中考數(shù)學難點突破 直角三角形中由動點引起的分類討論問題(解析版)

專題25直角三角形中由動點引起的分類討論問題

【模型展示】

解直角三角形的動點問題，一般分三步走

第一步尋找分類標準，

第二步列方程，

第三步解方程并驗根.

特點一般情況下，按照直角頂點或者斜邊分類，然后按照三角比或勾股定理列方程.

有時根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列方程更簡便.

解直角三角形的問題，常常和相似三角形、三角比的問題聯(lián)系在一起.

如果直角邊與坐標軸不平行，那么過三個頂點作與坐標軸平行的直線，可以構(gòu)造兩個新的相似直

角三角形，這樣列比例方程比較簡便.

結(jié)論直角三角形的性質(zhì)并能靈活應用

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，M,A,N是直線/上的三點，AM=3AN=5,P是直線/外一點，且NPW=60°,A—1,若動點

。從點M出發(fā)，向點N移動，移動到點N停止，在△APQ形狀的變化過程中，依次出現(xiàn)的特殊三角形是

()

~■—!P—,—/

MAN

A.直角三角形-等邊三角形-直角三角形-等腰三角形

B.直角三角形-等腰三角形-直角三角形-等邊三角形

C.等腰三角形-直角三角形-直角三角形-等腰三角形

D.等腰三角形-直角三角形-等邊三角形-直角三角形

【答案】D

【分析】根據(jù)NPAN=60o,AH,按照。在線段40和線段AN匕進行分類討論即可.

【詳解】解：：/尸4汽=60。,”=1,

，ZPAM=180°-60°=120。，

①當。在線段AM上，只能形成等腰三角形，當AQ=AP=1時，△APQ為等腰三角形;

②當。在線段AN上時，N4QP逐漸減小，

當NAQP=90。時，△APQ為直角三角形，此時NAPQ=3（T,AQ=JAP=；；

當NAQP=60。時，為等邊三角形，此時AQ=AP=1；

當NAQP=30。時，?.?//VW=60。，,NAPQ=90°,??.△APQ為直角三角形，止匕時

PQ=2AP=2,AQ=y）PQ2-AP2=>/3;

.?.△APQ形狀的變化過程中，依次出現(xiàn)的特殊三角形是：等腰三角形-直角三角形-等邊三角形-直角三

角形；

故選D.

【點睛】本題考查特殊三角形的判定.熟練掌握等腰三角形、直角三角形和等邊三角形的判定方法是解題

的關(guān)鍵.

二、填空題

2.如圖，中，ZACB=90°,ZABC-60°,BC=2cm,3為的中點，若動點E以lcm/s的速

度從A點出發(fā)，沿著Af3fA的方向運動，設￡點的運動時間為f秒（0Vf<6）,連接OE,當MDE是

直角三角形時，r的值為.

【答案】2或3.5或4.5或6

【分析】先求出A8的長，再分①NBOE=90。時，QE是AABC的中位線，然后求出AE的長度，再分點E

在AB上和在84上兩種情況列出方程求解即可；②/BE〃=90。時，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股

定理求出BE,然后分點E在A8上和在BA上兩種情況列出方程求解即可.

【詳解】解:vZACB=90°,NA8C=60。，BC=2cm,

AZA=30°,AB=2BC=4(cm),

①N3DE=90。時，

■:4=60。,

NDE3=30。，

EB=2DB=BC=2

；.AE=AB-BE=2(cm),

點￡■在48上時，f=2+l=2(秒)，

點E在BA上時，點E運動的路程為4x2-2=6(cm),

.'.r=6+l=6(秒)；

②/8E￡)=90°時，BE=-BD=-BC=0.5(cm),

24

點E在45上時，t=(4-0.5)+1=3.5(秒)，

點E在84上時，點E運動的路程為4+0.5=4.5(cm),

f=4.5+l=4.5(秒)，

V0<?<6

綜上所述，，的值為2或3.5或4.5或6,

故答案為：2或3.5或4.5或6.

【點睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分情況討論.

3.如圖，在RAABC中，/C=9()?,AC=12,BC=10,。是3c的中點，E是AC上一動點，將△C￡>E沿

折疊到△(?'￡>￡，連接AC',當AEC是直角三角形時，CE的長為.

【答案】號或5

【分析】分兩種情況進行分類討論：①當NA￡C=90?時，求CE的長：②當NACE=9O。時，求CE的長.

【詳解】解：①如圖1,當』AEC=90?時，ZCED=ZC'ED=45°,

ZC=90°,

NCDE=NCED=45°,

Q8C=10,。是3c的中點,

:.CD=CE=5.

圖1

②如圖2,當NAC'E=90。時，由折疊性質(zhì)知/DCE=NC=90。,

NDCE+ZAC'E=\80°,

??.DC',A三點共線.

CD=DB=5AC=12,

...在RrAACO中，AD=>/52+122=13-

設CE=C'E=x,

/.AE=12—x,

在RtAAC'E中，爐+(13—5C=(12_x)2,

綜上所述，CE的長為：5或5.

【點睛】此題考查翻折變換，勾股定理，熟練運用勾股定理以及學會用分類討論的思想思考問題是解題的

關(guān)鍵.

4.已知：如圖，正方形A3CO中，AB=2,AC,80相交于點0,E,尸分別為邊BC,C。上的動點（點

E,F不與線段8C,8的端點重合）.且BE=CF,連接OE,OF,EF.在點￡,尸運動的過程中，有下

列四個說法：

AD

①/\OEF是等腰直角三角形；

②△OEF面積的最小值是:；

③至少存在一個_比戶，使得二ECF的周長是2+行；

④四邊形OEC尸的面積是1.

其中正確結(jié)論的序號有.

【答案】①②④

【分析】證明VCOE@/￡3,可得OE=OF,?COE?DOF,可得到①；再由當OE_L8C時，0E最小,

此時OE=。尸=：8C=1,可得△OER面積的最小值是：，可得到②正確：設CE=x,則8E=CF=2—x,

根據(jù)勾股定理可得E尸=j2（x-lp+2,從而得到應MEF<2，得③錯誤；再根據(jù)VCOE@VZ）OE,可得

S四邊形OECF=S^COE+S&OCF=,正方形ABCD，可得④正確；即可求解?

【詳解】解：???四邊形ABC。是正方形，

?,.BC=CD,?OCB?ODC45?,OCOD,ZDOC=90°,

?:BE=CF,

???CE=DF,

：.7COE@DOF,

：,OE=OF,?COE?DOF,

/.?EOF?COE2cOF?DOF2cOF1DOC90?,

.??△O跖是等腰直角三角形，故①正確；

當OE_LBC時，OE最小，此時OE=O尸=3BC=1,

.?.△OE尸面積的最小值是goE-OF=g,故②正確；

,:BE=CF,

CE+CF=BE+CE=BC=2,

設CE=x,則B￡=CF=2-x,

二EF=次+（2_力2=^2（X-1）2+2,

二一改萬的周長是所+?！辏?3=￡尸+2,

0<r<2,

?,^2VEF<2?

***E7^+2V4

???不存在一個二EC尸，使得eECF的周長是2+石，故③錯誤；

,/YCOE須DOF,

四邊形=

,?SOECFS&COE+SA0cF=+SMB,:=SAO/X.=；s正方臍88=；x2X2=1,故④正確；

故答案為：①②④

【點睛】此題屬于四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及等腰

直角三角形的性質(zhì).注意掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.

5.如圖，在心AABC中，/A=90。，A8=4g,AC=4,點。是AB的中點，點E是邊BC上一動點，沿DE

所在直線把△8CE翻折到△夕QE的位置，夕。交邊BC于點尸，若△CBF為直角三角形，則C9的長為.

------------

【答案】2⑺或4##4或2s

【分析】當4C￡F為直角三角形時，需要分類討論，點C,夕，尸分別為直角頂點時，畫出圖形求解即可.

【詳解】解：在RtZ\ABC中，ZA=90°,AB=46,AC=4,點。是A8的中點，

；.BC=8,ZB=30°,AD=BD=26,

由折疊可知，RD=B'D=2y/3,

：.AD=BD=B'D=2百

①由點運動可知點C不可能是直角頂點；

②如圖，當點尸為直角頂點，即NCF8'=90。，

c

B'

F7'<E

/I--------------卜二*?B

:.力FB=NCFB=90。,

：.DF=^BD=y/3,BF=+DF=3,

B'F=^3,CF=5,

CB1=J(揚2+5?=2x/7;

③如圖，當點夕是直角頂點時，即NCB/=90。，連接C。,

在RtZXACD與RtA硼⑺中，

[CD=CD

[AD^B'D

二RtAACD=Rt△B'CD(HL),

.-.CB,=C4=4,

故答案為：26或4.

【點睛】本題考查翻折變換、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知

識解決問題，屬于中考?？碱}型.

6.如圖，已知NB=45。，AB=2cm,點P為NABC的邊8c上一動點，則當8產(chǎn)=cm時，4BAP

為直角三角形.

【分析】由于直角頂點不能確定，故應分NAP8=90。與N8AP=90。兩種情況進行分類討論.

【詳解】解：①當乙4尸3=90。時，

VZB=45°,AH=2cm,

BPi=APi,

Z.BP^+AP^AB2^,

/.Bk=2；

②當/84尸=90。時，

VZB=45°,AB=2cm,

：.AB=AP2=2,

：.BP^AB^AP^S.

故本題答案為：2或8.

【點睛】本題考查的是勾股定理的逆定理，在解答此題時要注意分類討論，不要漏解.

7.如圖，長方形A3C7）中，ZD4B=ZB=ZC=ZD=90°,AD=BC=4,AB=CD=3.E為邊BC上的一

個動點，將A4BE沿AE折疊，使點8落在3'處.

A題：當NE"C=90。時，EC的長為.

B題：當.EB'C為直角三角形時EC的長為.

【答案】||■或者1

【分析題：設BE=x,則EB'=x,根據(jù)矩形折疊性質(zhì)易得B、ZXE三點共線，由勾股定理求出AC的

長度，在中利用勾股定理可解得x的值，即可得到EC的長度；

8題：找出直角三角形，再根據(jù)勾股定理分情況求解即可.

【詳解】解：A題：設8E=x，則EB'=x,

由折疊的性質(zhì)可得NAB'E=NB=90,

?；NEB，C=90,

:?B、ZXE三點共線，

根據(jù)勾股定理得，AC=>]AB2+BC-=5,

?.B^=AC-BC=2,

EC2=EB'2+B'C2，

：.（4-X）2=X2+22,

3

解得：x3，

8題：當NE9C=90，EC=|;

當？5/C90,如圖所示

B恰好落在AD上，BE=3,則EC=BC-BE=1,

故答案為：：；;或1.

22

【點睛】此題考查了矩形與折疊，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟悉折疊的性質(zhì)和勾股定理.

8.如圖，4ABC、△ACE都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,AB=4,F是。E的中點，若點E

是直線8c上的動點，連接8兄則BF的最小值是.

A

D

【答案】2

【分析】由AABC、AAOE都是等腰直角三角形，可得出：△ABCs/XAQE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到

ZADE=ZABE,推出點A,D,B,E四點共圓，得到/O8E=90。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到B尸=gDE,

當QE最小時，的值最小，QE最小，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：如圖，

VAABC,△ADE都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,AB=4

.ABAD[—AD(

..——=——=1,4C=48=4

ACAE

:.NADE=NABE,

...點A,D,B,E四點共圓,

■:ND4E=90°,

:.ZDBE=90°,

?尸是。￡的中點，

BF=-DE,

2

.?.當OE最小時，8尸的值最小，

,若點E是直線8c上的動點，

二當AEJ_8c時，AE最小，此時，OE最小,

VZB4C=90°,AB=4,AC=4,

BC=4夜，

AB-AC4x4rr

AE=-----------=—產(chǎn)=2,

BC40

.ACBC

"AE-DE(

.44夜

"U2~~DE'

：.DE=4,

：.BF=2,

的最小值是2.

故答案為:2.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積公式，四點共圓，直角三角形的性質(zhì)，確定

出當OE最小時，B尸的值最小是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，等邊的邊長是2,點。是線段8c上一動點，連接A。，點E是AD的中點，將線段繞

點。順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段。F,連接FC,當CDF是直角三角形時，則線段8。的長度為.

【分析】aCD尸是直角三角形分三種情況討論：①當WC=90。時，當點尸在AC上時，根據(jù)等邊三角形

的性質(zhì)得/包心=180。-/￡/。-/。=30。，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得。尸=gAD,根據(jù)等腰三角形三線合一，得

BD=-BC=\.②NDCF=90。延長DF到G使DG=D4,連接AG、CG,過G作G"J_5c交BC延長線于

2

H,根據(jù)相全等三角形的判定得△ABD絲oACG,即CG=2C〃，設CH=x,則CG=5D=2x,由旋轉(zhuǎn)性

質(zhì)得出DF=\DG,再由相似三角形的判定得出dDCFs/XDHG,再由相似的性質(zhì)得出g￡=空=(，即

2DHDG2

4

BD=-:③當NC￡>F=90°時，ZADF+ZCDF+ZADB=210°>180°,NCDP=90°不成立.

【詳解】解：①當ZDFC=90°時,

當點尸在AC上時，

..ABC是等邊三角形且邊長為2,

/.AB=AC=BC=2,ZC=60°,

??.ZFDC=180O-ZDFC-ZC=30°,

?瓦旋轉(zhuǎn)60。得到線段。尸，

/.ZEDF=60°,

.?.ZADC=NEDF+Z.FDC=90°,

/.ZZMC=18O°-ZAZX?-ZC=3O°,

/.DF=-ADf

E是A。的中點,

DE——/\D,

2

：,DE=DF，

即A￡>13C時，ZDFC=90°,

:.BD=-BC=\-

2

②NOCF=90。，如圖，

延長DF到G使Z)G=D4,

連接AG、CG,

過G作GH_L8C交BC延長線于〃，

AD=DG.ZADG=60°,

4)G是等邊三角形，

/.ZZMG=60°,AD=AG,

.A3。是等邊三角形，

/.AB=AC,ZBAC=ZB=ZACB=6O°t

:.ZBAC=ZDAG,

??.ZBAC-ADAC=ZDAG-ZDAC,

即ZBAD=ZCAG,

在△A5O和：ACG中，

AB=AC

<NBA。=ZCAG,

AD=AG

.^ABD^^ACGCSAS),

:.BD=CG,N5=ZACG=60。，

NGCH=180°-ZACB-ZACG=60°,

GHIBC,

:.ZH=90°,

/.ZCGH=30°,

.\CG=2CH,

設CH=x,則CG=BD=2x,

E是A￡>中點，

:.DE=-AD,

2

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知=

AD=DG,

DF=-DG

2f

NDCF=9O0=NH,NCDF=/HDG,

:「DCFs4DHG,

.DCDF1

'~DH~~DG~2f

DC=-DH,

2

：.DC=CH=X,

BD+DC=2,

2x+x=2,

2

③當N8F=90。時，

QZAZ)F=60°,ZADB>ZACB=6Q°,

：.ZADF+NCDF+ZADB=210°>180°,

.?.NCDF=90°不成立，

4

綜上，8￡)=1或§；

4

故答案為：1或:.

【點睛】本題考查等邊三角形中動點的旋轉(zhuǎn)問題.通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造另外的等邊三角形以及全等手拉手模型，

本題考查的知識較為綜合，難度較大，通過分類討論確定動點的位置，熟記旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判

定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.已知任意直角三角形的兩直角邊和斜邊c之間存在關(guān)系式:次+人力.如圖，在△A8C中，NBAC=90。，

AB=AC,點。在8C上，BD=3,CD=4,以為一邊作△AOE,使/D4E=90。，AD=AE.若點M是DE上

一個動點，則線段CM長的最小值為.

【分析】連接CE,過點C作CHLOE于點兒首先證明.54。絲.，.C4E,可推導CE=M=3,ZACE=NB,

再證明NECD=90。，在應中，由勾股定理計算上=江西濤=5，然后借助三角形面積求出

12

CH=(,根據(jù)“垂線段最短”可知，當CMJ_DE,即例、〃重合時，線段CM的長取最小值，即可獲得答

案.

【詳解】解：連接CE,過點。作于點兒如卜.圖，

BDC

,/ABAC=ZDAE=90°,即ZBAD+ADAC=ZDAC+ZCAE,

:.ZBAD=ZCAE,

\*AB=AC9AD=AE9

：.ABAD絲/XCAE(SAS),

:?CE=BD=3,ZACE=NB,

*/ZBAC=90°,

??.ZB+ZACB=180°-ZB/AC=90°,

AZACE+ZACB=ZB+Z4CB=90°,即NECD=90。，

???在用△COE中，DE=dCE2+Clf=X2。=5,

\*CHA.DE,

：.SvcDE=gcD.CE=；DE.CH,g|jlx4x3=-x5xC/7,

12

解得CH：?,

???點例是。E上一個動點，則當CM_L3￡,即歷、，重合時，線段CW的長取最小值，

此時CM=C”=(.

12

故答案為：-y.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，正確作圖輔助線構(gòu)建全等三角形是

解題關(guān)鍵.

三、解答題

11.已知：如圖，在RtAABC中，NC=9()?,AB=5cm,AC=4cm,動點尸從點B出發(fā)沿射線3c以Icm/s

的速度移動，設運動的時間為f秒.

⑴求BC邊的長；

(2)當為直角三角形時，求，的值;

(3)當八4放為等腰三角形時，求f的值.

【答案】(l)3cm

(2)3或方2S

⑶5或6或325

0

【分析】(1)利用勾股定理即可求出結(jié)論；

(2)由題意可得：BC=tcm,N3W90。，然后根據(jù)直角三角形直角的情況分類討論，利用勾股定理等知識

即可解答；

(3)當△/$產(chǎn)為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形腰的情況分類討論，分別畫出對應的圖形，根據(jù)三線合一、

勾股定理等知識即可解答.

(1)

解：：在用A8C中，/C=90?,AB=5cm,AC=4cm,

BC=yjytg2-AC2=3cm-

(2)

解：BC=tcm,ZB^90°

當NAP3=90。時，點尸與點C重合，

BP=BC,

即f=3；

當NPAB=90。時，如下圖所示：

CP=BP-BC=(t-3)cm.

AC2+CP2=A/5?=BP?-AB2，

，42+(r-3)2=r2-52,

解得：，=三.

綜上：當八48尸為直角三角形時，/=3或胃;

(3)

解：當A5=AP時，如下圖所示：

BP=2BC,

即，=2*3=6.

當A3=BP時，如下圖所示:

/.t=5；

當AP=BP時，如下圖所示:

則CP=8C-8P=（3-f）cm,AP=BP=t,

在R/.APCU」，AC^+C尸=A"，

即42+（3-/）2=產(chǎn),

25

解得：

6

綜上：當&W尸為軸對稱圖形時，r=5或6或325.

6

【點睛】此題考查的是勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)是解決此題的關(guān)

鍵.

12.如圖，在矩形4BCO中，設AD=b,且a>6.

AB

⑴若a,6為方程--h+%+4=0的兩根，且80=2m，求k的值.

(2)在(1)的條件下，尸為8上一點(異于C、D兩點),P在什么位置時，與尸8為直角三角形？

(3)P為CD上一動點(異于C、。兩點)，當a,匕滿足什么條件時，使△神為直角三角形的P點有且只有一

個？請直接寫出々匕滿足的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(l)k=8

(2)P在(3+百)或(3-括)位置時，A4PB為直角三角形

(3)a=2b

【分析】(1)根據(jù)矩形性質(zhì)求出的一AD3斜邊與兩直角邊的關(guān)系，根據(jù)兩直角邊又是一元二次方程的解，由

此即可求解；

(2)在矩形中，為直角三角形，則可找出根據(jù)對應邊的比相等，即可求解；

(3)求唯一值，可以根據(jù)一元二次方程的判別式△=()來判斷，主要是找出矩形的兩直角邊與點尸的數(shù)量關(guān)

系，由此即可求解.

(1)

解：；8￡>=2jid且是矩形ABC。的對角線，在自一458中，AB=a,AD=b,

BD=V?2+b2=2M，a2+b2=(a+b)2-2a6=40，

???a,b為方程Y-依+%+4=0的兩根，根據(jù)韋達定理得，

/.a+h=-(-k)=k,ab=k+4,

???公―2伏+4)=40,解一元二次不等式得，

人=一6,攵2=8.

當々=-6時，原方程得d+6x-2=0,貝卜=口役也不符合題意，故舍去;

2

當k=8時，原方程得X2-8X+12=0,則二士正8）2宅二型,

22

：.a=6,b=2,符合題意,

故答案是：k=8.

(2)

解：根據(jù)（1）得，a=6,b=2,如圖所示,

設OP=x,則CP=6-x,

若△4P8為直角三角形，在矩形ABCD41,Rt.CBP~Rt.DPA,

???g=二，即J-=］，解分式方程得，用=3+石，飛=3—石，

CPDA6-x2

：.P在（3+0）或（3-石）位置時，AAPZJ為直角三角形.

(3)

解：根據(jù)題意

設儲尸=加，則CP=a-x,

若△AP8為直角三角形，在矩形A8CO中，Rt.CBP~Rt.DPA,

即上=?，＞-的+匕24

CPDAa-mb

P點有且只有一個,

A(-a)2-4/r=0,即心心，

：?a=2b,

故答案是：a=2b,

【點睛】本題主要考查的矩形的性質(zhì)，相似三角形的運用，理解和掌握矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

13.如圖，△A8C是邊長是12cm的等邊三角形，動點尸，。同時從A,B兩點出發(fā)，分別沿A8,BC方向

勻速移動，其中點P運動的速度是Icm/s,點。運動的速度是2cm/s,當點。到達點C時，P、Q兩點都停

止運動，設運動時間為f(s),解答下列問題：

(1)當點。到達點C時，PQ與A3的位置關(guān)系如何？請說明理由.

(2)在點P與點。的運動過程中，VBP。是否能成為等邊三角形？若能，請求出r,若不能，請說明理由.

(3)則當，為何值時，VBPQ是直角三角形？

【答案】(1)PQ與垂直，見解析

(2)能，4

(3)f=2.4秒或f=6秒

【分析】(1)根據(jù)題意求出的的長度，則可知點P為AB的中點，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得出答案;

(2)若VBPQ是等邊三角形，則BP=PQ=BQ,列出相應方程求解即可；

(3)分兩種情況進行討論：當NBQP=90?時；當NBPQ=90。時.

(1)

當點Q到達點C時，尸。與A8垂直，

理由如下：

；AB=AC=BC=12cm,

當點。到達點C時，可得AP=6cm,

.??點P為AB的中點，

PQ1AB-.

(2)

假設在點尸與點。的運動過程中，7BPQ能成為等邊三角形,

:.BP=PQ=BQ,

?*.12-t=2t,解得t=4,

???當，=4時，V3PQ是等邊三角形;

(3)

根據(jù)題意得=BQ=2t,

：.BP=\2—t,

當N3QP=90?時，

???NP8Q=60?,

,/4BP。=30。，

BQ=^BP,即2f=g(12_),解得r=2.4秒；

當N8PQ=90。時，同理可得12T='x2r,解得f=6秒，

2

.?.當7=2.4秒或f=6秒，V8PQ是直角三角形.

【點睛】本題考查了三角形綜合題，考查了含30°的直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，幾何動點問題，讀懂

題意，根據(jù)題意列出相應的方程是解本題的關(guān)鍵.

14.已知△ABC是等邊三角形，AOLBC于點。，點E是直線AO上的動點，將BE繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)

60°得到8尺連接EF、CF、AF.

⑴如圖1,當點￡在線段4。上時，猜想NAPC和N/=XC的數(shù)量關(guān)系；(直接寫出結(jié)果)

(2)如圖2,當點E在線段A。的延長線上時，(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明你的結(jié)論，若不成立,

請寫出你的結(jié)論，并證明你的結(jié)論：

(3)點E在直線AO上運動，當△ACF是等腰直角三角形時，請直接寫出/E8C的度數(shù).

【答案］⑴證明見解析

(2)成立，理由見解析

(3)15?；?5。

【分析】(1)山旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得/E8b=60。，由“SAS”可證ABE絲CBF,可得/BAE=/BCF=30。，

由直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；

(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得8七=3凡ZEBF=60°,由“SAS”可證工ABE會1c防，可得N8AE=N3。尸=30。，由

直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；

(3)由全等三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得48=AE,再分這情況討論，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可求

解.

(1)

解：NAR7+/E4c=90?,理山如下：

???△A8C是等邊三角形，

：.AB=AC=BCtZABC=ZBAC=ZACB=60°,

'：AB=ACfAD1BC,

???ZBAD=30°,

:將3E繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到BF,

：.BE=BFfZEBF=60°,

：.NEBF=NABC,

：.ZABE=ZFBCf且AB=BC,BE=BF,

：?LABE—CBF(SAS)

???NBAE=/BCF=30。,

???N4c尸=9()。，

；?ZAFC+ZMC=90°；

(2)

(1)的結(jié)論仍然成立，理由如下：

,.?△ABC是等邊三角形，

：.AB=AC=BCfZABC=ZBAC=ZACB=60°,

9：AB=AC,AD±BC,

：.ZBAD=30°,

?.?將3E繞點3順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到BF,

:?BE=BF,ZEBF=60°f

：./EBF=NABC,

:,/ABE二/FBC,KAB=BC9BE二BF,

:?一AB?一CBF(SAS)

；?NBAE二NBCF=30。,

???ZACF=90°,

???ZAFC+ZMC=90°；

???△Ab是等腰直角三角形,

:?AC=CF,

,:△ABE^ACBF,

：.CF=AE,

:?AC=AE=AB,

.?“密咽:墓?，

2

NEBC=/ABE-NABC=15?,

如圖，當點E在點A上方時，

同理可得：/8AQ=30?43=AC=AE,

二NABE=15?,

：.ZEBC=15°.

【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)進行推理是本題的關(guān)鍵.

15.如圖，在三角形43C中，AB=3,BC=3也,AC=6,點。是AC上一個動點，過點。作?？贚8C于

點尸，過點尸作尸￡〃AC,交AB于點￡

(1)當四邊形AOFE為菱形時，則NAE￡>=.

(2)當△￡>￡尸為直角三角形時，則C￡)=.

【答案】60°3或4.8

【分析】(1)根據(jù)勾股定理逆定理可得NABgO?,利用菱形的性質(zhì)即可得出答案：

(2)利用分類討論結(jié)合①當“密口0。時.②當NEDE=90。時，③當NDEQ90。時，分別分析得出符合

題意的答案.

【詳解】解：(1)；4B=3,BC=3&AC=6，

?；32+(3A/3)2=36=6"

二AB2+BC2^AC2,

/.ZABC=^P.,

：.ZC=30°,ZA=60°,

FE//AC,

：.NBEF=/A=60?,

???四邊形4。尸E為菱形，

Z.ZAEF=1800-60o=120°,

ZAED=-ZAEF=60°.

2

故答案為：60?；

(2)①當NDEE=90。時.

VFE//AC,ZC=30°,

???ZEFB=ZC=30°,

??.ZDFE=l80°-90°-30°=60°90°,

?,,這種情況不存在；

②當N&)￡=90。時，如圖2,

圖2

*：DF1.BC,ZB=90°,

：./DFC=/B=90°,

:，DF//AB,

丁EF//AC,

???四邊形AEFD為平行四邊形,

AE=DF=-CD,

2

NDFC=NFDE=90?,

:.DE〃BC,

：.ZADE=ZC=30°,ZAED=ZB=90°.

在R/AADE中，ZAED=90°,ZADE=30°,

AAE=^AD=^(6-CD),

即;所;(6-CO),

解得：CD=3,

③當/￡>￡尸=90。時，如圖3,

A

圖3

VEF//AC,ZC=30°,

JZEFB=ZC=30°,

,/ZDFC=90°,

:.ZDFE=60°,

,//DEF=90。,

???NFDE=30。,

ZB=90°,

???ZFEB=60°,

*/ZDEF=90°,

???ZAED=30°,

/.ZA￡)E=90°,ZAED=ZFDE=30°,

:.FD//AE,

???四邊形AEFD為平行四邊形，

:.AE=DF=-CD,

2

在R&QE中，

ZADE=900,ZAED=30°.

：.AD=-AE,

2

^6-CD=-x-CD,

22

解得：CD=4.8.

綜上所述，當△尸石。是直角三角形時，CD的值為3或4.8.

故答案為:3或4.8.

【點睛】本題考查三角形和平行四邊形綜合應用.熟練掌握直角三角形的判定和含30。的直角三角形的性

質(zhì)，以及平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，矩形0A8C頂點8的坐標為(8,3),定點。的坐標為(12,0),動點P從點O出發(fā)，以每秒2個

單位長度的速度沿x軸的正方向勻速運動，動點。從點。出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸的負方

向勻速運動，P、。兩點同時運動，相遇時停止.在運動過程中，以PQ為斜邊在x軸上方作等腰直角三角

形PQR,設運動時間為f秒，△PQR和矩形O48C重疊部分的面積為S.

⑴當/=時，△PQR的邊QR經(jīng)過點B

(2)求S關(guān)于，的函數(shù)關(guān)系式，并寫出/的取值范圍.

【答案】⑴1

39

y-6r(0<r<1)?

1,

⑵5="--z2-5r+19(l<r<2)

7,

-z2-14r+28(2<?<4)

【分析】(1)當點5在QR上時，根據(jù)AAB。是等腰直角二角形求出AQ的長度，進而求出0Q的長度，

從而得出結(jié)果.

(2)由點P和點。的運動情況可知，-PRQ和矩形04BC的重合部分分為3類情況；按照三種情況的特

點，分別用矩形、梯形、等腰直角三角形的面積關(guān)系分類求解即可.

(1)

解：PRQ為等腰直角三角形

ZRQA=45°

???四邊形OA8C為矩形

...當QR經(jīng)過點8時，△AB。為等腰直角三角形

?點B的坐標為(8,3),點。的坐標為(12,0)

AAQ=AB=3,OQ=OA+AQ=8+3=11

00-0。=12-11=1

此時，運動時間r="l=l

(2)

解：①當04Y1時，

如圖，設網(wǎng)交BC于點G,過點尸作于點H

則C〃=OP=2r,GH=PH=3

*?S=S梯形ABGP=S矩形OABC_S梯形O?GC

②當l<r?2時，

如圖，設PR交8c于點G,RQ交BC、4B丁點S、T,

則AT=A2=4-f,BS=BT=3-(4-t)=t-\

??5=5^,2480_SBST

=--6r-i(r-l)2

22

1

=—1~?—5t+19.

2

③當2a?4時，

如圖，設HQ與A8交于點八則AT=AQ=4T,

PQ=12-3f,PR=RQ=M(12-3f).

S=SgQR-S&AQT

1,17

--(12-3Z)2--(4-Z)2

7、

=-r-14z+28

4

【點睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、函數(shù)與圖像、矩形的性質(zhì)；其中根據(jù)圖像的變化情況對重合部分

的面積進行分類討論是解決此題的關(guān)鍵.

17.如圖，在二A8C中，AB=A,3c=6,尸是BC邊上一動點，=/3=60。，過A點作射線A/〃8C,

備用圖

(1)求AC的長；

(2)求證：AP1^BPAD-,

(3)連接C￡>,若；AC。為直角三角形，求BP的長.

【答案】(I)AC=2J7

(2)證明見解析

(3)滿足條件的PB的長為4或吐巨

2

【分析】(1)如圖1中，作A〃_LBC于〃，根據(jù)含30。的直角三角形的性質(zhì)求出8”、AH,再利用勾股定理

求出AC即可；

(2)證明a/WP?即可證明；

(3)分兩種情形分別求解即可解決問題.

(1)

如圖1中，作于”，

圖1

在Rt4?”中，

,.N8=60°,AB=4,

：.BH=^AB=2,AH=&H=2日

CH=BC-BH=6-2=4

在Rt一AC”中，AC=>jAH2+CH2=42廚+U=2幣,

(2)

圖2

AM//BC,

：.NDAP=/APB,

NAPD=NABP/)°,

AABP-DPA.

.PAPB

??=~~，

DAPA

AP-^BPTAD-,

(3)

①如圖3中，當NAPC=90。時，作A〃_LBC于，，連接C￡>,

圖3

二四邊形是矩形,

在Rt_A3〃中,

AB=4,4=60°,-4/78=90。,

二4AH=30。，

ABH=^AB=2,AH=2y/3

"BC=6,

二CH=4,

?四邊形是矩形，

AD=CH=4,

,:AP2=BP1AD，

‘Ap2=4BP，

又：AP2=AH2+PH2=12+(PB-2y,

二4尸3=12+(PB-2「

解得PB=4；

如圖4中，當_ZAC￡>=90。時，作A//L8C于”，CG_LA￡)于G,連接CZ),

則有B，=2,CH=4,AH=2拒

圖4

丁/ACD=90。，/AGC=90。，

/.XADC+XDAC=90°fND4C+/ACG=90。，

???ZADC=ZACG,

:?，CGA~__DGC,

.CGGA

..-----=-----,

DGCG

:.CG2=GA?DG，

/.12=42DG,

，DG=3,AD=7,

222

?；PA?=BPAD,PA=AH+PH9PH=BH—BP,

???7BP=12+(2-

解得P8二I1一病或尸8="十灼(舍去)，

22

.??滿足條件的PB的長為4或I1一質(zhì).

2

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、含30。的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是

靈活運用所學的知識解決問題，學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角二角形解決問題.

18.矩形ABCD的邊A8在x軸上，點C、D在第一象限，且4)=3,AB=4,點4的坐標為(2,0),如圖(1).

(2)過點A的直線I與矩形ABCD的一條邊交于點E,如果直線I把矩形A8C￡)分成兩部分圖形的面積比為

1:2,求直線，的解析式；

(3)尸是線段C。上動點，DP=m,連接尸3,以尸B為直角邊在心的逆時針方向作等腰直角三角形PBQ,且

PB=PQ,NBPQ=9Q°,如圖(2).

①求出點。的坐標(用含，〃的式子表示)；②連接。。，當線段。。的長度最短時，求機的值；

【答案】(1)(6,3)；

991

(2)y=-x--^y=-x-l；

(3)°(機+5,7—〃。，m=l.

【分析】(1)求出。8和3c的值即可求出點C的坐標.

(2)分類討論，當點E在CO上和當點E在2c上時，兩種情況，求出點E坐標，利用矩映88即

可求出點E的坐標，再由4、E兩點確定直線表達式.

(3)添加輔助線，構(gòu)造“三垂直”全等，表示VP=BN=4-m,即可表示點。的坐標；再用配方法確定當發(fā)

最小時，m=l.

(1)

解：由題意知:

08=2+4=6,BC=AD=3,

C(6,3)；

(2)

如圖:

貝ijOE=〃—2,

由題意得:

SgDE=§S矩形ASCD?

即LOE?A0='X12,

23

設直線/的表達式為:y=k1x+b1

3=—k,+b.

則：311,

0=2k]+”

I1

,18

h9，

，產(chǎn)工_2,

84

②當點E在BC上時,如圖：

]

卜0|----------lc

Ci^AB

設：E(6,a),

則5E=a,

由題意得：

SgBE=2S矩形ABC。?

B|J-ABBE=-xl2,

23

—x46?=4,

2

:.a=2,

E(6,2),

設直線/的表達式為:y=k2x+h2,

2=6kz+b2

0=2&2+b、

.??「2

A=-i

ii

y=-x-l,

2

991

綜上可知直線/的表達式為：y=-x-^y=-x-l；

o42

(3)

①如圖作PNJ_A8,交AB于點、N,作。垂足為點M,

???N1+N3=9O,Zl+Z2=90,

.\Z3=Z2,

在AQMP與,PNB中,

/QMP=/PNB

?Z3=Z2,

PQ=PB

QMP=..PNB

:.MQ=PN=3,

DP=m,

：.MP=BN=4—m,

「.Q(m+5,7-〃2),

@OQ=J(W+5)2+(7_〃?)2=yj2m2-4m+74=j2(m-l)2+722屈=6五，

當。。最小時,m=\.

【點睛】本題主要考查了利用幾何圖形求點的坐標，確定一次函數(shù)表達式，三角形全等轉(zhuǎn)化線段，二次函

數(shù)求最值，轉(zhuǎn)化思想和添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵.

19.問題的提出：如果點尸是銳角△ABC內(nèi)一動點，如何確定一個位置，使點P到△ABC的三頂點的距離

之和PA+PB+PC的值為最小？

⑴問題的轉(zhuǎn)化：如圖，把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△APC,連接P產(chǎn)，這樣就把確定以+PB+PC

的最小值的問題轉(zhuǎn)化成確定8P+PP+PC'的最小值的問題了，請你利用圖1畫出上述操作的最終圖象的示

意圖，并證明：PA+PB+PC=BP+PP+PC；

圖1

(2)問題的解決：當點P到銳角AABC的三頂點的距離之和以+PB+PC的值為最小時，貝IJ/AP8的度數(shù)是

,NAPC的度數(shù)是；

⑶問題的延伸：如圖2是有一個銳角為30。的直角三角形，如果斜邊為2,點P是這個三角形內(nèi)一動點，請

你利用以上方法，求點P到這個三角形各頂點的距離之和的最小值.

圖2

【答案】(1)畫圖見解析：證明見解析

(2)120°；120°

【分析】(1)問題的轉(zhuǎn)化：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明A4P尸是等邊二角形，則以=尸產(chǎn)，可得結(jié)論；

(2)問題的解決：運用類比的思想，把△近繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到八4尸。，連接PP,由“問題的

轉(zhuǎn)化”可知：當B,P,9,C'在同?直線上時，R4+P8+PC的值為最小，當滿足NAP3=NAPC=120。時，滿

足三點共線；

(3)問題的延伸：如圖3,作輔助線，構(gòu)建直角△ABC',利用勾股定理求AC'的長，即是點P到這個三角

形各頂點的距離之和的最小值.

(1)

解：如圖1,

圖1

由旋轉(zhuǎn)可知，/P4P=60。，PA=PA,

△APP是等邊三角形,

:.PA=PP,

PC=P'C,

：.PA+PB+PC=BP+PP'+P'C；

(2)

滿足NAP8=NAPC=120。時，以+P8+PC的值為最小，理由如下:

圖2

如圖2,把△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△月產(chǎn)C,連接PP，由“問題的轉(zhuǎn)化”可知:

當B,P,產(chǎn),C'在同一直線上時，B4+P8+PC的值最小.

由旋轉(zhuǎn)可知，ZPAP,=60°,PA^P'A,ZAPC=ZAP'C'

二△APP'是等邊三角形，

二ZAPP=ZAP,P=M0,

：.ZAPB=1800-ZAPP=120°,ZAPC=ZAPC=180°-ZAP1P=120°,

故答案為：ZAPS=120°,ZAPC=120°；

(3)

如圖3,

A

圖3

在Rt&WC中,

:AB=2，2ABC=30?,

,?AC=1,BC-\lAB2—AC2-6'

把△8PC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到ABPC,連接PP.

由旋轉(zhuǎn)可得，BP=BP,NPBP=60。,