九年級(jí)數(shù)學(xué)教案6 反比例函數(shù)與二次函數(shù)（一）

第六講反比例函數(shù)與二次函數(shù)（一）

［教學(xué)內(nèi)容］

《佳一動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)思維》春季版，九年級(jí)第六講“反比例函數(shù)與二次函數(shù)（一）”.

［教學(xué)目標(biāo)］

知識(shí)技能

1.理解反比例函數(shù)中k的意義，會(huì)根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的解析式；

2.掌握反比例函數(shù)的圖象特征、性質(zhì)，能夠應(yīng)用反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題;

3.能夠利用反比例函數(shù)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題；

4.掌握二次函數(shù)解析式的三種表達(dá)形式、圖像特征及性質(zhì)，會(huì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析

式，進(jìn)一步鞏固加深對(duì)函數(shù)圖象平移規(guī)律的理解.

數(shù)學(xué)思考

1.通過(guò)用反比例函數(shù)和二次函數(shù)表述數(shù)量關(guān)系得過(guò)程，體會(huì)模型的思想，建立符號(hào)意識(shí)；

2.在研究點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念；

3.獨(dú)立思考，體會(huì)類(lèi)比、數(shù)形結(jié)合等思想方法.

問(wèn)題解決

1.經(jīng)歷從不同角度尋求分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法的過(guò)程，體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性，掌握

分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一些基本方法.

2.在與他人合作和交流的過(guò)程中，能較好地理解他人的思考方法和結(jié)論.

情感態(tài)度

1.通過(guò)解決現(xiàn)實(shí)情境中問(wèn)題，增強(qiáng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)，用數(shù)學(xué)的眼光看世界.

2.感受成功的快樂(lè)，體驗(yàn)獨(dú)自克服困難、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，有克服困難的勇氣，具備學(xué)好

數(shù)學(xué)的信心.

［教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)］

重點(diǎn)：反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖形特征及性質(zhì)，利用待定系數(shù)發(fā)求反比例函數(shù)和二次函數(shù)的解

析式

難點(diǎn)：反比例函數(shù)和二次函數(shù)字母系數(shù)的含義，函數(shù)圖象的平移規(guī)律

［教學(xué)準(zhǔn)備］

動(dòng)畫(huà)多媒體語(yǔ)言課件

第一課時(shí)

教學(xué)路徑

導(dǎo)入

師：上節(jié)課我們主要復(fù)習(xí)了一次函數(shù)的知識(shí)，接下來(lái)的兩次課我們將一起來(lái)復(fù)

反比例函數(shù)和二次函數(shù)的內(nèi)容.下面我們首先來(lái)看一個(gè)問(wèn)題：

啟動(dòng)性問(wèn)題

如圖所示，奧運(yùn)圣火抵達(dá)某市奧林匹克廣場(chǎng)后，沿圖中直角坐標(biāo)系中的一段反

比例函數(shù)圖象傳遞.動(dòng)點(diǎn)T（機(jī)，〃）表示火炬位置，火炬從離北京路10米處的M

點(diǎn)開(kāi)始傳遞，到離北京路1000米的N點(diǎn)時(shí)傳遞活動(dòng)結(jié)束.迎圣火臨時(shí)指揮部設(shè)在坐

標(biāo)原點(diǎn)。（北京路與奧運(yùn)路的十字路口），0AT3為少先隊(duì)員鮮花方陣，方陣始終保

持矩形形狀且面積恒為10000平方米（路線寬度均不計(jì)）.

你能知道圖中反比例函數(shù)的關(guān)系式嗎？

答案：圖中反比例函數(shù)的關(guān)系式為丫=史&.

X

考點(diǎn)29反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

師：大家一起先來(lái)回顧下反比例函數(shù)的概念、圖象特征和性質(zhì).

回顧：

L反比例函數(shù)的概念：（下一步）形如尸工（原0,左為常數(shù)）的函數(shù)叫做反比例函

X

數(shù).（下一步）

自變量的取值范圍：（下一步）x不等于0的一切實(shí)數(shù).（下一步）

反比例函數(shù)y=K的變式：丫=依“或xy=Z（際0）.

x

2.反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)（下一步）

反比例函數(shù)y=&（原0）的圖象：（下一步）雙曲線，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

X

反比例函數(shù)產(chǎn)工（厚0）的性質(zhì):（下一步）

函數(shù)SS所在象限性質(zhì)

一、三象限

Q0在每個(gè)象限內(nèi)，V隨區(qū)人X人增日大，而減■/隊(duì)小

Jo-1-1-T*1%J”1J

（同號(hào)）

—k(!^/(\\x,y

X

二、四象限

k<0在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x增大而增大

（x,y異號(hào)）

師：下面我們就一起來(lái)看幾道例題.

初步性問(wèn)題

探究類(lèi)型之一反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

例1已知反比例函數(shù)y=-Z圖象上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（-2,y）,8（-1,”），

X

C（2,j3）?能正確反映yi,”，然的大小關(guān)系的是（）

A.y>y2>>3B.yi>y3>>2

C.V2>Vi>V3D.y2>v3>yi

師：如何比較函數(shù)值的大?。?/p>

生：（預(yù)設(shè)）因?yàn)榻馕鍪揭阎?，可以直接將自變量的值代入求出函?shù)值比較大小.

師：非常好，還有其他方法嗎？

生：（預(yù)設(shè)）根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行比較.

師：非常好，還有其他方法嗎？

生：（預(yù)設(shè)）數(shù)形結(jié)合，根據(jù)反比例函數(shù)的圖像比較函數(shù)值的大小.

師：很好，（1）比較反比例函數(shù)值的大小，在同一象限內(nèi)根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)比

較.（2）在不同象限內(nèi)，不能按其性質(zhì)比較，y值的大小只能根據(jù)k值特征確定.最

后要注意數(shù)形結(jié)合.

解析:

777

方法一：將點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別代入）；=-」，得y產(chǎn)!，”=7,y3=--,所

x22

以）2>）1>丫3；（下一步）

7

方法二：反比例函數(shù)產(chǎn)-'中％=-7<0,函數(shù)圖象在第二、四象限，在每一個(gè)象

x

限內(nèi)，y隨x的增大而增大;（下一步）

又A（-2,yi）,B（~l,V2）在第二象限，所以”〉yi>0,而。（2,心）在第

四象限，所以>3<0，綜合可知y2>y\>>'3.

注：數(shù)形結(jié)合，（這里有個(gè)動(dòng)圖）

答案：c

類(lèi)似性問(wèn)題

1.函數(shù)y=2x與函數(shù)y=m在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是（）

解析：

函數(shù)y=2x的圖象在第一、三象限，函數(shù)丫=^的圖象在第二、四象限，故選B.

X

3

2.若點(diǎn)A（l,%）,5（2,”）是雙曲線產(chǎn)之上的點(diǎn),則yi”（填“〈”或“=”）.

x

解析:

T.3

方法一：將點(diǎn)A,8的坐標(biāo)代入曠=二，得yi=3,”=一，所以">”；（卜一步）

x2

方法二：攵=3>0,函數(shù)圖象在第一、三象限，且在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減

小，因?yàn)?<2,所以P>處（下一步）

注：數(shù)形結(jié)合.（這里有個(gè)動(dòng)圖）

初步性問(wèn)題

探究類(lèi)型之二坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的特征

例2一次函數(shù)產(chǎn)氣+力的圖象與反比例函數(shù)產(chǎn)絲的圖象交于點(diǎn)A(2,1),B(-l,

X

〃)兩點(diǎn).

(1)求反比例函數(shù)的解析式;

(2)求一次函數(shù)的解析式；

解析：

待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式：

(1)把A(2,1)代入產(chǎn)‘求處(下一步)

X

(2)先把B(-1,")代入(1)中求出的解析式求n,再把4(2,1),

代入y=kx+b求匕Z?的值.

答案：

解：(1)把A(2,1)代入y=%,得1=',即加=2.

x2

2

所以反比例函數(shù)的解析式為產(chǎn)

X

2

(2)把8(—1,n)代入尸一，得〃二-2,所以8(—1,-2).

x

把點(diǎn)A(2,1),3(—1,-2)代入產(chǎn)區(qū)+。，得產(chǎn)+1解得

-k+b=-2,[b=-l.

所以一次函數(shù)的解析式為y=x-L

(3)求△A08的面積.

解析：

割補(bǔ)法求面積:

方法一：

S^AOB=S^BOD^S/\COD^S^AOC

或S&AOB=SABOD+SMOD

或SdAOB=SMOC+S&BOC；(下■*步)

方法二：

過(guò)A點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為E,過(guò)8點(diǎn)作y軸的垂線，垂足為八兩垂線交

于一點(diǎn)”.（在圖中作出）

SMOB=S&ABH~S4AOE~SABOILS正方形OEHF

答案:

解：(3)易求得C(1,0),D(0,-1).

3

SAAO8=SA6OO+SZXCW+S"OC=；X|-1|X|-1|+-Xl-llX1+-X1X1=-

21122

師：如何求反比例函數(shù)的解析式？

生：（預(yù)設(shè)）已知雙曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)即可求反比例函數(shù)的解析式.

師：如何求一次例函數(shù)的解析式？

生：（預(yù)設(shè)）通過(guò)反比例函數(shù)的解析式求出另一點(diǎn)的坐標(biāo)，已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)就可以確

定直線的解析式.

師：待定系數(shù)法求解析式是我們常用的方法.

師：如何求面積？

生：（預(yù)設(shè)）通過(guò)面積的割補(bǔ)法來(lái)求三角形的面積.

類(lèi)似性問(wèn)題

3.如圖是反比例函數(shù)y=?^n—-4圖象的一支，根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題:

X

（1）圖象的另一支在哪個(gè)象限？常數(shù)〃的取值范圍是什么？

（2）若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（3,1）,求〃的值；

（3）在這個(gè)函數(shù)圖象的某一支上任取點(diǎn)ACai,bi）

和點(diǎn)3（42,岳），如果試比較歷和歷的大小.

解析:

（1）根據(jù)反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可知函數(shù)圖象的另一支在第三象限,

故2〃-4>0,即〃>2；（下一步）

（2）把（3,1）代入產(chǎn)即a求〃的值；（下一步）

（3）根據(jù)“反比例函數(shù)圖象在第一、三象限，則在每一象限內(nèi)y隨X的增大而

減小”可知，當(dāng)ai時(shí),b\>bi.

考點(diǎn)30反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義

師：同學(xué)們誰(shuí)知道反比例函數(shù)系數(shù)后的幾何意義是布/f-v

回顧:

k的幾何意義：反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)（x,y）具有兩

特點(diǎn)，即過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)，向兩坐標(biāo)軸作垂線，兩

形的面積為常數(shù)川（如下圖）.

師：接下來(lái)我們來(lái)看幾道相關(guān)例題.

初步性問(wèn)題

探究類(lèi)型之一已知圖象上一點(diǎn)與原點(diǎn)。構(gòu)成的三角形面積，求攵

例1已知如圖所示,A是反比例函數(shù)y="的圖象上的一點(diǎn),48_1_尤軸于點(diǎn)B,且

△A3。的面積是3,則k的值是（

Bx

師：如何求反比例系數(shù)？

生：（預(yù)設(shè)）根據(jù)反比例系數(shù)的幾何意義數(shù)形結(jié)合來(lái)求.

師：注意反比例系數(shù)的符號(hào).

解析：

由反比例函數(shù)的幾何意義，得㈤，故3=1|川，心|=6；（下一步）

22

又函數(shù)圖象的一支在第一象限，所以女>0,所以上6.

答案：c

類(lèi)似性問(wèn)題

I.如圖所示，已知雙曲線），=與（后＜0）經(jīng)過(guò)直角三角形

X

OAB斜邊0A的中點(diǎn)。，且與直角邊AB相交于點(diǎn)C.

若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6,4）,則4人。。的面積為（

A.12B.9C.6D.4

解析：

因?yàn)椤?4的中點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6,4）,根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得。（-3,

2）；（下一步）

把點(diǎn)。的坐標(biāo)代入得Z=-6,所以S^BOC=—川=3；（下一步）

x2

又S^AOB=一義I-6X4=12,所以S/\AOC=S^AOB~~SABOC=9.

2

初步性問(wèn)題

探究類(lèi)型之二根據(jù)函數(shù)圖象求有關(guān)圖形面積

例2在反比例函數(shù)y=3（尤＞0）的圖象上，有一系列點(diǎn)Ai,A2,A?,…,A”,A”+i.若

X

A的橫坐標(biāo)為2,且以后每點(diǎn)的橫坐標(biāo)與它前一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差都為2.現(xiàn)分別過(guò)

點(diǎn)4,A2,A3,…，A,,,A"+i作x軸與y軸的垂線段，構(gòu)成若干個(gè)矩形如圖所示，將

師：如何求矩形的面積Si?

生：（預(yù)設(shè)）根據(jù)面積公式，關(guān)鍵是求出矩形的寬.

師：如何求矩形的寬？

生：(預(yù)設(shè))與點(diǎn)4,4,的縱坐標(biāo)有關(guān).

師：非常好，大家按照這個(gè)思路能否總結(jié)出工的一般表達(dá)式？

學(xué)生嘗試求解.

師：如何求前〃項(xiàng)的和？

生：(預(yù)設(shè))前項(xiàng)與后項(xiàng)可以部分抵消.

師：非常好.

解析：

當(dāng)x=2時(shí)，y=5,當(dāng)尤=4時(shí)，y=』，所以S=2X(5-—)=5；(下一步)

-'22

一般規(guī)律：s?=2X[---1Q_]=ioxd-_L)；(下一步)

2n2(/7+1)n〃+1

Si+S2+S3+…+S〃

=10X(1-i)+10X(1-1)+10X(i-1)+-+10X(1--))

22334nn+1

…1111111、

22334n〃+1

=10X(1--)

"+1

_10n

n+l

答案：

L10〃

5；---

〃+1

類(lèi)似性問(wèn)題

13

2.如圖所示，點(diǎn)A在雙曲線產(chǎn)上上，點(diǎn)3在雙曲線產(chǎn)二上，旦軸，C,Q在

xx

x軸上，若四邊形ABCO為矩形，則它的面積為.

延長(zhǎng)剛交y軸于￡（在圖中作出），則根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)上的幾何意義可知:

S短彩ADOE=1?S姐形BCOE=3；（下一步）

S矩形ABCD=SBcotr~S矩形ADOE=3-1=2.

考點(diǎn)31反比例函數(shù)的應(yīng)用

師：首先同學(xué)們先回顧用待定系數(shù)發(fā)求反比例函數(shù)解析式的一般步驟.

回顧：

求反比例函數(shù)的解析式

待定系數(shù)法：（1）設(shè)反比例函數(shù)關(guān)系式為），=&；

X

（2）由已知條件求出〃的值；

（3）從而確定函數(shù)關(guān)系式.（下一步）

注意：反比例函數(shù)只有一個(gè)待定的k,只需要一個(gè)條件即可確定反比例函數(shù),

這個(gè)條件可以是圖象上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，也可以是尤,y的一對(duì)對(duì)應(yīng)值.

師：接下來(lái)我們來(lái)看一道反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題.

初步性問(wèn)題

探究類(lèi)型之一反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合運(yùn)用

例1如圖所示，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)），=（（原0）在第一象限的

2x

圖象交于A點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為已知△OAM的面積為1.

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

解析：

根據(jù)S△皿=L|川確定我的值.

2

答案：

解：（1）根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)攵的兒何意義可知IN，

2

所以l='kl，即W=2.

2

又函數(shù)圖象的一支在第一象限，左＞0,所以A=2.

所以反比例函數(shù)的解析式為產(chǎn)M

x

（2）如果3為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)（點(diǎn)3與點(diǎn)A不重合），且B點(diǎn)的

橫坐標(biāo)為1,在x軸上求一點(diǎn)P,使出+PB最小.

解析：

把x=l代入（1）中求出的反比例函數(shù)解析式從而確定出點(diǎn)8的坐標(biāo)，聯(lián)立一次

函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式確定點(diǎn)A的坐標(biāo)；（F一步）

當(dāng)P為A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與B點(diǎn)的連線與x軸的交點(diǎn)時(shí)（在圖中作出），

%+P3最小.

答案：-2i

'1

y=（2[=-2

解：（2）解方程組；得x=‘或x‘又點(diǎn)A在第一象限，

）,=2U=1b=-t

、X

所以A（2,1）.把x=l代入產(chǎn)士得y=2,所以B（1,2）.（下一步）

x

在圖中標(biāo)出點(diǎn)8,作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連接43交x軸于點(diǎn)P（在圖中

作出）.

由A（2,1）可知1（2,-1）,設(shè)直線，B的解析式為產(chǎn)以+乩根據(jù)題意可得

2a+b=—1,

V

=2,

（a=-3

解得‘所以直線Z6的解析式為產(chǎn)-3x+5.

。=5,

令y=0，得O=-3x+5,解得x=2,所以P（-,0）.

33

師：如何求反比例函數(shù)的解析式？

生：（預(yù)設(shè)）根據(jù)反比例系數(shù)的幾何意義可求出反比例系數(shù).

師：如何確定尸點(diǎn)的位置？

生：（預(yù)設(shè)）這是利用兩點(diǎn)之間線段最短求最小值問(wèn)題，關(guān)鍵是求出A、8兩點(diǎn)的坐

標(biāo).

師：1.一次函數(shù)''牽手”反比例函數(shù)的題型主要有三類(lèi)：（1）同一坐標(biāo)系中的兩類(lèi)

函數(shù)圖象共存問(wèn)題；（2）求函數(shù)解析式或圖象交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題（包含三角形的面積問(wèn)

題）；（3）兩類(lèi)函數(shù)的大小關(guān)系與相應(yīng)自變量的范圍.求兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)即求兩函

數(shù)解析式聯(lián)立所構(gòu)成的方程組的解.

2.此類(lèi)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二元一次方程組、三角形面積等知識(shí)的綜合運(yùn)用，

其關(guān)鍵是理清解題思路.在直角坐標(biāo)系中，求三角形或四邊形面積時(shí)，常常采用分割

法，把所求的圖形分成幾個(gè)三角形或四邊形，分別求出面積后再相加.

類(lèi)似性問(wèn)題

1.如圖所示，反比例函數(shù)=&和正比例函數(shù)力乂4

的圖象交于A(-1,-3),B(l,

X

3)兩點(diǎn)，若切,

x

A.-l<x<0

B.-1<X<1

C.x<-1或0<x<l

D.TVxVO或￡>1

解析：

幺〉hr表現(xiàn)在圖象上即為雙曲線在直線上方部分，（在圖中標(biāo)出）（下一步）

X

觀察圖象可知對(duì)應(yīng)的X的取值范圍為XVT或OVxVl.

2.下圖中曲線是反比例函數(shù)>=變口的圖象的一支.

X

（1）這個(gè)反比例函數(shù)圖象的另一支位于哪個(gè)象限？常數(shù)〃的取值范圍是什么？

74

（2）若一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)A,與x軸交于8,

△AOB的面積為2,求〃的值.

解析：

（1）反比例函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故另一支在第四象限，反比例函數(shù)的圖象

在第二、四象限，所以〃+7<0,即〃<-7；（下一步）

（2）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)從而確定出08的長(zhǎng)，再根據(jù)“△A08的面積為2”確

定出點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，然后代入從而確定出點(diǎn)A的坐標(biāo)，最后把點(diǎn)A

33

的坐標(biāo)代入y=士求”的值.

初步性問(wèn)題

探究類(lèi)型之二反比例函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用

例2病人按規(guī)定的劑量服用某種藥物，測(cè)得服藥后2小時(shí)，每毫升血液中的含量

達(dá)到最大值為4毫克.已知服藥后，2小時(shí)前每毫升血液中的含量y（毫克）與時(shí)間x

（小時(shí)）成正比例；2小時(shí)后y與x成反比例（如圖所示）.根據(jù)以上信息解答下列

問(wèn)題：

（1）求當(dāng)0%W2時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式;

（2）求當(dāng)x>2時(shí)，y與尤的函數(shù)關(guān)系式；

解析：

（1）當(dāng)0qW2時(shí)，y與x成正比例關(guān)系且過(guò)點(diǎn)（2,4）；（下一步）

（2）當(dāng)尤>2時(shí)，y與x成反比例關(guān)系且過(guò)點(diǎn)（2,4）.

答案：

解：（1）當(dāng)叱運(yùn)2時(shí)，設(shè)產(chǎn)Zix,把（2,4）代入得4=2M，即k=2.

所以當(dāng)gxS2時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=2x.

（2）當(dāng)x>2時(shí)，設(shè)尸與，把（2,4）代入得4=k，即比=8.

x2

所以當(dāng)x>20寸，y與x的函數(shù)關(guān)系式為），=§.

X

（3）若每毫升血液中的含量不低于2毫克時(shí)治療有效，則服藥一次，治療疾病的有

效時(shí)間是多長(zhǎng)？

解析:

（3）分別把y=2代入所求的正比例和反比例函數(shù)的解析式中，求出x,再結(jié)合

圖象知有效時(shí)間為尤2-孫（在圖中作出）儲(chǔ)，性的

答案：

解：（3）把y=2代入y=2x,得2=2x,即x=l.

把y=2代入戶—,得2=學(xué)，即x=4.

XX

4-1=3（小時(shí)），即服藥一次，治療疾病的有效時(shí)間是3小時(shí).

師：如何求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式？

生：（預(yù)設(shè)）待定系數(shù)法.

師：如何求有效時(shí)間？

生：（預(yù)設(shè)）求當(dāng)=2時(shí)，自變量的值，數(shù)形結(jié)合作差即可.

師：此類(lèi)分段函數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵是通過(guò)圖象發(fā)現(xiàn)有用條件，運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的

解析式，再根據(jù)函數(shù)的解析式解決問(wèn)題.

第二課時(shí)

教學(xué)路徑

師：復(fù)習(xí)完反比例函數(shù)的知識(shí)，接下來(lái)我們就中點(diǎn)來(lái)復(fù)習(xí)一下二次函數(shù)的知識(shí)，二

次函數(shù)在中考中占有重要位置，經(jīng)常以解答題的形式考查，也容易與圓等其他知識(shí)

進(jìn)行結(jié)合作為壓軸題來(lái)考查，同學(xué)們一定要重視.

考點(diǎn)32二次函數(shù)圖象和性質(zhì)

師：我們首先來(lái)回憶一下二次函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).

回顧：

1.二次函數(shù)：（下一步）一般地，如果丁=加+6+。（〃,4c是常數(shù)，存0）,那么y叫

做X的二次函數(shù).

2.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)（下一步，先出表格及非陰影部分，然后黃色陰影一行一

行出現(xiàn)）

函數(shù)二次函數(shù)y=a/+bx+c（a,c是常數(shù)，”聲0）

a>0t?<0

小

圖象拋物線

開(kāi)口方向開(kāi)口向上開(kāi)口向下

對(duì)稱(chēng)軸直線x=---直線X=―--

2a2a

b4ac-h2b4ac-b2

頂點(diǎn)坐標(biāo)(,)\9)

2a4a2a4a

在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，即當(dāng)x<-2在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，即

2a

當(dāng)x<-----時(shí);y隨x

時(shí)，y隨x的增大而減??；在對(duì)2a

稱(chēng)軸的右側(cè)，即當(dāng)x>-2時(shí)，y的增大而增大；在對(duì)

2a

稱(chēng)軸的右側(cè)，即當(dāng)

增減性隨X的增大而增大，簡(jiǎn)記左減右

x>-"—時(shí)，y隨x的

增2a-

增大而減小，簡(jiǎn)記左

增右減

拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)x=-2時(shí)，拋物線有最高點(diǎn)，

2a

當(dāng)x=。時(shí)，y有

2a

y有取小值，y城小值=

最值4a最大值，

_^ac-b2

y最大依,

4（7

師：接下來(lái)我們來(lái)看幾道例題.

初步性問(wèn)題

探究類(lèi)型之一二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

例1已知二次函數(shù)y=/+4x.

（1）用配方法把該函數(shù)化為產(chǎn)。（獷妨2+攵（其中&,/?,女都是常數(shù)，且存0）的形式,

并指出函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）求函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

師：配方時(shí)要注意什么？

生：(預(yù)設(shè))先提取二次項(xiàng)系數(shù)，再加上或減去一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.

師：如何求函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)？

生：(預(yù)設(shè))交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為二次函數(shù)所對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根.

師：求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸，若給出的表達(dá)式是頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(xf)2+Z(W0),

可直接得到對(duì)稱(chēng)軸x=〃，頂點(diǎn)(〃，k)；若給出的表達(dá)式是一般式y(tǒng)=ad+/?x+c(arO),

可利用配方法，也可應(yīng)用對(duì)稱(chēng)軸公式尸-2,頂點(diǎn)(-二，4*冷).

2a2a4a

解析：

(1)對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次函數(shù)進(jìn)行配方，加上再減去一次項(xiàng)系數(shù)一半的平

方；(下一步)

(2)方程/+?=()的兩個(gè)根即為函數(shù)圖象與無(wú)軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

答案：

解：⑴y=x1+4x=x2+4x+4-4=(x+2)2~4=[x-(-2)]2-4.

函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-4).

(2)令y=0,即x2+4x=0,解得xi=O,X2=~4.

所以函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,0)和(-4,0).

類(lèi)似性問(wèn)題

1.拋物線y=f-2x+l的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(1,0)B.(-1,0)C.(-2,1)D.(2,-1)

解析：

方法一：y=/-2x+l=(x-1)2,所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)；(下一步)

>。

方法二：對(duì)于)=/-2工+1,a=i,。=-2,c=l,故一一—=----=1,

2a2x1

2

4ac-lr=4xlxl-(-2)=Q所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為。)

2.由二次函數(shù)y=2(x-3)2+l,可知()

A.其圖象的開(kāi)口向下

B.其圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=l

C.其最小值為1

D.當(dāng)x<3時(shí)，y隨x的增大而增大

解析：

二次函數(shù))，=2(k3尸+1的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=3,有最小值1,當(dāng)

x<3時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x>3時(shí)，y隨x的增大而增大.

初步性問(wèn)題

探究類(lèi)型之二二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合運(yùn)用

例2如圖所示，二次函數(shù)產(chǎn)-f+2x+m的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(3,0),另

一個(gè)交點(diǎn)為且與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求"2的值；

(2)求點(diǎn)8的坐標(biāo)；

解析：

(1)把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入)=-f+2%+加求〃？的值；(卜一步)

(2)方法一：令y=O,解一元二次方程確定點(diǎn)B的坐標(biāo)；(下一步)

方法二：根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于直線x=\對(duì)稱(chēng)求解.

解：

(1)把(3,0)代入y=-f+2x+，〃，得〃L3=0,即〃?=3.

(2)方法一：二次函數(shù)的解析式為y=-f+2x+3,令y=O,即-》2+2工+3=0,

解得加=3,X2=T.又點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0),所以點(diǎn)3的坐標(biāo)為(-1,0).

方法二：根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于直線x=］對(duì)稱(chēng)，

又點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0),所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,0).

(3)該二次函數(shù)圖象上有一點(diǎn)D(x,y)(尤>0,y>0),使S^BD=S^BC,求點(diǎn)D

的坐標(biāo).

解析：

(3)將x=0代入y=-/+2x+3,進(jìn)而確定出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)SMBD=SAABC，及

點(diǎn)。在第一象限可知點(diǎn)C,。關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng).

答案：

解：（3）將x=0代入），=-/+2》+3,得產(chǎn)3,所以點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,3）.

根據(jù)及點(diǎn)D在第一象限可知點(diǎn)D關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸直線x=\

S^BD=SAABC，C,

對(duì)稱(chēng)，所以點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2,3）.

師：如何求點(diǎn)。的坐標(biāo)？

生：（預(yù)設(shè)）根據(jù)面積公式及已知條件可知點(diǎn)C,。關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸直線x=l對(duì)

稱(chēng).

師：若去掉"（x>0,y>0）”這個(gè)限制條件，該如何求點(diǎn)。的坐標(biāo)？？

生：（預(yù)設(shè)）分類(lèi)討論，將過(guò)點(diǎn)C,。的直線作關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)直線交拋物線與兩點(diǎn).

師：（1）二次函數(shù)的圖象是拋物線，是軸對(duì)稱(chēng)圖形，充分利用拋物線的軸對(duì)稱(chēng)性，

是研究二次函數(shù)的性質(zhì)并解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

（2）已知二次函數(shù)圖象上幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，一般用待定系數(shù)法直接列方程（組）求解.

（3）已知二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)（除頂點(diǎn)外）和對(duì)稱(chēng)軸，便能確定與此點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸

對(duì)稱(chēng)的另一點(diǎn)的坐標(biāo).

類(lèi)似性問(wèn)題

3.下列四個(gè)函數(shù)圖象中，當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小的是（）

解析：

直接觀察圖象可知D正確.

考點(diǎn)33用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

師：同學(xué)們先回憶一下二次函數(shù)的解析式的三種表達(dá)形式.

生：（自由回答出二次函數(shù)解析式的三種表達(dá)形式）

師：那么我們?cè)谟么ㄏ禂?shù)法求二次函數(shù)的解析式是該如何選擇表達(dá)形式呢？

回顧：

待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，確定二次函數(shù)一般需要三個(gè)獨(dú)立條件，根據(jù)不同

條件選擇不同的設(shè)法.（下一步藍(lán)色字體）（下3步黃色陰影字體，）

（1）設(shè)一般式：y=ajr+bx+c（a^O）

若已知條件是圖象上的三個(gè)點(diǎn)，則設(shè)所求二次函數(shù)為），=o?+0x+c,將已知條件代入,

求出a,b,c的值.

（2）設(shè)頂點(diǎn)式：y=<2（x-/?）2+^（a^0）

若已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ(chēng)軸方程與最大值（或最小值），設(shè)所求二次函

數(shù)為y=a（x-//）2+k,將已知條件代入，求出待定系數(shù)，最后將解析式化為一般形式.

（3）設(shè)交點(diǎn)式：y=a（x-xi）（x-%2）（a^O）

若已知二次函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為3,0）,（松,0），設(shè)所求二次函數(shù)為

y=a（A-xi）（A-%2）>將第三點(diǎn)（〃?,〃）的坐標(biāo)（其中"為已知數(shù)）或其他已知條件代

入，求出待定系數(shù)最后將解析式化為一般形式.

師：下面我們一起來(lái)看幾道例題.

初步性問(wèn)題

探究類(lèi)型用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

9

例1已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)4（-5,0）,3（1,0）,且頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為？，求二次函數(shù)的

2

解析式.

師：如何求二次函數(shù)的解析式？

生：（預(yù)設(shè)）先求出對(duì)稱(chēng)軸，然后設(shè)交點(diǎn)式，將頂點(diǎn)坐標(biāo)代入求二次項(xiàng)系數(shù).

師：好，還有別的方法嗎？

生：（預(yù)設(shè)）設(shè)頂點(diǎn)式也可以.

生：（預(yù)設(shè)）設(shè)一般式也可以.

師：二次函數(shù)的解析式有三種形式，一般式（今0）,頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-/?）2+k,

兩根式y(tǒng)=a（x-a）a-X2）.根據(jù)已知條件，選擇最合適的形式，可以簡(jiǎn)化計(jì)算.

解析：

根據(jù)A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)特征可知A,8兩點(diǎn)為拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)拋

物線的對(duì)稱(chēng)性可知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=二產(chǎn)=-2,故頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,；）,

可設(shè)三種表達(dá)式求函數(shù)解析式.

答案:

解：根據(jù)A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)特征可知A,6兩點(diǎn)為拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，故

拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=3」=-2,所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,2）.（下一步）

22

方法一：設(shè)一般式y(tǒng)Rf+bx+c,把A,8及頂點(diǎn)坐標(biāo)代入，

1

25。-5b+c=Q,"=一5,

得a+b+c=O,解得<b=-2,

，5

4“a—c2h+c--9,c=—.

22

所以二次函數(shù)的解析式為y=-1?-2x+3.（下一步）

22

QQ1

方法二:設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=?（^+2）2+1,把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入,得9a+|=0,解得a=--,

所以二次函數(shù)的解析式為產(chǎn)-'（x+2）2+?=一_1/_2》+3.（下一步）

2222

91

方法三：設(shè)交點(diǎn)式產(chǎn)a（x+5）（x-l）,把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入，得-9〃=5，解得4=一萬(wàn),

所以二次函數(shù)的解析式為（x+5）（k1）=-1^-2%+-.

-222

39

例2已知：二次函數(shù)產(chǎn)2%2+陵+。，其圖象對(duì)稱(chēng)軸為直線產(chǎn)1,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,-2）.

44

（1）求此二次函數(shù)的解析式.

（2）設(shè)該圖象與x軸交于兩點(diǎn)（3在C點(diǎn)的左側(cè)），請(qǐng)?jiān)诖硕魏瘮?shù)x軸下方

的圖象上確定一點(diǎn)E,使AEBC的面積最大，并求出最大面積.

師：如何求此二次函數(shù)的解析式？

生：（預(yù)設(shè)）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸公式求出字母系數(shù)方的值，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出字母系數(shù)c的

值.

師：如何確定點(diǎn)E的位置？

生：（預(yù)設(shè)）根據(jù)面積公式及已知條件可知當(dāng)點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)時(shí)三角形面積最大.

解析：

（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸公式x=-2及已知點(diǎn)的坐標(biāo)列方程組求江，的值；（下一步）

2a

（2）E點(diǎn)在x軸下方，且△E8C面積最大，則E點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn).

答案：

解：（1）根據(jù)題意得2X4解得:

9=--

3+2b+c=--,c4

I4

所以二次函數(shù)的解析式為廣;，（下一步）

（2）當(dāng)點(diǎn)E為頂點(diǎn)時(shí)，AEBC面積最大.

令yn—jc2——x——=0,解得用=-1,%2=3.

424

又8在。點(diǎn)的左側(cè)，所以8（T,0）,C（3,0）,所以8c=4.

31a3

y=—x2--%——=—（xT）2-3,所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-3）.

■4244

所以SAEBC=—X4X|—3|=6.

類(lèi)似性問(wèn)題

1.下列二次函數(shù)中，圖象以直線x=2為對(duì)稱(chēng)軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,1）的是（）

A.產(chǎn)（x-2）2+1B.y=（x+2）2+1

C.產(chǎn)（x-2）2-3D.y=（x+2）2-3

解析：

根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2,可排除B,D,然后再把（0,1）分別

代入A,。中驗(yàn)證可知C正確.

2.若二次函數(shù)yuaS+bx+c的x與y的部分對(duì)叩|如

X-7-6-5-4[-3-2

y-27-13-333

則當(dāng)x=l時(shí)，y的值為（）

A.5B.-3C.-13D.-27

解析：

方法一：任選三對(duì)對(duì)應(yīng)的x,y值代入曠=加+區(qū)+。中確定出函數(shù)解析式，然后

再把x=l代入求出y的值；（下一步）

方法二：觀察表中數(shù)據(jù)可知當(dāng)x=-4和-2時(shí)，y值相等（出現(xiàn)兩個(gè)橢圓），所以

該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-3,故x=l時(shí),y的值與x=-7時(shí)v的值相等,

即為-27.

3.如圖所示，RtZ\O48中，ZOAB=9Q°,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊OA在x軸，04=43=1

個(gè)單位長(zhǎng)度，把RtZ\OAB沿x軸正方向平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得△A41B1.

（1）求以A為頂點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)51的拋物線；

（2）若（I）中的拋物線與08交于點(diǎn)C,與y

軸交于點(diǎn)。，求點(diǎn)。，C的坐標(biāo).

解析：

（1）易知A（1,0）,Bi（2,1）,利用頂點(diǎn)式求拋物線的解析式；（下一步）

（2）令（1）中拋物線解析式的x=0,求出），的值進(jìn)而確定點(diǎn)。的坐標(biāo)；（下一

步）

由0（0,0）和B（1,1）求出直線OB的解析式，與（1）中拋物線解析式聯(lián)立,

解方程組從而確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，要注意根據(jù)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)范圍合理取舍.

考點(diǎn)34二次函數(shù)圖象的平移

師：下面我們通過(guò)一個(gè)圖來(lái)看一下二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律.

回顧:

二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律：（先橫豎再豎橫再斜線）

上加下減

y=ax2+A

向上（A>0）,下（&<0）平移固個(gè)單位

向

右

~c

ov

左)

加

、

/I左

減(

s

)

平

移

點(diǎn)

個(gè)

單

位

向上（Q0）、下（左<0）平移IM個(gè)單位

y=a(x-h)2y=a(x-h)2

1-/JII卜一減

師：下面我們就一起來(lái)看兩道例題.

初步性問(wèn)題

探究類(lèi)型之一二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律

例1將拋物線y=-i?-x+3向下平移1個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位，求所得拋

物線的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).

師：如何求所得拋物線的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)？

生：(預(yù)設(shè))先化為頂點(diǎn)式再根據(jù)平移法則求出拋物線的解析式，通過(guò)頂點(diǎn)式可直接

確定.

師：非常好.

解析：

117

把產(chǎn)化成頂點(diǎn)式產(chǎn)力(X+1)2+表再按照“左加右減，上加下減”

的平移法則求出平移后的函數(shù)解析式，進(jìn)而確定平移后的拋物線的開(kāi)口方向、

對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).

答案：

117

解：因?yàn)?f-1+3=-一(x+l)2+—,

“222

所以平移后的拋物線的解析式為y=~-(X-4+1)2+--1=~-(X-3)2+~.

'2222

所以平移后的拋物線的開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=3,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-).

2

類(lèi)似性問(wèn)題

L在平面直角坐標(biāo)系中，如果拋物線不動(dòng)，而把x軸、y軸分別向上、向右平

移3個(gè)單位，那么在新坐標(biāo)系下此拋物線的解析式是()

A.y=3(%—3)2+3B.y=3(x—3)2—3

C.y=3(x+3)2+3D.y=3(x+3)2—3

解析：

“拋物線)，=3/不動(dòng)，而把x軸、y軸分別向上、向右平移3個(gè)單位”相當(dāng)于“坐

標(biāo)系不動(dòng)，而把拋物線向下、向左分別平移3個(gè)單位”；(下一步)

根據(jù)“左加右減，上加下減”的平移法則可知平移后的解析式為y=3(x+3)2-3.

初步性問(wèn)題

探究類(lèi)型之二二次函數(shù)圖象的平移

例2已知二次函數(shù))，=加+法一3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,-3),B(-1,0).

(1)求二次函數(shù)的解析式；

解析：

把點(diǎn)48的坐標(biāo)代入，用待定系數(shù)法求解.

答案:

4〃+2?！?=—3,

解：把點(diǎn)A,8的坐標(biāo)代入，得解得:二z