2025屆陜西省富平縣高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2025屆陜西省富平縣高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)m等于（）A. B.C. D.2．設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，且滿足，若，則（）A.2 B.3C.4 D.53．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為CD，CB的中點(diǎn)，分別沿AE，AF將三角形ADE，ABF折起，使得點(diǎn)B，D恰好重合，記為點(diǎn)P，則AC與平面PCE所成角等于（）A. B.C. D.4．已知是拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且的坐標(biāo)為，則的最小值是A. B.C. D.5．已知長(zhǎng)方體中，，，則直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.6．方程所表示的曲線為（）A.射線 B.直線C.射線或直線 D.無(wú)法確定7．某學(xué)校高二級(jí)選擇“史政地”“史政生”和“史地生”組合的同學(xué)人數(shù)分別為240，120和60．現(xiàn)采用分層抽樣的方法選出14位同學(xué)進(jìn)行一項(xiàng)調(diào)查研究，則“史政生”組合中選出的人數(shù)為（）A.8 B.6C.4 D.38．直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.相交或相切9．如圖，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)，若且，則拋物線的方程為（）A.B.C.D.10．若點(diǎn)是函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)（其中的自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則到直線的距離最小值為（）A. B.C. D.11．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{}，=5，=10，則=A. B.7C.6 D.12．已知，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是__________14．設(shè)函數(shù)，則___________.15．已知圓C：和點(diǎn)，若點(diǎn)N為圓C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為平面上一點(diǎn)且，則Q點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值為_(kāi)_____16．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在銳角三角形中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，求的面積三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）雙曲線的離心率為，虛軸的長(zhǎng)為4.（1）求的值及雙曲線的漸近線方程；（2）直線與雙曲線相交于互異兩點(diǎn)，求的取值范圍.18．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系上，已知圓的直徑，定直線到圓心的距離為，且直線垂直于直線，點(diǎn)是圓上異于、的任意一點(diǎn)，直線、分別交與、兩點(diǎn)（1）求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程；（2）若，求以為直徑的圓方程；（3）當(dāng)點(diǎn)變化時(shí)，以為直徑的圓是否過(guò)圓內(nèi)的一定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由19．（12分）在2021年“雙11”網(wǎng)上購(gòu)物節(jié)期間，某電商平臺(tái)銷(xiāo)售了一款新手機(jī)，現(xiàn)在該電商為調(diào)查這款手機(jī)使用后的“滿意度”，從購(gòu)買(mǎi)了該款手機(jī)的顧客中抽取1000人，每人在規(guī)定區(qū)間內(nèi)給出一個(gè)“滿意度”分?jǐn)?shù)，評(píng)分在60分以下的視為“不滿意”，在60分到80分之間（含60分但不含80分）的視為“基本滿意”，在80分及以上的視為“非常滿意”.現(xiàn)將他們的評(píng)分按，，，，分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求這1000人中對(duì)該款手機(jī)“非常滿意”的人數(shù)和“滿意度”評(píng)分的中位數(shù)的估計(jì)值.（2）若按“滿意度”采用分層抽樣的方法從這1000名被調(diào)查者中抽取20人，再?gòu)倪@20人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中對(duì)該款手機(jī)“非常滿意”的人數(shù)為X.①寫(xiě)出X的分布列，并求數(shù)學(xué)期望；②若被抽取的這3人中對(duì)該款手機(jī)“非常滿意”的被調(diào)查者將獲得100元話費(fèi)補(bǔ)貼，其他被調(diào)查者將獲得50元話費(fèi)補(bǔ)貼，請(qǐng)求出這3人將獲得的話費(fèi)補(bǔ)貼總額的期望.20．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC//AD，AD＝2BC＝2PA＝2AB＝2，E，F(xiàn)，G分別為線段AD，DC，PB的中點(diǎn).（1）證明：直線PF//平面ACG；（2）求直線PD與平面ACG所成角的正弦值.21．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和22．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，（1）求直線BC的方程；（2）記的外接圓為圓M，若直線OC被圓M截得的弦長(zhǎng)為4，求點(diǎn)C的坐標(biāo)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)給定條件求出，再求出圓O到直線l的距離即可計(jì)算作答.【詳解】圓的圓心O，半徑，因，則，而，則，即是正三角形，點(diǎn)O到直線l的距離，因此，，解得，所以實(shí)數(shù)m等于.故選：A2、B【解析】由已知條件可得數(shù)列為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，然后根據(jù)結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求得答案【詳解】在等式中，令，可得，所以數(shù)列為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，，解得或（舍去），故選：B3、A【解析】如圖，以PE，PF，PA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解【詳解】由題意得，因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為CD，CB的中點(diǎn)，所以，所以，所以所以PA，PE，PF三線互相垂直，故以PE，PF，PA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則由，，，得，解得，則設(shè)平面的法向量為，則，令，則，因?yàn)?，所以AC與平面PCE所成角的正弦值，因?yàn)锳C與平面PCE所成角為銳角，所以AC與平面PCE所成角為，故選：A4、C【解析】由題意可得，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，為垂足，則由拋物線的定義可得，則，為銳角∴當(dāng)最小時(shí)，最小，則當(dāng)和拋物線相切時(shí)，最小設(shè)切點(diǎn)，由的導(dǎo)數(shù)為，則的斜率為.∴，則.∴，∴故選C點(diǎn)睛：本題主要考查拋物線的定義和幾何性質(zhì)，與焦點(diǎn)、準(zhǔn)線有關(guān)的問(wèn)題一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)，解決這類(lèi)問(wèn)題一定要注意點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的轉(zhuǎn)化，這樣可利用三角形相似，直角三角形中的銳角三角函數(shù)或是平行線段比例關(guān)系可求得距離弦長(zhǎng)以及相關(guān)的最值等問(wèn)題.5、C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)直線與所成角為，由求解.【詳解】∵長(zhǎng)方體中，，，∴分別以，，為，，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，則，，，，所以，，設(shè)直線與所成角為，則，∴直線和夾角余弦值是.故選：C.6、C【解析】將方程化為或，由此可得所求曲線.【詳解】由得：或，即或，方程所表示的曲線為射線或直線.故選：C.7、C【解析】根據(jù)題意求得抽樣比，再求“史政生”組合中抽取的人數(shù)即可.【詳解】根據(jù)題意，分層抽樣的抽樣比為，故從“史政生”組合120中，抽取的人數(shù)時(shí)人.故選：.8、A【解析】由直線恒過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)圓內(nèi)，從而即可判斷直線與圓相交.【詳解】解：因?yàn)橹本€恒過(guò)定點(diǎn)，而，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，故選：A.9、D【解析】如圖根據(jù)拋物線定義可知，進(jìn)而推斷出的值，在直角三角形中求得，進(jìn)而根據(jù)，利用比例線段的性質(zhì)可求得，則拋物線方程可得.【詳解】如圖分別過(guò)點(diǎn)，作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)，設(shè)，則由已知得：，由定義得：，故在直角三角形中，，，，從而得，，求得，所以拋物線的方程為故選：D10、A【解析】設(shè)，，設(shè)與平行且與相切的直線與切于，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，則到直線的距離最小值為點(diǎn)到直線的距離，再求解即可.【詳解】解：設(shè)，，設(shè)與平行且與相切的直線與切于所以所以則到直線的距離為，即到直線的距離最小值為，故選：A11、A【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比數(shù)列，所以a4a5a6＝故答案為考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)冪的運(yùn)算、根式與指數(shù)式的互化等知識(shí)，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想12、D【解析】由，然后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】解：因，，所以，因?yàn)?，所以，即，解得，故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用復(fù)數(shù)除法化簡(jiǎn)，由共軛復(fù)數(shù)的概念寫(xiě)出即可.【詳解】，∴.故答案為：14、【解析】由的導(dǎo)數(shù)為，將代入，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所?故答案為：.15、【解析】設(shè)出點(diǎn)N的坐標(biāo)，探求出點(diǎn)Q的軌跡，再求出軌跡上在x軸上方且距離x軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)表達(dá)式，借助函數(shù)最值計(jì)算作答.【詳解】圓C：的圓心，半徑，圓C與x軸相切，依題意，點(diǎn)M在圓C上，設(shè)點(diǎn)，則，線段MN中點(diǎn)，因，則點(diǎn)Q的軌跡是以線段MN為直徑的圓(除點(diǎn)M，N外)，這個(gè)軌跡在x軸上方，于是得這個(gè)軌跡上的點(diǎn)到x軸的最大距離為：令，于是得，當(dāng)，即時(shí)，，所以Q點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：圓上的點(diǎn)到定直線距離的最大值等于圓心到該直線距離加半徑.16、（1）最小正周期，，；（2）【解析】（1）根據(jù)降冪公式、輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦型函數(shù)的最小正周期公式、單調(diào)性進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1），所以的最小正周期令，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）因?yàn)?，所以，即，又，所以，所以或，或，?dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，符合題意，所以，，，，此時(shí)為等腰三角形，所以，所以，即的面積為三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），，雙曲線的漸近線方程為和；（2）.【解析】（1）根據(jù)雙曲線的離心率公式，結(jié)合虛軸長(zhǎng)的定義進(jìn)行求解即可；（2）將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用方程解的個(gè)數(shù)進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以有ca而該雙曲線的虛軸的長(zhǎng)為4，所以，所以，因此雙曲線的浙近線方程為：y=±x?x-y=0或；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知：，，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，與直線聯(lián)立得：，因?yàn)橹本€與雙曲線相交于互異兩點(diǎn)，所以有：且，所以的取值范圍為：.18、（1）或（2）（3）過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為【解析】（1）對(duì)所求直線的斜率是否存在進(jìn)行分類(lèi)討論，在所求直線斜率不存在時(shí)，直接驗(yàn)證直線與圓相切；在所求直線斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得出關(guān)于的等式，求出的值，綜合可得出所求直線的方程；（2）分點(diǎn)在軸上方、點(diǎn)在軸下方兩種情況討論，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，可得出所求圓的圓心坐標(biāo)和半徑，即可得出所求圓的方程；（3）設(shè)直線的方程為，其中，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，可求得以線段為直徑的圓的方程，并化簡(jiǎn)圓的方程，可求得定點(diǎn)的坐標(biāo).【小問(wèn)1詳解】解：易知圓的方程為，圓心為原點(diǎn)，半徑為，若所求直線的斜率不存在，則所求直線的方程為，此時(shí)直線與圓相切，合乎題意，若所求直線的斜率存在，設(shè)所求直線的方程為，即，由已知可得，解得，此時(shí)所求直線的方程為.綜上所述，過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程為或.【小問(wèn)2詳解】解：易知直線的方程為，、，若點(diǎn)在軸上方，則直線的方程為，在直線的方程中，令，可得，即點(diǎn)，直線的方程為，在直線的方程中，令，可得，即點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，且，此時(shí)，所求圓的方程為；若點(diǎn)在軸下方，同理可求得所求圓的方程為.綜上所述，以為直徑的圓方程為.【小問(wèn)3詳解】解：不妨設(shè)直線的方程為，其中，在直線的方程中，令，可得，即點(diǎn)，因?yàn)椋瑒t直線的方程為，在直線的方程中，令，可得，即點(diǎn)，線段中點(diǎn)為，，所以，以線段為直徑的圓的方程為，即，由，解得，因此，當(dāng)點(diǎn)變化時(shí)，以為直徑的圓是否過(guò)圓內(nèi)的定點(diǎn).19、（1）65分（2）①分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：；②172.5元【解析】（1）由圖可知中位數(shù)在第二組，則設(shè)中位數(shù)為，從而得，解方程可得答案，（2）①由題意可求得“不滿意”與“基本滿意”的用戶(hù)應(yīng)抽取17人，“非常滿意”的用戶(hù)應(yīng)抽取3人，則X的可能取值分別為0，1，2，3，然后求出對(duì)應(yīng)的概率，從而可求得其分布列和期望，②設(shè)這3人獲得的話費(fèi)補(bǔ)貼總額為Y，則，然后由①結(jié)合期望的性質(zhì)可求得答案【小問(wèn)1詳解】這1000人中對(duì)該款手機(jī)“非常滿意”的人數(shù)為.由頻率分布直方圖可得，得分的中位數(shù)為，則，解得，所以中位數(shù)為65分.【小問(wèn)2詳解】①若按“滿意度”采用分層抽樣的方法從這1000名被調(diào)查者中抽取20人，則“不滿意”與“基本滿意”的用戶(hù)應(yīng)抽取人，“非常滿意”的用戶(hù)應(yīng)抽取人，X的可能取值分別為0，1，2，3，，，，，則X的分布列為X0123P故.②設(shè)這3人獲得的話費(fèi)補(bǔ)貼總額為Y，則（元），所以元，故這3人將獲得的話費(fèi)補(bǔ)貼總額的期望為172.5元.20、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）連接EC，設(shè)EB與AC相交于點(diǎn)O，結(jié)合已知條件利用線面平行的判定定理可證得OG//平面PEF，再由三角形中位線定理結(jié)合線面垂直的判定定理可得AC//平面PEF，從而由面面垂直的判定可得平面PEF//平面GAC，進(jìn)而可證得結(jié)論，（2）由已知可證得PA、AB、AD兩兩互相垂直，以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可【小問(wèn)1詳解】證明：連接EC，設(shè)EB與AC相交于點(diǎn)O，如圖，因?yàn)锽C//AD，且，AB⊥AD，所以四邊形ABCE為矩形，所以O(shè)為EB的中點(diǎn)，又因?yàn)镚為PB的中點(diǎn)，所以O(shè)G為△PBE的中位線，即OG∥PE，因?yàn)镺G平面PEF，PE?平面PEF，所以O(shè)G//平面PEF，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為線段AD，DC的中點(diǎn)，所以EF//AC，因?yàn)锳C平面PEF，EF?平面PEF，所以AC//平面PEF，因?yàn)镺G?平面GAC，AC?平面GAC，AC∩OG＝