2.4線段、角的對稱性（三~四）（解析版）

2.4線段、角的對稱性（三~四）【推本溯源】1.如圖，OC是∠AOB的角平分線，如果把∠1沿OC翻折，因為∠1=∠2，所以射線OA與射線OB重合。因此，角是軸對稱圖形，角的平分線所在的直線是它的對稱軸.2.如圖，在∠AOB的角平分線OC任意取一點P，PD⊥OA，PE⊥OB，證：PD=PE。證：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB ∴∠DOP=∠EOP，∠PDO=∠PEO=90°在▲PDO與▲PEO中， ∴▲PDO≌▲PEO（AAS）∴PD=PE因此，角平分線的性質定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等． 幾何語言：∵點P在∠AOB的平分線上，PD⊥OA,PE⊥OB∴PD＝PE3.如圖，若點Q在∠AOB內部，QD⊥OA，QE⊥OB，且QD＝QE，點Q在∠AOB的角平分線上嗎？為什么？點Q在∠AOB的角平分線上；連接OQ，∵QD⊥OA，QE⊥OB∴∠QDO=QEO=90°在Rt▲QDO和Rt▲QEO中，∠QDO=QEO=90°， ∴Rt▲QDO≌Rt▲QEO（HL）∴∠DOQ=∠EOQ∴點Q在∠AOB的角平分線上因此，角平分線的判定定理：角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上。幾何語言：∵點Q在∠AOB的內部，QD⊥OA,QE⊥OB，且QD＝QE∴點Q在∠AOB的平分線上已知∠AOB（如圖），求作：用尺規(guī)作圖作出∠AOB的平分線OM．（1）以O為圓心，任意長為半徑作弧，分別交射線OA、OB于點C、D．（2）分別以點C、D為圓心，大于CD的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB的內部交于點M（3）作射線OM。5.在直線AB外任取一點C，用該方法作出線段∠A、∠B的角平分線，你會發(fā)現什么？三角形三個頂角的角平分線交于一點.這一點到三角形三條邊的距離相等6.設三角形角平分線的交點到三邊的距離為h，三角形的周長為C，面積為S，三者之間的關系是？【解惑】例1：如圖，交延長線于，于，，．(1)求證：平分；(2)直接寫出與之間的數量關系．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）求出，根據全等三角形的判定定理得出，推出，根據角平分線性質得出即可；（2）根據全等三角形的性質得出，再根據，即可求出答案．【詳解】（1）解：證明：，，，在和中，，，，，，平分；（2）解：．理由如下：由（1）知平分，，在和中，，，，∵，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的性質和判定的應用，角平分線的判定，注意：全等三角形的判定定理有，，，，，全等三角形的對應邊相等，對應角相等．例2：如圖，在中，，以點為圓心，任意長為半徑作弧，分別交邊，于點，，分別以點，為圓心，以大于為半徑作弧，兩弧交于點，射線交于點，若，，則的面積為__________．

【答案】5【分析】過D作于E，根據角平分線的性質和三角形的面積即可得到結論．【詳解】過D作于E，

由題可知平分，∵，∴，∵，∴，故答案為：5．【點睛】本題考查了作圖-基本作圖：作已知角的角平分線，角平分線的性質，三角形的面積公式等，熟練掌握作圖是解題的關鍵．例3：如圖中，平分，則的面積為（）

A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】過點D作于點F，根據角平分線的性質可得，然后根據三角形的面積公式求解即可．【詳解】過點D作于點F，如圖所示：∵平分，∴，∵，∴的面積，故選：B．

【點睛】本題考查了角平分線的性質定理，屬于基礎題目，正確添加輔助線、得出是解題關鍵．例4：小明同學在學習了全等三角形的相關知識后發(fā)現，只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個角的平分線．如圖：一把直尺壓住射線，另一把直尺壓住射線并且與第一把直尺交于點P，小明說：“射線就是的角平分線．”他這樣做的依據是（

）A．角的內部到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上．B．角平分線上的點到角兩邊的距離相等．C．三角形三個內角的平分線交于同一個點．D．三角形三個內角的平分線的交點到三條邊的距離相等．【答案】A【分析】如圖，過點P作于E點，于F點，則，然后根據角平分線的性質定理的逆定理可判斷平分，從而可對各選項進行判斷．【詳解】解：如圖，過點P作于E點，于F點，∵兩把長方形直尺完全相同，∴，∴平分（角的內部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上），故選：A．【點睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關鍵．也考查了全等三角形的性質、角平分線的性質和線段垂直平分線的性質．例5：如圖，是內一點，點到三邊的距離相等，若，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由條件可知平分和，利用三角形內角和可求得解．【詳解】解：∵點P到三邊的距離相等，∴平分，平分，∴，，∵，∴．故選：D．【點睛】本題主要考查角平分線的性質與判定，掌握角平分線的交點到三角形三邊的距離相等是解題的關鍵．【摩拳擦掌】1.點在內，且到三邊的距離相等．若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據三角形的角平分線的判定定理得到都是角平分線，故可求解．【詳解】解：∵O到三角形三邊距離相等，∴O三角形三條角平分線的交點，

∴都是角平分線，∴，，∵，∴，∴，故選：A．【點睛】此題主要考查三角形角平分線的判定定理，與角平分線有關的三角形內角和定理，解題的關鍵是熟知角平分線的判定定理．2.如圖，在中，，用直尺和圓規(guī)在邊上確定一點，使點到邊、的距離相等，則符合要求的作圖痕跡是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】點P到、的距離相等，說明點P在的角平分線上，作出角平分線即可得到答案．【詳解】解：∵需要在邊上確定一點P，使點P到、的距離相等，∴點P是的平分線與的交點，故選：C．【點睛】本題考查尺規(guī)作角的平分線，懂得把問題轉化成角平分線的問題是解題關鍵．3.如圖，P是內一點，點P到三邊，，的距離，，則的度數為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據角平分線的判定得出，是，的角平分線，進而得出，，求出，進而得出，再根據三角形內角和定理即可得出答案．【詳解】∵點P到三邊，，的距離，∴，是，的角平分線，∴，，∵，∴，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查三角形內角和定理，角平分線的判定，掌握角平分線的判定定理是解題的4.如圖，在中，是的平分線，過點分別作，的垂線，垂足分別為點，，若，則的長為________．

【答案】5【分析】根據角平分線的性質定理求解即可．【詳解】∵是的平分線，，，∴．故答案為：5．【點睛】此題考查了角平分線的性質定理，解題的關鍵是熟練掌握角平分線的性質定理．5.如圖，在中，是邊上的高，平分，交于點，已知，，，則的面積等于_______．

【答案】【分析】過點作于點，然后根據角平分線的性質可得的長度，然后根據三角形面積進行計算即可．【詳解】解：過點作于點，

∵平分，，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了角平分線的性質，熟知角平分線上的任意一點到角兩邊的距離相等是解本題的關鍵．6.如圖，在中，，，的面積為24，依據尺規(guī)作圖的痕跡判斷，的長為______．

【答案】6【分析】作交于，根據題意可得：平分，，從而得到，由的面積為24可得，即，進行計算即可得到答案．【詳解】解：作交于，

，根據題意可得：平分，，，的面積為24，，即，，故答案為：6．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質，熟練掌握角平分線段的性質，添加適當的輔助線是解題的關鍵．7.如圖，已知．

(1)求作邊上高，交于點；(2)求作的平分線，交于點；(3)若，，求的度數．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）以點A為圓心，大于點A到的距離為半徑畫弧，與交于兩點，再以這兩個點為圓心，以大于這兩個點之間的線段長一半為半徑畫弧，兩弧交于一點，連接A與該點，交于點D，即可得出邊上高；（2）以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，交、于兩點，以這兩個點為圓心，大于這兩個點之間的線段長一半為半徑畫弧，兩弧交于一點，連接A與該點的射線，交于點E，即可得出的平分線；（3）根據，計算即可．【詳解】（1）解：如圖，即為邊上高；（2）解：如圖：即為的平分線；

（3）解：∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，作垂線、作角平分線，三角形內角和定理，三角形的高，角平分線的定義等知識，解題的關鍵是熟練掌握五種基本作圖．8.使用直尺與圓規(guī)完成下面作圖，（不寫作法，保留作圖痕跡）(1)在上找一點，使得到和的距離相等；(2)在射線上找一點，使得．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）作出的角平分線，交于點，點到和的距離相等；（2）作出的垂直平分線，交于點，．【詳解】（1）解：如圖，作出的角平分線，交于點，點到和的距離相等；（2）如圖，作出的垂直平分線，交于點，標出點，即．【點睛】本題考查了作圖——基本作圖，掌握五種基本作圖的方法，熟悉角平分線和線段垂直平分線的性質是解答本題的關鍵．9.在如圖所示的方格紙中，每個小正方形的邊長均為1，點A、B、C在小正方形的頂點上．

(1)畫出中邊上的高線．(2)用直尺和圓規(guī)，作出的角平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）．(3)求的面積．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)8【分析】（1）根據三角形的高的定義，結合格點的特點作圖即可；（2）根據角平分線的作圖方法作圖即可；（3）根據格點得出三角形的底和高，即可求出的面積．【詳解】（1）解：如圖，即為中邊上的高線．

（2）解：如圖，即為所求．

（3）解：如圖可知，，，故．【點睛】本題考查作三角線的高、角平分線，解題的關鍵是掌握用直尺和圓規(guī)作角平分線的方法．【知不足】1.如圖，在中，為上一點，，垂足為，，垂足為，，連接，為邊上的點，連接且．下列結論：①；②；③．其中結論正確的序號是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】A【分析】利用角平分線定理的逆定理可證平分，通過等量代換得出，即可證明，推出②正確；利用證明，可得，推出①正確；僅一組對邊相等，一組對角相等不足以證明，推出③錯誤．【詳解】解：∵，，，∴平分，∴，∵，∴，∴，故②正確；在和中，，∴，∴，故①正確；∵和中，僅一組對邊相等，一組對角相等，∴現有條件不能夠證明，故③錯誤；綜上，正確的是①②．故選：A．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，角平分線定理的逆定理，平行線的判定等知識點，難度不大，能夠綜合運用上述知識點是解題的關鍵．2.如圖，點P是內部的一點，點P到三邊的距離，，則的度數為（

）A．65° B．80° C．100° D．70°【答案】B【分析】先根據點P到三邊的距離得到、是、的角平分線，利用三角形內角和定理可得，然后利用角平分線性質從而利用角平分線的定義可得，最后利用三角形內角和定理進行計算即可解答．【詳解】解：點P到三邊的距離，、是、的角平分線，，，，,，．故選：B．【點睛】本題考查了角平分線的判定、三角形的內角和定理，熟練掌握角平分線判定定理是解題的關鍵．3.如圖，在中，，平分交于于點D．

（1）若，，則點D到的距離是_______．（2）若，點D到的距離為6，則的長為________．【答案】315【分析】（1）過點D作于E，先求出，再根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得，從而得解；（2）根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得，再求出，然后根據計算即可得解．【詳解】解：（1）過點D作于E，

∵，，∴，∵，平分，∴，即點D到的距離是3；（2）∵，平分，∴，∵，∴，∴．故答案為：3；15．【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，熟記性質并作出輔助線是解題的關鍵．4.如圖，已知的周長是32，，分別平分和，于點，且，則的面積是____________.

【答案】96【分析】作于E，于F，連接，根據角平分線的性質分別求出，最后根據三角形的面積公式計算即可．【詳解】解：作于E，于F，連接，∵分別平分和，，∴，同理：，∴的面積=．故答案為：96．

【點睛】本題主要考查了角平分線的性質，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．5.如圖，在中，平分交于點D，點E為的中點，連接，若，則的面積為________．【答案】36【分析】過D作于F，由角平分線的性質求出，根據三角形的面積公式即可求出的面積．【詳解】解：過D作于F，∵，∴，∵平分，∴，∵點E為的中點，，∴，∴的面積．故答案為：36．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質，三角形的面積公式，掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解決問題的關鍵．6.如圖，在中，，平分，，如果，，求的長度及的度數．

【答案】，【分析】根據角平分線的性質可得，，再根據直角三角形的兩個銳角互余即可求出的度數．【詳解】解：∵中，，平分，，∴，，∴，∴．【點睛】本題考查了角平分線的性質定理和直角三角形的兩個銳角互余，屬于基礎題型，熟練掌握角平分線的點到一個角的兩邊距離相等是解題關鍵．7.如圖，是的中線，請用尺規(guī)作圖法在上找一點P，使得點P到線段、的距離相等．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見解析【分析】根據題意可知點P到線段、的距離相等，故點在的角平分線上，依此作圖即可．【詳解】解：如圖，點P即為所求．

作法：以點為圓心，適當長度為半徑，在，上畫弧，與，交于兩點，分別以這兩個交點為圓心，大于兩點間距離為半徑畫弧，兩弧交于一點，連接該點與點，與相交于點．【點睛】本題考查了角平分線的性質，尺規(guī)作圖——角平分線，根據題意作的角平分線是解題的關鍵．8.如圖，已知線段MN和，求作一點P，使P到點M、N的距離相等，且到的兩邊的距離相等．（不寫作法，只保留作圖痕跡）【答案】見解析【分析】使P到點M、N的距離相等，就要畫的線段垂直平分線，且到的兩邊的距離相等，就要畫角的平分線，兩線的交點就是點P．【詳解】如圖所示：P點即為所求【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖的一般作法．熟練掌握角平分線以及線段垂直平分線的作法是解題關鍵．9.如圖，在四邊形中，，，求作一點P，使得點P到C、D兩點距離相等且滿足．(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)

結論：【答案】見解析【分析】由，可知點到和的距離相等，從而得知點P在的平分線上，由點P到C、D兩點距離相等可知點P在的垂直平分線上，因此只需分別作的平分線和線段的垂直平分線，交點即為所求作點P．【詳解】解：如圖，點為所作的點．

【點睛】本題考查了作圖——復雜作圖，可拆解成作角平分線和垂直平分線，推斷出作的平分線和線段的垂直平分線是解題的關鍵．復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．10.作圖題：保留作圖痕跡，不寫作法

(1)如圖，校園有兩條路，在交叉口附近有兩塊宣傳牌C、D，學校準備在這里安裝一盞路燈，要求燈柱的位置P離兩塊宣傳牌一樣遠，并且到兩條路的距離也一樣遠，請你用尺規(guī)作出燈柱的位置點P．(2)如圖，網格中的與為軸對稱圖形．①利用網格線作出與的對稱軸；②在對稱軸上找到一點P，使最短③如果每一個小正方形的邊長為1，請直接寫出的面積為___________．【答案】(1)見解析(2)①見解析，②見解析，③3【分析】（1）直接作出線段的垂直平分線，再作出的平分線，進而得出其交點即可；（2）①利用網格特點作的垂直平分線即可；②根據最短路徑，連接，與直線交點即為所求；③用一個矩形的面積減去三個直角三角形的面積計算的面積即可．【詳解】（1）解：如圖：即為所求．

作法：分別以，為圓心，大于的長為半徑，畫弧，兩弧分別交于兩點，連接這兩點，以為圓心，適當長度為半徑，在，上畫弧，分別與，交于兩點，分別以這兩點為圓心，大于兩點間距離為半徑，畫弧，交于一點，連接該點與點，兩條直線交于點，即為所求．（2）①如圖：直線即為所求；

理由：連接，則為網格內小正方形的對角線，故的垂直平分線也是網格內小正方形的對角線，即可得到．②如圖，連接，與直線交點為，即為所求；

理由：∵與為軸對稱圖形，直線是對稱軸；∴直線上任意一點到，和到的距離相等，∴，當，，三點共線時，又最小值，即，∴點為所求．③的面積．故答案為：3．【點睛】本題考查了畫垂直平分線，畫角平分線，軸對稱圖形，兩點之間線段最短，垂直平分線的性質等，熟練掌握垂直平分線的性質是解題的關鍵．【一覽眾山小】1．（2023·北京順義·統考二模）已知：線段及射線．求作：等腰，使得點C在射線上．

作法一：如圖1，以點B為圓心，長為半徑作弧，交射線于點C（不與點A重合），連接．作法二：如圖2．①在上取一點D，以點A為圓心，長為半徑作弧，交射線于點E，連接；②以點B為圓心，長為半徑作弧，交線段于點F；③以點F為圓心，長為半徑作弧，交前弧于點G；④作射線交射線于點C．作法三：如圖3，①分別以點A，B為圓心，大于的同樣長為半徑作弧，兩弧分別交于點P，Q；②作直線，交射線于點C，連接．根據以上三種作法，填空：由作法一可知：______，∴是等腰三角形．由作法二可知：______，∴（__________________）（填推理依據）．∴是等腰三角形．由作法三可知；是線段的______．∴（__________________）（填推理依據）．∴是等腰三角形．【答案】；；等角對等邊；垂直平分線；線段垂直平分線上的點與線段兩個端點的距離相等【分析】由作法一可知，由作法二可知：，由作法三可知；是線段的垂直平分線．根據作圖結合垂直平分線的性質，即可求解．【詳解】由作法一可知：，∴是等腰三角形．由作法二可知：，∴（等邊對等角）∴是等腰三角形．由作法三可知；是線段的垂直平分線．∴（線段垂直平分線上的點與線段兩個端點的距離相等）【點睛】本題考查了作線段，作一個角等于已知角，作垂直平分線，熟練掌握基本作圖是解題的關鍵．2．（2022秋·福建泉州·八年級?？茧A段練習）如圖，以的邊、為邊向外作等腰和等腰，．與交于．求證：是的平分線．【答案】見解析【分析】過點分別作，，垂足分別為，，證明，得到，進而得到，即可得證．【詳解】證明：過點分別作，，垂足分別為，，∵和為等腰直角三角形，，∴，，，∴，∴，，∴，∴，∴平分．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，以及角平分線的判定．熟練掌握全等三角形的面積相等，以及到角兩邊距離相等的點在角平分線上，是解題的關鍵．本題是手拉手全等模型，平時善于總結歸納，可以快速解題．3．（2022秋·河北唐山·八年級統考期中）已知，如圖，在中，，在中，，且，連接BD，CE交于點，連接．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據證明結論即可；（2）作于，作于．由（1）可得，，然后根據角平分線的性質即可解決問題．【詳解】（1）解：證明：，，即，在和中，，；（2）如圖，作于，作于．由，，，，，點在平分線上，平分，即．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質、三角形的面積，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質，學會轉化的思想，求高想到求面積，屬于中考?？碱}型．4．（2023·安徽蚌埠·統考一模）在中，，，點是射線上一點，連接，過點作，垂足為點，直線、相交于點．(1)如圖所示，當點在線段延長線上時，求證：≌；(2)如圖所示，當點在線段上時，連接，過點作于，于，求證：平分．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）證出，根據可證明；（2）證明，由全等三角形的性質得出，由角平分線的性質得出結論．【詳解】（1）證明：，，，，，，在和中，，（2）證明：，，，，，在和中，，，，，，，平分【點睛】本題考查的是三角形全等的判定和性質，角平分線的判定，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．5．（2022秋·七年級單元測試）已知：如圖，、分別是的外角平分線，于點，于點，．求的度數．【答案】，見解析【分析】作于點D，根據角平分線的性質得到，得到，根據角平分線的判定定理證明即可．【詳解】解：作于點D，如圖所示，∵是的外角平分線，，，∴，同理，∴，又，，∴平分，∵，∴．【點睛】本題考查的是角平分線的判定和性質，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．6．（2023秋·八年級課時練習）如圖，和都是等腰直角三角形，．(1)求證：；(2)試判斷和的大小關系，并證明你的結論．【答案】(1)證明見解析(2)，證明見解析【分析】（1）先說明，根據推出兩三角形全等即可；（2）過點分別作于點，于點，根據全等三角形的性質得出兩三角形面積相等和，根據面積公式求出，根據角平分線性質得出即可．【詳解】（1）證明：∵和都是等腰直角三角形，∴，，，∴，在和中，，∴；（2）解：．證明：過點分別作于點，于點，∵，∴，，∴，∴，∵于點，于點，∴平分，∴．【點睛】本題考查全等三角形的性質和判定，角平分線的判定定理：到角兩邊距離相等的點在角的平分線上．證明三角形的全等是解題的關鍵．7．（2023·廣東惠州·校聯考二模）如圖，，，于．

(1)求證：平分；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)6【分析】（1）過C點作，交的延長線于點F．由證明，可得，結論得證；（2）證明，可得，可求出．【詳解】（1）證明：過C點作，交的延長線于點F．

∵，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴平分；（2）解：由（1）可得，在和中，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了角平分線的判定與性質，全等三角形的判定與性質，關鍵是作出輔助線構造全等三角形．8．（2023·湖南永州·?？既＃┤鐖D，已知：四邊形中，對角線平分，，，并且，那么的度數為多少度．

【答案】【分析】過點D分別作、、的三條垂線、、，利用角平分線的性質，然后再證明，，推出，再根據三角形內角和定理，即可作答．【詳解】解：過點D作，交的延長線于點E，，交的延長線于點F，于點G，如圖，

對角線平分，，，，即，，，，即平分，，，，，，，，=，，，，即，，，，．【點睛】此題考查了角平分線的性質，三角形全等判定與性質和三角形內角和定理，熟練運用各個知識點進行綜合推理是解題的關鍵．9．（2023春·廣東深圳·八年級?？计谥校┤鐖D，，點E是的中點，平分．

(1)求證：是的平分線；