四川省成都市成華區(qū)嘉祥外國語學(xué)校2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022級高三上期半期考試數(shù)學(xué)本卷共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求解根式不等式，化簡集合A，然后再根據(jù)集合交集運(yùn)算規(guī)則即可求解.依題意得，則．故選：C.2.命題“，”為真命題的一個(gè)必要不充分條件是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出命題“，”為真命題的等價(jià)條件，再結(jié)合必要不充分條件的定義逐項(xiàng)判斷即可.因?yàn)?，為真命題，則或，解得，對于A，，是命題“，”為真命題的充分不必要條件，A錯(cuò)誤；對于B，是命題“，”為真命題的充要條件，B錯(cuò)誤；對于C，，是命題“，”為真命題的必要不充分條件，C正確；對于D，，是命題“，”為真命題的充分不必要條件，D錯(cuò)誤；故選：C3.已知向量，，且，則（）A. B. C. D.8【答案】A【解析】【分析】先應(yīng)用向量垂直數(shù)量積為0求參，再根據(jù)模長公式求模長即可.因?yàn)樗?所以,因?yàn)椋?故選：A.4.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，則原等式可化為，化簡后求出即可.令，則，所以由，得，即，即，得，所以，故選：C.5.清代的蘇州府被稱為天下糧倉，大批量的糧食要從蘇州府運(yùn)送到全國各地．為了核準(zhǔn)糧食的數(shù)量，蘇州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以計(jì)算糧食的多少，五斗為一斛，而一只官斛的容量恰好為一斛，其形狀近似于正四棱臺，上口為正方形，內(nèi)邊長為25cm，下底也為正方形，內(nèi)邊長為50cm，斛內(nèi)高36cm，那么一斗米的體積大約為立方厘米?（）A.10500 B.12500 C.31500 D.52500【答案】A【解析】【分析】利用棱臺的體積公式,即可計(jì)算得出答案．一斛米的體積為，因?yàn)槲宥窞橐货砸欢访椎捏w積為，故選：A.6.已知函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，列出關(guān)于的不等式，即可求解.根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，可得在上遞增，要使得函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則滿足，且，解可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.7.設(shè)，已知函數(shù)在上恰有6個(gè)零點(diǎn)，則取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，解方程得或，在區(qū)間取6個(gè)零點(diǎn)即可.由題意可知，令，即或，即或，當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)從小到大依次為，因此有，即．故選：B．8.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)為偶函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.函數(shù)的一個(gè)對稱中心為 B.C.函數(shù)為周期函數(shù)，且一個(gè)周期為4 D.【答案】C【解析】【分析】對于A，由為奇函數(shù)，則，再將代入化簡可求出對稱中心；對于B，由選項(xiàng)A可得，再由為偶函數(shù)可得，令可求出；對于C，由的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，結(jié)合求出進(jìn)行判斷；對于D，利用賦值法求解判斷.對于A，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，所以，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以A正確，對于B，在中，令，得，得，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，所以，所以，令，則，所以，得，所以B正確，對于C，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，，所以，所以，所以4不是的周期，所以C錯(cuò)誤，對于D，在中令，則，令，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以D正確，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查抽象函數(shù)的奇偶性、對稱性和周期性，解題的關(guān)鍵是由已知條件化簡后利用賦值法分析判斷，考查計(jì)算能力，屬于較難題.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，都是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，且，，其中，，則下列命題正確的有（）A.B.C.若，，則D.若，，，則【答案】ACD【解析】【分析】由正態(tài)分布的期望公式及方差公式即可判斷AB；由正態(tài)分布的對稱性即可判斷C；由方差的性質(zhì)即可判斷D．對于A，由正態(tài)分布的期望公式得，，故A正確；對于B，由正態(tài)分布的方差公式得，，故B錯(cuò)誤；對于C，由正態(tài)分布的對稱性得，，所以，故C正確；對于D，由，，，則，，根據(jù)方差的性質(zhì)知，分布更集中，所以，故D正確；故選：ACD．10.已知函數(shù)，是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A. B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C.過點(diǎn)能作兩條不同直線與相切 D.函數(shù)有5個(gè)零點(diǎn)【答案】AD【解析】【分析】求得，根據(jù)，可判定A正確；由，利用導(dǎo)數(shù)的符號求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可判定B錯(cuò)誤；設(shè)過點(diǎn)且與函數(shù)相切的切點(diǎn)為，求得切線方程，列出方程求得的值，可判定C錯(cuò)誤；令，作出函數(shù)的圖象，得到，進(jìn)而的函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可判定以D正確．對于A中，由函數(shù)，可得，因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，可得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)適合題意，所以A正確；對于B中，由，令，解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，所以B錯(cuò)誤；對于C中，設(shè)過點(diǎn)且與函數(shù)相切的切點(diǎn)為，則該切線方程為，由于切點(diǎn)滿足直線方程，則，整理得，解得，所以只能作一條切線，所以C錯(cuò)誤；對于D中，令，則的根有三個(gè)，如圖所示，，所以方程有3個(gè)不同根，方程和均有1個(gè)根，故有5個(gè)零點(diǎn)，所以D正確．故選：AD．11.已知曲線，則下列結(jié)論正確的是（）A.隨著增大而減小B.曲線的橫坐標(biāo)取值范圍為C.曲線與直線相交，且交點(diǎn)在第二象限D(zhuǎn).是曲線上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為【答案】AD【解析】【分析】首先對、分類討論分別得到曲線方程，畫出曲線圖形，數(shù)形結(jié)合判斷A、B，由雙曲線的漸近線與的關(guān)系判斷C，由點(diǎn)到直線的距離公式得到，即點(diǎn)到直線的距離的倍，求出直線與曲線相切時(shí)的值，再由兩平行線將的距離公式求出的最大值，即可判斷D.因?yàn)榍€，當(dāng)，時(shí)，則曲線為橢圓的一部分；當(dāng)，時(shí)，則曲線為雙曲線的一部分，且雙曲線的漸近線為；當(dāng)，時(shí)，則曲線為雙曲線的一部分，且雙曲線的漸近線為；可得曲線的圖形如下所示：由圖可知隨著增大而減小，故A正確；曲線的橫坐標(biāo)取值范圍為，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋郧€與直線相交，且交點(diǎn)在第四象限，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋袋c(diǎn)到直線的距離的倍，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，由，消去整理得，則，解得（舍去）或，又與的距離，所以，所以的取值范圍為，故D正確；故選：AD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是分析出曲線的圖形，D選項(xiàng)的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開式中的系數(shù)為12，則_________．【答案】【解析】分析】應(yīng)用二項(xiàng)式定理寫出含項(xiàng)，結(jié)合已知項(xiàng)系數(shù)列方程求值即可.由的展開式通項(xiàng)為，所以，含項(xiàng)為，故，可得.故答案為：13.設(shè)曲線和曲線在它們的公共點(diǎn)處有相同的切線，則的值為_________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)兩曲線在有公切線，則是公共點(diǎn)，該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值相同，列出方程求出的值，則答案可求.由已知得，解得，又，所以得，所以，所以.故答案為：214.現(xiàn)有標(biāo)號依次為的盒子，標(biāo)號為1的盒子里面有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，其余盒子里都是1個(gè)紅球和1個(gè)白球.現(xiàn)從1號盒子里面取出2個(gè)球放入2號盒子，再從2號盒子里面取出2個(gè)球放入3號盒子，則3號盒子里面是2個(gè)紅球和2個(gè)白球的概率為__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)：從標(biāo)號為1的盒子中取出的2個(gè)球中有個(gè)紅球，，：3號盒子里面是2個(gè)紅球和2個(gè)白球，則，由概率的乘法公式和全概率公式可得，再由古典概型分別求出對應(yīng)結(jié)果，代入計(jì)算即可得到答案.設(shè)：從標(biāo)號為1的盒子中取出的2個(gè)球中有個(gè)紅球，，：3號盒子里面是2個(gè)紅球和2個(gè)白球，所以，則.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟．15.已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對邊，且（1）求；（2）若的面積為，為邊上一點(diǎn)，滿足，求的長．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）正弦定理邊化角，利用內(nèi)角和定理消去，由和差公式和輔助角公式化簡可得；（2）根據(jù)余弦定理和三角形面積公式列方程組求出，然后在中利用余弦定理可得.【小問1】由正弦定理有，因?yàn)?，所以，化簡得，由有，可得，因，所以，則．【小問2】由有又可得，聯(lián)立解得，所以為正三角形，所以，在中，由余弦定理得．故的長為.16.在一次考試中某班級50名學(xué)生的成績統(tǒng)計(jì)如表，規(guī)定75分以下為一般，大于等于75分小于85分為良好，85分及以上為優(yōu)秀.分?jǐn)?shù)6973747577787980人數(shù)24423463分?jǐn)?shù)82838587899395合計(jì)人數(shù)344523150經(jīng)計(jì)算樣本的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差.為評判該份試卷質(zhì)量的好壞，從其中任取一人，記其成績?yōu)?，并根?jù)以下不等式進(jìn)行評判.①；②；③.評判規(guī)則：若同時(shí)滿足上述三個(gè)不等式，則被評為優(yōu)秀試卷；若僅滿足其中兩個(gè)不等式，則被評為合格試卷；其他情況，則被評為不合格試卷.（1）試判斷該份試卷被評為哪種等級；（2）按分層隨機(jī)抽樣的方式從3個(gè)層次的學(xué)生中抽出10名學(xué)生，再從抽出的10名學(xué)生中隨機(jī)抽出4人進(jìn)行學(xué)習(xí)方法交流，用隨機(jī)變量表示4人中成績優(yōu)秀的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和均值.【答案】（1）該份試卷應(yīng)被評為合格試卷（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)分布表，計(jì)算出，的值，由此判斷出“該份試卷為合格試卷”；（2）利用超幾何分布分布列計(jì)算公式，計(jì)算出分布列，并求得數(shù)學(xué)期望．【小問1】，，，因?yàn)榭忌煽儩M足兩個(gè)不等式，所以該份試卷應(yīng)被評為合格試卷.【小問2】75分以下的人數(shù)為10；大于等于75分小于85分的人數(shù)為25；85分及以上的人數(shù)為15.按分層隨機(jī)抽樣的方式從3個(gè)層次的學(xué)生中抽出10名學(xué)生，分別抽取人數(shù)為2，5，3.再從抽出的10名學(xué)生中隨機(jī)抽出4人進(jìn)行學(xué)習(xí)方法交流，用隨機(jī)變量表示4人中成績優(yōu)秀的人數(shù)，則的取值可能為0，1，2，3.，，，.∴的分布列為0123.17.如圖1，在五邊形中，，，且，將沿折成圖2，使得，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若與平面所成的角為，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，從而證明平面，平面，即可得到平面平面，即可得證．（2）推導(dǎo)出平面，平面，平面平面，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的正弦值．【小問1】取的中點(diǎn)，連接，，，為的中點(diǎn)，，又，．又平面，平面，平面．為的中點(diǎn)，．又平面，平面，平面，又，平面，平面平面，又平面，平面．【小問2】，由（1）知，，又，為的中點(diǎn)，，又，平面，平面，又平面，，又，，平面，平面，又平面，平面平面，連接，，為的中點(diǎn)，，又平面平面，平面，平面，平面，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，是與平面所成的角，即，，設(shè)，則，，，，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)二面角平面角為，，所以，即二面角的正弦值為．18.已知函數(shù).（1）若函數(shù)在處切線的斜率為，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；（3）當(dāng)時(shí)，證明：【答案】（1）a=1（2）2（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)值等于切線斜率構(gòu)造方程，求出a即可.（2）將a代入不等式，x和m參變分離，轉(zhuǎn)化為恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題即可.（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，有即后進(jìn)行放縮證明即可.【小問1】因?yàn)?，所以，所以a=1【小問2】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，所以設(shè)則因?yàn)楫?dāng)x≥1時(shí)，有所以函數(shù)單調(diào)遞增，故所以函數(shù)單調(diào)遞增，故所以函數(shù)單調(diào)遞增，故所以所以實(shí)數(shù)m的最大值為2.【小問3】由（2）知，當(dāng)時(shí)，有即設(shè)取,所以即.因?yàn)樗约?9.對于數(shù)列，如果存在正整數(shù)，當(dāng)任意正整數(shù)時(shí)均有，則稱為的“項(xiàng)遞增相伴數(shù)列”．若可取任意的正整數(shù)，則稱為的“無限遞增相伴數(shù)列”．（1）已知，請寫出一個(gè)數(shù)列的“無限遞增相伴數(shù)列”，并說明理由？（2）若滿足，其中是首項(xiàng)的等差數(shù)列，當(dāng)為的“無限遞增相伴數(shù)列”時(shí)，求的通項(xiàng)公式：（3）已知等差數(shù)列和正整數(shù)等比數(shù)列滿足：，其中k是正整數(shù)，求證：存在正整數(shù)k，使得為的“2024項(xiàng)遞增相伴數(shù)列”．【答案】（1），理由見解析（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用指數(shù)數(shù)列，構(gòu)造一個(gè)加上正的常數(shù)，就可得到一個(gè)遞增相伴數(shù)列，只需要檢驗(yàn)前二項(xiàng)和最后三項(xiàng)；（2）由于有一個(gè)是等差數(shù)列，兩數(shù)列相加也是等差數(shù)列，說明另一個(gè)數(shù)列還是等差數(shù)列，通過假設(shè)，就可以表示出兩個(gè)數(shù)列的通