清單07勾股定理勾股定理逆定理（18種題型解讀（58題））（原卷版）

清單07勾股定理、勾股定理逆定理（18種題型解讀（58題））【知識導(dǎo)圖】【知識清單】【考試題型1】利用勾股定理求線段長1．（2023上·四川成都·八年級?？计谥校┤糁苯侨切蝺蓷l直角邊的長分別為3和6，則該直角三角形斜邊上的高為．2．（2023上·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考期中）如圖，做一個長80cm，寬60cm的長方形木框，需在對角的頂點間釘一根木條用來加固，則木條的長為3．（2023上·重慶忠縣·九年級重慶市忠縣忠州中學(xué)校校考期中）在△ABC中，AB=AC，AD是BC的中線，若AB=10，BC=12，則AD長為．4．（2023上·山西太原·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，若∠ABC的平分線交AC于點D，則AD的長為【考試題型2】利用勾股定理求面積5．（2023上·江蘇連云港·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠C=90°,AC=3,BC=2．以AB為一條邊向三角形外部作正方形，則正方形的面積是．6．（2023上·海南·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，頂點A、B、C恰好分別落在一組平行線中的三條直線上，若相鄰兩條平行線間的距離是2個單位長度，則△ABC的面積是．7．（2023上·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，分別以AC、AB為邊向外作正方形，面積分別為S1，S2．若S1=2，S8．（2023上·江蘇蘇州·八年級蘇州高新區(qū)實驗初級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在水平桌面上依次擺著三個正方形，已知位于中間的正方形的面積為5，兩邊的正方形面積分別是S1，S2，則S

9．（2023上·遼寧本溪·八年級統(tǒng)考期中）如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面積依次為8、

【考試題型3】已知兩點坐標(biāo)求兩點距離10．（上海市徐匯區(qū)部分學(xué)校20232024學(xué)年八年級上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題）若點A的坐標(biāo)為(1,2)，點B的坐標(biāo)為(-3,0)，則線段AB的長為．11．（2019下·河南許昌·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點P5,-12到原點O0,0的距離是【考試題型4】勾股樹問題12．（2023上·山東濟寧·七年級濟寧學(xué)院附屬中學(xué)校考期中）下面各組a、b、c，是勾股數(shù)的是．（填序號）（1）a=7，b=24，c=25（2）a=5，b=13，c=12（3）a=4，b=5，c=6（4）a=0.5，b=0.3，c=0.413．（2023上·四川成都·八年級?？茧A段練習(xí)）滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．若正整數(shù)a，n滿足a2+n2=n+12，這樣的三個整數(shù)a,n,n+1（如：3，4，5或5，12，【考試題型5】勾股定理與折疊問題14．（2023上·四川成都·八年級校考期中）已知，如圖長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點D與點B重合，折痕為EF，則AE的長為cm，BF的長為15．（2023上·貴州六盤水·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D．E為線段BD上一點，連接CE，將邊BC沿CE折疊，使點B的對稱點B'落在CD的延長線上．若AB=5，BC=4，則△B'

16．（2023上·浙江杭州·八年級杭州市十三中教育集團（總校）校聯(lián)考期中）如圖，長方形ABCD中，∠B=90°，AB=6，BC=8，點E是BC邊上一點，連接AE，把∠B沿AE折疊，使點B落在對角線AC上，則BE17．（2023上·江蘇泰州·八年級靖江市靖城中學(xué)校考期中）如圖，三角形紙片ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3．沿過點A的直線將紙片折疊，使點B落在邊BC上的點D處；再折疊紙片，使點C與點D重合，若折痕與AC的交點為E，則AE的長是．

18．（2023上·河南駐馬店·八年級駐馬店市第二初級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在正方形ABCD中，AB=6，點E是線段BC上的動點，將△ABE沿直線AE翻折，得到△AB'E，點F是DC上一點，且DF=2，連接AF，B'F，則當(dāng)BE

【考試題型6】勾股定理與網(wǎng)格問題19．（2023上·浙江溫州·七年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1，以數(shù)1表示的點為圓心，陰影正方形邊長為半徑，畫圓弧交數(shù)軸于點A（點A位于原點右側(cè)），則點A表示的數(shù)為．

20．（2023上·浙江寧波·八年級校考期中）如圖，在方格紙中小正方形的邊長為1，△ABC的三個頂點都在小正方形的格點上，△ABC的面積是，點A到BC邊的距離為．

21．（2023上·廣東深圳·八年級深圳實驗學(xué)校?？计谥校┤鐖D，由四個邊長為1的小正方形構(gòu)成一個大正方形，連接小正方形的三個頂點，可得到△ABC，則△ABC中AB邊上的高是．

【考試題型7】利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系22．（2023上·陜西西安·八年級西安市第二十六中學(xué)校聯(lián)考期中）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC,BD交于點O．若AD=1,BC=4，則AB2

23．（2022下·河北石家莊·八年級石家莊外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC，BD交于點O．（1）若AB=5，OA=3，OC=4，則BC=；（2）若AD=2，BC=5，則A（3）若AB=m，BC=n，CD=c，AD=d，則m，n，c，d之間的數(shù)量關(guān)系是．24．（2022上·陜西西安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，對角線分別為AC，BD，且AC⊥BD于點O，若AD＝2，BC＝6，則25．（2022·北京海淀·八年級?？计谥校蔷€互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示“垂美”四邊形ABCD，對角線AC，BD交于點O，若AB=6，CD=10【考試題型8】勾股定理的證明方法26．（2023上·河南鄭州·八年級?？计谥校┕垂啥ɡ硎侨祟愖顐ゴ蟮目茖W(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”(如圖1)，后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請你從圖1，圖2，圖3中任選一個圖形來證明該定理；(2)①如圖4，圖5，圖6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關(guān)系滿足S1+S②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月形圖案(圖中陰影部分)的面積分別為S1,S2，直角三角形面積為27．（2023上·湖北武漢·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖1所示，有若干張正方形和長方形卡片，其中A型卡片、B型卡片分別是邊長為a、b的正方形，C型卡片是長為a、寬為b的長方形，且它的一條對角線長為c（如圖1中的虛線）．(1)【操作一】若用若干張圖1中的卡片拼成一個邊長為a+3b的正方形，則需要A型卡片__________張，B型卡片__________張，C型卡片__________張；(2)【操作二】將兩張C型卡片沿如圖1所示虛線剪開后，拼成如圖2所示的正方形，請借助于圖2中陰影部分面積的兩種表達方式，探索a、b、c滿足的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論并證明；(3)【操作三】如圖3，將2張A型卡片和2張B型卡片無疊合的置于長為2a+b，寬為a+2b的長方形中．若圖2中陰影部分的面積為4，圖3中陰影的部分面積為15，記每張A型、B型、C型卡片的面積分別為SA、SB、SC【考試題型9】分類討論思想在直角三角的應(yīng)用28．（2024上·廣東佛山·八年級校考階段練習(xí)）若一直角三角形兩直角邊長分別為5和12，則斜邊長為（

）A．13 B．119 C．13或15 D．1529．（2023上·陜西西安·八年級?？茧A段練習(xí)）在Rt△ABC中，已知其兩邊長分別為a，b，且滿足a-32+A．25 B．7 C．25或7 D．25或1630．（2022上·陜西榆林·八年級?？计谥校┲苯侨切蔚膬芍苯沁叺拈L分別為6，10，第三邊長為（

）A．8 B．234 C．8或234 D．8【考試題型10】利用勾股定理解決動點問題31．（2023上·浙江杭州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在等腰△ABC中，∠CAB=∠CBA，作射線BC，AD是腰BC的高線，E是△ABC外射線BC上一動點，連結(jié)AE．

(1)當(dāng)AD=4，BC=5時，求CD的長；(2)當(dāng)BC=CE時；求證：AE⊥AB；(3)設(shè)△ACD的面積為S1，△ACE的面積為S2，且S1S2=1832．（2023上·江西·八年級期末）如圖①，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9cm，AC=12cm，AB=15cm，現(xiàn)有一動點P，從點A出發(fā)，沿著三角形的邊AC→CB→BA運動，回到點A停止，速度為3cm(1)如圖（1），當(dāng)t=時，△APC的面積等于△ABC面積的一半；(2)如圖（2），在△DEF中，∠E=90°，DE=4cm，DF=5cm，∠D=∠A．在△ABC的邊上，若另外有一個動點Q，與點P同時從點A出發(fā)，沿著邊AB→BC→CA運動，回到點A停止．在兩點運動過程中的某一時刻，恰好△APQ≌33．（2023上·吉林長春·八年級吉林大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，動點P從點A出發(fā)沿線段AB以每秒2個單位長的速度運動至點B，過點P作PQ⊥AB，交射線AC于點Q．設(shè)點P的運動時間為t秒t>0

(1)線段AB的長為_____．(2)連接CP，當(dāng)△ACP是等腰三角形時，求t的值．(3)當(dāng)直線PQ把△ABC分成的兩部分圖形中有一個是軸對稱圖形時，直接寫出t的值．【考試題型11】利用勾股定理解決規(guī)律問題34．（2023上·廣西南寧·九年級南寧市第四十七中學(xué)?？计谥校┤鐖D，正方形ABCD的邊長為2，其面積標(biāo)記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S202335．（2023上·廣東佛山·八年級?？茧A段練習(xí)）如果正整數(shù)a、b、c滿足等式a2+b2=c2，那么正整數(shù)a、babc345861015817………………xy122A．142 B．143 C．144 D．14536．（2023上·河北保定·八年級保定十三中?？计谥校﹫D1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME7）的會徽圖案，它是由一串有公共頂點O的直角三角形演化而成的．若圖2中的OA1

（1）線段OA12的長為（2）若S1代表△A1OA2的面積；S2代表△A237．（2023上·四川成都·九年級校聯(lián)考期中）如圖，等腰Rt△OA1A2，OA1=A1A2=1，以O(shè)

【考試題型12】利用勾股定理解決新定義問題38．（2023上·上海黃浦·九年級統(tǒng)考期中）新定義：將一個凸四邊形分成一個等腰三角形和一個等腰直角三角形的對角線叫做這個四邊形的“等腰直角線”．已知一個直角梯形的“等腰直角線”等于4，它的面積是．39．（2020上·山西太原·八年級太原師范學(xué)院附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）我們新定義一種三角形，兩邊的平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形，根據(jù)奇異三角形的定義，請你判斷：若某三角形的三邊長分別為1、2、7，則該三角形（填“是”或者“不是”）奇異三角形．40．（2022上·四川成都·八年級?？计谥校┒x：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點P1a,b，P2c,b，P3c,d，這三個點中任意兩點間的距離的最小值稱為點P1，P例如：點P1-1,2，P21,2，P31,3的（1）理解：點Q10,1，Q24,1，Q34,4的（2）探究：已知點O0,0，A-4,0，B-4,y．則點O，A，B的“最佳間距”41．（2023下·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）定義：我們把三角形某邊上高的長度與這邊中點到高的距離的比值稱為三角形某邊的“中偏度值”．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD是AB邊上的高，則△ABC中AB邊的“中偏度值”為．

【考試題型13】判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形42．（2023上·江蘇連云港·八年級校考期中）三角形的三邊長分別是7,24,25，可以判斷這是三角形．43．（2022下·湖北武漢·八年級?？茧A段練習(xí)）一個三角形的三邊長為5、5、25，則該三角形的面積為44．（2023上·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期中）若n>1，△ABC三邊長分別是n2-1，2n，n2+1，則45．（2023上·山東威?！ぐ四昙壨＝?jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)皇冠中學(xué)校聯(lián)考期中）已知△ABC三邊長分別為a，b，c，且滿足a2c2-b【考試題型14】圖形上與已知兩點構(gòu)成直角三角形的點46．（2023下·浙江臺州·八年級?？计谥校┰谌鐖D所示的5×5的方格圖中，點A和點B均為圖中格點．點C也在格點上，滿足△ABC為以AB為斜邊的直角三角形．這樣的點C有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個47．（2019·福建·校聯(lián)考一模）點A（2，m），B（2，m5）在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點．若△ABO是直角三角形，則m的值不可能是（

）A．4 B．2 C．1 D．0【考試題型15】在網(wǎng)格上判斷直角三角形48．（2023上·四川達州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，圖中小正方形的邊長都為1，△ABC的頂點都在格點上，則△ABC是（

）

A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．無法判斷49．（2023上·貴州貴陽·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖是由6個邊長相等的正方形組成的網(wǎng)格，則∠1+∠2=（）

A．80° B．85°C．90° D．95°50．（2021上·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在4×4的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A、B都在格點上，則下列結(jié)論錯誤的是（

A．△ABC的面積為10 B．∠BAC=90°C．AB=25 D．點A到直線BC的距離是【考試題型16】利用勾股定理逆定理求解51．（2023上·山東青島·八年級?？计谥校┤簟鰽BC的三邊分別是a，b，c，則下列條件能判斷△ABC是直角三角形的是（

）A．∠A=∠B=2∠C B．∠A:∠B:∠C=3:4:5C．a(chǎn)=1，b=2，c=3 D．a(chǎn)=1，b=2，52．（上海市徐匯區(qū)部分學(xué)校20232024學(xué)年八年級上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題）如圖，在四邊形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，DA=24，且∠B=90°，下列結(jié)論中：①∠D=90°；②∠A+∠C=180°；③∠C=120°；④S四邊形ABCD=204A．② B．①② C．①④ D．①③④53．（2023下·河南許昌·八年級統(tǒng)考期中）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，且a+ca-cA．∠A為直角 B．∠B為直角 C．∠C為直角 D．∠A是銳角【考試題型17】利用勾股定理逆定理證明54．（2023上·河南周口·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知等腰△ABC的腰AB=13cm，D是腰AB上一點，且CD=12cm，(1)求證：△BDC是直角三角形．(2)求△ABC的周長．55．（2023上·陜西西安·八年級西安市第二十六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝13，BC＝10，AD為BC邊上的中線，且AD＝12，過點

(1)求證：AD⊥BC；(2)求DE的長．56．（2023上·浙江衢州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ACED中，∠C=∠E=90°，BC=a，AC=b，AB=BD=c，AD=(1)求證：∠ABD=90°；(2)求證：DE=a，BE=b；(3)求證：c2=a【考試題型18】勾股數(shù)的探究57．（2021上·山西晉中·八年級統(tǒng)考期中）閱讀下列內(nèi)容，并解決問題．一道習(xí)題