3.8 切線的判定（A卷基礎(chǔ)鞏固） -2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊同步分層練習(xí)（基礎(chǔ)鞏固＋能力拓展北師大版）（解析版）

3.8切線的判定學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________A卷（基礎(chǔ)鞏固）一、選擇題1．下列命題中正確的是（）A．與圓有公共點的直線是圓的切線B．經(jīng)過半徑外端點且與這條半徑垂直的直線是圓的直徑C．垂直于圓的半徑的直線是圓的切線D．到圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線【答案】D【分析】根據(jù)切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，切線的定義：到圓心距離等于圓的半徑的直線是圓的切線逐項判斷即可．【詳解】解：A．割線與圓相交也有公共點，但不是圓的切線，故此選項不正確；B．符合切線的概念，而不是圓的直徑，故此選項不正確；C．應(yīng)該為經(jīng)過半徑外端點且與這條半徑垂直的直線是圓的切線，故此選項不正確；D．符合圓的切線概念，故此選項正確．故選：D．【點睛】此題考查了切線的判定．此題難度不大，注意掌握切線的判定定理與切線的定義是解此題的關(guān)鍵．2．如圖，是⊙O的直徑，交⊙O于點，于點，下列說法不正確的是（）A．若，則是⊙O的切線 B．若，則是⊙O的切線C．若，則是⊙O的切線 D．若是⊙O的切線，則【答案】A【分析】根據(jù)AB=AC，連接AD，利用圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)可以得到點D是BC的中點，OD是△ABC的中位線，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以證明DE是⊙O的切線，可判斷B選項正確；若DE是⊙O的切線，同上法倒推可證明AB=AC，可判斷D選項正確；根據(jù)CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位線，同上可以證明DE是⊙O的切線，可判斷C選項正確；若，沒有理由可證明DE是⊙O的切線．【詳解】解：當(dāng)AB=AC時，如圖：連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC，∴CD=BD，∵AO=BO，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線，所以B選項正確；當(dāng)DE是⊙O的切線時，如圖：連接AD，∵DE是⊙O的切線，∴DE⊥OD，∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∴OD是△ABC的中位線，∴CD∥BD，∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC，∴AD是線段BC的垂直平分線，∴AB=AC，所以D選項正確；當(dāng)CD=BD時，又AO=BO，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線，所以C選項正確．若，沒有理由證明DE是⊙O的切線，所以A選項錯誤．故選：A．【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．3．若O是ABC的內(nèi)心，當(dāng)時，（）A．130° B．160° C．100° D．110°【答案】A【分析】由三角形內(nèi)角和以及內(nèi)心定義計算即可【詳解】∵∴又∵O是ABC的內(nèi)心∴OB、OC為角平分線，∴∴180°=180°-50°=130°故選：A．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)心的定義，與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓．三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．4．如圖，內(nèi)接于，過A點作直線，當(dāng)（）時，直線與相切．A． B． C． D．【答案】C【分析】首先過點O作直徑AF，連接BF，根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠C＝∠AFB，進(jìn)而可得到∠BAE＝∠F，再根據(jù)直徑所對的圓周角是90°，可證出∠AFB+∠BAF＝90°，再利用等量代換可得∠BAE+∠BAF＝90°，進(jìn)而得到直線DE與⊙O相切．【詳解】解：當(dāng)時，直線與相切．理由如下：作AF交圓O于F點，連接BF．∵∠F，∠C是同弧AB所對的角，∴∠C＝∠F，∵∠BAE＝∠C，∴∠BAE＝∠F，∵AF為直徑，∴∠ABF＝90°，∴在三角形ABF中，∠F+∠BAF＝90°，∵∠F＝∠BAE，∴∠BAE+∠BAF＝90°，∴FA⊥DE，∴直線DE與⊙O相切．故選：C．【點睛】此題主要考查了切線的判定，關(guān)鍵是正確作出輔助線，證明∠BAE+∠BAF＝90°．5．如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦與小圓的一個公共點為C，且C是中點，則直線與小圓的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．不能確定【答案】B【分析】連接，由中點的性質(zhì)可得到，利用垂徑定理可證出，即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接∵為中點∴∴∴為小圓的切線故選：【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，切線的判定，垂徑定理，靈活運用垂徑定理是解題的關(guān)鍵．6．如圖，點B在⊙A上，點C在⊙A外，以下條件不能判定BC是⊙A切線的是（）A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠AC．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A與AC的交點是AC中點【答案】D【分析】根據(jù)切線的判定分別對各個選項進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【詳解】解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，∴BC⊥AB，∵點B在⊙A上，∴AB是⊙A的半徑，∴BC是⊙A切線；B、∵∠B﹣∠C＝∠A，∴∠B＝∠A+∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵點B在⊙A上，∴AB是⊙A的半徑，∴BC是⊙A切線；C、∵AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵點B在⊙A上，∴AB是⊙A的半徑，∴BC是⊙A切線；D、∵⊙A與AC的交點是AC中點，∴AB＝AC，但不能證出∠B＝90°，∴不能判定BC是⊙A切線；故選：D．【點睛】本題考查了切線的判定、勾股定理的逆定理、三角形內(nèi)角和定理等知識；熟練掌握切線的判定是解題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2021·黑龍江富裕·九年級期末）如圖，∠ABC＝90°，O為射線BC上點，以點O為圓心，BO長為半徑作⊙O，當(dāng)射線BA繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)_____度時與⊙O相切．【答案】60或120【分析】由于半徑是，因此只需要過O作旋轉(zhuǎn)后的直線的垂線，只要保證旋轉(zhuǎn)后的射線與BC的夾角是30度，則O與垂足的連線就是BO長的一半，即為圓的切線，由此即可得到答案．【詳解】解：射線BA繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60度時，記為射線BE，作OD⊥BE于D，∵在直角三角形BOD中，∠DBO=∠ABD-∠ABE=30°，∴，即OD為圓O的半徑，∴BE與圓O相切，同理將射線BA繞點B順時針旋轉(zhuǎn)120度時，記為射線B，同理可證BF是圓O的切線，故答案為：60或120．【點睛】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，切線的判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握切線的判定條件．8．如圖，是的直徑，交于D，，垂足為E，請你添加一個條件，使是的切線，你所添加的條件是________．【答案】或【分析】結(jié)合，只需，根據(jù)是的中點，只需即可；要使，則連接，只需，根據(jù)等腰三角形的三線合一即可．【詳解】解：若添加BD=CD，理由如下：如圖，連接OD，∵BD=CD，OA=OB，∴OD∥AC，∵，∴DE⊥OD，∵交于D，∴是的切線；若添加AB=AC，理由如下：如圖，連接AD，∵是的直徑，∴∠ADB=90°，∴點D是BC的中點，∵OA=OB，∴OD∥AC，∵，∴DE⊥OD，∵交于D，∴是的切線．故答案為：或【點睛】本題主要考查了切線的判定，三角形的中位線定理，熟練掌握切線的判定定理，三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵．9．如圖，為的直徑，，當(dāng)________時，直線與相切．【答案】1【分析】直線與相切時，，根據(jù)勾股定理即可求出．【詳解】解：當(dāng)時，直線與相切，∴（cm），故答案為：1．【點睛】本題考查了切線的判定，掌握切線的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10．如圖，中，，以為直徑的交于E點，直線于F，則直線與的位置關(guān)系是________．【答案】相切【分析】連接，，由為圓的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角可得為直角，利用垂直的定義可得垂直于，又，根據(jù)三線合一得到為的中點，又為直徑的中點，可得為三角形的中位線，根據(jù)三角形的中位線平行與第三邊可得與平行，同時由與垂直，得到為直角，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等可得為直角，可得為圓的切線，得證．【詳解】證明：連接，，為圓的直徑，，，又，為的中點，又為直徑的中點，為的中位線，，，又，，，則為圓的切線．故答案為：相切．【點睛】此題考查了切線的判定，涉及的知識有：等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，平行線的性質(zhì)，以及切線的判定定理，切線的判定定理是經(jīng)過直徑的外端點，且與直徑垂直的直線為圓的切線，熟練掌握此定理是證明的關(guān)鍵．11．在數(shù)學(xué)課上，老師請同學(xué)思考如下問題：小軒的主要作法如下：老師說：“小軒的作法正確．”請回答：⊙P與BC相切的依據(jù)是______________________________．【答案】經(jīng)過半徑的外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線【詳解】作PD⊥BC，如圖所示：

∵BF平分∠ABC，∠A=90°

∴PA=PD，

∴PD是⊙P的半徑，

∴D在⊙P上，

∴BC是⊙P的切線．故答案是：經(jīng)過半徑的外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．【點睛】復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了切線的判定．三、解答題12．（2022·吉林·九年級階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點，以CD為直徑的⊙O分別交AC，BC于點E，F(xiàn)兩點，過點F作FG⊥AB于點G．（1）求證：FG是⊙O的切線；（2）若AC＝3，CD＝2.5，求FG的長．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）如圖，連接OF，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CD＝BD，得到∠DBC＝∠DCB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OFC＝∠OFC，得到∠OFC＝∠DBC，推出∠OFG＝90°，即可求解；（2）連接DF，根據(jù)勾股定理得到BC＝，根據(jù)圓周角定理得出∠DFC＝90°，根據(jù)三角形函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，連接OF，∵∠ACB＝90°，D為AB的中點，∴CD＝BD，∴∠DBC＝∠OCF，∵OF＝OC，∴∠OFC＝∠OCF，∴∠OFC＝∠DBC，∴OF∥DB，∴∠OFG+∠DGF＝180°，∵FG⊥AB，∴∠DGF＝90°，∴∠OFG＝90°，∵OF為半徑，∴FG是⊙O的切線；（2）解：如圖，連接DF，∵CD＝2.5，∴AB＝2CD＝5，∴BC＝，∵CD為⊙O的直徑，∴∠DFC＝90°，∴FD⊥BC，∵DB＝DC，∴BF＝BC＝2，∵sin∠ABC＝，即，∴FG＝．【點睛】本題主要考查了切線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，正弦的定義，準(zhǔn)確分析計算是解題的關(guān)鍵．13．（2021—2022廣東惠陽九年級期中）如圖，⊙O是ABC的外接圓，∠ABC＝45°，OCAD，AD交BC的延長線于D，AB交OC于E．（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）若AE＝2，CE＝2，求⊙O的半徑和線段BE的長．【答案】（1）見解析；（2）半徑為4，【分析】（1）連接OA，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OA⊥AD，再根據(jù)圓周角定理得到∠AOC=2∠ABC=90°，然后根據(jù)平行線的判定即可得到結(jié)論；（2）設(shè)⊙O的半徑為R，則OA=R，OE=R-2，AE=2，在Rt△OAE中根據(jù)勾股定理可計算出R=4；作OH⊥AB于H，根據(jù)垂徑定理得AH=BH，再利用面積法計算出然后根據(jù)勾股定理計算出AH=，則HE=AE-AH=，再利用BE=BH-HE進(jìn)行計算．【詳解】解：（1）證明：連接OA，如圖，∵AD是⊙O的切線，∴OA⊥AD，∵∠AOC=2∠ABC=2×45°=90°，∴OA⊥OC，∴AD∥OC，∴OA⊥AD，∵OA是⊙O的半徑，∴AD是⊙O的切線（2）解：設(shè)⊙O的半徑為R，則OA=R，OE=R-2，AE=2，在Rt△OAE中，∵AO2+OE2=AE2，∴R2+（R-2）2=（2）2，解得R=4，作OH⊥AB于H，如圖，OE=OC-CE=4-2=2，則AH=BH，∵OH?AE=?OE?OA，∴在Rt△AOH中，，∴∴，∴．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點．經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．也考查了圓周角定理、垂徑定理和勾股定理．14．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ABD＝90°，∠A的平分線交BC于D，E為AB上一點，DE＝DC，以D為圓心，DB長為半徑作⊙D．（1）求證：AC是⊙D的切線；（2）求證：AB+BE＝AC．（3）若BE＝8，且BD：DC＝3：5，求AD的長．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）【分析】（1）過點D作DF⊥AC于F，求出BD＝DF等于半徑，得出AC是⊙D的切線．（2）根據(jù)HL先證明Rt△BDE≌Rt△FDC，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等及切線的性質(zhì)得出AB＝AF，即可得出AB＋BE＝AC；（3）設(shè)BD=3a，CD=5a，利用DE2=BE2+BD2求出a=2，故可求出BD=FD=6，DE=DC=10，CF=EB=8，BC=6+10=16,設(shè)AB=AF=x，在Rt△ABC中，利用AC2=AB2+BC2，求出AB的長，故可求出AD的長．【詳解】解：（1）過點D作DF⊥AC于F；∵∠ABD＝90°∴AB⊥BC∵AD平分∠BAC，DF⊥AC∴BD＝DF則BD＝DF=r，∵DF⊥AC∴AC與⊙D相切；（2）在△BDE和△FDC中，∵BD＝FD，DE＝DC，在Rt△BDE和Rt△FDC中，，∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL），∴BE＝FC．∵AB＝AF，∴AB＋BE＝AF＋FC，即AB＋BE＝AC；（3）∵BD：DC＝3：5，∴可設(shè)BD=3a，CD=5a∵Rt△BDE≌Rt△FDC∴DE=DC=5a∵DE2=BE2+BD2∴（5a）2=82+（3a）2解得a=2（-2舍去）∴BD=6=FD，DE=DC=10，CF=EB=8，BC=6+10=16設(shè)AB=AF=x，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2即（x+8）2=x2+162解得x=12∴AB=12故AD=．【點睛】本題考查的是切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；及全等三角形的判斷，全等三角形的對應(yīng)邊相等，勾股定理的應(yīng)用．15．如圖，在中，，的平分線交于點，是的外接圓，交于點，圓心在上．（1）求證：是的切線；（2）過點作于點，求證：平分；（3）求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析．【分析】（1）連接OE，由于BE是角平分線，則有∠CBE＝∠OBE；而OB＝OE，就有∠OBE＝∠OEB，等量代換有∠OEB＝∠CBE，那么利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行，可得OEBC；又∠C＝90°，所以∠AEO＝90°，即AC是⊙O的切線；（2）根據(jù)等角的余角相等即可證明；（3）連接DE，先根據(jù)AAS證明△CDE≌△HFE，再由全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得出CD＝HF．【詳解】如圖，連接．，，是圓的直徑，，，平分，，，，，是的切線；，，，是是直徑，，，，，平分．如圖，連接．是的平分線，于，于，．，，，，≌，，【點睛】本題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線判定和性質(zhì)以及角平分線的判定與性質(zhì)等．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．解題關(guān)鍵是掌握切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線判定和性質(zhì)以及角平分線的判定與性質(zhì)．16．如圖，在RtΔABC中，∠ACB=90°，D為AB邊上的一點，以AD為直徑的⊙O交BC于點E，過點C作CG⊥AB，垂足為G，交AE于點F，過點E作EP⊥AB，垂足為P，∠EAD=∠DEB．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）求證：CE=EP；（3）若CG=12，AC=15，求四邊形CFPE的面積．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）四邊形CFPE的面積為45．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)和直徑定理可得∠AED=90°，∠OED=∠ADE，由余角的