3.2-3.3勾股定理的逆定理與簡(jiǎn)單應(yīng)用（解析版）

3.2-3.3勾股定理的逆定理與簡(jiǎn)單應(yīng)用【推本溯源】1.上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了勾股定理，回顧一下勾股定理的內(nèi)容。直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。2.如果一個(gè)三角形的兩條邊的平方和等于第三步的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形嗎？如圖，在▲ABC中a2+b2=c2，▲ABC是否為直角三角形？是。作Rt三角形A′B′C′，使得B′C′=a，A′C′=b∵∠A′C′B′=90°∴A′B′2=a2+b2∵AB2=a2+b2∴A′B′2=AB2∴A′B′=AB在▲ABC和▲A′B′C′中∴▲ABC≌▲A′B′C′（SSS）∴∠C=∠C′∴▲ABC是直角三角形因此，如果三角形的三邊長分別為a、b、c，且a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形，這個(gè)稱為勾股定理的逆定理。根據(jù)三邊長度，判斷下面的三角形形狀。（1）3，4，3；

銳角三角形（2）3，4，5；直角三角形（3）3，4，6；

鈍角三角形（4）5，12，13．直角三角形銳角三角形：a2+b2＞c2直角三角形：a2+b2=c2鈍角三角形：a2+b2＜c2滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).4.根據(jù)勾股定理填寫表格。a36912…3nb481216…4nc5101520…5n所以在求勾股定理的時(shí)候，還可以用比例解。5.若△ABC的兩邊長為3和4，則能使△ABC為直角三角形的第三邊的平方是（C）A，5；B．7；C．5或7；D．8．6.勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用一株荷葉高出水面米，一陣風(fēng)吹來，荷葉被吹得貼著水面，這時(shí)它偏離原來的位置有米遠(yuǎn)，如圖所示，求荷葉的高度和水面的深度．解：設(shè)米，則米，米，在中，由勾股定理得：，∴，解得，∴(米)，(米)，答：荷葉的高度為5米，水面的深度為4米．方法：解設(shè)x勾股定理。【解惑】例1：下列長度的四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（）A．1，2，3 B．，2， C．4，5，6 D．8，15，19【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答．【詳解】解：A、，不能構(gòu)成三角形，故A不符合題意；B、，，，能構(gòu)成直角三角形，故B符合題意；C、，，，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；D、，，，不能構(gòu)成直角三角形，故D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．例2：如圖，小賢家的矩形木門左下角有一點(diǎn)受潮，他想檢測(cè)門是否變形，準(zhǔn)備采用如下方法：先測(cè)量門的邊和的長，再測(cè)量點(diǎn)A和點(diǎn)C間的距離，由此可推斷是否為直角，這樣做的依據(jù)是（

）A．勾股定理的逆定理 B．兩銳角互余的三角形是直角三角形C．三個(gè)角都是直角的四邊形是矩形 D．對(duì)角線相等的四邊形是矩形【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，如果，則可判斷是直角三角形，由此可推斷是否為直角．【詳解】解：先測(cè)量門的邊和的長，再測(cè)量點(diǎn)A和點(diǎn)C間的距離，用勾股定理的逆定理判斷：若滿足，則可判斷是直角三角形，即為直角；若，則不是直角．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．例3：如圖，一個(gè)梯子長米，頂端A靠在墻上，這時(shí)梯子下端B與墻角C距離為米，梯子滑動(dòng)后停在的位置上，測(cè)得長為米，求梯子頂端A下落了（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：米，由于梯子的長度不變，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得米，所以米，即梯子的頂端下滑了米．【詳解】解：在中，米，米，故米，在中，米，米，故米，故米，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，此題中主要注意梯子的長度不變，分別運(yùn)用勾股定理求得和的長，即可計(jì)算下滑的長度．例4：如圖，某中學(xué)有一塊四邊形的空地，學(xué)校計(jì)劃在空地上種植草皮，經(jīng)測(cè)量，，，，，則這塊四邊形空地的面積為_________．

【答案】【分析】連接，勾股定理逆定理得到為直角三角形，利用四邊形的面積等于兩個(gè)直角三角形的面積之和，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：連接，

在中，，，，∴，∵，，∴，∴為直角三角形，∴四邊形空地的面積；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理逆定理的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是利用勾股定理逆定理判斷三角形是直角三角形．例5：若的三邊滿足條件，試判斷的形狀．【答案】是直角三角形【分析】利用完全平方公式將式子化為，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，可分別求出的值，然后利用勾股定理的逆定理即可得到答案．【詳解】解：，，，，，，，是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，熟練掌握完全平方公式的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，是解題的關(guān)鍵．【摩拳擦掌】1．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考二模）如圖，一架長為的梯子斜靠在豎直的墻上，梯子的底端（點(diǎn)A）距墻角（點(diǎn)C）為．若梯子的底端水平向外滑動(dòng)，梯子的頂端（點(diǎn)B）向下滑動(dòng)多少米？若設(shè)梯子的頂端向下滑動(dòng)x米，則根據(jù)題意可列方程為（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】利用勾股定理可以得出梯子的初始高度，梯子的底端水平向外滑動(dòng)后，可得出梯子的頂端距離地面的高度，再次使用勾股定理即可得出答案．【詳解】解：則題意得，，∴，梯子的底端水平向外滑動(dòng)，梯子的頂端向下滑動(dòng)x米，則，，由勾股定理得，

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，熟知勾股定理是解答此題的關(guān)鍵．2．（2023春·新疆阿勒泰·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一棵大樹被大風(fēng)刮斷后，折斷處離地面，樹的頂端離樹根，則這棵樹在折斷之前的高度是（）

A．18 B．16 C．14 D．24【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理即可求得樹折斷之前的高度．【詳解】由題意得米，米，∵，∴，∴米，∴∴這棵樹在折斷之前的高度是米．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3．（2023春·湖北黃岡·八年級(jí)統(tǒng)考期中）中，、、的對(duì)邊分別為、、，下列條件中，不能判斷是直角三角形的是（）A． B． C．，， D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可判斷A、B是否是直角三角形；根據(jù)勾股定理逆定理可判斷C、D是否是直角三角形．【詳解】解：A、設(shè)、、，則，解得，則，∴能判斷是直角三角形，故該選項(xiàng)不符合題意；B、∵且，即，則，∴能判斷是直角三角形，故該選項(xiàng)不符合題意；C、∵，，，則，∴不能判斷是直角三角形，故該選項(xiàng)符合題意；D、∵，則，∴能判斷是直角三角形，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用，以及三角形內(nèi)角和定理，判斷三角形是否為直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定義判斷．4.（2023春·北京海淀·八年級(jí)北京二十中?？计谥校┮桓褡痈?尺，折斷后竹子頂端落在離竹子底端3尺處．則折斷處離地面的高度是__________尺．【答案】4【分析】設(shè)折斷處離地面的高度是x尺，根據(jù)勾股定理即可列出方程進(jìn)行求解．【詳解】如圖所示，

設(shè)折斷處離地面的高度是x尺，根據(jù)勾股定理得，解得．故折斷處離地面的高度是4尺，故答案為：4．【點(diǎn)睛】此題主要考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知勾股定理的應(yīng)用．5．（2023春·廣東廣州·八年級(jí)?？计谥校┰谥校?，則的面積等于___________．【答案】30【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判定三角形為直角三角形，再利用面積公式求解．【詳解】解：，，，即，為直角三角形，直角邊為，，根據(jù)三角形的面積公式有：故答案為：30．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理的知識(shí)，需要學(xué)生利用勾股定理的逆定理判定三角形為直角三角形的和直角三角形的面積公式結(jié)合求解．隱含了整體的數(shù)學(xué)思想和正確運(yùn)算的能力．6．（2023春·河南鄭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在筆直的鐵路上A，B兩點(diǎn)相距，C、D為兩村莊，，，于點(diǎn)A，于B，現(xiàn)要在AB上建一個(gè)中轉(zhuǎn)站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，求______km．【答案】//【分析】設(shè)，即可得到，結(jié)合于點(diǎn)A，于B根據(jù)勾股定理列式求解即可得到答案；【詳解】解：設(shè)，則，∵，，，，∴，，∵C、D兩村到E站的距離相等，∴，解得：，故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相等列等式求解．7．（2023春·內(nèi)蒙古通遼·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，將一根長的筷子，置于底面直徑為，高為的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長度是，則h的取值范圍是________．【答案】【分析】根據(jù)題意可知，h最長是筷子的長度減去杯子的高度，h最短是筷子的長度減去杯子斜邊長度，利用勾股定理求出杯子的斜邊長度，即可求出h的取值范圍．【詳解】解：由題意可知，h最長是筷子的長度減去杯子的高度，即，h最短是筷子的長度減去杯子斜邊長度，由勾股定理得，杯子的斜邊長度，即，h的取值范圍是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意解題關(guān)鍵．8．（2023春·廣東云浮·八年級(jí)校考期中）如圖，在中，，長為5，點(diǎn)D是上的一點(diǎn)，，．(1)求證：為直角三角形；(2)求出線段的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理證得△BCD為直角三角形即可；（2）設(shè)，則，在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理建立方程，解出方程即可．【詳解】（1）證明：∵，，，∴，∴為直角三角形，且；（2）設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，解得：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形．9．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)合肥38中?？计谥校┤鐖D，《九章算術(shù)》中記載：今有立木，系索其末，委地三尺，引素卻行，去本八尺而索盡，問素長幾何?譯文：今有一整直著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱的上端順木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（繩子比木柱長3尺），牽著繩索退行，在距木柱底部8尺處時(shí)而繩索用盡，求木柱的長．【答案】木柱的長為尺．【分析】根據(jù)題意得，繩索，木樁形成直角三角形，根據(jù)勾股定理，即可求出繩索長．【詳解】解：設(shè)木柱的長為x尺，則繩索長為尺，∴根據(jù)題意得：，解得．∴木柱的長為尺．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問題．10．（2023春·河南濮陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在右墻上，測(cè)得梯子頂端距離地面2米，即米，梯子底端距右墻底端米，即米，梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在左墻時(shí)，頂端距離地面米，即米，則小巷的寬度為多少米？【答案】米【分析】分別在，中求出，，即可．【詳解】解：在中，，米，米，米，在中，，米，米，米，米，答：小巷的寬度為米．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．【知不足】1．（2023春·廣東深圳·八年級(jí)校聯(lián)考期中）三角形的三邊長分別為a、b、c，則下面四種情況中，不能判斷此三角形為直角三角形的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理進(jìn)行判斷即可得到答案．【詳解】A．∵，∴是直角三角形；B．∵，∴是直角三角形；C．∵，∴是直角三角形；D．∵，∴不是直角三角形；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理，運(yùn)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是直角三角形的方法：（1）先確定最長邊，算出最長邊的平方；（2）計(jì)算另兩邊的平方和；（3）比較最長邊的平方與另兩邊的平方和是否相等，若相等，則此三角形為直角三角形.．2．（2022秋·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，將三角形紙片沿折疊，使點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)E處，則的周長為（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】利用勾股定理的逆定理判斷出，利用翻折不變性可得，推出，即可解決問題．【詳解】解：在中，∵，，，∴，∴是直角三角形，且，由翻折的性質(zhì)可知：，，∴，∴的周長，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．3．（2023春·廣東廣州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，，，，則的值為（

）

A． B． C． D．4【答案】B【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理證明是直角三角形，從而可得，然后利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：，，，，，，是直角三角形，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜邊上的中線，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·八年級(jí)單元測(cè)試）在筆直的鐵路上、兩點(diǎn)相距，、為兩村莊，，，于，于，現(xiàn)要在上建一個(gè)中轉(zhuǎn)站，使得、兩村到站的距離相等．則應(yīng)建在距________？【答案】15【分析】利用，再結(jié)合勾股定理求出即可．【詳解】解：設(shè)，則，，，故，解得；．故答案為：15．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，利用得出是解題關(guān)鍵．5．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因?yàn)閼?yīng)用廣泛而使人入迷．如圖，秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度，將它往前推至處時(shí)（即水平距離），踏板離地的垂直高度，它的繩索始終拉直，則繩索的長是

_______．【答案】【分析】設(shè)繩子長為，再根據(jù)直角三角形的勾股定理列方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)繩子長為，在中，，，，，根據(jù)題意列出方程：，解得：，繩索的長是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，掌握勾股定理，運(yùn)用勾股定理解決問題．6．（2022春·廣東中山·八年級(jí)中山一中?？计谥校┤鐖D，有一個(gè)長方體池子，底面是邊長為丈（1丈＝10尺）的正方形，中間有蘆葦，把高出水面2尺的蘆葦拉向池邊（蘆葦沒有折斷），剛好貼在池邊上，則蘆葦長_____________尺．

【答案】10【分析】設(shè)蘆葦長尺，則尺，尺，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【詳解】解：如圖，設(shè)蘆葦長尺，則尺，尺，在中，由勾股定理得：，解得：，即蘆葦長10尺，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，理解題意，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·廣東惠州·八年級(jí)校考期中）一架方梯長米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻長米，如果梯子的頂端下滑米至，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了幾米？

【答案】【分析】已知墻與地面為直角，利用勾股定理得到梯子斜靠墻不滑時(shí)，地面到梯子高端的距離，再利用勾股定理求得梯子的頂端下滑了米時(shí)梯子底端到墻的距離，從而求得梯子底部水平滑動(dòng)的距離．【詳解】解：有梯子長為米，梯子離墻米，由所在直角三角形另一邊為：米．梯子下滑后梯子高端距地面為米，由所在直角三角形中梯子低端與墻距離為米．所以梯子的底部在水平方向上滑動(dòng)為米．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·廣東廣州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示的一塊地，已知，求陰影部分的面積．

【答案】【分析】根據(jù)勾股定理求得的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理判定為直角三角形，從而不難求得這塊地的面積．【詳解】解：，，，，，即為直角三角形，，，陰影部分的面積．【點(diǎn)睛】此題主要考查勾股定理及其逆定理，解題的關(guān)鍵是對(duì)勾股定理及其逆定理的理解及運(yùn)用能力．9．（2023春·廣東惠州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，于D，，

(1)求的值．(2)判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)，(2)是直角三角形，理由如下【分析】（1）利用勾股定理求解即可；（2）先求出，再利用勾股定理的逆定理求解即可．【詳解】（1）解：在中，，在中，；（2）解：是直角三角形，理由如下：由（1）得，∴，∵，∴，∴是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟知勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．【一覽眾山小】1．（2023春·廣東湛江·八年級(jí)校考期中）四個(gè)三角形的邊長分別是①2，3，4；②3，4，5；③5，6，7；④5，12，13．其中直角三角形是（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④【答案】C【分析】求較短的兩邊的平方和，與最長邊的平方比較，若相等，根據(jù)勾股定理的逆定理可得該三角形是直角三角形，否則就不是直角三角形．【詳解】解：①，不能構(gòu)成直角三角形；②，能構(gòu)成直角三角形；③，不能構(gòu)成直角三角形；④，能構(gòu)成直角三角形．綜上所述：能構(gòu)成直角三角形是②④．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的逆定理，正確理解勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考二模）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，記載著“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何?”意思是：一根筆直生長的竹子，高一丈（一丈=10尺），因蟲害有病，一陣風(fēng)吹來將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部3尺遠(yuǎn)，求折斷處離地面的高度是多少尺?設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一個(gè)直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面尺，則斜邊為尺，利用勾股定理解題即可；【詳解】設(shè)竹子折斷處離地面尺，則斜邊為尺，根據(jù)勾股定理得到：；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用題目信息構(gòu)造直角三角形，從而應(yīng)用勾股定理解題．3．（2023春·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是樓梯的示意圖，樓梯的寬為5米，米，米，若在樓梯上鋪設(shè)防滑材料，則所需防滑材料的面積至少為（

）A．65 B．85 C．90 D．150【答案】B【分析】勾股定理求出，平移的性質(zhì)推出防滑毯的長為，利用面積公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由圖可知：，∵米，米，∴米，由平移的性質(zhì)可得：水平的防滑毯的長度（米），鉛直的防滑毯的長度（米），∴至少需防滑毯的長為：（米），∵防滑毯寬為5米∴至少需防滑毯的面積為：（平方米）．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理．解題的關(guān)鍵是利用平移，將防滑毯的長轉(zhuǎn)化為兩條直角邊的邊長之和．4．（2023春·廣東河源·八年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）一個(gè)圓柱形的高是，底面圓的周長，螞蟻想從處爬到處，則螞蟻爬行最短距離是___________．

【答案】【分析】根據(jù)題意得出螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是指展開后線段的長，求出，，根據(jù)勾股定理求出即可．【詳解】解：根據(jù)題意得出：螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是指展開后線段的長，

在中，12cm，BC．由勾股定理得：，答：螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是．故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理最短路徑問題，根據(jù)題意畫出圓柱的側(cè)面展開圖，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．5．（2022秋·七年級(jí)單元測(cè)試）已知兩條線段的長為5和4，當(dāng)?shù)谌龡l線段的長的平方為________時(shí)，這三條線段能組成一個(gè)直角三角形．【答案】9或41【分析】已知三角形的二邊求第三邊時(shí)，一定區(qū)分所求邊是三角形的最長邊和較短邊二種情況下的結(jié)果，然后根據(jù)勾股定理逆定理解答．【詳解】解：根據(jù)勾股定理的逆定理，當(dāng)5為較短邊時(shí)，第三條線段長的平方為；當(dāng)5為最長邊時(shí)，第三條線段長的平方為；故答案為9或41．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握并正確運(yùn)用勾股定理逆定理是解題的關(guān)鍵，注意要分兩種情況討論．6．（2022春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，以的兩邊、分別向外作正方形，它們的面積分別是，，若，，，則的形狀是________三角形．【答案】直角【分析】根據(jù)正方形的面積公式結(jié)合勾股定理的逆定理即可得出答案．【詳解】解：∵，，∴，，∵，∴，∴是直角三角形，故答案為：直角．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理和正方形面積的應(yīng)用，理解勾股定理的逆定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，的頂點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則的度數(shù)等于___________．

【答案】/度【分析】如圖所示，延長，過點(diǎn)作延長線于點(diǎn)，作的平行線，過點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，設(shè)小正方形網(wǎng)格的邊長為，可得，，由此即可求證．【詳解】解：如圖所示，延長，過點(diǎn)作延長線于點(diǎn)，作的平行線，過點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，設(shè)小正方形網(wǎng)格的邊長為，

在中，，，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查網(wǎng)格中三角形角的關(guān)系，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上，甲、乙輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙輪船每小時(shí)分別航行12海里和16海里，1小時(shí)后兩船分別位于點(diǎn)A，B處，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，則乙船沿______方向航行．

【答案】北偏東【分析】由題意易得海里，海里，，則有，所以，進(jìn)而可得，然后問題可求解．【詳解】解：由題意得：海里，海里，，海里，∴，∴，∴，∴乙船沿北偏東方向航行；故答案為北偏東．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟練掌握勾股定理的逆定理及方位角是解題的關(guān)鍵．9．（2023·江西九江·?？寄M預(yù)測(cè)）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一道題目，大致意思是：有一豎立著的木桿，在木桿的上端系有繩索，繩索從木桿上端順著木桿下垂后，堆在地面上的部分有3尺，牽著繩索頭（繩索頭與地面接觸）退行，在離木桿底部8尺處時(shí)，繩索用盡．問繩索長為多少．繩索長為_______尺．【答案】【分析】設(shè)繩索的長為x尺，則木柱的長為尺，在中，根據(jù)勾股定理即可列出方程解答即可．【詳解】解：設(shè)繩索的長為x尺，則木柱的長為尺，在中，由勾股定理得，，即，解得，答：繩索長為尺．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟記直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，鐵路和公路在點(diǎn)處交匯，，公路上處距離點(diǎn)240米，如果火車行駛時(shí)，火車頭周圍150米以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么火車在鐵路上沿方向以72千米/小時(shí)的速度行駛時(shí)，處受到噪音影響的時(shí)間為________秒．【答案】9【分析】過點(diǎn)作，求出最短距離的長度，然后在上取點(diǎn)，，使得米，根據(jù)勾股定理得出，的長度，即可求出的長度，然后計(jì)算出時(shí)間即可．【詳解】解：過點(diǎn)作，，米，米，在上取點(diǎn)，，使得米，當(dāng)火車到點(diǎn)時(shí)對(duì)處產(chǎn)生噪音影響，米，米，由勾股定理得：米，米，即米，千米/小時(shí)米/秒，影響時(shí)間應(yīng)是：秒．故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確找出受影響的路段，從而利用勾股定理求出其長度．11．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為，底面周長為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)處有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿，且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)處，則螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所走的最短路程為___________．（杯壁厚度不計(jì)）

【答案】10【分析】如圖（見解析），將玻璃杯側(cè)面展開，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知的長度即為所求，利用勾股定理求解即可得．【詳解】解：如圖，將玻璃杯側(cè)面展開，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作，交延長線于點(diǎn)，連接，

由題意得：，，∵底面周長為，，，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所走的最短路程為，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開——最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．12．（2022秋·廣東茂名·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知等腰三角形的底邊，D是腰長延長線上一點(diǎn)，連接，且．

(1)判斷的形狀，并說明理由；(2)求的周長．【答案】(1)直角三角形，理由見解析(2)【分析】（1）利用勾股定理逆定理進(jìn)行判斷即可；（2）利用勾股定理求出的長，即可