專題17銳角三角函數(shù)與解三角形問題（8類重點考向）

主題四平面幾何專題17銳角三角函數(shù)與解三角形問題目錄一覽知識目標（新課程標準提煉）中考解密（分析考察方向，精準把握重難點）重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一同角三角函數(shù)的關系?考向二互余兩角三角函數(shù)的關系?考向三相似三角形的判定與性質?考向四解直角三角形?考向五解直角三角形的應用?考向六解直角三角形的應用坡度坡角問題?考向七解直角三角形的應用仰角俯角問題?考向八解直角三角形的應用方向角問題最新真題薈萃（精選最新典型真題，強化知識運用，優(yōu)化解題技巧）1.探索并認識銳角三角函數(shù)(sinA，cosA，tanA)，知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值；2.會使用計算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它的對應銳角；3.能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關知識解決一些簡單的實際問題．該板塊主要考查銳角三角函數(shù)的定義和特殊角的三角函數(shù)，尤其是應用主要在綜合題中考查，是考查重點，每年都有一道三角函數(shù)的綜合題，看似考查解題的綜合能力，實質是基本的定義和應用.有時比較簡單，有時難點較大不易得分，分值為12分左右。預計2024年各地中考還將以選題和綜合題的形式出現(xiàn)，在牢固掌握定義的同時，一定要理解基本的方法，利用輔助線構造直角三角形，是得分的關鍵。?考向一同角三角函數(shù)的關系1．（2023?大連模擬）下列選項中是有理數(shù)的是：（）①2cos245°﹣sin60°?tan60°；②sin215°+cos215°﹣π；③sin45°+π；④sin90°+（π﹣3）0+12023；⑤．A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤【思路點撥】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，同角三角函數(shù)的關系，實數(shù)的運算等分別計算即可．【規(guī)范解答】解：①2cos245°﹣sin60°?tan60°＝＝1﹣＝，是有理數(shù)，故①符合題意；②sin215°+cos215°﹣π＝1﹣π，是無理數(shù)，故②不符合題意；③sin45°+π＝，是無理數(shù)，故③不符合題意；④sin90°+（π﹣3）0+12023＝1+1+1＝3，是有理數(shù)，故④符合題意；⑤＝，是無理數(shù)，故⑤不符合題意，綜上所述，有理數(shù)有①④，故選：C．【真題點撥】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，同角的三角函數(shù)的關系，零指數(shù)冪，有理數(shù)和無理數(shù)，熟練掌握這些知識是解題的關鍵．2．（2023?封丘縣模擬）計算：（1）；（2）sin245°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°．【思路點撥】（1）先算乘方和開方以及零指數(shù)冪，再算加減法；（2）將特殊角的三角函數(shù)值代入，再算乘方，然后計算乘法，最后算加減．【規(guī)范解答】解：（1）＝﹣4﹣1+1＝﹣4；（2）sin245°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°＝＝＝．【真題點撥】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值的混合運算，實數(shù)的混合運算，解題的關鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值．?考向二互余兩角三角函數(shù)的關系3．（2023?二道區(qū)校級模擬）在Rt△ABC中，AC≠BC，∠C＝90°，則下列式子成立的是（）A．sinA＝sinB B．sinA＝cosB C．tanA＝tanB D．cosA＝tanB【思路點撥】本題利用銳角三角函數(shù)的定義求解．【規(guī)范解答】解：A、sinA＝，sinB＝，sinA≠sinB，故不符合題意；B、sinA＝，cosB＝，sinA＝cosB，故B符合題意；C、tanA＝，tanB＝，tanA≠tanB，故不符合題意；D、cosA＝，tanB＝，則cosA≠tanB，故不符合題意；故選：B．【真題點撥】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，解題時熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是關鍵，此題比較簡單，易于掌握．4．（2023?蘭山區(qū)校級模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，則sinA+cosB的值為．【思路點撥】直接利用特殊角的三角函數(shù)值得出sin30°，cos60°的值，進而得出答案．【規(guī)范解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°，則sinA+cosB＝sin60°+cos30°＝+＝．故答案為：．【真題點撥】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關數(shù)據(jù)是解題關鍵．?考向三相似三角形的判定與性質5．（2022?天津）tan45°的值等于（）A．2 B．1 C． D．【思路點撥】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，進行計算即可解答．【規(guī)范解答】解：tan45°的值等于1，故選：B．【真題點撥】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．6．（2022?成都）（1）計算：（）﹣1﹣+3tan30°+|﹣2|．（2）解不等式組：【思路點撥】（1）根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪，算術平方根、特殊銳角三角函數(shù)值、絕對值以及實數(shù)混合運算的方法進行計算即可；（2）利用解一元一次不等式組的解法進行解答即可．【規(guī)范解答】解：（1）原式＝2﹣3+3×+2﹣＝﹣1++2﹣＝1；（2）解不等式①得，x≥﹣1，解不等式②得，x＜2，把兩個不等式的解集在同一條數(shù)軸上表示如下：所以不等式組的解集為﹣1≤x＜2．【真題點撥】本題考查負整數(shù)指數(shù)冪，算術平方根、特殊銳角三角函數(shù)值、絕對值，實數(shù)混合運算以及一元一次不等式組，掌握負整數(shù)指數(shù)冪的性質，算術平方根、特殊銳角三角函數(shù)值、絕對值，實數(shù)混合運算的方法以及一元一次不等式組的解法是正確解答的前提．7．（2022?張家界）計算：2cos45°+（π﹣3.14）0+|1﹣|+（）﹣1．【思路點撥】根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，絕對值以及負整數(shù)指數(shù)冪的性質進行計算即可．【規(guī)范解答】解：原式＝＝．【真題點撥】本題考查特殊銳角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，絕對值以及負整數(shù)指數(shù)冪，掌握特殊銳角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，絕對值以及負整數(shù)指數(shù)冪的性質是正確解答的前提．?考向四解直角三角形解題技巧/易錯易混1.分清直角三角形中的斜邊與直角邊.2.正確地表示出直角三角形的三邊長，常設某條直角邊長為k（有時也可設為1），在求三角函數(shù)值的過程中約去k．3.正確應用勾股定理求第三邊長．4.應用銳角三角函數(shù)定義，求出三角函數(shù)值．5.銳角三角函數(shù)值與三角形三邊的長短無關，只與銳角的大小有關.8．（2023?陜西）如圖，在6×7的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1．若點A，B，C都在格點上，則sinB的值為（）A． B． C． D．【思路點撥】連接AD，得到∠ADB＝90°，由勾股定理求出AD＝2，AB＝，即可求出sinB＝＝．【規(guī)范解答】解：連接AD，則∠ADB＝90°，∵AD＝＝2，AB＝＝，∴sinB＝＝＝，故選：A．【真題點撥】本題考查解直角三角形，勾股定理，關鍵是由勾股定理求出AD，AB的長．9．（2023?牡丹江）如圖，將45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上；頂點O與尺下沿的端點重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點B在尺上的讀數(shù)恰為2cm，若按相同的方式將22.5°的∠AOC放置在該刻度尺上，則OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數(shù)為（2+2）cm．【思路點撥】由等腰直角三角形的性質得到OB＝BD＝2cm，由平行線的性質推出BC＝OB，即可求出CD長，得到OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數(shù)．【規(guī)范解答】解：∵∠AOB＝45°，∠AOC＝22.5°，∴∠BOC＝∠AOC，∵BC∥OA，∴∠BCO＝∠AOC，∴∠BCO＝∠BOC，∴BC＝OB，∵△ODB是等腰直角三角形，∴OB＝BD＝2cm，∴CD＝BC+BD＝（2+2）cm．∴OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數(shù)為（2+2）cm．故答案為：（2+2）．【真題點撥】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質，平行線的性質，關鍵是由平行線的性質，推出BC＝OB，即可解決問題10．（2023?宿遷）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B、C三點都在格點上，則sin∠ABC＝．【思路點撥】連接AC，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根據(jù)正弦的定義計算，得到答案．【規(guī)范解答】解：如圖，連接AC，由勾股定理得：AB2＝22+42＝20，BC2＝12+32＝10，AC2＝12+32＝10，則BC2+AC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴sin∠ABC＝＝＝，故答案為：．【真題點撥】本題考查的是解直角三角形、勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°是解題的關鍵．?考向五解直角三角形的應用解題技巧/易錯易混1.解直角三角形的應用此類題的一般方法：（1）構造直角三角形；（2）理清直角三角形的邊角關系；（3）利用特殊角的三角函數(shù)值解答問題.2.解直角三角形應用題應注意的問題：（1）分析題意，根據(jù)已知條件畫出它的平面或截面示意圖，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距離、垂直距離等概念的意義；（2）找出要求解的直角三角形．有些圖形雖然不是直角三角形，但可添加適當?shù)妮o助線，把它們分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根據(jù)已知條件，選擇合適的邊角關系式解直角三角形；（4）按照題目中已知數(shù)據(jù)的精確度進行近似計算，檢驗是否符合實際，并按題目要求的精確度取近似值，注明單位．11．（2023?內(nèi)蒙古）如圖源于我國漢代數(shù)學家趙爽的弦圖，它是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形．若小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為α，則cosα的值為（）A． B． C． D．【思路點撥】首先根據(jù)兩個正方形的面積分別求出兩個正方形的邊長，然后結合題意進一步設直角三角形較短的直角邊為a，則較長的直角邊為a+1，再利用勾股定理得到關于a的方程，解方程可求出直角三角形的兩個個直角邊的邊長，最后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求出cosα的值．【規(guī)范解答】解：∵小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，∴小正方形的邊長為1，大正方形的邊長為5，設直角三角形中較短的直角邊為a，則較長的直角邊是a+1，其中a＞0，由勾股定理得：a2+（a+1）2＝52，整理得：a2+a﹣12＝0解得：a1＝3，a2＝﹣4（不合題意，舍去）．∴a+1＝4，∴．故選：D．【真題點撥】此題主要考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理等，解答此題的關鍵是準確識圖，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，難點是設置適當?shù)奈粗獢?shù)，利用勾股定理構造方程求出三角形的邊．12．（2023?廣西）如圖，焊接一個鋼架，包括底角為37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，則共需鋼材約21m（結果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【思路點撥】根據(jù)等腰三角形的三線合一性質可得AD＝BD＝AB，然后在Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC，AD的長，從而求出AB的長，最后進行計算即可解答．【規(guī)范解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝BD＝AB，在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，CD＝3m，∴AC＝≈＝5（m），AD＝≈＝4（m），∴CA＝CB＝5m，AB＝2AD＝8（m），∴共需鋼材約＝AC+CB+AB+CD＝5+5+8+3＝21（m），故答案為：21．【真題點撥】本題考查了解直角三角形的應用，等腰三角形的性質，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，以及等腰三角形的性質是解題的關鍵．13．（2023?蘭州）如圖1是我國第一個以“龍”為主題的主題公園——“蘭州龍源”，“蘭州龍源”的“龍”字主題雕塑以紫銅鑄造，如巨龍騰空，氣勢如虹，屹立在黃河北岸．某數(shù)學興趣小組開展了測量“龍”字雕塑CD高度的實踐活動，具體過程如下．如圖2，“龍”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A處測得∠BAC＝38°，∠BAD＝53°，AB＝18m，求“龍”字雕塑CD的高度．B，C，D三點共線，BD⊥AB，結果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【思路點撥】先在Rt△ABC中由AB＝18m，∠BAC＝38°得BC＝AB?tan∠BAC＝14.04（m），再在Rt△ABD中由AB＝18m，∠BAD＝53°得BD＝AB?tan∠BAD＝23.94m，然后由CD＝BD﹣BC即可得出答案．【規(guī)范解答】解：在Rt△ABC中，AB＝18m，∠BAC＝38°，∵，∴BC＝AB?tan∠BAC＝18tan38°＝18×0.78＝14.04（m），在Rt△ABD中，AB＝18m，∠BAD＝53°，∵，∴BD＝AB?tan∠BAD＝18tan53°＝18×1.33＝23.94（m），∴CD＝BD﹣BC＝23.94﹣14.04＝9.9（m）．答：“龍”字雕塑CD的高度約為9.9m．【真題點撥】此題主要考查了解直角三角形，解答此題的關鍵是理解題意，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義．?考向六解直角三角形的應用坡度坡角問題14．（2023?長春）學校開放日即將來臨，負責布置的林老師打算從學校圖書館的頂樓拉出一條彩旗繩AB到地面，如圖所示．已知彩旗繩與地面形成25°角（即∠BAC＝25°），彩旗繩固定在地面的位置與圖書館相距32米（即AC＝32米），則彩旗繩AB的長度為（）A．32sin25°米 B．32cos25°米 C．米 D．米【思路點撥】根據(jù)直角三角形的邊角關系進行解答即可．【規(guī)范解答】解：如圖，由題意得，AC＝32m，∠A＝25°，在Rt△ABC中，∵cosA＝，∴AB＝＝（m），故選：D．【真題點撥】本題考查解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系是正確解答的前提．15．（2023?遼寧）暑假期間，小明與小亮相約到某旅游風景區(qū)登山．需要登頂600m高的山峰，由山底A處先步行300m到達B處，再由B處乘坐登山纜車到達山頂D處．已知點A，B，D，E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)，山坡AB的坡角為30°，纜車行駛路線BD與水平面的夾角為53°（換乘登山纜車的時間忽略不計）．（1）求登山纜車上升的高度DE；（2）若步行速度為30m/min，登山纜車的速度為60m/min，求從山底A處到達山頂D處大約需要多少分鐘（結果精確到0.1min）．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【思路點撥】（1）根據(jù)直角三角形的邊角關系求出BM，進而求出DE即可；（2）利用直角三角形的邊角關系，求出BD的長，再根據(jù)速度、路程、時間的關系進行計算即可．【規(guī)范解答】解：（1）如圖，過點B作BM⊥AF于點M，由題意可知，∠A＝30°，∠DBE＝53°，DF＝600m，AB＝300m，在Rt△ABM中，∠A＝30°，AB＝300m，∴BM＝AB＝150m＝EF，∴DE＝DF﹣EF＝600﹣150＝450（m），答：登山纜車上升的高度DE為450m；（2）在Rt△BDE中，∠DBE＝53°，DE＝450m，∴BD＝≈＝562.5（m），∴需要的時間t＝t步行+t纜車＝+≈19.4（min），答：從山底A處到達山頂D處大約需要19.4分鐘．【真題點撥】本題考查解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系是正確解答的前提．19．（2023?濟南）圖1是某越野車的側面示意圖，折線段ABC表示車后蓋，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝123°，該車的高度AO＝1.7m．如圖2，打開后備箱，車后蓋ABC落在AB'C'處，AB'與水平面的夾角∠B'AD＝27°．（1）求打開后備箱后，車后蓋最高點B'到地面l的距離；（2）若小琳爸爸的身高為1.8m，他從打開的車后蓋C'處經(jīng)過，有沒有碰頭的危險？請說明理由．（結果精確到0.01m，參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，≈1.732）【思路點撥】（1）作B′E⊥AD，垂足為點E，先求出B′E的長，再求出B′E+AO的長即可；（2）過C′作C′F⊥B′E，垂足為點F，先求得∠AB′E＝63°，再得到∠C′B′F＝∠AB′C′﹣∠AB′E＝60°，再求得B′F＝B′C′?cos60°＝0.3m，從而得出C′到地面的距離為2.15﹣0.3＝1.85（m），最后比較即可．【規(guī)范解答】解：（1）如圖，作B′E⊥AD，垂足為點E，在Rt△AB′E中，∵∠B′AD＝27°，AB′＝AB＝1m，∴sin27°＝，∴B′E＝AB′sin27°≈1×0.454＝0.454m，∵平行線間的距離處處相等，∴B′E+AO＝0.454+1.7＝2.154≈2.15m，答：車后蓋最高點B′到地面的距離為2.15m．（2）沒有危險，理由如下：如圖，過C′作C′F⊥B′E，垂足為點F，∵∠B′AD＝27°，∠B′EA＝90°，∴∠AB′E＝63°，∵∠AB′C′＝∠ABC＝123°，∴∠C′B′F＝∠AB′C′﹣∠AB′E＝60°，在Rt△B′FC′中，B′C′＝BC＝0.6m，∴B′F＝B′C′?cos60°＝0.3m．∵平行線間的距離處處相等，∴C′到地面的距離為2.15﹣0.3＝1.85m．∵1.85＞1.8，∴沒有危險．【真題點撥】本題主要考查了解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系是解題的關鍵．?考向七解直角三角形的應用仰角俯角問題20．（2023?黃石）如圖，某飛機于空中A處探測到某地面目標在點B處，此時飛行高度AC＝1200米，從飛機上看到點B的俯角為37°，飛機保持飛行高度不變，且與地面目標分別在兩條平行直線上同向運動．當飛機飛行943米到達點D時，地面目標此時運動到點E處，從點E看到點D的仰角為47.4°，則地面目標運動的距離BE約為423米．（參考數(shù)據(jù)：tan37°≈，tan47.4°≈）【思路點撥】根據(jù)題意得到∠C＝90°，∠ABC＝37°，AC＝1200米，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BC＝≈＝1600（米），過D作DH⊥BC于H，根據(jù)矩形的性質得到CH＝AD＝943米，DH＝AC＝1200米，解直角三角形即可得到結論．【規(guī)范解答】解：由題意得，∠C＝90°，∠ABC＝37°，AC＝1200米，∴BC＝≈＝1600（米），過D作DH⊥BC于H，則四邊形ACHD是矩形，∴CH＝AD＝943米，DH＝AC＝1200米，在Rt△DHE中，∠DHE＝90°，∠E＝47.4°，∴＝1080（米），∴BE＝CH+HE﹣BC＝943+1080﹣1600＝423（米），答：地面目標運動的距離BE約為423米．故答案為：423．【真題點撥】本題主要考查解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，熟練掌握仰角俯角的定義和正弦函數(shù)的定義是解題的關鍵．21．（2023?岳陽）2023年岳陽舉辦以“躍馬江湖”為主題的馬拉松賽事．如圖，某校數(shù)學興趣小組在A處用儀器測得賽場一宣傳氣球頂部E處的仰角為21.8°，儀器與氣球的水平距離BC為20米，且距地面高度AB為1.5米，則氣球頂部離地面的高度EC是9.5米（結果精確到0.1米，sin21.8°≈0.3714，cos21.8°≈0.9285，tan21.8°≈0.4000）．【思路點撥】由題意得，四邊形ABCD是矩形，根據(jù)矩形的性質得到AB＝CD＝1.5m，AD＝BC＝20m，解直角三角形即可得到結論．【規(guī)范解答】解：由題意得，四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1.5m，AD＝BC＝20m，在Rt△ADE中，∵AD＝BC＝20m，∠EAD＝21.8°，∴DE＝AD?tan21.8°≈20×0.4000＝8（m），∴CE＝CD+DE＝1.5+8＝9.5（m），答：氣球頂部離地面的高度EC是9.5m．故答案為：9.5．【真題點撥】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，矩形的性質，正確地理解仰角的定義是解題的關鍵．22．（2023?張家界）“游張家界山水，逛七十二奇樓”成為今年旅游新特色．某數(shù)學興趣小組用無人機測量奇樓AB的高度，測量方案如圖：先將無人機垂直上升至距水平地面225m的P點，測得奇樓頂端A的俯角為15°，再將無人機沿水平方向飛行200m到達點Q，測得奇樓底端B的俯角為45°，求奇樓AB的高度．（結果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）【思路點撥】延長BA交PQ的延長線于C，則∠ACQ＝90°，根據(jù)題意得到BC＝225m，PQ＝200m，解直角三角形即可得到結論．【規(guī)范解答】解：延長BA交PQ的延長線于C，則∠ACQ＝90°，由題意得，BC＝225m，PQ＝200m，在Rt△BCQ中，∠BQC＝45°，∴CQ＝BC＝225m，∴PC＝PQ+CQ＝425（m），在Rt△PCA中，tan∠APC＝tan15°＝，∴AC＝114.75m，∴AB＝BC﹣AC＝225﹣114.75＝110.25≈110（m），答：奇樓AB的高度約為110m．【真題點撥】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，正確地作出輔助線是解題的關鍵．?考向八解直角三角形的應用方向角問題23．（2023?眉山）一漁船在海上A處測得燈塔C在它的北偏東60°方向，漁船向正東方向航行12海里到達點B處，測得燈塔C在它的北偏東45°方向，若漁船繼續(xù)向正東方向航行，則漁船與燈塔C的最短距離是6+6海里．【思路點撥】過點C作CH⊥AB于H．證得BH＝CH，在Rt△ACH中，解直角三角形求出CH的值即可．【規(guī)范解答】解：過點C作CH⊥AB于H．∵∠DAC＝60°，∠CBE＝45°，∴∠CAH＝90°﹣∠CAD＝30°，∠CBH＝90°﹣∠CBE＝45°，∴∠BCH＝90°﹣45°＝45°＝∠CBH，∴BH＝CH，在Rt△ACH中，∠CAH＝30°，AH＝AB+BH＝12+CH，tan30°＝，∴CH＝（12+CH），解得CH＝6（+1）．答：漁船與燈塔C的最短距離是6（+1）海里．故答案為：6+6．【真題點撥】本題考查的是解直角三角形的應用﹣方向角問題，正確根據(jù)題意畫出輔助線，熟練掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關鍵．24．（2023?濰坊）如圖，l是南北方向的海岸線，碼頭A與燈塔B相距24千米，海島C位于碼頭A北偏東60°方向．一艘勘測船從海島C沿北偏西30°方向往燈塔B行駛，沿線堪測石油資源，堪測發(fā)現(xiàn)位于碼頭A北偏東15°方向的D處石油資源豐富．若規(guī)劃修建從D處到海岸線的輸油管道，則輸油管道的最短長度是多少千米？（結果保留根號）【思路點撥】過點D作DE⊥AB，垂足為E，根據(jù)題意可得：∠BAD＝15°，∠BAC＝60°，∠BCF＝30°，AB∥FG，從而可得∠ACG＝∠BAC＝60°，∠BCF＝∠ABC＝30°，然后利用平角定義可得∠ACB＝90°，從而在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形性質可得AC＝12千米，BC＝12千米，再在Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長，從而求出BD的長，最后在Rt△BDE中，利用含30度角的直角三角形性質求出DE的長，即可解答．【規(guī)范解答】解：如圖：過點D作DE⊥AB，垂足為E，由題意得：∠BAD＝15°，∠BAC＝60°，∠BCF＝30°，AB∥FG，∴∠ACG＝∠BAC＝60°，∠BCF＝∠ABC＝30°，∴∠ACB＝180°﹣∠ACG﹣∠BCF＝90°，∵AB＝24千米，∴AC＝AB＝12（千米），BC＝AC＝12（千米），在Rt△ACD中，∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝45°，∴CD＝AC?tan45°＝12（千米），∴BD＝BC﹣CD＝（12﹣12）千米，在Rt△BDE中，∠ABC＝30°，∴DE＝BD＝（6﹣6）千米，∴輸油管道的最短長度是（6﹣6）千米．【真題點撥】本題考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．25．（2023?聊城）東昌湖西岸的明珠大劇院，隔湖與遠處的角樓、城門樓、龍堤、南關橋等景觀遙相呼應．如圖所示，城門樓B在角樓A的正東方向520m處，南關橋C在城門樓B的正南方向1200m處．在明珠大劇院P測得角樓A在北偏東68.2°方向，南關橋C在南偏東56.31°方向（點A，B，C，P四點在同一平面內(nèi)），求明珠大劇院到龍堤BC的距離．（結果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin68.2°≈0.928，cos68.2°≈0.371，tan68.2°≈2.50，sin56.31°≈0.832，cos56.31°≈0.555，tan56.31°≈1.50）【思路點撥】過P作PE⊥BC于E，過A作AD⊥PE于D，根據(jù)矩形的性質得到DE＝AB＝520m，設PD＝xm，解直角三角形即可得到結論．【規(guī)范解答】解：如圖，過P作PE⊥BC于E，過A作AD⊥PE于D，則四邊形ADEB是矩形，∴DE＝AB＝520m，設PD＝xm，在Rt△APD中，∵∠PAD＝68.2°，∴AD＝≈m，∴BE＝AD＝m，∴PE＝PD+DE＝（x+520）m，CE＝BC﹣BE＝（1200﹣）m，在Rt△PCE中，tanC＝tan56.31°＝，解得x＝800，∴PD＝800m，∴PE＝PD+DE＝800+520＝1320（m），答：明珠大劇院到龍堤BC的距離約為1320m．【真題點撥】本題考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題，矩形的判定和性質，正確地作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵，1．（2023?深圳）爬坡時坡面與水平面夾角為α，則每爬1m耗能（1.025﹣cosα）J，若某人爬了1000m，該坡角為30°，則他耗能（）（參考數(shù)據(jù)：≈1.732，≈1.414）A．58J B．159J C．1025J D．1732J【思路點撥】根據(jù)題意可得：他耗能＝1000×（1.025﹣cos30°），進行計算即可解答．【規(guī)范解答】解：由題意得：某人爬了1000m，該坡角為30°，則他耗能＝1000×（1.025﹣cos30°）＝1000×（1.025﹣）≈159（J），故選：B．【真題點撥】本題考查了解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．2．（2023?日照）日照燈塔是日照海濱港口城市的標志性建筑之一，主要為日照近海及進出日照港的船舶提供導航服務．數(shù)學小組的同學要測量燈塔的高度，如圖所示，在點B處測得燈塔最高點A的仰角∠ABD＝45°，再沿BD方向前進至C處測得最高點A的仰角∠ACD＝60°，BC＝15.3m，則燈塔的高度AD大約是（）（結果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）A．31m B．36m C．42m D．53m【思路點撥】根據(jù)題意可得：AD⊥BD，然后設CD＝xm，則BD＝（x+15.3）m，在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長，再在Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長，從而列出關于x的方程，進行計算即可解答．【規(guī)范解答】解：由題意得：AD⊥BD，設CD＝xm，∵BC＝15.3m，∴BD＝BC+CD＝（x+15.3）m，在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴AD＝BD?tan45°＝（x+15.3）m，在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，∴AD＝CD?tan60°＝x（m），∴x＝（x+15.3），解得：x≈21.0，∴AD＝x+15.3≈36（m），∴燈塔的高度AD大約是36m，故選：B．【真題點撥】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．3．（2023?泉港區(qū)模擬）已知∠A是銳角△ABC的內(nèi)角，，則cosA的值是（）A． B． C． D．【思路點撥】由勾股定理可得sin2A+cos2A＝1，進行計算即可解答．【規(guī)范解答】解：由勾股定理可得sin2A+cos2A＝1，∵，∴（）2+cos2A＝1，∴cos2A＝，∴cosA＝或cosA＝﹣（舍去），故選：C．【真題點撥】本題考查了同角三角函數(shù)的關系，由勾股定理得到sin2α+cos2α＝1是解題的關鍵．4．（2023?鐘樓區(qū)校級模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，則cosA等于（）A． B． C． D．【思路點撥】根據(jù)tanA＝求出第三邊長的表達式，求出cosA即可．【規(guī)范解答】解：如圖：設BC＝5x，∵tanA＝，∴AC＝12x，AB＝＝13x，∴cosA＝＝＝．故選：D．【真題點撥】本題利用了勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義．解題的關鍵是掌握勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義．5．（2023?道縣校級模擬）在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB＝，則sinA的值是（）A． B． C． D．【思路點撥】根據(jù)互余兩角三角函數(shù)的關系：sin2A+sin2B＝1解答．【規(guī)范解答】解：∵在Rt△ABC，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sin2A+sin2B＝1，sinA＞0，∵sinB＝，∴sinA＝＝．故選：B．【真題點撥】本題考查了互余兩角三角函數(shù)的關系，掌握sin2A+sin2B＝1是解題的關鍵．6．（2022?濱州）下列計算結果，正確的是（）A．（a2）3＝a5 B．＝3 C．＝2 D．cos30°＝【思路點撥】根據(jù)冪的乘方的運算法則對A選項進行判斷；利用二次根式的乘法法則對B選項進行判斷；根據(jù)立方根對C選項進行判斷；根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值對D選項進行判斷．【規(guī)范解答】解：A．（a2）＝a6，所以A選項不符合題意；B．＝＝2，所以B選項不符合題意；C．＝2，所以C選項符合題意；D．cos30°＝，所以D選項不符合題意；故選：C．【真題點撥】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值：記住特殊角的三角函數(shù)值是解決問題的關鍵．也考查了冪的乘方．7．（2023?益陽）如圖，在平面直角坐標系xOy中，有三點A（0，1），B（4，1），C（5，6），則sin∠BAC＝（）A． B． C． D．【思路點撥】過C作CD⊥AB交AB延長線于D，計算出CD、AC的長，根據(jù)正弦計算方法計算即可．【規(guī)范解答】解：過C作CD⊥AB交AB延長線于D，∵A（0，1），B（4，1），C（5，6），∴D（5，1），∴CD＝6﹣1＝5，AD＝5，∴AC＝5，∴sin∠BAC＝＝，故選：C．【真題點撥】本題主要考查了解直角三角形的應用，平面直角坐標系，關鍵是構造直角三角形．8．（2023?南充）如圖，小兵同學從A處出發(fā)向正東方向走x米到達B處，再向正北方向走到C處，已知∠BAC＝α，則A，C兩處相距（）A．米 B．米 C．x?sinα米 D．x?cosα米【思路點撥】根據(jù)題意可得：BC⊥AB，然后在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長，即可解答．【規(guī)范解答】解：由題意得：BC⊥AB，在Rt△ABC中，∠CAB＝α，AB＝x米，∴AC＝＝（米），∴A，C兩處相距米，故選：B．【真題點撥】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．9．（2023?婁星區(qū)校級一模）在△ABC中，∠C＝90°，若sinB＝，則cosA＝．【思路點撥】利用銳角三角函數(shù)的定義得出互余兩角三角函數(shù)之間的關系，進而得出答案．【規(guī)范解答】解：在直角△ABC中，∠C＝90°，sinB＝＝＝cosA，所以cosA＝，故答案為：．【真題點撥】本題考查互余兩角三角函數(shù)的關系，掌握互余兩角三角函數(shù)的關系以及銳角三角函數(shù)的定義是正確判斷的前提．10．（2022?荊門）計算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝﹣1．【思路點撥】先化簡各式，然后再進行計算即可解答．【規(guī)范解答】解：+cos60°﹣（﹣2022）0＝﹣+﹣1＝0﹣1＝﹣1，故答案為：﹣1．【真題點撥】本題考查了立方根，特殊角的三角函數(shù)值，實數(shù)的運算，零指數(shù)冪，準確熟練地化簡各式是解題的關鍵．11．（2023?常州）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，點D在邊AB上，連接CD．若BD＝CD，＝，則tanB＝．【思路點撥】設AD＝t，根據(jù)已知表示出AC＝2t，AB＝AD+BD＝4t，即可得tanB＝＝＝．【規(guī)范解答】解：設AD＝t，∵BD＝CD，＝，∴BD＝CD＝3t，∴AC＝＝2t，AB＝AD+BD＝4t，∴tanB＝＝＝，故答案為：．【真題點撥】本題考查解直角三角形，解題的關鍵是用放t的式子表示相關線段的長度．12．（2023?廣元）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（1，0），點B（0，﹣3），點C在x軸上，且點C在點A右方，連接AB，BC，若tan∠ABC＝，則點C的坐標為（，0）．【思路點撥】設C（a，0），結合A，B兩點的坐標利用兩點間的距離可得OA＝1，AC＝a﹣1，OB＝3，BC＝，通過解直角三角形可得∠OBA＝∠ABC，過C點作CD∥y軸交BA的延長線于點D，利用平行線的性質可得△OBA∽△CDA，∠ABC＝∠D，列比例式再代入計算可求解a值，進而可求解．【規(guī)范解答】解：設C（a，0），∴OC＝a，∵點A（1，0），點B（0，﹣3），∴OA＝1，AC＝a﹣1，OB＝3，BC＝，在Rt△OAB中，tan∠OBA＝，tan∠ABC＝，∴∠OBA＝∠ABC，過C點作CD∥y軸交BA的延長線于點D，∴∠OBA＝∠D，∠AOB＝∠ACD，∴△OBA∽△CDA，∠ABC＝∠D，∴，CD＝BC，∴，∴，解得a＝0（舍去）或a＝，∴C（，0），故答案為：（，0）．【真題點撥】本題主要考查坐標與圖形的性質，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，平行線的性質，兩點間的距離等知識的綜合運用，作適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．13．（2023?黃石）“神舟”十四號載人飛行任務是中國空間站建造階段的首次載人飛行任務，也是空間站在軌建造以來情況最復雜、技術難度最高、航天員乘組工作量最大的一次載人飛行任務．如圖，當“神舟”十四號運行到地球表面P點的正上方的F點處時，從點F能直接看到的地球表面最遠的點記為Q點，已知PF＝km，∠FOQ＝20°，cos20°≈0.9，則圓心角∠POQ所對的弧長約為πkm（結果保留π）．【思路點撥】設OP＝OQ＝rkm．由FQ是⊙O的切線，可得cos∠FOQ＝，由此構建方程求出r，再利用弧長公式求解．【規(guī)范解答】解：設OP＝OQ＝rkm．由題意，F(xiàn)Q是⊙O的切線，∴FQ⊥OQ，∵cos∠FOQ＝，∴0.9＝，∴r＝6400，∴的長＝＝π（km）．故答案為：π．【真題點撥】本題考查解直角三角形的應用，弧長公式等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程求解．14．（2023?城西區(qū)校級二模）閱讀下列材料，并完成相應的任務．初中階段，我們所學的銳角三角函數(shù)反映了直角三角形中的邊角關系：sinα＝cosα＝tanα＝一般地，當α、β為任意角時，sin（α+β）與sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβsin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ例如sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°?cos30°﹣cos45°?sin30°＝根據(jù)上述材料內(nèi)容，解決下列問題：（1）計算：sin75°＝；（2）在Rt△ABC中，∠A＝75°，∠C＝90°，AB＝4，請你求出AC和BC的長．【思路點撥】（1）根據(jù)公式可求．（2）根據(jù)銳角的三角函數(shù)值，求AC和BC的值．【規(guī)范解答】解：（1）sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30°cos45°+cos30°sin45°＝×+×＝，故答案為：．（2）Rt△ABC中，∵sin∠A＝sin75°＝＝∴BC＝AB×＝4×＝∵∠B＝90﹣∠A∴∠B＝15°∵sin∠B＝sin15°＝＝∴AC＝AB×＝【真題點撥】本題考查了同角三角函數(shù)關系，利用特殊的三角函數(shù)值求線段的長度是本題的關鍵．15．（2022?綏化）定義一種運算：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．例如：當α＝45°，β＝30°時，sin（45°+30°）＝×+×＝，則sin15°的值為．【思路點撥】把15°看成是45°與30°的差，再代入公式計算得結論．【規(guī)范解答】解：sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°＝×﹣×＝﹣＝．故答案為：．【真題點撥】本題考查了解直角三角形，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解決本題的關鍵．16．（2022?貴港）（1）計算：|1﹣|+（2022﹣π）0+（﹣）﹣2﹣tan60°；（2）解不等式組：【思路點撥】（1）根據(jù)絕對值的性質，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值解答即可；（2）分別解出兩個不等式，再寫出不等式組的解集即可．【規(guī)范解答】解：（1）原式＝﹣1+1+4﹣＝4；（2）解不等式①，得：x＜，解不等式②，得：x≥﹣1，∴不等式組的解集為﹣1≤x．【真題點撥】本題主要考查了絕對值的性質，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，解一元一次不等式組，熟練掌握相關的知識是解答本題的關鍵．17．（2022?濰坊）（1）在計算時，小亮的計算過程如下：解：＝＝＝﹣2小瑩發(fā)現(xiàn)小亮的計算有誤，幫助小亮找出了3個錯誤．請你找出其他錯誤，參照①～③的格式寫在橫線上，并依次標注序號：①﹣22＝4；②（﹣1）10＝﹣1；③|﹣6|＝﹣6；④tan30°＝；⑤（﹣2）﹣2＝22；⑥（﹣2）0＝0．請寫出正確的計算過程．（2）先化簡，再求值：，其中x是方程x2﹣2x﹣3＝0的根．【思路點撥】（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，負整數(shù)指數(shù)冪的定義，零指數(shù)冪性質解答即可；（2）根據(jù)分式的運算法則，一元二次方程的解法解答即可．【規(guī)范解答】解：（1）④tan30°＝；⑤（﹣2）﹣2＝22；⑥（﹣2）0＝0，原式＝＝28，故答案為：④tan30°＝；⑤（﹣2）﹣2＝22；⑥（﹣2）0＝0；28；（2）原式＝（）?＝×＝，∵x是方程x2﹣2x﹣3＝0的根，分解因式得：（x+1）（x﹣3）＝0，所以x+1＝0或x﹣3＝0，解得：x＝﹣1或x＝3，∵x≠3，∴當x＝﹣1時，原式＝．【真題點撥】此題考查了實數(shù)的運算，解一元二次方程﹣因式分解法，分式的混合運算，熟練掌握運算法則及方程的解法是解本題的關鍵．18．（2023?婁底）幾位同學在老師的指導下到某景區(qū)進行戶外實踐活動，在登山途中發(fā)現(xiàn)該景區(qū)某兩座山之間風景優(yōu)美，但路陡難行，為了便于建議景區(qū)管理處在這兩山頂間建觀光索道，他們分別在兩山頂上取A、B兩點，并過點B架設一水平線型軌道CD（如圖所示），使得∠ABC＝α，從點B出發(fā)按CD方向前進20米到達點E，即BE＝20米，測得∠AEB＝β，已知sinα＝，tanβ＝3，求A、B兩點間的距離．【思路點撥】過點A作AF⊥CD于點F，根據(jù)sinα的值設AF＝24x米，AB＝25x米，根據(jù)勾股定理求出BF的長，再根據(jù)tanβ的值即可求出x的值，從而求出A、B兩點間的距離．【規(guī)范解答】解：過點A作AF⊥CD于點F，∴∠AFB＝90°，在Rt△ABF中，，∴設AF＝24x米，AB＝25x米，則由勾股定理得米，在Rt△AFE中，，∵BE＝20米，∴，解得x＝20，∴AB＝25x＝500米．答：A、B兩點間的距離為500米．【真題點撥】本題考查了通過作輔助線構建直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)值的定義是解題的關鍵．19．（2023?寧夏）如圖，糧庫用傳送帶傳送糧袋，大轉動輪的半徑為10cm，傳送帶與水平面成30°角．假設傳送帶與轉動輪之間無滑動，當大轉動輪轉140°時，傳送帶上點A處的糧袋上升的高度是多少？（傳送帶厚度忽略不計）【思路點撥】設傳送帶上點A處的糧袋上升到點B，構建Rt△ABC，則AC∥MN，由弧長公式求出AB的長，再由含30°角的直角三角形的性質即可得出結論．【規(guī)范解答】解：如圖，設傳送帶上點A處的糧袋上升到點B，構建Rt△ABC，則AC∥MN，由弧長公式得：π（cm），∵AC∥MN，∴∠BAC＝∠NMA＝30°，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴BC＝AB＝（cm），答：傳送帶上點A處的糧袋上升的高度是cm．【真題點撥】本題考查了解直角三角形的應用—坡度坡角問題，弧長公式以及含30°角的直角三角形的性質等知識，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．20．（2023?連云港）漁灣是國家“AAAA”級風景區(qū)，圖1是景區(qū)游覽的部分示意圖．如圖2，小卓從九孔橋A處出發(fā)，沿著坡角為48°的山坡向上走了92m到達B處的三龍?zhí)镀俨?，再沿坡角?7°的山坡向上走了30m到達C處的二龍?zhí)镀俨迹笮∽繌腁處的九孔橋到C處的二龍?zhí)镀俨忌仙母叨菵C為多少米？（結果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）【思路點撥】過點B作BE⊥AD，作BF⊥CD，分別在Rt△ABE和Rt△CBF中分別解三角形求出BE，CF的長，二者相加就是CD的長．【規(guī)范解答】解：如圖，過點B作BE⊥AD于E，在Rt△ABE中，sin∠BAE＝，∴BE＝ABsin∠BAE＝92×sin48°≈92×0.74＝68.08m，過點B作BF⊥CD于F，在Rt△CBF中，sin∠CBF＝，∴CF＝BC×sin∠CBF≈30×0.60＝18.00m，∵FD＝BE＝68.08m，∴DC＝FD+CF＝68.08+18.00＝86.08≈86.1m．答：從A處的九孔橋到C處的二龍?zhí)镀俨忌仙母叨菵C約為86.1m．【真題點撥】本題主要考查解直角三角形的應用—坡度坡角問題，熟練掌握把實際問題轉化成解直角三角形的問題是解決問題的關鍵．21．（2023?陜西）小華想利用所學知識測量自家對面的兩棟樓AB與CD的高度差．如圖所示，她站在自家陽臺上發(fā)現(xiàn)，在陽臺的點E處恰好可經(jīng)過樓CD的頂端C看到樓AB的底端B，即點E，C，B在同一直線上．此時，測得點B的俯角α＝22°，點A的仰角β＝16.7°，并測得EF＝48m，F(xiàn)D＝50m．已知，EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB，點F，D，B在同一水平直線上．求樓AB與CD的高度差．（參考數(shù)據(jù)：sin16.7°≈0.29，cos16.7°≈0.96，tan16.7°≈0.30，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）【思路點撥】過點C作CG⊥EF于G，過點E作EH⊥AB于H，根據(jù)正切的定義分別求出EG、FB、AH，計算即可．【規(guī)范解答】解：如圖，過點C作CG⊥EF于G，過點E作EH⊥AB于H，∵EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB，∴得矩形CDFG，矩形EFBH，∴CG＝FD＝50m，HB＝EF＝48m，在Rt△CGE中，CG＝50m，∠ECG＝α＝22°，則EG＝CG?tan∠ECG≈50×0.40＝20.00（m），∴CD＝FG＝EF﹣EG＝48﹣20.0＝28.00（m），在Rt△EFB中，EF＝48m，∠EBF＝α＝22°，則EF＝FB?tan∠EBF，∴48≈FB×0.40，∴FB＝120.00（m），在Rt△AHE中，EH＝FB＝120m，∠AEH＝β＝16.7°，則AH＝EH?tan∠AEH≈120×0.30＝36.00（m），∴AB＝AH+BH＝AH+EF＝36.00+48＝84.00（m），∴AB﹣CD＝84.00﹣28.00＝56.00（m），答：樓AB與CD的高度差約為56.00m．【真題點撥】本題考查的是解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，掌握正切的定義是解題的關鍵．22．（2023?襄陽）在襄陽市諸葛亮廣場上矗立著一尊諸葛亮銅像．某校數(shù)學興趣小組利用熱氣球開展綜合實踐活動，測量諸葛亮銅像的高度．如圖，在點C處，探測器顯示，熱氣球到銅像底座底部所在水平面的距離CE為32m，從熱氣球C看銅像頂部A的俯角為45°，看銅像底部B的俯角為63.4°．已知底座BD的高度為4m，求銅像AB的高度．（結果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，≈1.41）．【思路點撥】根據(jù)題意，找準直角三角形及三角函數(shù)即可．【規(guī)范解答】解：∵矩形BDEF中有EF＝BD＝4m，CE＝32m，∴CF＝32﹣4＝28m，∵tan∠CBF＝tan63.4°＝，∴2＝，即BF＝14m，∴CG＝BF＝14m，∵∠GCA＝45°，∴AG＝GC＝14m，∴AB＝BG﹣AG＝CF﹣AG＝28﹣14＝14m．答：銅像AB的高度為14m．【真題點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的應用，關鍵是找準三角函數(shù)．23．（2023?海南）如圖，一艘輪船在A處測得燈塔M位于A的北偏東30°方向上，輪船沿著正北方向航行20海里到達B處，測得燈塔M位于B的北偏東60°方向上，測得港口C位于B的北偏東45°方向上．已知港口C在燈塔M的正北方