重難點(diǎn)33 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題（舉一反三）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點(diǎn)33圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題【八大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1直線過定點(diǎn)問題】 2【題型2存在定點(diǎn)滿足某條件問題】 3【題型3面積定值問題】 5【題型4斜率的和差商積定值問題】 6【題型5向量數(shù)量積定值問題】 8【題型6線段定值問題】 9【題型7角度定值問題】 10【題型8動(dòng)點(diǎn)在定直線上問題】 121、圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，此類問題考查頻率較高，此類問題一般有直線過定點(diǎn)問題、滿足某條件的定點(diǎn)問題、定值問題以及定直線問題等，主要在解答題中考查，選擇、填空題中考查較少，在解答題中考查時(shí)綜合性強(qiáng)，難度較高.【知識(shí)點(diǎn)1圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題】1．圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問題一般與圓錐曲線的基本量和題設(shè)條件中的給定的點(diǎn)或值有關(guān)，曲線過定點(diǎn)問題以直線過定點(diǎn)居多，定點(diǎn)問題其實(shí)也可以歸結(jié)到定值問題(定點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)為定值).這類問題用函數(shù)的思想方法來處理，具體操作流程如下：(1)變量——選擇合適的參變量；(2)函數(shù)——要證明為定值的量表示出參數(shù)的函數(shù)；(3)定值——化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，消去參數(shù)得定值.一些存在性問題，是否存在定點(diǎn)使得某一個(gè)量為定值，是否存在定值使得某一量為定值，是否存在定點(diǎn)使得曲線過定點(diǎn)，是否存在定值使得曲線過定點(diǎn)，可以看做定點(diǎn)定值問題的延伸.2．定點(diǎn)問題的求解思路：一是從特殊入手，求出定點(diǎn)，再證明這個(gè)點(diǎn)與變量無關(guān)；二是直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算過程中消去變量，從而得到定點(diǎn).3．過定點(diǎn)問題的兩大類型及解法(1)動(dòng)直線l過定點(diǎn)問題解法：設(shè)動(dòng)直線方程（斜率存在）為y=kx+t，由題設(shè)條件將t用k表示為t=(2)動(dòng)曲線C過定點(diǎn)問題解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn)．4．定值問題的求解思路：將問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角式，證明該式的值與參數(shù)無關(guān).5．求解定值問題的三個(gè)步驟(1)由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；(2)證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)（某些變量）無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；(3)得出結(jié)論．【知識(shí)點(diǎn)2圓錐曲線中的定直線問題】1．圓錐曲線中的定直線問題定直線問題是指因圖形變化或點(diǎn)的移動(dòng)而產(chǎn)生的動(dòng)點(diǎn)在定直線上的問題.這類問題的核心在于確定定點(diǎn)的軌跡，主要方法有：(1)設(shè)點(diǎn)法：設(shè)點(diǎn)的軌跡，通過已知點(diǎn)軌跡，消去參數(shù)，從而得到軌跡方程；(2)待定系數(shù)法：設(shè)出含參數(shù)的直線方程、待定系數(shù)法求解出系數(shù)；(3)驗(yàn)證法：通過特殊點(diǎn)位置求出直線方程，對(duì)一般位置再進(jìn)行驗(yàn)證.【題型1直線過定點(diǎn)問題】【例1】（2024·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距為2，不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O且斜率為1的直線l與C交于P，Q兩點(diǎn)，A為線段PQ的中點(diǎn)，直線OA的斜率為?12(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)B(2,0)，直線PB與C的另一個(gè)交點(diǎn)為M，直線QB與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N，其中M，N均不為橢圓C的頂點(diǎn)，證明：直線MN過定點(diǎn).【變式1-1】（2024·江西九江·二模）已知雙曲線C:x2a2?y2(1)求雙曲線C的方程；(2)直線l與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，若直線PA，PB的斜率互為倒數(shù)，證明：直線l過定點(diǎn)．【變式1-2】（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）拋物線Γ:y2=2pxp>0的圖象經(jīng)過點(diǎn)M1,?2，焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且傾斜角為θ的直線l與拋物線

(1)求拋物線Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)θ=π3時(shí)，求弦(3)已知點(diǎn)P2,0，直線AP，BP分別與拋物線Γ交于點(diǎn)C，D．證明：直線CD【變式1-3】（2024·貴州貴陽·二模）已知橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)是?3,0.直線l1:y=k1x+(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求k1(3)設(shè)直線l1,l2分別與橢圓E另交于【題型2存在定點(diǎn)滿足某條件問題】【例2】（2024·新疆喀什·三模）已知雙曲線E：x2?3y2=3的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A是直線l：y=?ca2x（其中a是實(shí)半軸長(zhǎng)，c是半焦距）上不同于原點(diǎn)O的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，斜率為k1的直線AF1與雙曲線E交于(1)求1k(2)若直線OM，ON，OP，OQ的斜率分別為kOM，kON，kOP，kOQ，問是否存在點(diǎn)A，滿足【變式2-1】（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左，右焦點(diǎn)分別為F1?c,0，F(xiàn)2c,0，過(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)b>1，是否存在x軸上的定點(diǎn)P，使得△PMN的內(nèi)心在x軸上，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式2-2】（2024·四川雅安·一模）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P2,0的動(dòng)直線l與拋物線C:y2(1)求OA?(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，是否存在不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q，使得∠AQP=∠BQP恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式2-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)3,2在雙曲線C:x2(1)求雙曲線C的方程；(2)過點(diǎn)P3,1作直線l與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在一定點(diǎn)Q，使得直線QA與QB的斜率之和為定值？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)【題型3面積定值問題】【例3】（23-24高二下·貴州遵義·期中）已知雙曲線C:x2a2?(1)求雙曲線C的方程；(2)若動(dòng)直線l與雙曲線C恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且分別與雙曲線C的兩條漸近線交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：△OPQ的面積為定值．【變式3-1】（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓γ:x2a2+y2b(1)求橢圓γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)A是橢圓上的一點(diǎn)，若存在橢圓的弦BC使得OA//BC,OA=BC，求證:四邊形OABC的面積為定值.【變式3-2】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知A?1,0，B1,0，平面上有動(dòng)點(diǎn)P，且直線AP的斜率與直線(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡Ω的方程.(2)過點(diǎn)A的直線與Ω交于點(diǎn)M（M在第一象限），過點(diǎn)B的直線與Ω交于點(diǎn)N（N在第三象限），記直線AM，BN的斜率分別為k1，k2，且k1=4k【變式3-3】（2024·河北衡水·三模）已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，過F且傾斜角為π6的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)．直線l1，l2與C相切，切點(diǎn)分別為A，B，l1，l2與(1)求C的方程；(2)若點(diǎn)P為C上一動(dòng)點(diǎn)（與A，B及坐標(biāo)原點(diǎn)均不重合），直線l3與C相切，切點(diǎn)為P，l3與l1，l2的交點(diǎn)分別為G，H．記△DFG，△EFH的面積分別為①請(qǐng)問：以G，H為直徑的圓是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由；②證明：S1【題型4斜率的和差商積定值問題】【例4】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:x2a(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)A，B兩點(diǎn)為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P（異于左、右頂點(diǎn)）為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，求證：【變式4-1】（2024·浙江紹興·三模）設(shè)雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的一條漸近線為x?3y=0，焦點(diǎn)到漸近線的距離為1．A1，A2分別為雙曲線C的左、右頂點(diǎn)，直線l過點(diǎn)T2,0交雙曲線于點(diǎn)(1)求雙曲線C的方程；(2)求證k1【變式4-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x2a2?y2(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)過點(diǎn)P0,1的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于點(diǎn)A,B．問：在y軸上是否存在定點(diǎn)Q，使直線AQ與BQ的斜率之和為定值？若存在，求出點(diǎn)Q【變式4-3】（2024·天津?yàn)I海新·三模）已知橢圓M：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為1(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓M的右頂點(diǎn)為C，P是橢圓M上不與頂點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)．①若點(diǎn)P1,y0（y0>0），點(diǎn)D在橢圓M上且位于x軸下方，設(shè)△APC和△DPC的面積分別為S1，②若直線AB與直線CP交于點(diǎn)Q，直線BP交x軸于點(diǎn)N，設(shè)直線QN和直線QC的斜率為kQN，kQC，求證：【題型5向量數(shù)量積定值問題】【例5】（23-24高三上·天津河北·期末）設(shè)橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2，短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為A,B，且四邊形(1)求橢圓E的方程；(2)求證：OM?【變式5-1】（23-24高三上·上海嘉定·階段練習(xí)）已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，D(1,0)是它的一個(gè)頂點(diǎn).d=(1,(1)求雙曲線C的方程；(2)設(shè)P(0,1)，M為雙曲線右支上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|PM|取得最小時(shí)，求四邊形ODMP的面積；(3)若過點(diǎn)(?3,0)任意作一條直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)（A，B都不同于點(diǎn)D），求證:DA?【變式5-2】（2024·河北保定·三模）設(shè)橢圓C：x27+y2b2=1(0<b<7)的左、右頂點(diǎn)和橢圓Γ:x214+y27=1的左、右焦點(diǎn)均為E，F(xiàn).P是C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于E，F(xiàn)），已知直線EP交直線l(1)若b為定值，證明：OA?(2)若直線OM，ON的斜率之積恒為?12，求【變式5-3】（2024·河北石家莊·二模）已知M為平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M到定直線x=1的距離與到定點(diǎn)F(2,0)距離的比等于22，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C(1)求曲線C的方程；(2)過點(diǎn)F的直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得PA?【題型6線段定值問題】【例6】（2024·河南濮陽·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0(1)求C的方程；(2)若過點(diǎn)F2的直線l與C的左、右兩支分別交于A,B兩點(diǎn)，與拋物線y2=16x交于P,Q兩點(diǎn)，試問是否存在常數(shù)λ，使得1【變式6-1】（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l:x?my?n=0與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn)．與x軸交于點(diǎn)N．試判斷是否存在n∈(?6,6)，使得【變式6-2】（2024·四川內(nèi)江·三模）已知拋物線E的準(zhǔn)線方程為：x=?1，過焦點(diǎn)F的直線與拋物線E交于A、B兩點(diǎn)，分別過A、B兩點(diǎn)作拋物線E的切線，兩條切線分別與y軸交于C、D兩點(diǎn)，直線CF與拋物線E交于M、N兩點(diǎn)，直線DF與拋物線E交于P、Q兩點(diǎn).(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明：1MN【變式6-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線H:x24?y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)分別為A1，(1)求橢圓E的離心率；(2)設(shè)點(diǎn)M(m,n)滿足m2<4n2，過M且與雙曲線H的漸近線平行的兩直線分別交H于點(diǎn)P，Q，過M且與PQ平行的直線交H的漸近線于點(diǎn)S，【題型7角度定值問題】【例7】（2024·山西·三模）已知拋物線E:y2=2pxp>0的焦點(diǎn)(1)求E的方程；(2)已知點(diǎn)Tt,0，若E上存在一點(diǎn)P，使得PO?PT(3)過M?4,0的直線交E于A，B兩點(diǎn)，過N?4,43的直線交E于A，C兩點(diǎn)，B，C位于x【變式7-1】（23-24高三下·云南昆明·階段練習(xí)）平面上一動(dòng)點(diǎn)Px,y滿足x?2(1)求P點(diǎn)軌跡Γ的方程；(2)已知A?2,0，B1,0，延長(zhǎng)PA交Γ于點(diǎn)Q，求實(shí)數(shù)m使得∠PAB=m∠PBA恒成立，并證明：【變式7-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C:x2?y23=1的右焦點(diǎn)為F,A1,A(1)若直線A1M,A1N分別與線段O(2)當(dāng)直線l任意旋轉(zhuǎn)時(shí)，試問：∠A【變式7-3】（2024·浙江寧波·二模）已知雙曲線C:y2?x2=1，上頂點(diǎn)為D，直線l與雙曲線C的兩支分別交于A,B兩點(diǎn)（B在第一象限），與x軸交于點(diǎn)(1)若T3（i）若A0,?1，求β（ii）求證：α+β為定值；(2)若β=π6，直線DB與x軸交于點(diǎn)E，求△BET與【題型8動(dòng)點(diǎn)在定直線上問題】【例8】（2024·北京·三模）已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的短軸長(zhǎng)為23，左、右頂點(diǎn)分別為C,D，過右焦點(diǎn)F1,0的直線l(1)求橢圓E的方程；(2)求證：點(diǎn)T在定直線上.【變式8-1】（2024·湖南婁底·一模）若拋物線Γ的方程為y2=4x，焦點(diǎn)為F，設(shè)P,Q是拋物線(1)若PF=3，求直線PF(2)設(shè)PQ中點(diǎn)為R，若直線PQ斜率為22，證明R【變式8-2】（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左?右焦點(diǎn)分別為(1)求C的方程；(2)斜率為12的直線l與C交于A,B兩點(diǎn)，則△MAB【變式8-3】（2024·貴州遵義·一模）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線(1)求四邊形MF(2)設(shè)A，B為C的左、右頂點(diǎn)，直線l過點(diǎn)(?3,0)與C交于P，Q兩點(diǎn)（異于A，B），直線AP與BQ交于點(diǎn)R，證明：點(diǎn)R在定直線上．一、單選題1．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：x2=4y，過直線l：x+2y=4上的動(dòng)點(diǎn)P可作C的兩條切線，記切點(diǎn)為A,B，則直線AB（A．斜率為2 B．斜率為±2 C．恒過點(diǎn)0,?2 D．恒過點(diǎn)?1,?22．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：x24+y2=1的下頂點(diǎn)為A，斜率不為0的直線l與C交于B，D兩點(diǎn)，記線段BD的中點(diǎn)為A．點(diǎn)E在定直線y=13上 B．點(diǎn)E在定直線C．點(diǎn)E在定直線y=23上 D．點(diǎn)E在定直線3．（23-24高二上·上海浦東新·期末）已知雙曲線Γ：x224?y225=1①點(diǎn)P到雙曲線兩條漸近線的距離為d1，d2，則②已知A、B是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱不同于P的兩個(gè)點(diǎn)，若PA、PB的斜率存在且分別為k1，k2，則A．①真②真 B．①假②真C．①真②假 D．①假②假4．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，已知橢圓x29+y25=1的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F.設(shè)過點(diǎn)T9,m的直線TA、TB與此橢圓分別交于點(diǎn)M（x1，y1）、N（x2，y

A．1,0 B．?1,0C．0,?1 D．0,15．（2024·甘肅定西·一模）已知橢圓C:x2a2+y2=1(a>1)的離心率為32,P是C上任意一點(diǎn)，A．4|OP|2?d2C．|OP|2+4d26．（2024·湖南長(zhǎng)沙·二模）已知A、B分別為雙曲線C:x2?y23=1的左、右頂點(diǎn)，過雙曲線C的左焦點(diǎn)F作直線PQ交雙曲線于P、QA．?13 B．?23 C．7．（23-24高三下·河南鄭州·階段練習(xí)）已知曲線C:y4=a2x2a>0與直線y=2x+4有3個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)A、B是曲線C上關(guān)于y軸對(duì)稱的兩動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），點(diǎn)M、N是x軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩定點(diǎn)（點(diǎn)A．8 B．16 C．?8 D．?168．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）如圖，P，M，Q，N是拋物線E:y2=4x上的四個(gè)點(diǎn)（P，M在x軸上方，Q，N在x軸下方），已知直線PQ與MN的斜率分別為?22和2，且直線PQ與MN相交于點(diǎn)GA．125 B．512 C．1二、多選題9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x23?y2=1的右焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)M,N在直線l:x=32上，且FM⊥FN，線段FM交C于點(diǎn)PA．△FMN的面積S≥12 C．MR?HN=FH10．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于拋物線γ:y2=2px,(p>0),F是它的焦點(diǎn)，γ的準(zhǔn)線與x軸交于T，過點(diǎn)T作斜率為kk>0的直線與γ依次交于B、A兩點(diǎn)，使得恰有A．k是定值，p不是定值B．k不是定值，p也不是定值C．A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)乘積為定值D．記AB中點(diǎn)為M，則M和A橫坐標(biāo)之比為定值11．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓x22+y2=1,O為原點(diǎn)，過第一象限內(nèi)橢圓外一點(diǎn)Px0,y0A．直線AB過定點(diǎn) B．k1C．x0?y0的最大值為2三、填空題12．（2024·四川宜賓·二模）已知F為拋物線C:x2=?8y的焦點(diǎn)，過直線l:y=4上的動(dòng)點(diǎn)M作拋物線的切線，切點(diǎn)分別是P,Q，則直線PQ過定點(diǎn)13．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)A為橢圓E:x225+y29=