《弧度制》教學設計

高中數(shù)學精選資源3/3《弧度制》教學設計教學設計一、復習回顧上節(jié)課我們把角的概念推廣到了任意角，包括正角、負角和零角.這些角都是用“度”來度量的，這種用度作單位來度量角的制度稱為角度制.回憶一下，在角度制中，1度的角是如何定義的？弧長公式與扇形的面積公式分別是什么？思考：在我們度量長度時，有時用“米”作單位，有時用“尺”作單位，有不同的單位制，度量質量時，可以使用“千克”“磅”等不同的單位制，角除了使用角度來度量外，是否還有其他度量角的制度呢？二、情境導入如圖，是一種折疊扇.折疊扇打開、合攏的過程可以抽象成扇形圓心角的變大、變小.那么在這個過程中，扇形的什么量在發(fā)生變化？什么量沒發(fā)生變化？由此你能想到度量角的其他辦法嗎？三、探究新知1.弧度制.（1）請大家思考角度制是如何定義的？使用角度來度量角時，是把圓周等分為360份，其中每一份所對應的圓心角為1度，這種用度作單位來度量角的制度稱為角度制.角度制下規(guī)定1度等于60分，1分等于60秒，即.設計意圖：回顧角度制，為引入弧度制奠定基礎.使用角度來度量角，其關鍵是“等分”.考慮到面積、體積等都可以通過線的長度來刻畫，那么，能否用“測量長度”來代替“等分”？通過類比，讓學生理解弧度制引入的可能性.將折疊扇抽象為如圖（1）所示的圖形，可以看出，弧AB與弧都與角對應，但時，它們的弧長與始終不相等，其原因在于.一般地，如果角是由射線OP繞它的端點旋轉形成的，如圖（2）所示，則在旋轉的過程中，射線的任意一點（端點除外）必然形成一條圓弧，不同的點所形成的圓弧長度不同，但這些圓弧對應同一個角.可以猜想，這些弧的長與弧所在的圓的半徑的比值是一個常數(shù)，即定值.事實上，設，弧AB的長為l，半徑，則，因此.這個等式右端不包含半徑，這表示弧長比半徑的值不依賴于半徑，而只與角的大小有關系.我們稱弧長與半徑的比值的這個常數(shù)為圓心角的弧度數(shù).因此，長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角為1弧度的角，記作1rad.如圖所示，動態(tài)演示1弧度角、2弧度角、弧度角的生成過程.設計意圖：明確給出1弧度角的定義，借助多媒體演示，直觀感受角的大小.如前所述，這樣規(guī)定出來的1弧度的角大小是完全確定的，這種以弧度為單位來度量角的制度稱為弧度制.（2）角的弧度數(shù)的計算公式.由弧度制的定義可得，在半徑為r的圓中，若弧長為l的弧所對的圓心角為，則.由此也可以得到，即弧長等于其所對應的圓心角的弧度數(shù)與半徑的積.注意：今后在用弧度制表示角的時候，“弧度”二字或rad可以省略不寫，而只寫這個角對應的弧度數(shù).設計意圖：明確弧度的計算公式和弧長公式，進一步體會弧度制的概念.2.弧度制與角度制的換算.根據(jù)弧度制的定義思考如下問題：（1）一個周角對應的弧度數(shù)應是多少？（2）一般地，弧度制與角度制之間怎樣進行換算？因為半徑為r的圓的周長為，根據(jù)弧度制的定義，其對應的弧度數(shù)應該是，因此有，因此可得如下公式：.設一個角的角度數(shù)為n，弧度數(shù)為，則有如下的換算公式：.根據(jù)上述公式，可以得出：.設計意圖：掌握角度制與弧度制的換算公式.四、典例分析例1把，，化成弧度（用表示），并在平面直角坐標系中作出它們的終邊.分析：利用進行轉化.解：設角的弧度數(shù)為，則，所以，即，對應的角的終邊為圖中的射線OA.類似地，有，它們的終邊分別為圖中的射線.設計意圖：熟練掌握角度制化弧度制的方法.同時從直觀上感受1弧度的角要略小于60°的角.例2把化成角度數(shù).分析：利用進行轉化.解：設，則，因此，即.設計意圖：熟練掌握弧度制化角度制的方法.例3利用弧度制推導扇形的面積公式其中l(wèi)是扇形的弧長，r是扇形的半徑.分析：根據(jù)扇形的面積與圓的面積的比推導扇形的面積公式.解：設扇形的圓心角為，則扇形的面積為.又因為，所以.設計意圖：本例的引入既可以進一步理解角度與弧度的互化公式，感受從角度制到弧度制發(fā)生的變化，看到弧度制下的弧長公式和扇形的面積公式得到了大大簡化，這是弧度制優(yōu)越性的又一個體現(xiàn).注意：1.弧度制下扇形的面積公式與三角形的面積公式對比，可以將扇形看成一個曲邊三角形.2.扇形面積的另一個計算公式：.五、課堂小結1.弧度制的概念以及角的弧度數(shù)的計算公式.2.弧度制與角度制的換算公式.3.角度制與弧度制下弧長公式與扇形的面積公式對比：角度制弧長公式：扇形的面積公式：弧度制弧長公式：扇形的面積公式：設計意圖：幫助學生理清知識結構，掌握內在聯(lián)系，體會數(shù)學思想方法，對學生構建自己的知識體系有很大幫助.六、布置作業(yè)1.教材第157頁練習第1~3題.2.拓展作業(yè)：請同學們到閱覽室或網(wǎng)上查找古今中外角的單位制度的相關知識，整理并相互交流.設計意圖：課堂的拓展與延伸，強化學習效果.借助數(shù)學知識，滲透數(shù)學歷史和文化.板書設計弧度制及其與角度制的換算1.弧度制長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角為1弧度的角2.弧度制與角度制的換算3.弧長公式和扇形的面積公式設扇形的半徑為r，弧長為l，圓心角為，則例1例2例3教學研討弧度制的引入對于有關角的問題的研究至關重要，弧度制以及1弧度的角的定義，是把角度和長度對應起來了，也就把角度與實數(shù)對應起來了，尤其是為后續(xù)三角函數(shù)概念的給出奠定了基礎.因此本節(jié)教學很重要的一個目標就是要讓學生明白這一點.角有了兩種度量制，角度制