第六章 數(shù)列綜合測試卷（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

第六章數(shù)列綜合測試卷（新高考專用）（考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分）注意事項(xiàng)：1.本試卷分第I卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。3.回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．（5分）（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）數(shù)列1,?22,12A．?12n?1 B．?22n【解題思路】觀察每項(xiàng)的特點(diǎn)，分別確定項(xiàng)的符號(hào)以及每一項(xiàng)的聯(lián)系，即可找出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解答過程】通過觀察這一列數(shù)發(fā)現(xiàn)，奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，故第n項(xiàng)的正負(fù)可以用(?1)n+1而1=2故數(shù)列的通項(xiàng)可為an故選：D.2．（5分）（2024·四川涼山·三模）已知Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a2=?3，S3A．?3 B．?13 C．3或13 D．【解題思路】利用等比數(shù)列通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的基本量運(yùn)算列出方程，求解即得.【解答過程】由S3因a2=a即3q2+10q+3=0，解得，q=?3故選：D.3．（5分）（2024·天津南開·二模）設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n2+bn，若數(shù)列A．?3,+∞ B．?2,+∞ C．?2,+∞【解題思路】由遞增數(shù)列定義可得an+1【解答過程】由題意可得an+1?a即b>?2n?1，又n≥1，?2n?1≤?3，故b∈?3,+故選：A.4．（5分）（2024·河南周口·模擬預(yù)測）設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S3=4，S6A．12 B．14 C．16 D．18【解題思路】根據(jù)題意可知S3，S6?S3，S9?【解答過程】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，S3，S6?S3，S9?且S3=4，所以a16故選：B.5．（5分）（2024·山東青島·二模）一只蜜蜂從蜂房A出發(fā)向右爬，每次只能爬向右側(cè)相鄰的兩個(gè)蜂房（如圖），例如：從蜂房A只能爬到1號(hào)或2號(hào)蜂房，從1號(hào)蜂房只能爬到2號(hào)或3號(hào)蜂房……以此類推，用an表示蜜蜂爬到n號(hào)蜂房的方法數(shù)，則a2022aA．1 B．?1 C．2 D．?2【解題思路】由題意可得an=an?1+【解答過程】依題意，an=an?1+當(dāng)n≥2時(shí)，a=an2所以數(shù)列anan+2?a所以a2022故選：A.6．（5分）（2024·四川攀枝花·三模）數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=?1，nan=A．?149 B．?49 C．49 D．149【解題思路】由an與Sn的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得an【解答過程】因?yàn)閚a當(dāng)n≥2時(shí)，na即(n?1)S可得Snn?Sn?1n?1=1，又S所以Snn=?1+n?1=n?2當(dāng)n≥2時(shí)Sn?1所以an=Sn?所以bn可得數(shù)列bn的前51項(xiàng)之和為(1+1)+(?3+5)+故選：B．7．（5分）（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)的積為Tn，an=TnTA．2021 B．2022 C．2023 D．2024【解題思路】先由an=TnTn?1求出a1，再當(dāng)n≥2時(shí)，由an=TnTn?1【解答過程】令n=1，則a1=a當(dāng)n≥2時(shí)，因?yàn)閍n=TnTn?1所以數(shù)列Tn是以a1=2故an=n+1當(dāng)i≥2時(shí)，ai所以i=11?1所以n?1n<2022則使得i=1nai故選：B.8．（5分）（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知首項(xiàng)為1的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，其中Sn+1=Sn+anA．① B．② C．②③ D．①②③【解題思路】①通過做差，判斷差值正負(fù)，來判斷an和a②通過對an+1=a③通過an+1=ana【解答過程】對①，因?yàn)镾n+1所以S所以an+1?a故①錯(cuò)誤，對②，由an+1=a所以1a所以i=1n因?yàn)閍1所以an+1所以i=1n所以②正確，對③，當(dāng)n=1時(shí)，S2=S所以當(dāng)n≥1時(shí)，an+1?2a所以a2024所以a2024所以③錯(cuò)誤，故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．（6分）（2024·山東泰安·二模）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a2=4，A．a(chǎn)5=4 C．a(chǎn)nn為遞減數(shù)列 D．{【解題思路】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差d，再逐項(xiàng)求解判斷即可.【解答過程】等差數(shù)列an中，S7=7(a因此公差d=a4?對于A，a5對于B，Sn對于C，ann=1+對于D，1ana13故選：BC.10．（6分）（2024·山西太原·二模）已知數(shù)列an滿足a1=1，aA．a(chǎn)n是遞增數(shù)列 B．a(chǎn)C．當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，an=2?12n2 【解題思路】對于A，求出數(shù)列的前幾項(xiàng)即可判斷；對于B，等比數(shù)列的定義證明即可；對于C，由B可知，a2n?2是以?12為首項(xiàng)，12為公比的等比數(shù)列，求解判斷即可；對于D，由C可知，a【解答過程】對于A：由a1=1，a2對于B：當(dāng)n=1時(shí)，由a1=1，當(dāng)n>1時(shí)，a2n綜上所述：所以a2n?2是以?1對于C：由B可知，a2n?2是以?1所以a2n?2=?12×所以當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，an對于D：由C可知，a2m=2?1所以a2m?1=6?4m?1所以當(dāng)m=1時(shí)，a2m?1當(dāng)m≥2時(shí)，a2m?1=6?4m?1所以a2n故選：BC.11．（6分）（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an，bn，記Tn=a1a2aA．T12=12 B．?dāng)?shù)列aC．S10=10【解題思路】由已知可得n=1時(shí)，T1=a1=2，n≥2時(shí)an=TnTn?1【解答過程】對于A，由已知Tn當(dāng)n=1時(shí)，T1=a1，即當(dāng)n≥2時(shí)，Tn?1=a所以1Tn+所以數(shù)列Tn是以2為首項(xiàng)，1所以Tn=n+1，即對于B，所以an=n+1n=1+所以數(shù)列an中的最大項(xiàng)為a對于C，bnSn所以S10對于D，又n∈N+，所以1n+2故選：BD.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）（2024·河北·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，各項(xiàng)不等的數(shù)列bn是首項(xiàng)為2，公比為q的等比數(shù)列，且ab2=b【解題思路】由已知結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可列式求解．【解答過程】解：由已知可得，b1=2，b2再由ab2=得a1+(2q?1)d=2，聯(lián)立以上兩式可得：2?2qd=q(2?2qd)，∴q=1（舍去），或2?2qd=0，即qd=1．故答案為：1．13．（5分）（2024·山東青島·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1=1,an+1【解題思路】依題意可得a2k+2+a2k+1=2a2k【解答過程】因?yàn)閍1所以a2k+2=a2k+1+1=2所以a2k+2記bn=a2n+所以bn+3是以b1所以bn+3=6×2記bn的前n項(xiàng)和為T則S=6故答案為：3×214．（5分）（2024·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測）數(shù)列an滿足a1=1，an+1+an=2n+1，若數(shù)列an+1+1an?【解題思路】根據(jù)已知條件得an=n，令bn【解答過程】數(shù)列{an}當(dāng)n=1時(shí)，a2+a當(dāng)n≥2時(shí)，an+2由②?①得an+2數(shù)列{an}數(shù)列{an}綜上，數(shù)列{an}記bn所以數(shù)列{bn}T=2×=2×=2×=1?1由Tn>20232024得因?yàn)?n+1)×2n,n∈N故當(dāng)n=8時(shí)，剛好滿足(n+1)×2所以Tn>20232024,故答案為：8.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。15．（13分）（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)4，6，8，10，…(2)12(3)0.3，0.33，0.333，0.3333，…【解題思路】（1）（2）（3）分析數(shù)列給定的前幾項(xiàng)的特征，利用觀察法求出通項(xiàng)公式.【解答過程】（1）各項(xiàng)是從4開始的偶數(shù)，因此an（2）每一項(xiàng)分母可寫成21因此所求數(shù)列的通項(xiàng)公式可寫為an（3）因?yàn)閿?shù)列0.9，0.99，0.999，0.9999，…的通項(xiàng)公式為1?1而數(shù)列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的每一項(xiàng)都是上面數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)的13所以an16．（15分）（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,3Sn+1=S(1)求an和b(2)證明：ab【解題思路】（1）根據(jù)Sn與an之間的關(guān)系分析可知an是首項(xiàng)為13，公比為13（2）分析可知abn是以首項(xiàng)ab【解答過程】（1）由3Sn+1=兩式相減可得3an+1=當(dāng)n=1時(shí)，3S2=則2a1=1?3且a2a1=13，可知可得an設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d≥0因?yàn)閎1,b即22+2d=(1+d)2，解得所以bn（2）由（1）得abn=可知abn是以首項(xiàng)ab則a=1所以ab17．（15分）（2024·四川德陽·三模）已知an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，且bn的前n項(xiàng)和為Sn，2a1=(1)求數(shù)列an和b(2)設(shè)數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和為T【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列定義可求得數(shù)列an的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列定義根據(jù)條件①②列方程組解得公比可得數(shù)列b（2）利用錯(cuò)位相減法求出Tn【解答過程】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d∵2a1=2∴a1∴a1∴an設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q若選條件①，b5由b1=2，且得b1∴q2?4q+4=0，解得所以bn故bn若選條件②，bn+1令n=1，得b2∴公比q=b∴數(shù)列bn從而bn（2）因?yàn)門n所以12兩式相減，得12即12所以Tn18．（17分）（2024·江蘇無錫·二模）已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=an2an,Tn為數(shù)列【解題思路】（1）運(yùn)用公式，已知Sn求a（2）求出bn，后運(yùn)用錯(cuò)位相減求出T【解答過程】（1）2Sn=當(dāng)n=1時(shí)，代入①得a1當(dāng)n≥2時(shí)，2S①-②得2an=因?yàn)閍n>0，所以an?a（2）bn=n+112③-④得12所以Tn=32?n+32令cn=n所以cn的最大值為c2=所以k的取值范圍為5819．（17分）（2024·全國·模擬預(yù)測）定義：若對于任意的n∈N*，數(shù)列an滿足a(1)已知首項(xiàng)為1的等差數(shù)列an是“T數(shù)列”，且a1+(2)已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列an是“T數(shù)列”，數(shù)列an2不是“T數(shù)列”．記bn=①求數(shù)列bn②是否存在正整數(shù)r,s,tr<s<t，使1br【解題思路】（1）由等差數(shù)列an是“T數(shù)列”，可得其公差d>1，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式將原不等式化為n?1d<2n對任意的n∈N*恒成立，再對（2）①分別求數(shù)列an+1?an,an+12?an2中的最小項(xiàng)，再根據(jù)an是“T數(shù)列”，數(shù)列a②根據(jù)題意得到關(guān)于r,s,t的方程,并判斷r3r,【解答過程】（1）因?yàn)榈炔顢?shù)列an是“T數(shù)列”，所以其公差d>1因?yàn)閍1=1，所以由題意，得n+nn?12即n?1d<2n對任意的n∈當(dāng)n=1時(shí)，n?1d<2n恒成立，故d>1當(dāng)n≥2時(shí)，n?1d<2n對任意的n∈N*恒成立，即d<因?yàn)?nn?1=2+2綜上，1<d≤2，所以2<a即a2的取值范圍是2,3（2）①設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則a因?yàn)椤癟數(shù)列”an的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，由an+1?an>1得所以在數(shù)列an+1?a在數(shù)列an+12?若an是“T數(shù)列”，則只需a2?若數(shù)列an2不是“T數(shù)列”，則a2因?yàn)閿?shù)列an的每一項(xiàng)