九年級數(shù)學教案6 反比例函數(shù)與二次函數(shù)（一）

第六講反比例函數(shù)與二次函數(shù)（一）

［教學內容］

《佳一動態(tài)數(shù)學思維》春季版，九年級第六講“反比例函數(shù)與二次函數(shù)（一）”.

［教學目標］

知識技能

1.理解反比例函數(shù)中k的意義，會根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的解析式；

2.掌握反比例函數(shù)的圖象特征、性質，能夠應用反比例函數(shù)的圖象和性質解決一些簡單的問題;

3.能夠利用反比例函數(shù)解決簡單實際問題；

4.掌握二次函數(shù)解析式的三種表達形式、圖像特征及性質，會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析

式，進一步鞏固加深對函數(shù)圖象平移規(guī)律的理解.

數(shù)學思考

1.通過用反比例函數(shù)和二次函數(shù)表述數(shù)量關系得過程，體會模型的思想，建立符號意識；

2.在研究點在平面直角坐標系中的運動，進一步發(fā)展空間觀念；

3.獨立思考，體會類比、數(shù)形結合等思想方法.

問題解決

1.經歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗解決問題方法的多樣性，掌握

分析問題和解決問題的一些基本方法.

2.在與他人合作和交流的過程中，能較好地理解他人的思考方法和結論.

情感態(tài)度

1.通過解決現(xiàn)實情境中問題，增強數(shù)學素養(yǎng)，用數(shù)學的眼光看世界.

2.感受成功的快樂，體驗獨自克服困難、解決數(shù)學問題的過程，有克服困難的勇氣，具備學好

數(shù)學的信心.

［教學重點、難點］

重點：反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖形特征及性質，利用待定系數(shù)發(fā)求反比例函數(shù)和二次函數(shù)的解

析式

難點：反比例函數(shù)和二次函數(shù)字母系數(shù)的含義，函數(shù)圖象的平移規(guī)律

［教學準備］

動畫多媒體語言課件

第一課時

教學路徑

導入

師：上節(jié)課我們主要復習了一次函數(shù)的知識，接下來的兩次課我們將一起來復

反比例函數(shù)和二次函數(shù)的內容.下面我們首先來看一個問題：

啟動性問題

如圖所示，奧運圣火抵達某市奧林匹克廣場后，沿圖中直角坐標系中的一段反

比例函數(shù)圖象傳遞.動點T（機，〃）表示火炬位置，火炬從離北京路10米處的M

點開始傳遞，到離北京路1000米的N點時傳遞活動結束.迎圣火臨時指揮部設在坐

標原點。（北京路與奧運路的十字路口），0AT3為少先隊員鮮花方陣，方陣始終保

持矩形形狀且面積恒為10000平方米（路線寬度均不計）.

你能知道圖中反比例函數(shù)的關系式嗎？

答案：圖中反比例函數(shù)的關系式為丫=史&.

X

考點29反比例函數(shù)的圖象與性質

師：大家一起先來回顧下反比例函數(shù)的概念、圖象特征和性質.

回顧：

L反比例函數(shù)的概念：（下一步）形如尸工（原0,左為常數(shù)）的函數(shù)叫做反比例函

X

數(shù).（下一步）

自變量的取值范圍：（下一步）x不等于0的一切實數(shù).（下一步）

反比例函數(shù)y=K的變式：丫=依“或xy=Z（際0）.

x

2.反比例函數(shù)的圖象與性質（下一步）

反比例函數(shù)y=&（原0）的圖象：（下一步）雙曲線，且關于原點對稱.

X

反比例函數(shù)產工（厚0）的性質:（下一步）

函數(shù)SS所在象限性質

一、三象限

Q0在每個象限內，V隨區(qū)人X人增日大，而減■/隊小

Jo-1-1-T*1%J”1J

（同號）

—k(!^/(\\x,y

X

二、四象限

k<0在每個象限內，y隨x增大而增大

（x,y異號）

師：下面我們就一起來看幾道例題.

初步性問題

探究類型之一反比例函數(shù)的圖象與性質

例1已知反比例函數(shù)y=-Z圖象上三個點的坐標分別是A（-2,y）,8（-1,”），

X

C（2,j3）?能正確反映yi,”，然的大小關系的是（）

A.y>y2>>3B.yi>y3>>2

C.V2>Vi>V3D.y2>v3>yi

師：如何比較函數(shù)值的大??？

生：（預設）因為解析式已知，可以直接將自變量的值代入求出函數(shù)值比較大小.

師：非常好，還有其他方法嗎？

生：（預設）根據(jù)反比例函數(shù)的性質進行比較.

師：非常好，還有其他方法嗎？

生：（預設）數(shù)形結合，根據(jù)反比例函數(shù)的圖像比較函數(shù)值的大小.

師：很好，（1）比較反比例函數(shù)值的大小，在同一象限內根據(jù)反比例函數(shù)的性質比

較.（2）在不同象限內，不能按其性質比較，y值的大小只能根據(jù)k值特征確定.最

后要注意數(shù)形結合.

解析:

777

方法一：將點A,B,C的坐標分別代入）；=-」，得y產!，”=7,y3=--,所

x22

以）2>）1>丫3；（下一步）

7

方法二：反比例函數(shù)產-'中％=-7<0,函數(shù)圖象在第二、四象限，在每一個象

x

限內，y隨x的增大而增大;（下一步）

又A（-2,yi）,B（~l,V2）在第二象限，所以”〉yi>0,而。（2,心）在第

四象限，所以>3<0，綜合可知y2>y\>>'3.

注：數(shù)形結合，（這里有個動圖）

答案：c

類似性問題

1.函數(shù)y=2x與函數(shù)y=m在同一坐標系中的大致圖象是（）

解析：

函數(shù)y=2x的圖象在第一、三象限，函數(shù)丫=^的圖象在第二、四象限，故選B.

X

3

2.若點A（l,%）,5（2,”）是雙曲線產之上的點,則yi”（填“〈”或“=”）.

x

解析:

T.3

方法一：將點A,8的坐標代入曠=二，得yi=3,”=一，所以">”；（卜一步）

x2

方法二：攵=3>0,函數(shù)圖象在第一、三象限，且在每個象限內y隨x的增大而減

小，因為1<2,所以P>處（下一步）

注：數(shù)形結合.（這里有個動圖）

初步性問題

探究類型之二坐標平面內點的特征

例2一次函數(shù)產氣+力的圖象與反比例函數(shù)產絲的圖象交于點A(2,1),B(-l,

X

〃)兩點.

(1)求反比例函數(shù)的解析式;

(2)求一次函數(shù)的解析式；

解析：

待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式：

(1)把A(2,1)代入產‘求處(下一步)

X

(2)先把B(-1,")代入(1)中求出的解析式求n,再把4(2,1),

代入y=kx+b求匕Z?的值.

答案：

解：(1)把A(2,1)代入y=%,得1=',即加=2.

x2

2

所以反比例函數(shù)的解析式為產

X

2

(2)把8(—1,n)代入尸一，得〃二-2,所以8(—1,-2).

x

把點A(2,1),3(—1,-2)代入產區(qū)+。，得產+1解得

-k+b=-2,[b=-l.

所以一次函數(shù)的解析式為y=x-L

(3)求△A08的面積.

解析：

割補法求面積:

方法一：

S^AOB=S^BOD^S/\COD^S^AOC

或S&AOB=SABOD+SMOD

或SdAOB=SMOC+S&BOC；(下■*步)

方法二：

過A點作x軸的垂線，垂足為E,過8點作y軸的垂線，垂足為八兩垂線交

于一點”.（在圖中作出）

SMOB=S&ABH~S4AOE~SABOILS正方形OEHF

答案:

解：(3)易求得C(1,0),D(0,-1).

3

SAAO8=SA6OO+SZXCW+S"OC=；X|-1|X|-1|+-Xl-llX1+-X1X1=-

21122

師：如何求反比例函數(shù)的解析式？

生：（預設）已知雙曲線上一點的坐標即可求反比例函數(shù)的解析式.

師：如何求一次例函數(shù)的解析式？

生：（預設）通過反比例函數(shù)的解析式求出另一點的坐標，已知兩點的坐標就可以確

定直線的解析式.

師：待定系數(shù)法求解析式是我們常用的方法.

師：如何求面積？

生：（預設）通過面積的割補法來求三角形的面積.

類似性問題

3.如圖是反比例函數(shù)y=?^n—-4圖象的一支，根據(jù)圖象回答下列問題:

X

（1）圖象的另一支在哪個象限？常數(shù)〃的取值范圍是什么？

（2）若函數(shù)的圖象經過（3,1）,求〃的值；

（3）在這個函數(shù)圖象的某一支上任取點ACai,bi）

和點3（42,岳），如果試比較歷和歷的大小.

解析:

（1）根據(jù)反比例函數(shù)的圖象關于原點對稱，可知函數(shù)圖象的另一支在第三象限,

故2〃-4>0,即〃>2；（下一步）

（2）把（3,1）代入產即a求〃的值；（下一步）

（3）根據(jù)“反比例函數(shù)圖象在第一、三象限，則在每一象限內y隨X的增大而

減小”可知，當ai時,b\>bi.

考點30反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義

師：同學們誰知道反比例函數(shù)系數(shù)后的幾何意義是布/f-v

回顧:

k的幾何意義：反比例函數(shù)圖象上的點（x,y）具有兩

特點，即過雙曲線上任意一點，向兩坐標軸作垂線，兩

形的面積為常數(shù)川（如下圖）.

師：接下來我們來看幾道相關例題.

初步性問題

探究類型之一已知圖象上一點與原點。構成的三角形面積，求攵

例1已知如圖所示,A是反比例函數(shù)y="的圖象上的一點,48_1_尤軸于點B,且

△A3。的面積是3,則k的值是（

Bx

師：如何求反比例系數(shù)？

生：（預設）根據(jù)反比例系數(shù)的幾何意義數(shù)形結合來求.

師：注意反比例系數(shù)的符號.

解析：

由反比例函數(shù)的幾何意義，得㈤，故3=1|川，心|=6；（下一步）

22

又函數(shù)圖象的一支在第一象限，所以女>0,所以上6.

答案：c

類似性問題

I.如圖所示，已知雙曲線），=與（后＜0）經過直角三角形

X

OAB斜邊0A的中點。，且與直角邊AB相交于點C.

若點A的坐標為（-6,4）,則4人。。的面積為（

A.12B.9C.6D.4

解析：

因為。為04的中點，點A的坐標為（-6,4）,根據(jù)中點坐標公式可得。（-3,

2）；（下一步）

把點。的坐標代入得Z=-6,所以S^BOC=—川=3；（下一步）

x2

又S^AOB=一義I-6X4=12,所以S/\AOC=S^AOB~~SABOC=9.

2

初步性問題

探究類型之二根據(jù)函數(shù)圖象求有關圖形面積

例2在反比例函數(shù)y=3（尤＞0）的圖象上，有一系列點Ai,A2,A?,…,A”,A”+i.若

X

A的橫坐標為2,且以后每點的橫坐標與它前一個點的橫坐標的差都為2.現(xiàn)分別過

點4,A2,A3,…，A,,,A"+i作x軸與y軸的垂線段，構成若干個矩形如圖所示，將

師：如何求矩形的面積Si?

生：（預設）根據(jù)面積公式，關鍵是求出矩形的寬.

師：如何求矩形的寬？

生：(預設)與點4,4,的縱坐標有關.

師：非常好，大家按照這個思路能否總結出工的一般表達式？

學生嘗試求解.

師：如何求前〃項的和？

生：(預設)前項與后項可以部分抵消.

師：非常好.

解析：

當x=2時，y=5,當尤=4時，y=』，所以S=2X(5-—)=5；(下一步)

-'22

一般規(guī)律：s?=2X[---1Q_]=ioxd-_L)；(下一步)

2n2(/7+1)n〃+1

Si+S2+S3+…+S〃

=10X(1-i)+10X(1-1)+10X(i-1)+-+10X(1--))

22334nn+1

…1111111、

22334n〃+1

=10X(1--)

"+1

_10n

n+l

答案：

L10〃

5；---

〃+1

類似性問題

13

2.如圖所示，點A在雙曲線產上上，點3在雙曲線產二上，旦軸，C,Q在

xx

x軸上，若四邊形ABCO為矩形，則它的面積為.

延長剛交y軸于￡（在圖中作出），則根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)上的幾何意義可知:

S短彩ADOE=1?S姐形BCOE=3；（下一步）

S矩形ABCD=SBcotr~S矩形ADOE=3-1=2.

考點31反比例函數(shù)的應用

師：首先同學們先回顧用待定系數(shù)發(fā)求反比例函數(shù)解析式的一般步驟.

回顧：

求反比例函數(shù)的解析式

待定系數(shù)法：（1）設反比例函數(shù)關系式為），=&；

X

（2）由已知條件求出〃的值；

（3）從而確定函數(shù)關系式.（下一步）

注意：反比例函數(shù)只有一個待定的k,只需要一個條件即可確定反比例函數(shù),

這個條件可以是圖象上的一個點的坐標，也可以是尤,y的一對對應值.

師：接下來我們來看一道反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應用問題.

初步性問題

探究類型之一反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合運用

例1如圖所示，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)），=（（原0）在第一象限的

2x

圖象交于A點，過A點作x軸的垂線，垂足為已知△OAM的面積為1.

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

解析：

根據(jù)S△皿=L|川確定我的值.

2

答案：

解：（1）根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)攵的兒何意義可知IN，

2

所以l='kl，即W=2.

2

又函數(shù)圖象的一支在第一象限，左＞0,所以A=2.

所以反比例函數(shù)的解析式為產M

x

（2）如果3為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點（點3與點A不重合），且B點的

橫坐標為1,在x軸上求一點P,使出+PB最小.

解析：

把x=l代入（1）中求出的反比例函數(shù)解析式從而確定出點8的坐標，聯(lián)立一次

函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式確定點A的坐標；（F一步）

當P為A點關于x軸的對稱點與B點的連線與x軸的交點時（在圖中作出），

%+P3最小.

答案：-2i

'1

y=（2[=-2

解：（2）解方程組；得x=‘或x‘又點A在第一象限，

）,=2U=1b=-t

、X

所以A（2,1）.把x=l代入產士得y=2,所以B（1,2）.（下一步）

x

在圖中標出點8,作點A關于x軸的對稱點連接43交x軸于點P（在圖中

作出）.

由A（2,1）可知1（2,-1）,設直線，B的解析式為產以+乩根據(jù)題意可得

2a+b=—1,

V

=2,

（a=-3

解得‘所以直線Z6的解析式為產-3x+5.

。=5,

令y=0，得O=-3x+5,解得x=2,所以P（-,0）.

33

師：如何求反比例函數(shù)的解析式？

生：（預設）根據(jù)反比例系數(shù)的幾何意義可求出反比例系數(shù).

師：如何確定尸點的位置？

生：（預設）這是利用兩點之間線段最短求最小值問題，關鍵是求出A、8兩點的坐

標.

師：1.一次函數(shù)''牽手”反比例函數(shù)的題型主要有三類：（1）同一坐標系中的兩類

函數(shù)圖象共存問題；（2）求函數(shù)解析式或圖象交點坐標問題（包含三角形的面積問

題）；（3）兩類函數(shù)的大小關系與相應自變量的范圍.求兩函數(shù)的交點坐標即求兩函

數(shù)解析式聯(lián)立所構成的方程組的解.

2.此類一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二元一次方程組、三角形面積等知識的綜合運用，

其關鍵是理清解題思路.在直角坐標系中，求三角形或四邊形面積時，常常采用分割

法，把所求的圖形分成幾個三角形或四邊形，分別求出面積后再相加.

類似性問題

1.如圖所示，反比例函數(shù)=&和正比例函數(shù)力乂4

的圖象交于A(-1,-3),B(l,

X

3)兩點，若切,

x

A.-l<x<0

B.-1<X<1

C.x<-1或0<x<l

D.TVxVO或￡>1

解析：

幺〉hr表現(xiàn)在圖象上即為雙曲線在直線上方部分，（在圖中標出）（下一步）

X

觀察圖象可知對應的X的取值范圍為XVT或OVxVl.

2.下圖中曲線是反比例函數(shù)>=變口的圖象的一支.

X

（1）這個反比例函數(shù)圖象的另一支位于哪個象限？常數(shù)〃的取值范圍是什么？

74

（2）若一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)圖象交于點A,與x軸交于8,

△AOB的面積為2,求〃的值.

解析：

（1）反比例函數(shù)圖象關于原點對稱，故另一支在第四象限，反比例函數(shù)的圖象

在第二、四象限，所以〃+7<0,即〃<-7；（下一步）

（2）先求出點B的坐標從而確定出08的長，再根據(jù)“△A08的面積為2”確

定出點A的縱坐標，然后代入從而確定出點A的坐標，最后把點A

33

的坐標代入y=士求”的值.

初步性問題

探究類型之二反比例函數(shù)在實際生活中的應用

例2病人按規(guī)定的劑量服用某種藥物，測得服藥后2小時，每毫升血液中的含量

達到最大值為4毫克.已知服藥后，2小時前每毫升血液中的含量y（毫克）與時間x

（小時）成正比例；2小時后y與x成反比例（如圖所示）.根據(jù)以上信息解答下列

問題：

（1）求當0%W2時，y與x的函數(shù)關系式;

（2）求當x>2時，y與尤的函數(shù)關系式；

解析：

（1）當0qW2時，y與x成正比例關系且過點（2,4）；（下一步）

（2）當尤>2時，y與x成反比例關系且過點（2,4）.

答案：

解：（1）當叱運2時，設產Zix,把（2,4）代入得4=2M，即k=2.

所以當gxS2時，y與x的函數(shù)關系式為y=2x.

（2）當x>2時，設尸與，把（2,4）代入得4=k，即比=8.

x2

所以當x>20寸，y與x的函數(shù)關系式為），=§.

X

（3）若每毫升血液中的含量不低于2毫克時治療有效，則服藥一次，治療疾病的有

效時間是多長？

解析:

（3）分別把y=2代入所求的正比例和反比例函數(shù)的解析式中，求出x,再結合

圖象知有效時間為尤2-孫（在圖中作出）儲，性的

答案：

解：（3）把y=2代入y=2x,得2=2x,即x=l.

把y=2代入戶—,得2=學，即x=4.

XX

4-1=3（小時），即服藥一次，治療疾病的有效時間是3小時.

師：如何求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式？

生：（預設）待定系數(shù)法.

師：如何求有效時間？

生：（預設）求當=2時，自變量的值，數(shù)形結合作差即可.

師：此類分段函數(shù)問題的關鍵是通過圖象發(fā)現(xiàn)有用條件，運用待定系數(shù)法求函數(shù)的

解析式，再根據(jù)函數(shù)的解析式解決問題.

第二課時

教學路徑

師：復習完反比例函數(shù)的知識，接下來我們就中點來復習一下二次函數(shù)的知識，二

次函數(shù)在中考中占有重要位置，經常以解答題的形式考查，也容易與圓等其他知識

進行結合作為壓軸題來考查，同學們一定要重視.

考點32二次函數(shù)圖象和性質

師：我們首先來回憶一下二次函數(shù)的概念、圖象和性質.

回顧：

1.二次函數(shù)：（下一步）一般地，如果丁=加+6+。（〃,4c是常數(shù)，存0）,那么y叫

做X的二次函數(shù).

2.二次函數(shù)的圖象和性質（下一步，先出表格及非陰影部分，然后黃色陰影一行一

行出現(xiàn)）

函數(shù)二次函數(shù)y=a/+bx+c（a,c是常數(shù)，”聲0）

a>0t?<0

小

圖象拋物線

開口方向開口向上開口向下

對稱軸直線x=---直線X=―--

2a2a

b4ac-h2b4ac-b2

頂點坐標(,)\9)

2a4a2a4a

在對稱軸的左側，即當x<-2在對稱軸的左側，即

2a

當x<-----時;y隨x

時，y隨x的增大而減??；在對2a

稱軸的右側，即當x>-2時，y的增大而增大；在對

2a

稱軸的右側，即當

增減性隨X的增大而增大，簡記左減右

x>-"—時，y隨x的

增2a-

增大而減小，簡記左

增右減

拋物線有最低點，當x=-2時，拋物線有最高點，

2a

當x=。時，y有

2a

y有取小值，y城小值=

最值4a最大值，

_^ac-b2

y最大依,

4（7

師：接下來我們來看幾道例題.

初步性問題

探究類型之一二次函數(shù)的圖象和性質

例1已知二次函數(shù)y=/+4x.

（1）用配方法把該函數(shù)化為產。（獷妨2+攵（其中&,/?,女都是常數(shù)，且存0）的形式,

并指出函數(shù)圖象的對稱軸和頂點坐標；

（2）求函數(shù)圖象與x軸的交點坐標.

師：配方時要注意什么？

生：(預設)先提取二次項系數(shù)，再加上或減去一次項系數(shù)一半的平方.

師：如何求函數(shù)圖象與X軸的交點坐標？

生：(預設)交點的橫坐標即為二次函數(shù)所對應的一元二次方程的根.

師：求二次函數(shù)的頂點坐標和對稱軸，若給出的表達式是頂點式y(tǒng)=a(xf)2+Z(W0),

可直接得到對稱軸x=〃，頂點(〃，k)；若給出的表達式是一般式y(tǒng)=ad+/?x+c(arO),

可利用配方法，也可應用對稱軸公式尸-2,頂點(-二，4*冷).

2a2a4a

解析：

(1)對二次項系數(shù)為1的二次函數(shù)進行配方，加上再減去一次項系數(shù)一半的平

方；(下一步)

(2)方程/+?=()的兩個根即為函數(shù)圖象與無軸的交點的橫坐標.

答案：

解：⑴y=x1+4x=x2+4x+4-4=(x+2)2~4=[x-(-2)]2-4.

函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=-2,頂點坐標為(-2,-4).

(2)令y=0,即x2+4x=0,解得xi=O,X2=~4.

所以函數(shù)圖象與x軸的兩個交點坐標分別為(0,0)和(-4,0).

類似性問題

1.拋物線y=f-2x+l的頂點坐標是()

A.(1,0)B.(-1,0)C.(-2,1)D.(2,-1)

解析：

方法一：y=/-2x+l=(x-1)2,所以頂點坐標為(1,0)；(下一步)

>。

方法二：對于)=/-2工+1,a=i,。=-2,c=l,故一一—=----=1,

2a2x1

2

4ac-lr=4xlxl-(-2)=Q所以頂點坐標為。)

2.由二次函數(shù)y=2(x-3)2+l,可知()

A.其圖象的開口向下

B.其圖象的對稱軸為直線x=l

C.其最小值為1

D.當x<3時，y隨x的增大而增大

解析：

二次函數(shù))，=2(k3尸+1的圖象開口向上，對稱軸為直線x=3,有最小值1,當

x<3時，y隨x的增大而減小，當x>3時，y隨x的增大而增大.

初步性問題

探究類型之二二次函數(shù)的圖象和性質的綜合運用

例2如圖所示，二次函數(shù)產-f+2x+m的圖象與x軸的一個交點為A(3,0),另

一個交點為且與y軸交于點C.

(1)求"2的值；

(2)求點8的坐標；

解析：

(1)把點A的坐標代入)=-f+2%+加求〃？的值；(卜一步)

(2)方法一：令y=O,解一元二次方程確定點B的坐標；(下一步)

方法二：根據(jù)點A和點B關于直線x=\對稱求解.

解：

(1)把(3,0)代入y=-f+2x+，〃，得〃L3=0,即〃?=3.

(2)方法一：二次函數(shù)的解析式為y=-f+2x+3,令y=O,即-》2+2工+3=0,

解得加=3,X2=T.又點A的坐標為(3,0),所以點3的坐標為(-1,0).

方法二：根據(jù)拋物線的對稱性可知點A和點B關于直線x=］對稱，

又點A的坐標為(3,0),所以點B的坐標為(-1,0).

(3)該二次函數(shù)圖象上有一點D(x,y)(尤>0,y>0),使S^BD=S^BC,求點D

的坐標.

解析：

(3)將x=0代入y=-/+2x+3,進而確定出點C的坐標，根據(jù)SMBD=SAABC，及

點。在第一象限可知點C,。關于拋物線的對稱軸對稱.

答案：

解：（3）將x=0代入），=-/+2》+3,得產3,所以點。的坐標為（0,3）.

根據(jù)及點D在第一象限可知點D關于拋物線的對稱軸直線x=\

S^BD=SAABC，C,

對稱，所以點。的坐標為（2,3）.

師：如何求點。的坐標？

生：（預設）根據(jù)面積公式及已知條件可知點C,。關于拋物線的對稱軸直線x=l對

稱.

師：若去掉"（x>0,y>0）”這個限制條件，該如何求點。的坐標？？

生：（預設）分類討論，將過點C,。的直線作關于x軸的對稱直線交拋物線與兩點.

師：（1）二次函數(shù)的圖象是拋物線，是軸對稱圖形，充分利用拋物線的軸對稱性，

是研究二次函數(shù)的性質并解決問題的關鍵.

（2）已知二次函數(shù)圖象上幾個點的坐標，一般用待定系數(shù)法直接列方程（組）求解.

（3）已知二次函數(shù)圖象上的點（除頂點外）和對稱軸，便能確定與此點關于對稱軸

對稱的另一點的坐標.

類似性問題

3.下列四個函數(shù)圖象中，當x<0時，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小的是（）

解析：

直接觀察圖象可知D正確.

考點33用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

師：同學們先回憶一下二次函數(shù)的解析式的三種表達形式.

生：（自由回答出二次函數(shù)解析式的三種表達形式）

師：那么我們在用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式是該如何選擇表達形式呢？

回顧：

待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，確定二次函數(shù)一般需要三個獨立條件，根據(jù)不同

條件選擇不同的設法.（下一步藍色字體）（下3步黃色陰影字體，）

（1）設一般式：y=ajr+bx+c（a^O）

若已知條件是圖象上的三個點，則設所求二次函數(shù)為），=o?+0x+c,將已知條件代入,

求出a,b,c的值.

（2）設頂點式：y=<2（x-/?）2+^（a^0）

若已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標或對稱軸方程與最大值（或最小值），設所求二次函

數(shù)為y=a（x-//）2+k,將已知條件代入，求出待定系數(shù)，最后將解析式化為一般形式.

（3）設交點式：y=a（x-xi）（x-%2）（a^O）

若已知二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點的坐標為3,0）,（松,0），設所求二次函數(shù)為

y=a（A-xi）（A-%2）>將第三點（〃?,〃）的坐標（其中"為已知數(shù)）或其他已知條件代

入，求出待定系數(shù)最后將解析式化為一般形式.

師：下面我們一起來看幾道例題.

初步性問題

探究類型用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

9

例1已知拋物線經過點4（-5,0）,3（1,0）,且頂點的縱坐標為？，求二次函數(shù)的

2

解析式.

師：如何求二次函數(shù)的解析式？

生：（預設）先求出對稱軸，然后設交點式，將頂點坐標代入求二次項系數(shù).

師：好，還有別的方法嗎？

生：（預設）設頂點式也可以.

生：（預設）設一般式也可以.

師：二次函數(shù)的解析式有三種形式，一般式（今0）,頂點式y(tǒng)=a（x-/?）2+k,

兩根式y(tǒng)=a（x-a）a-X2）.根據(jù)已知條件，選擇最合適的形式，可以簡化計算.

解析：

根據(jù)A,8兩點的坐標特征可知A,8兩點為拋物線與x軸的兩個交點，根據(jù)拋

物線的對稱性可知拋物線的對稱軸為直線x=二產=-2,故頂點坐標為（-2,；）,

可設三種表達式求函數(shù)解析式.

答案:

解：根據(jù)A,8兩點的坐標特征可知A,6兩點為拋物線與x軸的兩個交點，故

拋物線的對稱軸為直線x=3」=-2,所以頂點坐標為（-2,2）.（下一步）

22

方法一：設一般式y(tǒng)Rf+bx+c,把A,8及頂點坐標代入，

1

25。-5b+c=Q,"=一5,

得a+b+c=O,解得<b=-2,

，5

4“a—c2h+c--9,c=—.

22

所以二次函數(shù)的解析式為y=-1?-2x+3.（下一步）

22

QQ1

方法二:設頂點式y(tǒng)=?（^+2）2+1,把點B的坐標代入,得9a+|=0,解得a=--,

所以二次函數(shù)的解析式為產-'（x+2）2+?=一_1/_2》+3.（下一步）

2222

91

方法三：設交點式產a（x+5）（x-l）,把頂點坐標代入，得-9〃=5，解得4=一萬,

所以二次函數(shù)的解析式為（x+5）（k1）=-1^-2%+-.

-222

39

例2已知：二次函數(shù)產2%2+陵+。，其圖象對稱軸為直線產1,且經過點（2,-2）.

44

（1）求此二次函數(shù)的解析式.

（2）設該圖象與x軸交于兩點（3在C點的左側），請在此二次函數(shù)x軸下方

的圖象上確定一點E,使AEBC的面積最大，并求出最大面積.

師：如何求此二次函數(shù)的解析式？

生：（預設）根據(jù)對稱軸公式求出字母系數(shù)方的值，根據(jù)點的坐標求出字母系數(shù)c的

值.

師：如何確定點E的位置？

生：（預設）根據(jù)面積公式及已知條件可知當點是拋物線的頂點時三角形面積最大.

解析：

（1）根據(jù)對稱軸公式x=-2及已知點的坐標列方程組求江，的值；（下一步）

2a

（2）E點在x軸下方，且△E8C面積最大，則E點是拋物線的頂點.

答案：

解：（1）根據(jù)題意得2X4解得:

9=--

3+2b+c=--,c4

I4

所以二次函數(shù)的解析式為廣;，（下一步）

（2）當點E為頂點時，AEBC面積最大.

令yn—jc2——x——=0,解得用=-1,%2=3.

424

又8在。點的左側，所以8（T,0）,C（3,0）,所以8c=4.

31a3

y=—x2--%——=—（xT）2-3,所以頂點坐標為（1,-3）.

■4244

所以SAEBC=—X4X|—3|=6.

類似性問題

1.下列二次函數(shù)中，圖象以直線x=2為對稱軸，且經過點（0,1）的是（）

A.產（x-2）2+1B.y=（x+2）2+1

C.產（x-2）2-3D.y=（x+2）2-3

解析：

根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=2,可排除B,D,然后再把（0,1）分別

代入A,。中驗證可知C正確.

2.若二次函數(shù)yuaS+bx+c的x與y的部分對叩|如

X-7-6-5-4[-3-2

y-27-13-333

則當x=l時，y的值為（）

A.5B.-3C.-13D.-27

解析：

方法一：任選三對對應的x,y值代入曠=加+區(qū)+。中確定出函數(shù)解析式，然后

再把x=l代入求出y的值；（下一步）

方法二：觀察表中數(shù)據(jù)可知當x=-4和-2時，y值相等（出現(xiàn)兩個橢圓），所以

該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=-3,故x=l時,y的值與x=-7時v的值相等,

即為-27.

3.如圖所示，RtZ\O48中，ZOAB=9Q°,。為坐標原點，邊OA在x軸，04=43=1

個單位長度，把RtZ\OAB沿x軸正方向平移1個單位長度后得△A41B1.

（1）求以A為頂點，且經過點51的拋物線；

（2）若（I）中的拋物線與08交于點C,與y

軸交于點。，求點。，C的坐標.

解析：

（1）易知A（1,0）,Bi（2,1）,利用頂點式求拋物線的解析式；（下一步）

（2）令（1）中拋物線解析式的x=0,求出），的值進而確定點。的坐標；（下一

步）

由0（0,0）和B（1,1）求出直線OB的解析式，與（1）中拋物線解析式聯(lián)立,

解方程組從而確定點C的坐標，要注意根據(jù)點C的橫坐標范圍合理取舍.

考點34二次函數(shù)圖象的平移

師：下面我們通過一個圖來看一下二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律.

回顧:

二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律：（先橫豎再豎橫再斜線）

上加下減

y=ax2+A

向上（A>0）,下（&<0）平移固個單位

向

右

~c

ov

左)

加

、

/I左

減(

s

)

平

移

點

個

單

位

向上（Q0）、下（左<0）平移IM個單位

y=a(x-h)2y=a(x-h)2

1-/JII卜一減

師：下面我們就一起來看兩道例題.

初步性問題

探究類型之一二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律

例1將拋物線y=-i?-x+3向下平移1個單位，再向右平移4個單位，求所得拋

物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標.

師：如何求所得拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標？

生：(預設)先化為頂點式再根據(jù)平移法則求出拋物線的解析式，通過頂點式可直接

確定.

師：非常好.

解析：

117

把產化成頂點式產力(X+1)2+表再按照“左加右減，上加下減”

的平移法則求出平移后的函數(shù)解析式，進而確定平移后的拋物線的開口方向、

對稱軸和頂點坐標.

答案：

117

解：因為-f-1+3=-一(x+l)2+—,

“222

所以平移后的拋物線的解析式為y=~-(X-4+1)2+--1=~-(X-3)2+~.

'2222

所以平移后的拋物線的開口向下，對稱軸為直線x=3,頂點坐標為(3,-).

2

類似性問題

L在平面直角坐標系中，如果拋物線不動，而把x軸、y軸分別向上、向右平

移3個單位，那么在新坐標系下此拋物線的解析式是()

A.y=3(%—3)2+3B.y=3(x—3)2—3

C.y=3(x+3)2+3D.y=3(x+3)2—3

解析：

“拋物線)，=3/不動，而把x軸、y軸分別向上、向右平移3個單位”相當于“坐

標系不動，而把拋物線向下、向左分別平移3個單位”；(下一步)

根據(jù)“左加右減，上加下減”的平移法則可知平移后的解析式為y=3(x+3)2-3.

初步性問題

探究類型之二二次函數(shù)圖象的平移

例2已知二次函數(shù))，=加+法一3的圖象經過點A(2,-3),B(-1,0).

(1)求二次函數(shù)的解析式；

解析：

把點48的坐標代入，用待定系數(shù)法求解.

答案:

4〃+2?！?=—3,

解：把點A,8的坐標代入，得解得:二z