自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型本章的主要內(nèi)容

控制系統(tǒng)的微分方程-建立和求解控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖-等效變換控制系統(tǒng)的信號流圖-梅遜公式概述[數(shù)學(xué)模型]：描述控制系統(tǒng)變量（物理量）之間動態(tài)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式。常用的數(shù)學(xué)模型有微分方程，傳遞函數(shù)，結(jié)構(gòu)圖，信號流圖，頻率特性以及狀態(tài)空間描述等。例如對一個微分方程，若已知初值和輸入值，對微分方程求解，就可以得出輸出量的時域表達式。據(jù)此可對系統(tǒng)進行分析。所以建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是對系統(tǒng)進行分析的第一步也是最重要的一步?？刂葡到y(tǒng)如按照數(shù)學(xué)模型分類的話，可以分為線性和非線性系統(tǒng)，定常系統(tǒng)和時變系統(tǒng)。[線性系統(tǒng)]：如果系統(tǒng)滿足疊加原理，則稱其為線性系統(tǒng)。疊加原理說明，兩個不同的作用函數(shù)同時作用于系統(tǒng)的響應(yīng)，等于兩個作用函數(shù)單獨作用的響應(yīng)之和。線性系統(tǒng)對幾個輸入量同時作用的響應(yīng)可以一個一個地處理，然后對每一個輸入量響應(yīng)的結(jié)果進行疊加。[線性定常系統(tǒng)和線性時變系統(tǒng)]：可以用線性定常（常系數(shù)）微分方程描述的系統(tǒng)稱為線性定常系統(tǒng)。如果描述系統(tǒng)的微分方程的系數(shù)是時間的函數(shù)，則這類系統(tǒng)為線性時變系統(tǒng)。宇宙飛船控制系統(tǒng)就是時變控制的一個例子（宇宙飛船的質(zhì)量隨著燃料的消耗而變化）。古典控制理論中（我們所正在學(xué)習(xí)的），采用的是單輸入單輸出描述方法。主要是針對線性定常系統(tǒng)，對于非線性系統(tǒng)和時變系統(tǒng)，解決問題的能力是極其有限的。[非線性系統(tǒng)]：如果不能應(yīng)用疊加原理，則系統(tǒng)是非線性的。下面是非線性系統(tǒng)的一些例子：

微分方程的編寫應(yīng)根據(jù)組成系統(tǒng)各元件工作過程中所遵循的物理定理來進行。例如：電路中的基爾霍夫電路定理，力學(xué)中的牛頓定理，熱力學(xué)中的熱力學(xué)定理等。2.1控制系統(tǒng)的微分方程由②：，代入①得：這是一個線性定常二階微分方程。①②[解]：據(jù)基爾霍夫電路定理：輸入輸出LRCi[例2-1]：寫出RLC串聯(lián)電路的微分方程。[例2-2]求彈簧-阻尼-質(zhì)量的機械位移系統(tǒng)的微分方程。輸入量為外力F，輸出量為位移x。[解]：圖1和圖2分別為系統(tǒng)原理結(jié)構(gòu)圖和質(zhì)量塊受力分析圖。圖中，m為質(zhì)量，f為粘性阻尼系數(shù)，k為彈性系數(shù)。mfmFF圖2圖1根據(jù)牛頓定理，可列出質(zhì)量塊的力平衡方程如下：這也是一個兩階定常微分方程。X為輸出量，F(xiàn)為輸入量。在國際單位制中，m,f和k的單位分別為：[例2-3]電樞控制式直流電動機這里輸入是電樞電壓ua和等效到電機轉(zhuǎn)軸上的負載轉(zhuǎn)矩Mc，輸出是轉(zhuǎn)速w

電樞回路方程為

其中ea

為反電勢此時激磁電流為常數(shù)，所以Ce稱為電動機電勢常數(shù)

Cm稱為電動機轉(zhuǎn)矩常數(shù)，再根據(jù)牛頓定律可得機械轉(zhuǎn)動方程電機通電后產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩其中和分別稱為電磁時間常數(shù)和機電時間常數(shù)整理得分別是轉(zhuǎn)速與電壓傳遞系數(shù)和轉(zhuǎn)速與負載和傳遞系數(shù)。這里已略去摩擦力和扭轉(zhuǎn)彈性力。3.線性系統(tǒng)微分方程的編寫步驟：⑴確定系統(tǒng)和各元部件的輸入量和輸出量。⑵對系統(tǒng)中每一個元件列寫出與其輸入、輸出量有關(guān)的物理的方程。⑶對上述方程進行適當(dāng)?shù)暮喕?，比如略去一些對系統(tǒng)影響小的次要因素，對非線性元部件進行線性化等。⑷從系統(tǒng)的輸入端開始，按照信號的傳遞順序，在所有元部件的方程中消去中間變量，最后得到描述系統(tǒng)輸入和輸出關(guān)系的微分方程。[例2-4]：編寫下圖所示的速度控制系統(tǒng)的微分方程。負載-+-+功率放大器測速發(fā)電機[解]：⑴該系統(tǒng)的組成和原理；⑵該系統(tǒng)的輸出量是，輸入量是，擾動量是⑸消去中間變量：推出之間的關(guān)系：顯然，轉(zhuǎn)速既與輸入量有關(guān)，也與干擾有關(guān)。⑷各環(huán)節(jié)微分方程：運放Ⅰ：，運放Ⅱ：功率放大：，反饋環(huán)節(jié)：電動機環(huán)節(jié)：見例2-4測速-運放Ⅰ運放Ⅱ功放電動機⑶速度控制系統(tǒng)方塊圖：⑴對于恒值調(diào)速系統(tǒng)，=常量，則。轉(zhuǎn)速的變化僅由負載干擾引起。增量表達式如下：⑵對于隨動系統(tǒng)，則=常數(shù)，，故：根據(jù)上式可以討論輸出轉(zhuǎn)速跟隨給定輸入電壓的變化情況。⑶若和都是變化的，則對于線性系統(tǒng)應(yīng)用疊加原理分別討論兩種輸入作用引起的轉(zhuǎn)速變化，然后相加。[增量式分析](上式等號兩端取增量)：4、線性方程的求解：研究控制系統(tǒng)在一定的輸入作用下，輸出量的變化情況。方法有經(jīng)典法，拉氏變換法和數(shù)字求解。在自動系統(tǒng)理論中主要使用拉氏變換法。[拉氏變換求微分方程解的步驟]：①對微分方程兩端進行拉氏變換，將時域方程轉(zhuǎn)換為s域的代數(shù)方程。②求拉氏反變換，求得輸出函數(shù)的時域解。線性微分方程的求解

非線性元件微分方程的線性化具有連續(xù)變化的非線性函數(shù)的線性化，可用切線法或小偏差法。在一個小范圍內(nèi)，將非線性特性用一斷直線來代替。（分段定常系統(tǒng)）一個變量的非線性函數(shù)y=f(x)在x0處連續(xù)可微，則可將它在該點附件用臺勞級數(shù)展開增量較小時略去其高次冪項，則有

令Δy=kΔxk比例系數(shù)，函數(shù)在x0點切線的斜率兩個變量的非線性函數(shù)y=f(x1,x2)，同樣可在某工作點（x10,x20）附近用臺勞級數(shù)展開為

略去二級以上導(dǎo)數(shù)項，并令Δy＝y(tǒng)-f(x10,x20)

這種小偏差線性化方法對于控制系統(tǒng)大多數(shù)工作狀態(tài)是可行的，平衡點附近，偏差一般不會很大，都是“小偏差點”。

一、傳遞函數(shù)的基本概念將上式求拉氏變化，得(令初始值為零）傳遞函數(shù)的定義：線性定常系統(tǒng)在零初始條件下輸出量的拉氏變換與輸出量的拉氏變換之比。式中：x（t）—輸入，y（t）—輸出為常系數(shù)設(shè)系統(tǒng)或元件的微分方程為：當(dāng)傳遞函數(shù)和輸入已知時Y(s)=G(s)X(s)。通過反變換可求出時域表達式y(tǒng)(t)。稱為環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)[關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點說明]傳遞函數(shù)的概念適用于線性定常系統(tǒng)，它與線性常系數(shù)微分方程一一對應(yīng)。且與系統(tǒng)的動態(tài)特性一一對應(yīng)。傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)或元件的學(xué)科屬性和物理性質(zhì)。物理性質(zhì)和學(xué)科類別截然不同的系統(tǒng)可能具有完全相同的傳遞函數(shù)。而研究某傳遞函數(shù)所得結(jié)論可適用于具有這種傳遞函數(shù)的各種系統(tǒng)。傳遞函數(shù)僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與系統(tǒng)的輸入無關(guān)。只反映了輸入和輸出之間的關(guān)系，不反映中間變量的關(guān)系。傳遞函數(shù)的概念主要適用于單輸入單輸出系統(tǒng)。若系統(tǒng)有多個輸入信號，在求傳遞函數(shù)時，除了一個有關(guān)的輸入外，其它的輸入量一概視為零。傳遞函數(shù)忽略了初始條件的影響。傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)是s的有理分式，對實際系統(tǒng)而言分母的階次n大于分子的階次m，此時稱為n階系統(tǒng)。[例1]求電樞控制式直流電動機的傳遞函數(shù)。[解]已知電樞控制式直流電動機的微分方程為：方程兩邊求拉氏變換為：令，得轉(zhuǎn)速對電樞電壓的傳遞函數(shù)：令，得轉(zhuǎn)速對負載力矩的傳遞函數(shù)：最后利用疊加原理得轉(zhuǎn)速表示為：[例2]求下圖的傳遞函數(shù)：[傳遞函數(shù)的幾種表達形式]：表示為有理分式形式：式中：—為實常數(shù)，一般n≥m上式稱為n階傳遞函數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)為n階系統(tǒng)。表示成零點、極點形式：式中：稱為傳遞函數(shù)的零點，稱為傳遞函數(shù)的極點?！獋鬟f系數(shù)寫成時間常數(shù)形式：分別稱為時間常數(shù)，K稱為放大系數(shù)顯然：，若零點或極點為共軛復(fù)數(shù)，則一般用2階項來表示。若為共軛復(fù)極點，則：或其系數(shù)由或求得；若有零值極點，則傳遞函數(shù)的通式可以寫成：從上式可以看出：傳遞函數(shù)是一些基本因子的乘積。這些基本因子就是典型環(huán)節(jié)所對應(yīng)的傳遞函數(shù)，是一些最簡單、最基本的一些形式。式中：或：說明：1）傳遞函數(shù)是線性定常系統(tǒng)在復(fù)頻域里的數(shù)學(xué)模型，其與微分方程一樣，包含了系統(tǒng)有關(guān)動態(tài)方面的信息。2）傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，當(dāng)初始條件不為零時，傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)的全部特點。3）傳遞函數(shù)反映的是系統(tǒng)本身的一種屬性，其各項系數(shù)完全取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，與輸入量的大小和性質(zhì)無關(guān)。4）傳遞函數(shù)包含聯(lián)系輸入量與輸出量所必須的單位，但是它不提供有關(guān)系統(tǒng)物理結(jié)構(gòu)的任何信息（許多物理上完全不同的系統(tǒng)，可以具有相同的傳遞函數(shù)）。5）如果系統(tǒng)的傳遞函數(shù)已知，則可以針對各種不同形式的輸入量研究系統(tǒng)的輸出或響應(yīng)，以便掌握系統(tǒng)的性質(zhì)。自動控制系統(tǒng)是由若干個典型環(huán)節(jié)組合而成的，典型環(huán)節(jié)包括比例環(huán)節(jié)，慣性環(huán)節(jié)，積分環(huán)節(jié)，微分環(huán)節(jié)，振蕩環(huán)節(jié)，一階比例微分環(huán)節(jié)，二階比例微分環(huán)節(jié)，不穩(wěn)定環(huán)節(jié)，延遲環(huán)節(jié)等。幾個基本公式：--c(t)對控制信號r(t)的閉環(huán)傳函記為,即

c(t)對擾動信號f(t)的閉環(huán)傳函記為

ε(t)對控制信號r(t)的閉環(huán)傳函記為

ε(t)對干擾信號f(t)閉環(huán)傳函記為

若H(s)=1,

共同規(guī)律如下：

其分子等于對應(yīng)所求的閉環(huán)傳遞函數(shù)的輸入信號到輸出信號所經(jīng)過的傳遞函數(shù)的乘積，并賦以符號，其分母等于1加上開環(huán)傳函。

若H(s)=1,

信號線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的流向，在直線旁標(biāo)記信號的時間函數(shù)或象函數(shù)。（2）比較點（合成點、綜合點）SummingPoint

兩個或兩個以上的輸入信號進行加減比較的元件?！?”表示相加，“-”表示相減?！?”號可省略不寫。2.3控制系統(tǒng)的方塊圖、信號流圖控制系統(tǒng)的方塊圖是系統(tǒng)各元件特性、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和信號流向的圖解表示法。1.方塊圖元素

（1）方塊（BlockDiagram）:表示輸入到輸出單向傳輸間的函數(shù)關(guān)系。注意：進行相加減的量，必須具有相同的量剛。(3)分支點（引出點、測量點）BranchPoint表示信號測量或引出的位置注意：同一位置引出的信號大小和性質(zhì)完全一樣。2.幾個基本概念及術(shù)語(1)前向通路傳遞函數(shù)--假設(shè)N(s)=0

打開反饋后，輸出C(s)與R(s)之比。等價于C(s)與誤差E(s)之比(2)反饋回路傳遞函數(shù)假設(shè)N(s)=0

主反饋信號B(s)與輸出信號C(s)之比。(3)開環(huán)傳遞函數(shù)Open-loopTransferFunction假設(shè)N(s)=0主反饋信號B(s)與誤差信號E(s)之比。(4)閉環(huán)傳遞函數(shù)Closed-loopTransferFunction假設(shè)N(s)=0

輸出信號C(s)與輸入信號R(s)之比。推導(dǎo)：因為右邊移過來整理得請記住**(5)誤差傳遞函數(shù)假設(shè)N(s)=0

誤差信號E(s)與輸入信號R(s)之比。代入上式，消去G(s)即得：將即輸出對擾動的結(jié)構(gòu)圖利用公式**，直接可得：

(6)輸出對擾動的傳遞函數(shù)假設(shè)R(s)=0**（7）誤差對擾動的傳遞函數(shù)假設(shè)R(s)=0

誤差對擾動的結(jié)構(gòu)圖

利用公式**，直接可得：**3.結(jié)構(gòu)圖三種基本形式G1G2G2G1G1G2G1G2G1G2G1G1G21+串聯(lián)并聯(lián)反饋2相鄰綜合點可互換位置、可合并…結(jié)構(gòu)圖等效變換方法1三種典型結(jié)構(gòu)可直接用公式3相鄰引出點可互換位置、可合并…注意事項

1不是典型結(jié)構(gòu)不可直接用公式

2引出點綜合點相鄰，不可互換位置引出點移動G1G2G3G4H3H2H1abG1G2G3G4H3H2H1G41請你寫出結(jié)果,行嗎？G2H1G1G3綜合點移動G1G2G3H1錯！G2無用功向同類移動G1G1G4H3G2G3H1作用分解H1H3G1G4G2G3H3H14.方塊圖的繪制（1）考慮負載效應(yīng)分別列寫系統(tǒng)各元部件的微分方程或傳遞函數(shù)，并將它們用方框（塊）表示。（2）根據(jù)各元部件的信號流向，用信號線依次將各方塊連接起來，便可得到系統(tǒng)的方塊圖。系統(tǒng)方塊圖-也是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一種。

5.信號流圖及Mason公式例1:x2

=a12

x1

a12x1x2

a12x1x2方框圖信號流圖例2:x2=a12x1+a32x3

x3=a13x1+a23x2+a33x3

x4=a24x2+a34x3x1輸入節(jié)點x4輸出節(jié)點x2，x3中間節(jié)點（混合節(jié)點）EiEEoI1II2++－－由方框圖到信號流圖，有些中間變量可以不表示出來，如I1。有些中間變量（位于綜合點前，有輸出）必須表示出來，如Ei和E，用單位增益支路將它們分開。

G1

G2RE1UYE1+－+－1-111-