專題1.3 不等關(guān)系與不等式性質(zhì)（舉一反三）（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題1.3不等關(guān)系與不等式性質(zhì)【六大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1不等式性質(zhì)的應(yīng)用】 2【題型2比較數(shù)（式）的大小】 3【題型3證明不等式】 5【題型4利用不等式的性質(zhì)求目標(biāo)式的取值范圍】 7【題型5不等式的綜合問(wèn)題】 9【題型6糖水不等式】 121、不等關(guān)系與不等式性質(zhì)考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)等式性質(zhì)

(2)比較兩個(gè)數(shù)的大小

(3)理解不等式的性質(zhì)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用2022年Ⅱ卷：第12題，5分高考對(duì)不等式的性質(zhì)的考查比較穩(wěn)定，一般以選擇題、填空題為主，主要考查不等式的求解；單獨(dú)考查的題目雖然不多，但不等式的相關(guān)知識(shí)往往可以滲透到高考的各個(gè)知識(shí)領(lǐng)域，作為解題工具與函數(shù)、向量、解析幾何、數(shù)列等知識(shí)相結(jié)合，在知識(shí)的交匯處命題，是進(jìn)行不等式變形、證明以及解不等式的依據(jù)，是高考考查的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.【知識(shí)點(diǎn)1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)】1．等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1如果a＝b，那么b＝a；性質(zhì)2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性質(zhì)3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性質(zhì)4如果a＝b，那么ac＝bc；性質(zhì)5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).2．不等式的性質(zhì)(1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b?b<a.(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c?a>c.(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．3．比較大小的基本方法關(guān)系方法作差法與0比較作商法與1比較或或【方法技巧與總結(jié)】1．應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)，不能忽視其性質(zhì)成立的條件，特別提醒的是在解決有關(guān)不等式的判斷題時(shí)，有時(shí)可用特殊值驗(yàn)證法，以提高解題的效率.2．比較數(shù)（式）的大小常用的方法有作差法、作商法.、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利用函數(shù)的單調(diào)性，需要靈活運(yùn)用方法求解.【題型1不等式性質(zhì)的應(yīng)用】【例1】（2024·上海楊浦·二模）已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足：a>b>0>c>d，則下列不等式一定正確的是（

）A．a(chǎn)+d>b+c B．a(chǎn)d>bc C．a(chǎn)+c>b+d D．a(chǎn)c>bd【解題思路】舉例說(shuō)明判斷ABD；利用不等式的性質(zhì)推理判斷C.【解答過(guò)程】對(duì)于ABD，取a=2,b=1,c=?2,d=?4，滿足a>b>0>c>d，顯然a+d=?2<?1=b+c，ad=?8<?2=bc，ac=?4=bd，ABD錯(cuò)誤；對(duì)于C，a>b>0>c>d，則a+c>b+d，C正確.故選：C.【變式1-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）“x<0<y”是“x?y2>xA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】由不等式的性質(zhì)結(jié)合充分不必要的條件即可得解.【解答過(guò)程】若x?y2=x2+y2所以“x<0<y”是“x?y2故選：A．【變式1-2】（2023·上海楊浦·一模）已知實(shí)數(shù)a，b滿足a>b，則下列不等式恒成立的是（

）A．a(chǎn)2>b2 B．a(chǎn)3>【解題思路】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【解答過(guò)程】因?yàn)閒x=x2,所以當(dāng)實(shí)數(shù)a,b滿足a>b時(shí)，a2>b2,因?yàn)閒x=x所以當(dāng)實(shí)數(shù)a,b滿足a>b時(shí)，則a3>b因?yàn)閒x=x所以當(dāng)實(shí)數(shù)a,b滿足a>b時(shí)，a?1故選：B.【變式1-3】（2023·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）已知a,b,x均為實(shí)數(shù)，下列不等式恒成立的是（

）A．若a<b，則aB．若a<b，則2024C．若ax2024D．若a<b，則a【解題思路】結(jié)合特殊值與不等式的性質(zhì)可求.【解答過(guò)程】A，當(dāng)a=?2,b=1時(shí)，(?2)2024B，當(dāng)a=0時(shí)，2024aC，由ax2024<bx2024D，當(dāng)x=0時(shí)，ax故選：C.【題型2比較數(shù)（式）的大小】【例2】（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x<y，設(shè)a=xex+y，b=yey+x，c=yex+x（其中e為自然對(duì)數(shù)：eA．a(chǎn)<c<b B．c<a<b C．c<b<a D．b<c<a【解題思路】利用作差比較法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得答案.【解答過(guò)程】因?yàn)閍=xex+y，b=ye又y>x>0，e>1，所以ey>又c?a=x?y又y>x>0，ex>1，所以綜上，a<c<b．故選：A．【變式2-1】（2023·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知log5a>logA．a(chǎn)<b C．5a?b>1 【解題思路】由log5a>log【解答過(guò)程】由log5a>log5b可知a>b>0因?yàn)閍?b>0，但無(wú)法判定a?b與1的大小，所以B錯(cuò)誤；當(dāng)c≤0時(shí)，ac≤bc，故D錯(cuò)誤；因?yàn)閍?b>0，所以5a?b故選：C.【變式2-2】（2023·北京東城·一模）已知x<?1，那么在下列不等式中，不成立的是A．x2?1>0 B．x+1x<?2 【解題思路】利用作差法可判斷A、B選項(xiàng)的正誤，利用正弦、余弦值的有界性可判斷C、D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【解答過(guò)程】∵x<?1，則x2?1=x?1又∵sinx、cosx∈?1,1，可得：ABC成立，D不成立.故選：D.【變式2-3】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）若c>b>a>0，則（

）A．a(chǎn)bbcC．a(chǎn)?ca>b?【解題思路】利用不等式的基本性質(zhì)，并對(duì)選項(xiàng)化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化，判斷對(duì)錯(cuò)即可.【解答過(guò)程】解：選項(xiàng)A中，由于abbc選項(xiàng)B中，2lnb=lnb2，ln選項(xiàng)C中，由于a?c選項(xiàng)D中，令c=1，則logac=log故選：A.【題型3證明不等式】【例3】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知a,b為正實(shí)數(shù)．求證：a2【解題思路】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到a2【解答過(guò)程】證明：因?yàn)閍2又因?yàn)閍>0,b>0，所以(a?b)2(a+b)ab所以a2【變式3-1】（22-23高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）證明下列不等式：(1)已知a>b，e>f(2)已知a>b>0,c<d<0，求證：3a【解題思路】（1）（2）利用不等式的基本性質(zhì)即可證明．【解答過(guò)程】（1）證明：∵a>b，c>0，∴ac>bc，∴?ac<?bc，又因?yàn)閑>f，即f<e，所以f?ac<e?bc.（2）證明：∵c<d<0，∴1d<又a>b>0，∴?ad>?∴3【變式3-2】（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）證明命題：“若在△ABC中a、b、c分別為角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)，則c1+c【解題思路】由作差法證明c1+c<c+a+b?c1+c+【解答過(guò)程】證明：取1+c=d,a+b?c=m，c因?yàn)閐>c>0,m>0，所以mc?ddd+m所以c又因?yàn)閍1+a+b<a所以c1+c【變式3-3】（22-23高二下·湖北省直轄縣級(jí)單位·期末）若a>b>0，c<d<0,|b|>|c|（1）求證：b+c>0；（2）求證：b+c(a?c)（3）在（2）中的不等式中，能否找到一個(gè)代數(shù)式，滿足b+c(a?c)2<【解題思路】（1）根據(jù)b,c的符號(hào)去絕對(duì)值可證不等式成立；（2）根據(jù)同向不等式相加和同向同正的不等式可相乘的性質(zhì)可證明不等式成立；（3）在0<1(a?c)2<1(b?d)2的兩邊同時(shí)乘以b+c，得b+c(a?c)2【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閨b|>|c|，且b>0,c<0，所以b>?c，所以b+c>0.（2）因?yàn)閏<d<0，所以?c>?d>0．又因?yàn)閍>b>0，所以由同向不等式的相加性可將以上兩式相加得a?c>b?d>0．所以(a?c)2所以0<1因?yàn)閍>b,d>c，所以由同向不等式的相加性可將以上兩式相加得a+d>b+c．所以a+d>b+c>0，所以由兩邊都是正數(shù)的同向不等式的相乘可得b+c(a?c)（3）因?yàn)閎+c>0，0<1所以b+c(a?c)因?yàn)?<b+c<a+d，1(b?d)所以b+c(b?d)所以b+c(a?c)所以在（2）中的不等式中，能找到一個(gè)代數(shù)式b+c(b?d)【題型4利用不等式的性質(zhì)求目標(biāo)式的取值范圍】【例4】（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知a?b∈0,1,a+b∈2,4，則4a?2bA．1,5 B．2,7 C．1,6 D．0,9【解題思路】利用方程組以及不等式的性質(zhì)計(jì)算求解.【解答過(guò)程】設(shè)4a?2b=ma?b所以m+n=4m?n=2，解得m=3所以4a?2b=3a?b又a?b∈0,1所以3a?b故選：B.【變式4-1】（23-24高一上·山東菏澤·階段練習(xí)）已知?1≤x+y≤1，1≤x?y≤3，則3x?2y的取值范圍是（

）A．2≤3x?2y≤8 B．3≤3x?2y≤8 C．2≤3x?2y≤7 D．5≤3x?2y≤10【解題思路】設(shè)3x?2y=mx+y?nx?y=m?n【解答過(guò)程】設(shè)3x?2y=mx+y所以m?n=3m+n=?2，解得m=12因?yàn)?1≤x+y≤1，1≤x?y≤3，所以2≤3x?2y=12x+y故選：A．【變式4-2】（23-24高三上·湖北·階段練習(xí)）已知a<b<c且a+2b+4c=0，則ba的取值范圍是（

）A．?∞,?16 B．?16【解題思路】根據(jù)題目條件得到a<0,c>0，由c=?14a?12b和b<c得到【解答過(guò)程】因?yàn)閍+2b+4c=0，a<b<c，所以a<0,c>0，由a+2b+4c=0得到c=?14a?12由b<c得b<?14a?12由a<b得ba綜上，?1故選：B.【變式4-3】（2023·廣西南寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=x2+bx+c，0<x1A．?2,?1 B．?2,1 C．?1,1 D．?1,2【解題思路】先利用一元二次方程根的分布求得關(guān)于實(shí)數(shù)b,c的不等式組，再利用不等式的性質(zhì)即可求得b+2c的取值范圍【解答過(guò)程】由函數(shù)fx=x2+bx+c可知一元二次方程x2+bx+c=0有二相異根，分別位于區(qū)間則f(0)>0f(1)<0f(2)>0，即c>0由b+c<?12b+c>?4，可得3則3b+c?由c>02b+c>?4，可得則2b+c+3c>?4，則綜上，b+2c的取值范圍為?2,1故選：B.【題型5不等式的綜合問(wèn)題】【例5】（23-24高一上·上海浦東新·階段練習(xí)）解決下列問(wèn)題：(1)已知m,n∈R，設(shè)a=m2+1n2+4(2)已知a>b>0，c<d<0，e>0，求證：ea?c【解題思路】（1）利用作差法進(jìn)行求解即可；（2）利用作差法，結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明即可【解答過(guò)程】（1）a?b=m2+1（2）ea?c因?yàn)閏<d<0，所以?c>?d>0，因?yàn)閍>b>0，所以a?c>b?d>0?a?c因?yàn)閑>0，所以ea?c【變式5-1】（2023高一·上?！ｎ}練習(xí)）給定無(wú)理數(shù)θ∈(0,1)．若正整數(shù)a,b,c,d滿足ab(1)試比較三數(shù)a+cb+d，ab，(2)若bc?ad＝①θ?ab≥15【解題思路】（1）作差法比較大小；（2）利用反證法，因ab＜a+cb+d＜cd【解答過(guò)程】（1）由題意可知，ab＜cd，所以所以a+cb+d?aa+cb+d?c所以ab（2）證明：由（1）ab＜若a+c假設(shè)①θ?ab≥15①③之和可得：1bd②③之和可得：1d(b+d)④化簡(jiǎn)得0≥b2+由④⑤之和可得：0≥2[(3?5即0≥[(5?1)d?2b]又a,b,c,d為正整數(shù)，所以db若θ<a+cb+d且①θ?ab≥1所以三個(gè)不等式中至少有一個(gè)不成立．【變式5-2】（23-24高一上·河北保定·階段練習(xí)）（1）當(dāng)p，q都為正數(shù)且p+q=1時(shí)，試比較代數(shù)式px+qy2與p（2）已知1≤x?y≤2,3≤2x+y≤4，求4x?y的取值范圍.【解題思路】（1）利用作差比較法比較大小即可；（2）先利用x?y,2x+y表示出4x?y，結(jié)合x?y,2x+y的范圍可得答案.【解答過(guò)程】（1）px+qy2因?yàn)閜+q=1，所以p?1=?q，q?1=?p，所以px+qy2因?yàn)閜，q都為正數(shù)，所以?pqx?y因此px+qy2≤px（2）由題意可設(shè)4x?y=ax?y則4=a+2b?1=b?a，解得a=2，b=1因?yàn)?≤x?y≤2,3≤2x+y≤4，所以2≤2x?y≤4，則5≤4x?y≤8.【變式5-3】（23-24高一上·上海普陀·期中）設(shè)t是不小于1的實(shí)數(shù).若對(duì)任意a,b∈?1,t，總存在c,d∈?1,t，使得a+cb+d(1)分別判斷t>2和1≤t<3(2)先證明:若u,v≥12，且u+v≥52，則uv≥1;并由此證明當(dāng)32(3)求出所有滿足“性質(zhì)1”的實(shí)數(shù)t【解題思路】（1）分別舉反例證明t>2和1≤t<3（2）先分別就u?v≤32，u?v>32討論證明若（3）結(jié)合（2）的結(jié)論可得解.【解答過(guò)程】（1）記It=?1,t假如t>2，則當(dāng)a=b=t時(shí)，對(duì)任意c,d∈It，均有假如1≤t<32，則當(dāng)a=?1，b=2?t時(shí)，對(duì)任意c,d∈It，均有若a+c，b+d同正或同負(fù)，則S≤2t?1<1，其余情況下總有（2）先來(lái)證明：若u,v≥12，且u+v≥5當(dāng)u?v≤32當(dāng)u?v>32時(shí)，不妨設(shè)v≥u，則v>u+32所以若u,v≥12，且u+v≥5下面證當(dāng)32≤t≤2時(shí)，對(duì)任意a,b∈?1,t，總存在c若a+b≤?12，則取c1其中，1?a≥32+b≥由引理可得S≥1，若a+b>?12，則取c1其中，a+32,b+32綜上，當(dāng)32≤t≤2時(shí)，對(duì)任意a,b∈?1,t，總存在c（3）當(dāng)32≤t≤2時(shí)，當(dāng)a,b∈It時(shí)，可取當(dāng)a∈?1,1時(shí)，取c=0，則a+c當(dāng)a∈1,t時(shí)，取c=?1，則1<a≤t≤2，則0<a?1≤1，故a+c同理，可取d∈It，使得b+d≤1所以當(dāng)32≤t≤2時(shí)，對(duì)任意a,b∈?1,t，總存在c,d∈結(jié)合（2）的結(jié)論可得，對(duì)任意a,b∈?1,t，總存在c,d∈?1,t，使得綜上，所有滿足性質(zhì)1的實(shí)數(shù)t∈3【題型6糖水不等式】【例6】（22-23高一上·貴州六盤水·期末）十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).如糖水在日常生活中經(jīng)常見到，可以說(shuō)大部分人都喝過(guò)糖水.如果a克糖水中含有b克糖（a>b>0），再添加n克糖（n>0）（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了，將這一事實(shí)表示為不等式正確的是（

）A．b+na+n>bC．b+na+n≥b【解題思路】根據(jù)加糖前后糖水濃度的變化即可得答案.【解答過(guò)程】解：由題意可知，加入n克糖（n>0）后糖水變甜了，即糖水的濃度增加了，加糖之前，糖水的濃度為：ba；加糖之后，糖水的濃度為：b+n所以b+na+n故選：A.【變式6-1】（23-24高一上·廣東揭陽(yáng)·階段練習(xí)）已知bg糖水中含有ag糖（b>a>0），若再添加A．a(chǎn)b<a+mC．a(chǎn)+2mb+m<a+m【解題思路】根據(jù)題意得ab<a+m【解答過(guò)程】對(duì)于A選項(xiàng)，由題意可知ab對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?<m<2m，所以對(duì)于C選項(xiàng)，由ab<a+mb+m可得對(duì)于D選項(xiàng)，23故選：C.【變式6-2】（22-23高一上·廣東東莞·階段練習(xí)）（1）已知b克糖水中含有a克糖b>a>0，再添加m（2）東東和華華拿著錢去超市買糖，超市里面提供兩種糖：A種糖每千克p1元，B種糖每千克p2元（兩種糖價(jià)格不相等）.東東買了相同質(zhì)量的兩種糖，華華買了相同價(jià)錢的兩種糖.請(qǐng)問(wèn)兩人買到糖的平均價(jià)格分別是多少？誰(shuí)買的糖的平均價(jià)格比較高？請(qǐng)證明你的結(jié)論.（物品的平均價(jià)格=物品的總價(jià)錢【解題思路】（1）根據(jù)糖在糖水中所占的比例的變化可得出不等式，再利用作差法可證得結(jié)論成立；（2）求出兩人買到的糖的平均價(jià)格，利用作差法可得出結(jié)論.【解答過(guò)程】解：（1）b克糖水中含有a克糖b>a>0再添加m克糖m>0（假設(shè)全部溶解），則糖在糖水中所占的比例m糖水變甜了，說(shuō)明加糖后，糖在糖水中所占的比例變大了，即有m+m+am（2）對(duì)于東東而言，他買到的糖的平均價(jià)格為p1對(duì)于華華而言，設(shè)華華買兩種糖的費(fèi)用均為c元，則他買到的糖的總質(zhì)量為cp故華華買到的糖的平均價(jià)格為2cp1【變式6-3】（22-23高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知bg糖水中有ag糖（b>a>0），往糖水中加入mg(1)請(qǐng)將這個(gè)事實(shí)表示為一個(gè)不等式，并證明這個(gè)不等式.(2)利用（1）的結(jié)論證明命題：“若在△ABC中a、b、c分別為角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)，則c1+c【解題思路】（1）根據(jù)題意直接寫出答案，利用作差法證明該不等式；（2）利用三角形的三邊關(guān)系和放縮法即可證明.【解答過(guò)程】（1）由題可得，ab證明：因?yàn)閍b?a+mb+m=所以，a?b<0，b+m>0，從而ab?（2）由三角形三邊關(guān)系，可得a+b>c，而函數(shù)y=x1+x∴c1+ca1+a+b<a故a1+a+b所以，c1+c一、單選題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知x>y，則下列不等式正確的是（

）A．1?x<1?y B．x2>y2 C．【解題思路】利用不等式的性質(zhì)可判斷A項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤，通過(guò)舉反例可說(shuō)明B,C兩項(xiàng)錯(cuò)誤.【解答過(guò)程】∵x>y,∴?x<?y,∴?x+1<?y+1，即1?x<1?y，故選項(xiàng)A正確；當(dāng)x=?1,y=?2時(shí)，滿足x>y，但x2=1,y2=4當(dāng)z<0時(shí)，由x>y可得xz<yz，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:A．2．（2024·北京豐臺(tái)·二模）若a,b∈R，且a>b，則（

）A．1a2+1C．a(chǎn)2>ab>b【解題思路】舉反例即可求解ABC，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解D.【解答過(guò)程】由于a>b，取a=1,b=?1，1a2+1=1b2取a=0,b=?2,則a2=0,ab=0,b由于a>b，則2a>b+a>2b，所以a>a+b故選：D.3．（2023·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知1<a<3,3<b<6，則b2a的取值范圍為（

A．32,1 B．2,6 C．1,6 【解題思路】由不等式的性質(zhì)即可得解.【解答過(guò)程】因?yàn)?<a<3,3<b<6，所以2<2a<6，16所以12故選：D.4．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知a，b，c∈R，則下列選項(xiàng)中是“a<b”的一個(gè)充分不必要條件的是（

）A．ca>cC．a(chǎn)3<b【解題思路】根據(jù)充分不必要條件的定義，結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷即可.【解答過(guò)程】由ca>cb，可得1a>1b，因?yàn)橛蒩c2<bc2，可得a<b，反之當(dāng)a<b，c=0時(shí)不成立，故“a因?yàn)閍3<b3?a<b，3故選：B.5．（2023·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知a,b,c為實(shí)數(shù)，則下列命題成立的是（

）A．若a<b，則ac<bcB．若a<b，則a?c>b?cC．若ac>bD．若a>b，則2【解題思路】根據(jù)不等式性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可得出結(jié)論.【解答過(guò)程】對(duì)于A，若a<b，當(dāng)c=0時(shí)，不滿足ac<bc，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若a<b，則a?c<b?c，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若ac>bc，可知c≠0，不等式兩邊同時(shí)除以c，即a對(duì)于D，若a>b，不妨取a=1,b=?1，則2a故選：C.6．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)a,b．設(shè)甲：1a>1b，乙：A．甲是乙的充分不必要條件 B．甲是乙的必要不充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲是乙的既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)不等式的性質(zhì)由命題甲可得到b>a>0，作差法可判斷命題乙正確，得出甲是乙的充分條件；將命題乙變形后分類討論得出甲是乙的不必要條件，即可得出答案.【解答過(guò)程】由1a>1所以1a>1因?yàn)閍所以ab?a+3所以甲是乙的充分條件．若ab<a+3則a?b<0bb+3>0當(dāng)a?b<0bb+3>0，則b>0或b<?3當(dāng)a?b>0bb+3<0，則?3<b<0所以甲是乙的不必要條件．綜上可知，甲是乙的充分不必要條件．故選：A．7．（2023·廣東·二模）若a=3+1A．a(chǎn)>c>b B．a(chǎn)>b>cC．c>b>a D．b>c>a【解題思路】利用作差法比較大小即可得出正確選項(xiàng).【解答過(guò)程】因?yàn)閍?c=3?2+3因?yàn)?22且22+3>0,25>0，所以22故選：A.8．（2023·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知?1<a<5,?3<b<1，則以下錯(cuò)誤的是（

）A．?15<ab<5 B．?4<a+b<6C．?2<a?b<8 D．?【解題思路】由不等式的性質(zhì)結(jié)合特殊值排除法逐項(xiàng)分析即可.【解答過(guò)程】因?yàn)?1<a<5,?3<b<1，所以對(duì)于A，?1<a<5?3<b<0??15<ab<3，?1<a<5b=0綜上可得?15<ab<5，故A正確；對(duì)于B，?3?1=?4<a+b<1+5=6，故B正確；對(duì)于C，?1?1=?2<a?b<3+5=8，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)a=4,b=12時(shí)，故選：D.二、多選題9．（2024·福建龍巖·一模）下列命題正確的是（

）A．若a<b<0，則aB．若a<b<0，則aC．若0<a<b<c，則cD．若0<a<b，則2a+【解題思路】對(duì)A和C利用不等式性質(zhì)即可判斷，對(duì)B和D舉反例即可反駁.【解答過(guò)程】對(duì)A，因?yàn)閍<b<0，則兩邊同乘a得a2>ab，兩邊同乘b得則a2對(duì)B，當(dāng)c=0時(shí)，ac對(duì)C，因?yàn)?<a<b，則1a>1b，又因?yàn)閷?duì)D，舉例a=2,b=8，則2a+b2=2×2+此時(shí)兩者相等，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10．（2023·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)實(shí)數(shù)a,b滿足1≤ab≤4,4≤ab≤9A．2≤a≤6 B．1≤b≤3 C．【解題思路】根據(jù)不等式的性質(zhì)，變形求解.【解答過(guò)程】1≤ab≤4,4≤ab≤9，兩式相乘得4≤由題得19≤ba≤14因?yàn)?≤a2b因?yàn)?≤a2b故選：AC.11．（2024·廣西·二模）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a>b>c，且a+b+c=0，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．a(chǎn)+b>0 B．a(chǎn)c>bcC．1a?b>1【解題思路】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)和已知條件可逐項(xiàng)分析得到答案.【解答過(guò)程】a+b+c=0且a>b>c，則a>0，c<0，則a+b>0，A正確；因?yàn)閍>b，c<0，所以ac<bc，B錯(cuò)誤；因?yàn)閍>b>c，a?b>0,b?c>0，a?b?當(dāng)b>0時(shí)，0<a?b<b?c，則1a?b>1b?c；當(dāng)b<0時(shí)，a?b>b?c>0，則1a?b<1因?yàn)閍?cb?c當(dāng)且僅當(dāng)a=?12c時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)由a+b+c=0可得b=?所以?a+12c2故選：AD.三、填空題12．（2023·北京房山·一模）能夠說(shuō)明“設(shè)a,b,c是任意實(shí)數(shù)，若a<b<c，則ac<bc”是假命題的一組整數(shù)a,b,c的值依次為?2,?1,0（答案不唯一）.【解題思路】根據(jù)不等式的性質(zhì)，討論c的正負(fù)和c=0三種情況，得出結(jié)論．【解答過(guò)程】若a<b，當(dāng)c>0時(shí)，ac<bc；當(dāng)c=0時(shí)，ac=bc；當(dāng)c<0時(shí)，ac>bc；“設(shè)a,b,c是任意實(shí)數(shù)，若a<b<c，則ac<bc”是假命題的一組整數(shù)a,b,c的值依次為?2,?1,0，故答案為：?2,?1,0（答案不唯一）.13．（2024·河北石家莊·二模）若實(shí)數(shù)x,y,z≥0，且x+y+z=4,2x?y+z=5，則M=4x+3y+5z的取值范圍是15,19.【解題思路】先得到x=3?2z3,y=1?z3，并根據(jù)x,y,z≥0【解答過(guò)程】因?yàn)閤+y=4?z,2x?y=5?z，故x=3?2z由x,y,z≥0得3?2z3≥0故M=4x+3y+5z=43?故答案為：15,19.14．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）以maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù)．設(shè)0<a<b<c<1，已知b≥2a或a+b≤1，則maxb?a,c?b,1?c的最小值為1【解題思路】利用換元法可得b=1?n?pa=1?m?n?p【解答過(guò)程】令b?a=m,c?b=n,1?c=p,其中m,n,p>0，所以b=1?n?pa=1?m?n?p若b≥2a，則b=1?n?p≥21?m?n?p，故2m+n+p≥1令M=max因此2M≥2mM≥nM≥p,故4M≥2m+n+p≥1,則若a+b≤1，則1?n?p+1?m?n?p≤1，即m+2n+2p≥1，M=max則M≥m2M≥2n2M≥2p,故5M≥m+2n+2p≥1,則當(dāng)且僅當(dāng)m+2n+2p=1且max{m,n,p}=如取m=n=p=1綜上可知maxb?a,c?b,1?c的最小值為1故答案為：15四、解答題15．（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）已知-3<a<2，-4<b<-3，試求2a+3b與a-b的取值范圍.【解題思路】利用不等式性質(zhì)直接求解范圍即可【解答過(guò)程】∵-3<a<2，-4<b<-3，∴-6<2a<4，-12<3b<-9，∴-6+（-12）<2a+3b<4+（-9），∴-18<2a+3b<-5.又∵-4<b<-3，∴3<-b<4，∴-3+3<a-b<2+4，∴0<a-b<6，故2a+3b的取值范圍為-18<2a+3b<-5，a-b的取值范圍為0<a-b<6.16．（23-24高一·全國(guó)·專題練習(xí)）試比較下列組式子的大?。?1)x+1?x與x?(2)M=a1+a+b1+b與N=(3)a2?b2a【解題思路】(1)通過(guò)比較1x+1+x與1x+(2)通過(guò)作差法來(lái)比較M,N的大小；(3)通過(guò)作差法或作商法比較a2?b【解答過(guò)程】（1）解：x+1?x=因?yàn)閤+1+所以1x+1即x+1?（2）