安全系統(tǒng)工程課件：事故樹分析（二）-事故樹的數(shù)學描述

事故樹的數(shù)學描述本課重難點及教學目標一、編制事故樹的規(guī)則二、編制事故樹的方法三、事故樹的數(shù)學描述課程小結課程復習思考題下次課預習要點本課重難點及教學目標本課的重點及難點事故樹的編制規(guī)則及編制方法。教學目標掌握事故樹的編制規(guī)則、編制方法及事故樹的結構函數(shù)。一、編制事故樹的規(guī)則事故樹的編制過程是一個嚴密的邏輯推理過程，應遵循以下規(guī)則:（1）確定頂上事件應優(yōu)先考慮風險大的事故事件。能否正確選擇頂上事件，直接關系到分析結果，是事故樹分析的關鍵。在系統(tǒng)危險分析的結果中，不希望發(fā)生的事件遠不止一個，每一個不希望發(fā)生的事件都可以作為頂上事件。但是，應綜合考慮事件的發(fā)生頻率和后果嚴重程度，把風險高的事件優(yōu)先作為分析的對象，即頂上事件。一、編制事故樹的規(guī)則

（2）確定邊界條件的規(guī)則。在確定了頂上事件之后，為了不致使事故樹過于繁瑣、龐大，應明確規(guī)定被分析系統(tǒng)與其他系統(tǒng)的界面，以及一些必要的合理的假設條件。一、編制事故樹的規(guī)則

（3）循序漸進的規(guī)則。事故樹分析是一種演繹的方法，在確定了頂上事件以后，要逐級展開。首先，分析頂上事件發(fā)生的直接原因，在這一級的邏輯門的全部輸入事件已無遺漏地列出之后，再繼續(xù)對這些輸入事件的發(fā)生原因進行分析，直至列出引起頂上事件發(fā)生的全部基本事件為止。一、編制事故樹的規(guī)則

（4）避免門與門直接相連的規(guī)則。在編制事故樹時，任何一個邏輯門的輸出都必須有一個結果事件，不允許不經(jīng)過結果事件而將門與門直接相連。二、編制事故樹的方法編制事故樹的常用方法：演繹法，首先確定系統(tǒng)的頂上事件，再找出（中間事件）直接導致頂上事件發(fā)生的各種可能因素或因素的組合。

方法即：從頂上事件開始，按照演繹法，運用邏輯推理，一級一級找出所有直接原因事件，直到最基本的原因事件為止。按照邏輯關系，用邏輯門連接輸出關系（即上下層事件），畫出事故樹。三、事故樹的數(shù)學描述為了對事故樹進行詳細的分析，必須了解它的結構特性，在編制出事故樹模型后，還要利用布爾代數(shù)列出它的數(shù)學表達式。布爾代數(shù)是完成事故樹分析的數(shù)學基礎，它是集合論數(shù)學的組成部分，是一種邏輯運算方法，也稱為邏輯代數(shù)。布爾代數(shù)特別適用于描述只能取兩種對立狀態(tài)的事物變化過程，這正適合于事故樹分析的特點。三、事故樹的數(shù)學描述

結構函數(shù)就是描述系統(tǒng)狀態(tài)的函數(shù)，它完全取決于元、部件的狀態(tài)，通常假定任何時間，元、部件和系統(tǒng)只能取正?；蚬收蟽煞N狀態(tài)，并且任何時刻系統(tǒng)的狀態(tài)由元、部件狀態(tài)唯一決定?，F(xiàn)假定一個事故樹系統(tǒng)由n個基本事件組成，可定義事件狀態(tài)函數(shù)x=（x1，x2，…，xn），其中xi為第i個基本事件的狀態(tài)變量。三、事故樹的數(shù)學描述三、事故樹的數(shù)學描述1、與門的結構函數(shù)如3-6圖是與門結構，只有基本事件發(fā)生時，頂上事件才發(fā)生。根據(jù)布爾代數(shù)運算法則，邏輯式為

式中：min（x1，x2…）——從xi中取最小值，只要有一個最小的“0”（正常），則整個系統(tǒng)為“0”（正常）。II為連乘符號，也具有布爾代數(shù)的∩。三、事故樹的數(shù)學描述2、或門的結構函數(shù)圖3-7，只要有一個或一個以上的基本事件發(fā)生時，頂上事件發(fā)生。根據(jù)布爾代數(shù)運算法則，邏輯加關系，其邏輯式：三、事故樹的數(shù)學描述式中，max（x1，x2…）——從xi中取最大值，只要有一個max為“1”，則整個系統(tǒng)為“1”。三、事故樹的數(shù)學描述3、m/n表決門的結構函數(shù)圖3-8是事故樹的基本結構單元中的表決門，表示一種表決邏輯關系，僅當n個輸入事件中有m個以上事件發(fā)生時，則門輸出事件發(fā)生。m/n表決門常用于電路設計，在控制、安全系統(tǒng)的設計中廣泛采用。圖3-9是2/3表決系統(tǒng)可靠性框圖。三、事故樹的數(shù)學描述4、復雜系統(tǒng)的結構函數(shù)由與門和或門組成的事故樹，根據(jù)邏輯與/或的關系，寫出如圖3-10結構函數(shù)。

用代數(shù)算式表示為：x1(x3+x4x5)+x2(x4+x3x5)三、事故樹的數(shù)學描述三、事故樹的數(shù)學描述5、布爾代數(shù)的基本知識在結構函數(shù)中，事件的邏輯加(邏輯或)運算和邏輯乘(邏輯與)運算，服從集合(布爾)代數(shù)的運算規(guī)則。為了便于運算，下面將有關集合、概率含義和運算規(guī)則分別列于表2-20和表2-21中。三、事故樹的數(shù)學描述A集合代數(shù)的運算規(guī)則在集合表達式中所采用的事件并（“”）和交（“”），表示事件之間的運算關系，它們相當于布爾代數(shù)算子“∨”（或）和“∧”（與），也相當于代數(shù)算式的“+”和“×”。三、事故樹的數(shù)學描述B布爾代數(shù)的基本性質(zhì)

布爾代數(shù)又稱為開關代數(shù)或邏輯代數(shù)。和普通代數(shù)相比有很多不同之處。在普通代數(shù)中，變量x、Y、……可以取任意的實數(shù)，運算符號很多，如＋、－、×、÷……等。而在布爾代數(shù)中，變量x、Y、……等只能取1和0，而且它不是數(shù)值大小的概念，而是兩個對立的概念，如“是”與“非”，“開”與“關”，“存在”與“不存在”等。三、事故樹的數(shù)學描述如A＝1表示某事物存在，(讀為A非)則表示某事物不存在。邏輯代數(shù)中的運算符號只有“＋”與“?”兩種，分別稱為邏輯或及邏輯與。在基本運算方面，把布爾代數(shù)與普通代數(shù)作一個比較如下表2-22所示。三、事故樹的數(shù)學描述C布爾代數(shù)運算舉例【例2-14】T＝AB(A＋C)

＝ABA＋ABC

＝AB【例2-15】T＝(AC＋B)(AB＋BD＋D)

＝ACAB＋ACBD＋ACD＋BAB＋BBD＋

BD

＝ABC＋ABCD＋ACD＋AB＋BD＋BD

＝ABC＋ACD＋AB＋BD

＝AB＋ACD＋BD三、事故樹的數(shù)學描述6、概率論的基本知識在事故樹分析中，需要用到一些概率論的基本知識。例如，概率和與概率積的計算。為了給出概率和與概率積的計算公式，首先必須給出如下定義：三、事故樹的數(shù)學描述（1）相互獨立事件。一個事件發(fā)生與否不受其他事件發(fā)生與否的影響。假定A、B、C、…、N個事件，其中每一個事件發(fā)生與否都不受其他事件發(fā)生與否的影響，則稱A、B、C、…、N為獨立事件。三、事故樹的數(shù)學描述（2）相互排斥事件。不能同時發(fā)生的事件。一個事件發(fā)生，其他事件必然不發(fā)生。它們之間互相排斥，互不相容。假定有A、B、C、…、N個事件，A發(fā)生時，B、C、…、N必然不發(fā)生；B發(fā)生時，A、C、…、N事件必須不發(fā)生，則A、B、C、…、N事件稱為互斥事件。三、事故樹的數(shù)學描述（3）相容事件。一個事件發(fā)生與否受其他事件的約束，即在其他事件發(fā)生的條件下才發(fā)生的事件。設A、B兩事件，B事件只有在A事件發(fā)生的情況下才發(fā)生，反之亦然，則A、B事件稱為相容事件。三、事故樹的數(shù)學描述在事故樹分析中，遇到的基本事件大多數(shù)是獨立事件。所以下面簡單介紹n個獨立事件的概率和與概率積的計算公式。n個獨立事件的概率和，其計算公式是：P(A+B+C+…+N)=1-[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]…[1-P(N)](2-14)式中P——獨立事件的概率。n個獨立事件的概率積，其計算公式是：P(ABC…N)=P(A)P(B)P(C)…P(N)(2-15)三、事故樹的數(shù)學描述7、事故樹的布爾代數(shù)表達式

將事故樹中連接各事件的邏輯門用相應的布爾代數(shù)運算表示，就得到了事故樹的布爾代數(shù)表達式。通常，可以自上而下地將事故樹逐漸展開后，便得到了布爾代數(shù)表達式。

【例2-16】某事故樹結構如圖2-25所示，求其布爾代數(shù)表達式及展開過程如下：

三、事故樹的數(shù)學描述

此式可以繼續(xù)化簡至若干個基本事件相乘后再相加的形式。布爾代數(shù)表達式是事故樹的數(shù)學描述，對于給出的事故樹可以寫出其相應的布爾代數(shù)表達式；相反，給出布爾代數(shù)表達式也可以繪出對應的事故樹。三、事故樹