四川省內(nèi)江市高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)（文）

內(nèi)江市高中2024屆第三次模擬考試數(shù)學(xué)（文科）1．本試卷包括第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共4頁．全卷滿分150分，考試時間120分鐘．2．答第Ⅰ卷時，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號；答第Ⅱ卷時，用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡規(guī)定的區(qū)域內(nèi)作答，字體工整，筆跡清楚；不能答在試題卷上．3．考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡收回．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每個小題所給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．集合的子集個數(shù)是（）A．5 B．6 C．7 D．82．已知是虛數(shù)單位，，則（）A． B． C． D．3．已知向量，，若，則的值為（）A． B． C． D．4．三個不互相重合的平面將空間分成n個部分，則n的最小值與最大值之和為（）A．11 B．12 C．13 D．145．如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出k的值為（）A．3 B．7 C．15 D．316．在等比數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，若，，則的值為（）A．25 B．30 C．35 D．407．設(shè)是橢圓的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，若為直角三角形，則的面積為（）A． B．1或 C． D．1或8．口袋中裝有質(zhì)地和大小相同的6個小球，小球上面分別標(biāo)有數(shù)字1，1，2，2，3，3，從中任取兩個小球，則兩個小球上的數(shù)字之和大于4的概率為（）A． B． C． D．9．已知正方體的棱長為2，點(diǎn)M、N、P分別為棱AB、、的中點(diǎn)，則平面MNP截正方體所得截面的面積為（）A． B． C． D．10．若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A． B． C． D．11．已知雙曲線，以雙曲線C的右頂點(diǎn)A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離線率為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢Χ加谐闪?，若，則（）A． B．0 C．1 D．2第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13．已知函數(shù)，則函數(shù)在處的切線方程為______．14．已知實(shí)數(shù)x，y滿足則的最大值為______．15．若函數(shù)是奇函數(shù)，則______．16．在中，角A的平分線AD與BC邊相交于點(diǎn)D，若，則的最小值為______．三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．）17．（本小題滿分12分）2024年2月10日至17日（正月初一至初八），“2024·內(nèi)江市中區(qū)新春極光焰火草地狂歡節(jié)”在川南大草原舉行，共舉行了8場精彩的煙花秀節(jié)目．前5場的觀眾人數(shù)（單位：萬人）與場次的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示：場次編號x12345觀眾人數(shù)y1（1）已知可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請建立y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）若該煙花秀節(jié)目分A、B、C三個等次的票價(jià)，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了該煙花秀節(jié)目現(xiàn)場200位觀眾的性別與購票情況，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示，請將2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷能否有90%的把握認(rèn)為該煙花秀節(jié)目的觀眾是否購買A等票與性別有關(guān)．購買A等票購買非A等票總計(jì)男性觀眾50女性觀眾60總計(jì)100200參考公式及參考數(shù)據(jù)：回歸方程中斜率與截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為，，，其中．k18．（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列的公差為4，且，，成等比數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．19．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，且，，，平面．（1）求證：；（2）若PD與平面PBC所成的角為，求三棱錐的體積．20．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，．（1）若恒成立，求a的取值集合；（2）證明：．21．（本小題滿分12分）已知拋物線E的準(zhǔn)線方程為：，過焦點(diǎn)F的直線與拋物線E交于A、B兩點(diǎn)，分別過A、B兩點(diǎn)作拋物線E的切線，兩條切線分別與y軸交于C、D兩點(diǎn)，直線CF與拋物線E交于M、N兩點(diǎn)，直線DF與拋物線E交于P、Q兩點(diǎn)．（1）求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明：為定值．請考生在第22,23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．作答時，用2B鉛筆將所選題號涂黑．22．（本小題滿分10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為加點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)系方程為．（1）求曲線和的普通方程，并指出曲線和所表示的曲線類型；（2）若曲線和交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)P在曲線上，且的面積為，求點(diǎn)P的直角坐標(biāo)．23．（本小題滿分10分）已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）將函數(shù)的圖象與直線圍成的封閉圖形的面積記為t，若正數(shù)a、b、c滿足，求證：．

內(nèi)江市高中2024屆第三次模擬考試數(shù)學(xué)（文科）參考答案及評分意見一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．）1．D 2．C 3．C 4．B 5．C 6．C 7．D 8．A9．B 10．D 11．D 12．A二、填空題（本答題共4小題，每小題5分，共20分．）13． 14．1 15． 16．三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．解：（1）由表格知，，所以，，則，，故y關(guān)于x的線性回歸方程為．（2）依題意，補(bǔ)充2×2列聯(lián)表如下：購買A等票購買非A等票總計(jì)男性觀眾405090女性觀眾6050110總計(jì)100100200故沒有90%的把握認(rèn)為該節(jié)目的觀眾是否購買A等票與性別有關(guān)．18．解：（1）依題意，設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，因?yàn)椋?，成等比?shù)列，所以，又，即，解得，故，由已知，故，兩式相減，得，又，解得，所以，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故（2）由（1）得，故，則兩式相減得，故19．解：（1）證明：取PB的中點(diǎn)M，連接AM．∵，∴．又平面，平面，，∴．又，∴．∵底面ABCD是直角梯形，且∴，∴．又，，∴．又，∴．（2）取PC的中點(diǎn)N，連接MN、DN，則，．∴四邊形AMND是平行四邊形，則．又，∴，則是PD與平面PBC所成的角，即，在中，易知．在直角梯形ABCD中，易知，∴，∴，∴，在中，，∴是等邊三角形．從而．∴．故所求三棱錐的體積為．20．解：（1）由題可知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，∴?dāng)時，，遞減，當(dāng)時，，遞增，∴，由已知恒成立，所以，．令，則，∴當(dāng)時，，遞增，當(dāng)時，，遞減，∴，又∵，，，，∴，故a的取值集合為．（2）由（1）可知，當(dāng)時，，即，，∴（當(dāng)時，“＝”成立），令，，則，即，故，，…，，由累加法可得，即．21．解：（1）因?yàn)闇?zhǔn)線為：，設(shè)，則，所以故拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）證明：易知拋物線E的焦點(diǎn)，設(shè)直線AB的方程為，、，聯(lián)立可得，由韋達(dá)定理可得，，接下來證明拋物線E在點(diǎn)A處的切線方程為，聯(lián)立可得，即，即，所以，直線與拋物線E只有唯一的公共點(diǎn)，所以，AC的方程為，同理可知，直線BD的方程為，在直線AC的方程中，令，可得，即點(diǎn)，同理可得點(diǎn)，所以，直線的方程為，即，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，由韋達(dá)定理可得，，所以，，同理可得，所以，故為定值．22．解：（1）將曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)）中的參數(shù)消去，得的普通方程為，所以曲線表示以為圓心，1為半徑的圓．將，代入曲線的極坐標(biāo)方程，得曲線的直角坐標(biāo)方程為，所以曲