重難點(diǎn)23 與圓有關(guān)的最值與范圍問題（舉一反三）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點(diǎn)23與圓有關(guān)的最值與范圍問題【十大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1斜率型最值（范圍）問題】 2【題型2直線型最值（范圍）問題】 2【題型3定點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最值（范圍）】 3【題型4圓上點(diǎn)到定直線（圖形）上的最值（范圍）】 4【題型5過圓內(nèi)定點(diǎn)的弦長最值（范圍）問題】 4【題型6圓的切線長度最值（范圍）問題】 5【題型7周長面積型最值（范圍）問題】 5【題型8數(shù)量積型最值（范圍）問題】 6【題型9坐標(biāo)、角度型最值（范圍）問題】 6【題型10長度型最值（范圍）問題】 71、與圓有關(guān)的最值與范圍問題從近幾年的高考情況來看，與圓有關(guān)的最值與范圍問題是高考的熱點(diǎn)問題，由于圓既能與平面幾何相聯(lián)系，又能與圓錐曲線相結(jié)合，命題方式比較靈活，故與圓相關(guān)的最值與范圍問題備受命題者的青睞.此類問題考查形式多樣，對應(yīng)的解題方法也是多種多樣，需要靈活求解.【知識點(diǎn)1與距離有關(guān)的最值問題】在運(yùn)動變化中，動點(diǎn)到直線、圓的距離會發(fā)生變化，在變化過程中，就會出現(xiàn)一些最值問題，如距離最小、最大、范圍等.這些問題常常聯(lián)系到平面幾何知識，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解得到相關(guān)結(jié)論.1．圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最值問題一般都是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心的距離處理，加半徑為最大值，減半徑為最小值.2．圓上的點(diǎn)到直線的距離最值問題已知圓C和圓外的一條直線l，則圓上點(diǎn)到直線距離的最小值為：，距離的最大值為：.【知識點(diǎn)2利用代數(shù)法的幾何意義求最值】1．利用代數(shù)法的幾何意義求最值(1)形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題.(2)形如t=ax+by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題.(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)(a,b)的距離平方的最值問題.【知識點(diǎn)3切線長度最值問題】1．圓的切線長度最值問題(1)代數(shù)法：直接利用勾股定理求出切線長，把切線長中的變量統(tǒng)一成一個，轉(zhuǎn)化成函數(shù)求最值；(2)幾何法：把切線長最值問題轉(zhuǎn)化成圓心到直線的距離問題.【知識點(diǎn)4弦長最值問題】1．過圓內(nèi)定點(diǎn)的弦長最值問題已知圓C及圓內(nèi)一定點(diǎn)P，則過P點(diǎn)的所有弦中最長的為直徑，最短的為與該直徑垂直的弦.【知識點(diǎn)5解決與圓有關(guān)的最值與范圍問題的常用方法】1．與圓有關(guān)的最值與范圍問題的解題方法(1)數(shù)形結(jié)合法：處理與圓有關(guān)的最值問題，應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合思想求解.(2)建立函數(shù)關(guān)系求最值：根據(jù)題目條件列出關(guān)于所求目標(biāo)函數(shù)的關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系的特點(diǎn)選用參數(shù)法、配方法、判別式法等進(jìn)行求解.(3)利用基本不等式求解最值：如果所求的表達(dá)式是滿足基本不等式的結(jié)構(gòu)特征，如a·b或者a+b的表達(dá)式求最值，常常利用題設(shè)條件建立兩個變量的等量關(guān)系，進(jìn)而求解最值.同時需要注意，“一正二定三相等”的驗證.(4)多與圓心聯(lián)系，轉(zhuǎn)化為圓心問題.(5)參數(shù)方程：進(jìn)行三角換元，通過參數(shù)方程，進(jìn)行求解.【題型1斜率型最值（范圍）問題】【例1】（23-24高二上·湖北武漢·階段練習(xí)）已知P(m,n)為圓C:(x?1)2+(y?1)2=1上任意一點(diǎn)，則m+nm+1的最大值為（

）A．33 B．?33 C．1+【變式1-1】（2024·河南·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)Px,y在圓x?12+y?12A．?6?30 B．6+30 C．?6+30【變式1-2】（2024·陜西商洛·三模）已知Px0,y0是圓C:A．?2 B．?12 C．?4?7【變式1-3】（2024·福建南平·三模）已知Pm,n為圓C：x?12+y?12=1上任意一點(diǎn)，則【題型2直線型最值（范圍）問題】【例2】（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知點(diǎn)Px,y是圓C：x?a2+y2=3a>0上的一動點(diǎn)，若圓CA．4 B．26 C．?4 D．【變式2-1】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）如果實(shí)數(shù)x,y滿足等式x2+y2+4x?2y?4=0，那么x2+y2的最大值是【變式2-2】（23-24高二上·黑龍江綏化·階段練習(xí)）已知x，y是實(shí)數(shù)，且x?12(1)求3x+4y的最值；(2)求yx(3)求x2【變式2-3】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)yx(2)y＋x的最大值和最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．【題型3\t"/gzsx/zsd29136/_blank"\o"定點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最值（范圍）"定點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最值（范圍）】【例3】（2024·陜西銅川·三模）已知圓C:(x?a)2+(y?b)2A．4 B．5 C．6 D．7【變式3-1】（23-24高三下·山東濟(jì)南·開學(xué)考試）已知P是圓O:x2+y2=9上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足PQ=A．8 B．9 C．29+3 D．【變式3-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）M點(diǎn)是圓C:(x+2)2+y2=1上任意一點(diǎn)，AB為圓C1:(x?2)2+A．1 B．2 C．3 D．47【變式3-3】（2024·四川樂山·三模）已知圓O:x2+y2=16，點(diǎn)F?2,12+19，點(diǎn)E是l:2x?y+16=0上的動點(diǎn)，過E作圓O的切線，切點(diǎn)分別為A，BA．32 B．352 C．5【題型4\t"/gzsx/zsd29137/_blank"\o"圓上點(diǎn)到定直線（圖形）上的最值（范圍）"圓上點(diǎn)到定直線（圖形）上的最值（范圍）】【例4】（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）已知M，N是圓C：x2+y2?2y?3=0上的兩個點(diǎn)，且MN=22，P為MN的中點(diǎn)，Q為直線lA．22 B．2 C．2?2 【變式4-1】（2024·遼寧鞍山·二模）已知直線l:x?y?2=0，點(diǎn)C在圓x?12+y2=2上運(yùn)動，那么點(diǎn)CA．322+1 B．522 【變式4-2】（2024·河北·二模）已知Ax1,y1，Bx2,y2是圓x2+y2=9A．43 B．33 C．23【變式4-3】（2024·湖南岳陽·二模）已知點(diǎn)Ax1,y1,Bx2,A．16 B．12 C．8 D．4【題型5\t"/gzsx/zsd29138/_blank"\o"過圓內(nèi)定點(diǎn)的弦長最值（范圍）"過圓內(nèi)定點(diǎn)的弦長最值（范圍）問題】【例5】（23-24高二上·重慶·期末）已知圓的方程為x2+y2?8x=0A．10 B．11 C．210 D．【變式5-1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知直線l:tx+y?2t?3=0(t∈R)與圓C:x?12+A．[23,8] B．[43,8] C．【變式5-2】（23-24高二上·廣東珠海·期末）已知直線l：mx?y?3m+1=0恒過點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線與圓C：(x?1)2+(y?2)2=25相交于A，BA．45 B．2 C．4 D．【變式5-3】（2024·江西贛州·二模）已知直線l:m+nx+m?ny?2m=0mn≠0A．l過定點(diǎn)1,?1 B．l與C一定相交C．若l平分C的周長，則m=1 D．l被C截得的最短弦的長度為4【題型6圓的切線長度最值（范圍）問題】【例6】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知P為直線l:x?y+1=0上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C:x?12+y2=1的一條切線，切點(diǎn)為A．1 B．2 C．3 D．2【變式6-1】（2024·新疆·二模）從直線x?y+2=0上的點(diǎn)向圓x2+yA．22 B．1 C．24 【變式6-2】（2024·四川宜賓·二模）已知點(diǎn)P是直線x+y+3=0上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C:(x+1)2+y2A．23 B．22 C．2【變式6-3】（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)P為直線l:3x?4y+12=0上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C:x?32+y?22=1的切線PM，切點(diǎn)為A．125 B．135 C．1705【題型7周長面積型最值（范圍）問題】【例7】（2024·上海普陀·二模）直線l經(jīng)過定點(diǎn)P(2,1)，且與x軸正半軸、y軸正半軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動圓M在△OAB的外部，且與直線l及兩坐標(biāo)軸的正半軸均相切，則△OAB周長的最小值是（

）A．3 B．5 C．10 D．12【變式7-1】（2024·山西呂梁·一模）已知圓Q:(x?4)2+(y?2)2=4，點(diǎn)P為直線x+y+2=0上的動點(diǎn)，以PQ為直徑的圓與圓Q相交于A．27 B．47 C．2【變式7-2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)P為直線x?y=0上的動點(diǎn)，PA，PB為圓C：(x?2)2+y2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，BA．3 B．2+3 C．4 D．【變式7-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知A(?3,0)，B(0,3)，設(shè)C是圓M:x2+y2A．12 B．62 C．6 D．【題型8數(shù)量積型最值（范圍）問題】【例8】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線y=x2?4x+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上，AB為圓C的直徑，點(diǎn)P是直線3x+4y+10=0上任意一點(diǎn)；則PAA．4 B．12 C．16 D．18【變式8-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知圓O是圓心為原點(diǎn)的單位圓，A,B是圓O上任意兩個不同的點(diǎn)，M2,0，則MA+MBA．1,2 B．1,3 C．2,4 D．2,6【變式8-2】（2024·河南開封·二模）已知等邊△ABC的邊長為3，P為△ABC所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，且|PA|=1，則PB?A．?32,92 B．?1【變式8-3】（2024·河北唐山·二模）已知圓C：x2+y?32=4，過點(diǎn)0,4的直線l與x軸交于點(diǎn)P，與圓C交于A，BA．0,1 B．0,1 C．0,2 D．0,2【題型9坐標(biāo)、角度型最值（范圍）問題】【例9】（2024·江西·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)M是圓x2+y2=1上一點(diǎn)，點(diǎn)N是圓C:A．π2 B．π3 C．π4【變式9-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知直線l:x?y+2=0與圓O:x2+y2=1，過直線l上的任意一點(diǎn)P作圓O的切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，A．3π4 B．2π3 C．【變式9-2】（23-24高一下·河南洛陽·期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知O0,0,A154,0，曲線C上任一點(diǎn)M滿足OM=4AM，點(diǎn)P在直線y=2x?1上，如果曲線C上總存在兩點(diǎn)到點(diǎn)PA．1<t<3 B．1<t<4 C．2<t<3 D．2<t<4【變式9-3】（23-24高二上·江西九江·期末）已知點(diǎn)P在直線l:3x+4y+3=0上，過P作圓M:x2+y2?6x?4y+9=0的兩條切線，切點(diǎn)為A．30° B．45° C．60°【題型10長度型最值（范圍）問題】【例10】（2024·山東棗莊·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A?3,0,B1,0,P為圓C:(x?3)A．34 B．40 C．44 D．48【變式10-1】（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）已知圓C:x2+y2=4上兩點(diǎn)AxA．32?2 C．62?4 【變式10-2】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知P為直線l:x+y=0上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓M:(x?1)2+(y?1)2=1的切線PA（A點(diǎn)為切點(diǎn)），B為圓A．31?2 B．32?1 C．31【變式10-3】（23-24高三上·遼寧大連·階段練習(xí)）已知圓C1:(x?2)2+(y?3)2=1，圓C2:x?32+y?42A．52?2 B．17?1 C．6+2一、單選題1．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)a,b滿足a2+b2=a?bA．2 B．2 C．3222．（2024·四川攀枝花·三模）由直線y=x上的一點(diǎn)P向圓x?42+y2=4引切線，切點(diǎn)為QA．2 B．2 C．6 D．23．（2024·全國·模擬預(yù)測）直線y=kx+2被圓x2+yA．2 B．3 C．22 D．4．（2024·山東濟(jì)南·三模）圓(x?1)2+(y+1)2=4A．3 B．4 C．5 D．95．（2024·陜西漢中·二模）已知⊙M:x2+y2?2x?2y?2=0，直線l:2x+y+2=0,P為l上的一動點(diǎn)，A，B為A．?255 B．?45 6．（2024·安徽·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)M是直線l1:ax+y?2a=0和l2:x?ay+2=0（a∈R）的交點(diǎn)，A?1,0，Bm,0，且點(diǎn)M滿足MA=A．6 B．26 C．10 D．7．（23-24高二上·黑龍江·期末）已知直線y=kx+2k∈R交圓O:x2+y2=9A．9 B．16 C．27 D．308．（2024·陜西西安·一模）已知圓O的方程為：x2+y2=1，點(diǎn)A2,0，B0,2，P是線段AB上的動點(diǎn)，過P作圓O的切線，切點(diǎn)分別為C，D，現(xiàn)有以下四種說法：①四邊形PCOD的面積的最小值為1；②四邊形PCOD的面積的最大值為3；③PC?PDA．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④二、多選題9．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測）已知圓C:x2+y2?4x?5=0，點(diǎn)A．圓C關(guān)于直線x?3y?2=0對稱B．已知A1,?2，B5,0，則PAC．2a+b的最小值為2?3D．a(chǎn)+2b+9a+3的最大值為10．（2024·吉林延邊·一模）已知Ax1,y1A．若點(diǎn)O到直線AB的距離為2，則ABB．若AB=23C．若∠AOB=π2，則D．x1x11．（2024·遼寧丹東·一模）已知圓C:(x?2)2+(y?1)2=9，直線l:kx?y+1=0與C交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為