2024八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)提練第5招構(gòu)造全等三角形的七種常用方法習(xí)題課件新版冀教版

冀教版八年級(jí)上第5招構(gòu)造全等三角形的七種常用方法01教你一招02典例剖析03分類訓(xùn)練目

錄CONTENTS

在進(jìn)行幾何題的證明或計(jì)算時(shí)，需要在圖形中添加一些

輔助線，輔助線能使題目中的條件集中，能比較容易找到一

些量之間的關(guān)系，使數(shù)學(xué)問(wèn)題較輕松地解決.常見(jiàn)的輔助線

作法有：翻折法、補(bǔ)形法、旋轉(zhuǎn)法、倍長(zhǎng)中線法、截長(zhǎng)(補(bǔ)

短)法、作垂線法和作平行線法，目的都是構(gòu)造全等三角形.返回

如圖，已知

AB

∥

CD

，

CE

，

BE

分別平分∠

BCD

和∠

CBA

，點(diǎn)

E

在

AD

上.求證：

BC

＝

AB

＋

CD

.

證明線段的和差問(wèn)題，常采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法，即把兩

條較短線段中的一條補(bǔ)到另一條線段上，或把較長(zhǎng)的線段截

成兩條線段，構(gòu)造全等三角形來(lái)解決.

返回

翻折法1.

如圖，在△

ABC

中，

BE

是∠

ABC

的平分線，

AD

⊥

BE

，垂足為

D

.

求證：∠2＝∠1＋∠

C

.

1234567【證明】如圖，延長(zhǎng)

AD

交

BC

于點(diǎn)

F

.

(相當(dāng)于將

AB

邊向

下翻折，與

BC

邊重合，

A

點(diǎn)落在

F

點(diǎn)處，折痕為

BE

)∵

BE

平分∠

ABC

，∴∠

ABE

＝∠

CBE

.

∵

BD

⊥

AD

，∴∠

ADB

＝∠

BDF

＝90°.在△

ABD

和△

FBD

中，1234567

∴△

ABD

≌△

FBD

(ASA).∴∠2＝∠

DFB

.

又∵∠

DFB

＝∠1＋∠

C

，∴∠2＝∠1＋∠

C

.

1234567返回

補(bǔ)形法2.

[2024·石家莊第二十三中學(xué)月考]如圖，在△

ABC

中，

AD

為中線，在

DA

延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)

E

，連接

EC

，使∠

E

＝

∠

BAD

.

過(guò)點(diǎn)

C

作

CF

⊥

AD

于點(diǎn)

F

.

下列結(jié)論中正確的

個(gè)數(shù)為(

D

)①

AF

＝

CF

；②

AB

＝

CE

；③

AE

＝2

DF

；④

S△

ABD

＝

S△

ACD

；⑤

S△

ABD

＋

S△

CDF

＝

S△

ECF

.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)1234567∵∠

G

＝∠

CFD

＝90°，∠

BDG

＝∠

CDF

，

BD

＝

CD

，∴△

BDG

≌△

CDF

(AAS).【點(diǎn)撥】過(guò)點(diǎn)

B

作

BG

⊥

AD

，交

AD

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

G

，如圖.∴

DG

＝

DF

，

BG

＝

CF

，

S△

BDG

＝

S△

CDF

.

∵∠

E

＝∠

BAD

，∠

EFC

＝∠

AGB

＝90°，

CF

＝

BG

，1234567無(wú)法推出

AF

＝

CF

，故①錯(cuò)誤；③∵

AG

＝

EF

，且

AG

＝

AF

＋

GF

，

EF

＝

AF

＋

AE

，∴

AE

＝

GF

.

∵

DG

＝

DF

，∴

AE

＝2

DF

，故③正確；∴△

CEF

≌△

BAG

(AAS).∴

AB

＝

CE

，

AG

＝

EF

，

S△

CEF

＝

S△

BAG

.

故

②正確；1234567④∵

AD

為中線，∴

S△

ABD

＝

S△

ACD

，故④正確；

S△

ABD

＋

S△

CDF

＝

S△

ABD

＋

S△

BDG

＝

S△

ABG

＝

S△

ECF

，故⑤正確.故選D.

【點(diǎn)撥】D1234567返回

旋轉(zhuǎn)法3.

如圖，在正方形

ABCD

中，

E

為

BC

邊上一點(diǎn)，

F

為

CD

邊上一點(diǎn)，

BE

＋

DF

＝

EF

.

則∠

EAF

的度數(shù)為

?.45°

1234567【點(diǎn)撥】如圖，延長(zhǎng)

CB

到點(diǎn)

H

，使得

BH

＝

DF

，連接

AH

(相當(dāng)于將△

ADF

旋轉(zhuǎn)到△

ABH

的位置).∵∠

ABE

＝90°，∠

D

＝90°，∴∠

D

＝∠

ABH

＝90°.

∴△

ABH

≌△

ADF

(SAS).1234567∴

AH

＝

AF

，∠

BAH

＝∠

DAF

.

∴∠

BAH

＋∠

BAF

＝∠

DAF

＋∠

BAF

，即∠

HAF

＝∠

BAD

＝90°.

1234567返回

倍長(zhǎng)中線法4.

[2024·廊坊三河第九中學(xué)期中]如圖，

AD

是△

ABC

的邊

BC

上的中線，

AB

＝7，

AD

＝5，則

AC

的取值范圍為

(

C

)A.5＜

AC

＜15B.3＜

AC

＜15C.3＜

AC

＜17D.5＜

AC

＜171234567【點(diǎn)撥】延長(zhǎng)

AD

至點(diǎn)

E

，使得

DE

＝

AD

，連接

CE

，如

圖所示.∵

AD

是△

ABC

的邊

BC

上的中線，∴

BD

＝

CD

.

∵∠

ADB

＝∠

EDC

，∴△

ABD

≌△

ECD

(SAS)，∴

AB

＝

CE

＝7.∵

AD

＝5，∴

AE

＝10，在△

AEC

中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得3＜

AC

＜17.故選C.

【答案】C1234567【點(diǎn)方法】

本題運(yùn)用

倍長(zhǎng)中線法

構(gòu)造全等三角形，將證明不等

關(guān)系和求線段取值范圍的問(wèn)題通過(guò)證全等，轉(zhuǎn)化到一個(gè)三

角形中，利用三角形的三邊關(guān)系來(lái)解決.本題運(yùn)用

倍長(zhǎng)中線法

構(gòu)造全等三角形，將證明不等

關(guān)系和求線段取值范圍的問(wèn)題通過(guò)證全等，轉(zhuǎn)化到一個(gè)三

角形中，利用三角形的三邊關(guān)系來(lái)解決.1234567返回

截長(zhǎng)(補(bǔ)短)法5.

如圖，在四邊形

ABCD

中，

AB

＝

AD

，∠

BAD

＝

120°，∠

B

＝∠

ADC

＝90°.

E

，

F

分別是

BC

，

CD

上

的點(diǎn)，且∠

EAF

＝60°.探究圖中線段

BE

，

EF

，

FD

之

間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.1234567【解】

EF

＝

BE

＋

FD

.

理由如下：如圖，延長(zhǎng)

FD

到點(diǎn)

G

，使

DG

＝

BE

，連接

AG

.

∵∠

B

＝∠

ADC

＝90°，∴∠

B

＝∠

ADG

＝90°.在△

ABE

和△

ADG

中，

1234567∴△

ABE

≌△

ADG

(SAS).∴

AE

＝

AG

，∠

BAE

＝∠

DAG

.

又∵∠

BAD

＝120°，∠

EAF

＝60°，∴∠

BAE

＋∠

FAD

＝60°.∴∠

DAG

＋∠

FAD

＝60°，即∠

GAF

＝60°.∴∠

EAF

＝∠

GAF

＝60°.1234567

∴△

EAF

≌△

GAF

(SAS).∴

EF

＝

GF

＝

FD

＋

DG

.

∴

EF

＝

BE

＋

FD

.

1234567返回

作垂線法6.

[2024·淮北五校期中]如圖，△

ECF

中，∠

ECF

＝90°，

點(diǎn)

C

(－3，3)，

CE

交

x

軸負(fù)半軸于點(diǎn)

A

，

CF

交

y

軸負(fù)半

軸于點(diǎn)

B

，則

OA

－

OB

的值為

?.6

1234567【點(diǎn)撥】如圖，過(guò)點(diǎn)

C

分別作

x

軸與

y

軸的垂線，垂足分別為

M

，

N

，∵

C

(－3，3)，∴

CM

＝

CN

＝

ON

＝

OM

＝3，∠

MCN

＝90°.又∵∠

ECF

＝90°，1234567

CM

＝

CN

＝3，∠

ACM

＝∠

BCN

，∴△

AMC

≌△

BNC

(ASA)，∴

AM

＝

BN

，∴

OA

－

OB

＝(

AM

＋

OM

)－(

BN

－

ON

)＝

AM

＋

OM

－

BN

＋

ON

＝

AM

＋3－

AM

＋3＝6.故答案為6.∴∠

ACM

＝∠

ECF

－∠

MCF

＝∠

MCN

－∠

MCF

＝∠

BCN

.

∵∠

AMC

＝∠

BNC

＝90°，1234567返回

作平行線法7.

如圖，在△

ABC

中，∠

BAC

＝60°，∠

C

＝40°，

AP

平分∠

BAC

交

BC

于點(diǎn)

P

，

BQ

平分∠

ABC

交

AC

于點(diǎn)

Q

.

求證：

AB

＋

BP

＝

BQ

＋

AQ

.

1234567

1234567如圖，過(guò)點(diǎn)

P

作

PD

∥

BQ

交

CQ

于點(diǎn)

D

.

則∠

CPD

＝∠

CBQ

＝4