2025屆宣城市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高一上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2025屆宣城市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高一上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如圖，正方體中，直線與所成角大小為A. B.C. D.2．為了預(yù)防信息泄露，保證信息的安全傳輸，在傳輸過程中都需要對(duì)文件加密，有一種加密密鑰密碼系統(tǒng)，其加密、解密原理為：發(fā)送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．現(xiàn)在加密密鑰為，如“4”通過加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，則解密后得到的明文是（）A. B.C.2 D.3．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B.C. D.4．已知函數(shù)，若則a的值為(

)A. B.C.或 D.或5．若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是A. B.C. D.6．如圖，在等腰梯形中，，分別是底邊的中點(diǎn)，把四邊形沿直線折起使得平面平面.若動(dòng)點(diǎn)平面，設(shè)與平面所成的角分別為（均不為0）.若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡圍成的圖形的面積為A. B.C. D.7．下列函數(shù)在上是增函數(shù)的是A. B.C. D.8．設(shè)集合，則=A. B.C. D.9．函數(shù)的最小值和最小正周期為（）A.1和2π B.0和2πC.1和π D.0和π10．已知，，，夾角為，如圖所示，若，，且D為BC中點(diǎn)，則的長(zhǎng)度為A. B.C.7 D.8二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知命題：，都有是真命題，則實(shí)數(shù)取值范圍是______12．函數(shù)的值域是____.13．已知的定義域?yàn)?，那么a的取值范圍為_________14．設(shè)是定義在上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間上,其中.若，則的值是____________.15．已知，則__________.16．已知定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若直線與函數(shù)的圖象恰有八個(gè)交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為，，，，，，，，則的取值范圍是___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．2021年12月9日15時(shí)40分，神舟十三號(hào)“天宮課堂”第一課開講！受“天宮課堂”的激勵(lì)與鼓舞，某同學(xué)對(duì)航天知識(shí)產(chǎn)生了濃厚的興趣．通過查閱資料，他發(fā)現(xiàn)在不考慮氣動(dòng)阻力和地球引力等造成的影響時(shí)，火箭是目前唯一能使物體達(dá)到宇宙速度，克服或擺脫地球引力，進(jìn)入宇宙空間的運(yùn)載工具．早在1903年齊奧爾科夫斯基就推導(dǎo)出單級(jí)火箭的最大理想速度公式：，被稱為齊奧爾科夫斯基公式，其中為發(fā)動(dòng)機(jī)的噴射速度，和分別是火箭的初始質(zhì)量和發(fā)動(dòng)機(jī)熄火（推進(jìn)劑用完）時(shí)的質(zhì)量．被稱為火箭的質(zhì)量比（1）某單級(jí)火箭的初始質(zhì)量為160噸，發(fā)動(dòng)機(jī)的噴射速度為2千米/秒，發(fā)動(dòng)機(jī)熄火時(shí)的質(zhì)量為40噸，求該單級(jí)火箭的最大理想速度（保留2位有效數(shù)字）；（2）根據(jù)現(xiàn)在的科學(xué)水平，通常單級(jí)火箭的質(zhì)量比不超過10．如果某單級(jí)火箭的發(fā)動(dòng)機(jī)的噴射速度為2千米/秒，請(qǐng)判斷該單級(jí)火箭的最大理想速度能否超過第一宇宙速度千米/秒，并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，無理數(shù)）18．已知集合，集合，集合.（1）求；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.19．如圖，四棱錐的底面為矩形，，.（1）證明：平面平面.（2）若，，，求點(diǎn)到平面的距離.20．某生物研究者于元旦在湖中放入一些風(fēng)眼蓮（其覆蓋面積為），這些風(fēng)眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，二月底測(cè)得鳳眼蓮的覆蓋面積為，三月底測(cè)得鳳眼蓮的覆蓋面積為，鳳眼蓮的覆蓋面積（單位：）與月份（單位：月）的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型與）可供選擇（1）試判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適并求出該模型的解析式；（2）求鳳眼蓮覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積倍以上的最小月份．（參考數(shù)據(jù)：，）21．已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的定義域；（2）求不等式的解集.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】連接通過線線平行將直線與所成角轉(zhuǎn)化為與所成角，然后構(gòu)造等邊三角形求出結(jié)果【詳解】連接如圖就是與所成角或其補(bǔ)角，在正方體中，，故直線與所成角為.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線所成角的大小的求法，屬于基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng).2、A【解析】根據(jù)題意中給出的解密密鑰為，利用其加密、解密原理，求出的值，解方程即可求解.【詳解】由題可知加密密鑰為，由已知可得，當(dāng)時(shí)，，所以，解得，故，顯然令，即，解得，即故選：A.3、C【解析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，求出，再利用二倍角公式計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以故選：C4、D【解析】按照分段函數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)，在各個(gè)區(qū)間上，構(gòu)造求解，并根據(jù)區(qū)間對(duì)所求的解，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)娜∩峒纯?令，則或，解之得.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型.5、C【解析】由題意，根據(jù)實(shí)數(shù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，可得，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得，即可得到答案.【詳解】由題意，根據(jù)實(shí)數(shù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得；故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中合理運(yùn)用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，合理得到的取值范圍是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】由題意，PE=BEcotθ1，PF=CFcotθ2，∵BE=CF，θ1=θ2，∴PE=PF以EF所在直線為x軸，EF的垂直平分線為y軸建立坐標(biāo)系，設(shè)E（﹣，0），F(xiàn)（，0），P（x，y），則（x+）2+y2=[（x﹣）2+y2]，∴3x2+3y2+5ax+a2=0，即（x+a）2+y2=a2，軌跡為圓，面積為故答案選：D點(diǎn)睛：這個(gè)題考查的是立體幾何中點(diǎn)的軌跡問題，在求動(dòng)點(diǎn)軌跡問題中常用的方法有：建立坐標(biāo)系，將立體問題平面化，用方程的形式體現(xiàn)軌跡；或者根據(jù)幾何意義得到軌跡，但是注意得到軌跡后，一些特殊點(diǎn)是否需要去掉7、A【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的單調(diào)性，綜合即可得答案【詳解】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，符合題意；對(duì)于B，，為指數(shù)函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，不符合題意；對(duì)于C，，為對(duì)數(shù)函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，不符合題意；對(duì)于D，反比例函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，不符合題意；故選A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)題8、C【解析】由補(bǔ)集的概念，得，故選C【考點(diǎn)】集合的補(bǔ)集運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】研究集合的關(guān)系，處理集合的交、并、補(bǔ)的運(yùn)算問題，常用韋恩圖、數(shù)軸等幾何工具輔助解題．一般地，對(duì)離散的數(shù)集、抽象的集合間的關(guān)系及運(yùn)算，可借助韋恩圖，而對(duì)連續(xù)的集合間的運(yùn)算及關(guān)系，可借助數(shù)軸的直觀性，進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化9、D【解析】由正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得的最小值和最小正周期【詳解】解：∵，∴當(dāng)＝﹣1時(shí)，f（x）取得最小值，即f（x）min；又其最小正周期Tπ，∴f（x）的最小值和最小正周期分別是：，π故選D【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)的周期性與最值，熟練掌握正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵，屬于中檔題10、A【解析】AD為的中線，從而有，代入，根據(jù)長(zhǎng)度進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算便可得出的長(zhǎng)度【詳解】根據(jù)條件：；故選A【點(diǎn)睛】本題考查模長(zhǎng)公式，向量加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，根據(jù)公式計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】由于，都有，所以，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】解：因?yàn)槊}：，都有是真命題，所以，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：12、##【解析】由余弦函數(shù)的有界性求解即可【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故函?shù)的值域?yàn)?，故答案為?3、【解析】根據(jù)題意可知，的解集為，由即可求出【詳解】依題可知，的解集為，所以，解得故答案為：14、##-0.4【解析】根據(jù)函數(shù)的周期性及可得的值，進(jìn)而利用周期性即可求解的值.【詳解】解：因?yàn)槭嵌x在上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間上,所以，，又，即，解得，所以，故答案為：.15、3【解析】由同角三角函數(shù)商數(shù)關(guān)系及已知等式可得，應(yīng)用誘導(dǎo)公式有，即可求值.【詳解】由題設(shè)，，可得，∴.故答案為：316、【解析】先作出函數(shù)的大致圖象，由函數(shù)性質(zhì)及圖象可知八個(gè)根是兩兩關(guān)于軸對(duì)稱的，因此分析可得,，進(jìn)而將轉(zhuǎn)化為形式，再數(shù)形結(jié)合，求得結(jié)果.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖：直線與函數(shù)的圖象恰有八個(gè)交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為，，，，，，，，不妨設(shè)從左到右分別是，，，，，，，，則，由函數(shù)解析式以及圖象可知：，即，同理：；由圖象為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱可知：，所以又因?yàn)槭欠匠痰膬筛?，所以，而，所以，故，即，故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）千米/秒；（2）該單級(jí)火箭最大理想速度不可以超過第一宇宙速度千米/秒，理由見解析.【解析】（1）由題可知，，，代入即求；（2）利用條件可求，即得.【小問1詳解】，，，該單級(jí)火箭的最大理想速度為千米/秒.【小問2詳解】，，，，，.該單級(jí)火箭最大理想速度不可以超過第一宇宙速度千米/秒.18、（1）（2）【解析】（1）先化簡(jiǎn)集合A，B，再利用交集運(yùn)算求解；（2）根據(jù)，化簡(jiǎn)集合，再根據(jù)求解.【小問1詳解】解：∵，∴，∴集合.∵，∴，∴集合.∴.【小問2詳解】∵，∴.∵，∴，解得.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，證明平面，即可證明出平面平面.（2）用等體積法，即，即可求出答案.【小問1詳解】連接，交于點(diǎn)，連接，如圖所示，底面為矩形，為，的中點(diǎn)，又，，，，又，平面，平面，平面平面【小問2詳解】，，，，在中，，，在中，，在中，，，，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由等體積法可知，又平面，為點(diǎn)到平面的距離，，，即點(diǎn)到平面的距離為20、（1）函數(shù)模型較為合適，且該函數(shù)模型的解析式為；（2）月份.【解析】（1）根據(jù)兩個(gè)函數(shù)模型增長(zhǎng)的快慢可知函數(shù)模型較為合適，將點(diǎn)、代入函數(shù)解析式，求出、的值，即可得出函數(shù)模型的解析式；（2）分析得出，解此不等式即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題設(shè)可知，兩個(gè)函數(shù)、）在上均為增函數(shù)，隨著的增大，函數(shù)的值增加得越來越快，而函數(shù)的值增加得越來越慢，由于風(fēng)眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，故而函數(shù)模型滿足要求.由題意可得，解得，，故該函數(shù)模型的解析式為；（2）當(dāng)時(shí)，，故元旦放入鳳眼蓮的面積為，由，即，故，由于，故.因此，鳳眼蓮覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積倍以上的最小月份是月份.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解函數(shù)應(yīng)用題的一般程序：第一步：審題——弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；第二步：建?！獙⑽淖终Z言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；第三步：求?！蠼鈹?shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論；第四步：還原——將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際問題的意義；第五步：反思回顧——對(duì)于數(shù)學(xué)模型得到的數(shù)學(xué)結(jié)果，必須驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)解