2.4 二次函數(shù)y=a（x-h）²的圖像與性質(zhì)（B卷能力拓展） -2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊同步分層練習(xí)（基礎(chǔ)鞏固＋能力拓展北師大版）（解析版）

2.4二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________B卷（能力拓展）一、選擇題1．（2021·安徽九年級(jí)月考）已知二次函數(shù)（h為常數(shù)），當(dāng)自變量x的值滿足1≤x≤3時(shí)，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為1，則h的值為（）A．2或4 B．0或4 C．2或3 D．0或3【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸為：x=h和的位置關(guān)系，分三種情況討論即可求解．【詳解】解：函數(shù)的對(duì)稱軸為：x=h，①當(dāng)時(shí)，x=3時(shí)，函數(shù)取得最小值1，即，解得h=4或h=2（舍去）；②當(dāng)時(shí)，x=1時(shí)，函數(shù)取得最小值1，即，解得h=0或h=2（舍去）；③當(dāng)時(shí)，x=h時(shí)，函數(shù)取得最小值1，不成立，綜上，h=4或h=0，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)的最值，函數(shù)的對(duì)稱軸，分情況討論解決問題是解此題的關(guān)鍵．2．已知：拋物線y=a（x+1）2的頂點(diǎn)為A，圖象與y軸負(fù)半軸交點(diǎn)為B，且OB=OA，若點(diǎn)C（-3，b）在拋物線上，則△ABC的面積為（）A．3B．3.5C．4D．4.5【答案】A【分析】首先利用頂點(diǎn)式得出頂點(diǎn)A為（-1，0），由OB=OA得出B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1），代入求得a，得出拋物線解析式，進(jìn)一步代入點(diǎn)C求得b，利用面積的和與差得出△ABC的面積為即可．【詳解】∵拋物線的頂點(diǎn)為A，∴頂點(diǎn)A為(?1,0)，∵圖象與y軸負(fù)半軸交點(diǎn)為B，且OB=OA，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,?1)，代入解得a=?1，∴拋物線，∵點(diǎn)C(?3,b)在拋物線上，∴b=?4，如圖，△ABC的面積=×(1+4)×3?×1×1?×2×4=3.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì).3．（廣東廣州市九年級(jí)期中）如圖，拋物線y＝（x﹣h）2與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)M，且與平行于x軸的直線l交于A、B兩點(diǎn)，若AB＝3，則點(diǎn)M到直線l的距離是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)M為（h，0），設(shè)點(diǎn)M到直線l的距離為a，則有y＝（x﹣h）2＝a，求出A、B坐標(biāo)即可求解．【詳解】解：∵拋物線y＝（x﹣h）2與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)M，∴函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)M為（h，0），設(shè)點(diǎn)M到直線l的距離為a，則y＝（x﹣h）2＝a，解得：x＝h，即A（h﹣，0），B（h+，0），∵AB＝3，∴h+﹣（h﹣）＝3，解得：a＝，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；熟練掌握相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．4．（2021·浙江九年級(jí)期末）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，若，則的值可能是（）A． B． C．0 D．【答案】D【分析】二次函數(shù)y=a（x-m）2（a＜0）開口向下，對(duì)稱軸為直線x=m，根據(jù)拋物線上的點(diǎn)與直線x=m的距離越小對(duì)應(yīng)的y值就越大即可得到m的取值范圍．【詳解】解：∵y=a（x-m）2（a＜0），∴拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線x=m，∴當(dāng)拋物線上的點(diǎn)與直線x=m的距離越小，對(duì)應(yīng)的y值就越大，∵A（-1，p），B（3，q），且p＜q，∴B點(diǎn)到直線x=m的距離小于A點(diǎn)到直線x=m的距離，∴m≥3，或m+1＞3-m，解得m＞1，而只有＞1，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．5．（2021·山東煙臺(tái)市九年級(jí)期末）關(guān)于拋物線y1＝（1+x）2與y2＝（1-x）2，下列說法不正確的是（）A．圖象y1與y2的開口方向相同 B．y1與y2的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱C．圖象y2向左平移2個(gè)單位可得到y(tǒng)1的圖象 D．圖象y1繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°可得到y(tǒng)2的圖象【答案】D【分析】兩個(gè)拋物線解析式都是頂點(diǎn)式，可以根據(jù)頂點(diǎn)式直接判斷頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸，開口方向及與y軸的關(guān)系．【詳解】∵拋物線y1＝（1+x）2＝（x+1）2，拋物線y2＝（1-x）2＝（x-1）2，∴拋物線y1的開口向上，頂點(diǎn)為（-1，0），對(duì)稱軸為直線x=-1；拋物線y2的開口向上，頂點(diǎn)為（1，0），對(duì)稱軸為直線x=1，故選項(xiàng)A說法正確，不符合題意；∴y1與y2的頂點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，故選項(xiàng)B說法正確，不符合題意；∴y1與y2的頂點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，y2向左平移2個(gè)單位可得到y(tǒng)1的圖象，故選項(xiàng)C說法正確，不符合題意；∵y1繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的拋物線為y=-（x+1）2，與y2開口方向不同，∴D錯(cuò)誤，符合題意．故選：D【點(diǎn)睛】主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用函數(shù)解析式確定頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸以及開口方向和與y軸的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．（2021·上海九年級(jí)專題練習(xí)）若點(diǎn)三點(diǎn)在拋物線的圖象上，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出二次函數(shù)拋物線y=a（x+1）2（a＞0）的對(duì)稱軸，然后根據(jù)二次函數(shù)的增減性求解．【詳解】解：∵二次函數(shù)y=a（x+1）2中a＞0，∴開口向上，對(duì)稱軸為x=-1，∵-3＜-2＜-1，∴y1＞y2＞y3．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2020·浙江杭州九年級(jí)期末）若拋物線與軸有唯一公共點(diǎn)，且過點(diǎn)，，則（）．A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【分析】先根據(jù)二次函數(shù)圖像上縱坐標(biāo)相同的兩個(gè)相異的點(diǎn)可得對(duì)稱軸，再根據(jù)拋物線與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)得該拋物線的解析式為，最后將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入解析式即得．【詳解】∵拋物線過點(diǎn)，∴該拋物線的對(duì)稱軸為∵拋物線與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)∴該拋物線的解析式為即∵點(diǎn)是上一點(diǎn)∴故選：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)圖像上縱坐標(biāo)相同的兩個(gè)相異的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱．二、填空題8．（2020·武岡市第二中學(xué)九年級(jí)月考）已知點(diǎn)P在拋物線y＝（x﹣2）2上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y的取值范圍是________．【答案】0≤y≤4【分析】根據(jù)函數(shù)解析式確定拋物線的對(duì)稱軸、最小值，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得到最大值，由此得到答案．【詳解】解：∵拋物線y＝（x﹣2）2的對(duì)稱軸是直線x＝2，∴當(dāng)x＝2時(shí)y最小，最小值是0，∵0≤x≤3，∴當(dāng)x＝2時(shí)y最小，最小值是0，當(dāng)x＝0時(shí)，y最大，最大值為y＝4，∴y的取值范圍為：0≤y≤4．故答案為：0≤y≤4．【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的最值的確定，熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2021·黑龍江綏濱九年級(jí)期末）已知二次函數(shù)y＝（x－m）2，當(dāng)x≤1時(shí)，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是__________．【答案】【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)的開口方向，再由當(dāng)x≤1時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小可知二次函數(shù)的對(duì)稱軸x＝m≥1．【詳解】解：∵二次函數(shù)y＝（x﹣m）2，中，a＝1＞0，∴此函數(shù)開口向上，∵當(dāng)x≤1時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小，∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸x＝m≥1．故答案為：m≥1．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的增減性是解答此題的關(guān)鍵．10．（2020·南通西藏民族中學(xué)九年級(jí)期中）已知二次函數(shù)的圖象上有三點(diǎn)，，，則，，的大小關(guān)系為_______________（用“＜”號(hào)連接）【答案】y3＜y1＜y2【分析】將三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式進(jìn)行計(jì)算后比較即可．【詳解】將三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式：y1＝3（1＋2）2＝27；y2＝3（2＋2）2＝48；y3＝3（?3＋2）2＝3；所以，y3＜y1＜y2．故填：y3＜y1＜y2．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式即可進(jìn)行計(jì)算．11．（2021·安徽阜陽市中考一模）如圖1，E是等邊的邊BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AE，以AE為邊向右作等邊，連接已知的面積（S）與BE的長（x）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示（為拋物線的頂點(diǎn)）．（1）當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，的大小為______．（2）等邊的邊長為______．【答案】【分析】（1）過點(diǎn)F作FD⊥BC于點(diǎn)D，由已知先證≌，得，，進(jìn)可得∠FCD的度數(shù)，所以可求得FD，設(shè)等邊△ABC的邊長為a，則可把△ECF的面積表示出來，并求出面積的最大值，此時(shí)便可求得∠FEC的度數(shù)；（2）由圖知△ECF的最大值，由（1）中計(jì)算知道它的面積的最大值，則兩者相等，可求得等邊△ABC的邊長．【詳解】過F作，交BC的延長線于D，如圖：

為等邊三角形，為等邊三角形，

，，，

，

≌，

，，

，

，，

，

設(shè)等邊邊長是a，則，

，

當(dāng)時(shí)，有最大值為，

(1)當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，，即E是BC的中點(diǎn)，

，，

，

，

故答案為：；（2）當(dāng)時(shí)，有最大值為，

由圖可知最大值是，

，解得或邊長，舍去，

等邊的邊長為，

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形及二次函數(shù)知識(shí)，解題關(guān)鍵是證明由≌，用x的代數(shù)式表示的面積．12．（2020·江蘇丹陽九年級(jí)模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2（a＞0）與y＝a（x﹣2）2的圖象交于點(diǎn)B，拋物線y＝a（x﹣2）2交y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作x軸的平行線與兩條拋物線分別交于C、D兩點(diǎn)，若點(diǎn)A是x軸上兩條拋物線頂點(diǎn)之間的一點(diǎn)，連結(jié)AD，AC，EC，ED，則四邊形ACED的面積為_____．【答案】8a【分析】根據(jù)題意得出BD＝BC＝2，即可求得DC＝4，然后求得E的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式即可求得四邊形ACED的面積．【詳解】解：∵拋物線y＝ax2（a＞0）與y＝a（x﹣2）2的圖象交于點(diǎn)B，∴BD＝BC＝2，∴DC＝4，∵y＝a（x﹣2）2＝ax2﹣4ax+4a，∴E（0，4a），∴S四邊形ACED＝S△ACD+S△CDE＝×DC?OE＝＝8a，故答案為：8a．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的幾何變換，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求得DC的出和E的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．三、解答題13．（2021·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)九年級(jí)模擬）已知平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線，其中．若拋物線的對(duì)稱軸為，①m的值為_﹔②當(dāng)時(shí)，有（填“”，“”或“”）．當(dāng)時(shí)，若拋物線與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)求出的取值范圍．【答案】（1）1；②=；（2）【分析】（1）①把拋物線化為一般式，得，由對(duì)稱軸公式，得；②把分別代入和，即可比較與大??；（2）聯(lián)立、的解析式得方程，△，題中，即拋物線與直線相交，有2個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)和時(shí)代入方程，即得的值，可求出的范圍．【詳解】解：（1）①由，則對(duì)稱軸，，②把分別代入與得，，，；（2）聯(lián)立、的解析式可得，，整理得，，則△，，，即就是沒有直線與拋物線相切的情況．當(dāng)時(shí)，代入方程，得，（負(fù)值舍去），，當(dāng)時(shí)，代入方程，得，，又，的取值為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)和一次函數(shù)，解本題的關(guān)鍵是要熟練掌握二次函數(shù)對(duì)稱軸公式，代入法求值、一元二次方程的判別式等．14．（2021·山東南區(qū)九年級(jí)二模）正在建設(shè)的北京環(huán)球影城主題樂園是世界第五個(gè)環(huán)球影城樂園中既有功夫熊貓、小黃人樂園等小朋友喜歡的景區(qū)，又有過山車等深受年輕游客喜愛的游樂設(shè)施．過山車雖然驚悚恐怖，但是安全保障措施非常到位．如圖所示，為過山車的一部分軌道，它可以看成一段拋物線．其中米，米（軌道厚度忽略不計(jì)）．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）在軌道距離地面5米處有兩個(gè)位置和，當(dāng)過山車運(yùn)動(dòng)到處時(shí)，平行于地面向前運(yùn)動(dòng)了米至點(diǎn)，又進(jìn)入下坡段（接口處軌道忽略不計(jì)）．已知軌道拋物線的形狀與拋物線完全相同，在到的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)過山車距地面4米時(shí)，它離出發(fā)點(diǎn)的水平距離最遠(yuǎn)有多遠(yuǎn)？（3）現(xiàn)需要在軌道下坡段進(jìn)行一種安全加固，建造某種材料的水平和豎直支架，且要求．已知這種材料的價(jià)格是8000元/米，如何設(shè)計(jì)支架，會(huì)使造價(jià)最低？最低造價(jià)為多少元？【答案】（1）；（2）米；（3）當(dāng)支架米，米，米，米時(shí)，總造價(jià)最低，最低造價(jià)為53000元【分析】（1）利用頂點(diǎn)式來求解函數(shù)解析式；（2）利用函數(shù)圖象的平移性質(zhì)來求出拋物線的解析式，再根據(jù)函數(shù)值為4，求出橫坐標(biāo)，取離出發(fā)點(diǎn)的水平距離最遠(yuǎn)的橫坐標(biāo)的值；（3）設(shè)米，通過函數(shù)解析式，把其余三條邊用來表示，求和表達(dá)式是關(guān)于的二次函數(shù)，在求最小值即可．【詳解】（1）解：由題意知：,且點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)拋物線函數(shù)關(guān)系式為，將點(diǎn)代入其中，解得：，拋物線的函數(shù)關(guān)系式：（2）由圖像可設(shè)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∵拋物線與拋物線完全一樣