàng)公式為a?=—(neN*).

⑵記｛磊｝的前n項(xiàng)和為S,

2

由(1)知二一（化歸）

271+1（2n+l）（2n-l）2n-12n+l

2n

則:+???+-2——」

2n-l2n+l2n+l

歸納:通過條件歸納出a1+3a2+-+(2n-3)an-1=2(n-l)(n^2),aMMfB｛an｝的通項(xiàng)公式.

化歸:把數(shù)列的通項(xiàng)分拆,利用裂項(xiàng)相消法求和.

▲破解策略“算一算、猜一猜、證一證”是數(shù)列中特有的歸納思想，利用這種思想可探索一些一

般數(shù)列的簡單性質(zhì).等差數(shù)列與等比數(shù)列是數(shù)列中的兩個特殊的基本數(shù)列，高考中通?？疾榈氖欠堑炔?、

等比數(shù)列問題,應(yīng)對的策略就是通過化歸思想,將其轉(zhuǎn)化為這兩種數(shù)列.

跟蹤集訓(xùn)

已知數(shù)列｛a?｝的前n項(xiàng)和Sk等,ndN*.

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)b、=2a?+(-l)X求數(shù)列｛b?｝的前2n項(xiàng)和.

三、立體幾何問題重在“建”一一建模、建系

立體幾何解答題的基本模式是論證推理與計算相結(jié)合，以某個幾何體為依托,分步設(shè)問，逐層加深,

解決這類題目的原則是建模、建系.建模一一將問題轉(zhuǎn)化為平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、

距離等的計算模型;建系一一依托于題中的垂直條件,建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量求解.

T平行模型I

f|垂直模型i

一

立—I平面化模型I

體

幾—I角度計算模凰

何

解

-I距離計算模型I

例3(2017課標(biāo)全國III,19,12分)如圖，四面體ABCD中，AABC是正三角形,AACD是直角三角

形，ZABD=ZCBD,AB=BD.

⑴證明:平面ACD_L平面ABC;

(2)過AC的平面交BD于點(diǎn)E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,求二面角D-AE-C的

余弦值.

D

E

解析(1)由題設(shè)可得，AABD以ZXCBD,從而AD=DC.

又4ACD是直角三角形，所以NADC=90°.

取AC的中點(diǎn)0,連接DO,B0,則DO±AC,DO=AO.

又由于4ABC是正三角形，故BO±AC.

所以ND0B為二面角D-AC-B的平面角.(建模)

在RtAAOB中，B02+A02=AB2.

又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故/D0B=90。.

所以平面ACD_L平面ABC.

(2)由題設(shè)及(1)知,0A,OB,0D兩兩垂直.以0為坐標(biāo)原點(diǎn),正的方向?yàn)閤軸正方向，|瓦?|為單位長,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系0-xyz.(建系)

則A(l,0,0),B(0,V3,0),C(-1,0,0),D(0,0,1).

由題設(shè)知，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC

的距離的今即E為DB的中點(diǎn)，得E(0,日，。故而=(-1,0,1),方=(-2,0,0),^E=(-l,f，

設(shè)n=(x,y,z)是平面DAE的法向量，

則jn?亞=0,+z=0,

即可取n=(l,f,1).

,V31八

[n,AE=0,-%H----y+-z=0.

2J2

設(shè)m是平面AEC的法向量，則［小?竺=°，

1m?AE=0.

同理可取m=(0,T,遍)，則cos〈n,m〉/譚咚

易知二面角D-AE-C為銳二面角,

所以二面角D-AE-C的余弦值為了.

建模:構(gòu)建二面角的平面角模型.

建系：以兩兩垂直的直線為坐標(biāo)軸.

▲破解策略立體幾何的內(nèi)容在高考中的考查情況總體上比較穩(wěn)定，因此,復(fù)習(xí)備考時往往有“綱

可循，有“題”可依.在平時的學(xué)習(xí)中,要加強(qiáng)“一題兩法（幾何法與向量法）”的訓(xùn)練，切勿顧此失彼;要

重視識圖訓(xùn)練,能正確確定關(guān)鍵點(diǎn)或線的位置,將局部空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題;能依托于題中的垂直條

件,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，將幾何問題化歸為代數(shù)問題.

跟蹤集訓(xùn)

（2017沈陽教學(xué)質(zhì)量檢測（一））如圖，在三棱柱ABC-ABG中，側(cè)面AACC1_底面ABC,AA1=A1C=AC=AB=BC=2>

且點(diǎn)0為AC的中點(diǎn).

⑴證明：AQ_L平面ABC;

（2）求二面角A-AiB-Ci的余弦值.

四、概率問題重在“辨”一一辨析、辨型

概率與統(tǒng)計問題的求解關(guān)鍵是辨別它的概率模型，只要模型一找到，問題便迎刃而解.而概率與統(tǒng)計

模型的提取往往需要經(jīng)過觀察、分析、歸納、判斷等復(fù)雜的辨析思維過程，同時，還需清楚概率模型中等

可能事件、互斥事件、對立事件等事件間的關(guān)系，注意放回和不放回試驗(yàn)的區(qū)別,合理劃分復(fù)雜事件.

概

率

解

答

題

為續(xù)保

保人稱

種的投

買該險

繼續(xù)購

元），

單位:

為a（

保費(fèi)

基本

種的

）某險

,12分

n,18

6課標(biāo)

（201

例4

：

如下

關(guān)聯(lián)

數(shù)的

險次

度出

上年

與其

保費(fèi)

度的

本年

保人

人,續(xù)

出險次

上年度

4

2

1

25

3

0

數(shù)

2a

a

保費(fèi)

a

1.75

1.5a

a

1.25

0.85a

：

如下

概率

相應(yīng)

數(shù)與

險次

內(nèi)出

一年

保人

一續(xù)

險種

設(shè)該

出險次

一年內(nèi)

4

2

1

0

25

3

數(shù)

0.05

0.10

0.20

0.20

0.15

0.30

概率

率；

的概

保費(fèi)

基本

高于

保費(fèi)

度的

本年

保人

一續(xù)

（1）求

率；

%的概

出60

費(fèi)高

本保

比基

保費(fèi)

,求其

保費(fèi)

基本

高于

保費(fèi)

度的

本年

保人

一續(xù)

（2）若

值.

費(fèi)的比

基本保

保費(fèi)與

的平均

本年度

續(xù)保人

（3）求

一年內(nèi)

且僅當(dāng)

發(fā)生當(dāng)

件A

，則事