數(shù)學自主練習：數(shù)學歸納法

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場我夯基我達標1.用數(shù)學歸納法證明1+a+a2+…+an+1=（a≠1,n∈N*)，驗證n=1時等式的左邊為（）A。1B。1+aC。1+a+a2D。1+a+a2+a3思路解析：當n=1時，左邊=1+a+a2。答案:C2。用數(shù)學歸納法證明不等式(n≥2)的過程中，由n=k遞推到n=k+1時不等式左邊（)A.增加了一項B.增加了兩項C.增加了B中的兩項但減少了一項1k+1D。以上均不正確思路解析:在n=k+1時，用k+1替換n,再與n=k時比較.答案:C3.用數(shù)學歸納法證明“＜n（n∈N*且n＞1）”時，由n=k（k＞1）不等式成立,推證n=k+1時，左邊應增加的項數(shù)是()A。2k—1B.2k-1C。2k思路解析：增加的項數(shù)為（2k+1—1）-(2k-1）=2k+1—2k=2k。答案:C4。凸n邊形有f(n)條對角線，則凸n+1邊形的對角線條數(shù)f（n+1）與f（n）之間的關系為__________。思路解析：設凸n+1邊形為A1A2……AnAn+1,連結(jié)A1An,則凸n+1邊形的對角線是由凸邊形A1A2…An的對角線再加A1An，以及從A即f(n+1）=f（n）+1+n-2=f(n）+n-1。答案:f(n+1）=f（n）+n—15。已知數(shù)列{an}是首項為a1公比為q的等比數(shù)列(1)求和：=____________;=_____________。（2)由（1）的結(jié)果歸納概括出關于正整數(shù)n的一個結(jié)論為__________________________。思路解析：(1），。（2)歸納猜想：左邊結(jié)構(gòu)為，右邊為a1(1-q)n。答案:（1)a1(1-q）2a1（1-q)3(2）=a1（1-q)n6.已知:數(shù)列｛an}的通項公式an=,數(shù)列{bn}的通項公式滿足bn=（1—a1）（1—a2）…（1-an）.求證:bn=。思路分析:本題可用數(shù)學歸納法證明.證明：（1）當n=1時，b1=1-a1==—3.而=—3，∴等式成立。(2）假設當n=k時成立，即bk=,則當n=k+1時,bk+1=(1—a1)（1—a2)…（1-ak）（1-ak+1）=bk（1—ak+1）=∴當n=k+1時，命題成立.由（1）（2)可知，當n為任意正整數(shù)時,bn=都成立。我綜合我發(fā)展7.已知x＞-1且x≠0，n∈N＊,且n≥2，求證：（1+x)n＞1+nx。思路分析：本題為與自然數(shù)n有關的不等式，可用數(shù)學歸納法證明;在證明時可結(jié)合不等式的性質(zhì)加以變形.證明：（1）當n=2時，左邊=(1+x)2=1+2x+x2，∵x≠0,∴1+2x+x2＞1+2x，∴左邊＞右邊,不等式成立.（2）假設當n=k時，不等式成立，即(1+x)k＞1+kx成立,則當n=k+1時，左邊=（1+x）k+1=（1+x)k(1+x）.∵x＞—1,∴1+x＞0.∴(1+x)k(1+x)＞(1+kx)（1+x)=1+（k+1)x+kx2.∵x≠0，∴1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x?！啵?+x)k+1＞1+（k+1)x成立,即當n=k+1時不等式成立。由(1）(2)可知，不等式對于所有的n≥2都成立。8。設n∈N*，證明4×6n+5n+1除以20的余數(shù)為9.思路分析：本題研究余數(shù)問題實質(zhì)上是20的倍數(shù)再加9.也可看作是4×6n+5n+1-9被20整除.整除性問題可用數(shù)學歸納法證明。證明：（1)當n=1時，4×61+52=24+25=49=2×20+9命題成立.（2)假設當n=k時命題成立,即4×6k+5k+1被20除余9，即4×6k+5k+1—9被20整除，則當n=k+1時，4×6k+1+5k+2-9=6×(4×6k+5k+1-9)-6×5k+1+5k+2+45=6×（4×6k+5k+1—9）+45—5k+1?！?×(4×6k+5k+1—9）被20整除，只需證45-5k+1被20整除。①當n=1時，451—51+1=45—25=20被20整除成立;②假設當n=k時成立，即45—5k+1被20整除,則當n=k+1時,45-5k+2=(45—5k+1）×5—180能被20整除，∴當n=k+1時成立.∴45—5k+1都能被20整除.∴當n=k+1時原命題成立.由(1）(2)可知命題成立.9.已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,b1=1,b1+b2+…+b10=100.(1)求數(shù)列{bn｝的通項bn；（2）設數(shù)列{an}的通項an=lg(1+）,記Sn為{an｝的前n項和，試比較Sn與的大小，并證明你的結(jié)論.思路分析:本題為綜合性問題，在比較Sn與的大小時，不易比較，可通過觀察、歸納、猜想證明解答.解：（1）設數(shù)列{bn}的公差為d，由題意得(2)由bn=2n-1，知Sn=lg（1+1）+lg(1+)+…+lg(1+)=lg［（1+1)(1+）(1+)…(1+）］，?！嘁容^Sn與的大小,可先比較（1+1）(1+)(1+)…(1+)與的大小。取n=1、2、3時,得出(1+1）(1+）…(1+)＞①成立，于是猜想①式恒成立，下面給出證明：（i)當n=1時