2025屆廣西貴港市港南中學三文科班高二上數學期末檢測試題含解析

2025屆廣西貴港市港南中學三文科班高二上數學期末檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知分別表示隨機事件發(fā)生的概率，那么是下列哪個事件的概率（）A事件同時發(fā)生B.事件至少有一個發(fā)生C.事件都不發(fā)生D事件至多有一個發(fā)生2．《周髀算經》是中國最古老的天文學和數學著作，書中提到:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數列.若冬至、大寒、雨水的日影子長的和是尺，芒種的日影子長為尺，則冬至的日影子長為（）A.尺 B.尺C.尺 D.尺3．已知等差數列滿足，則等于（）A. B.C. D.4．等差數列的通項公式，數列，其前項和為，則等于（）A. B.C. D.5．已知數列為等比數列，則“為常數列”是“成等差數列”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6．已知隨機變量服從正態(tài)分布，，則（）A. B.C. D.7．若橢圓與直線交于兩點,過原點與線段AB中點的直線的斜率為,則A. B.C. D.28．如圖，四棱錐中，底面是邊長為的正方形，平面，為底面內的一動點，若，則動點的軌跡在（）A.圓上 B.雙曲線上C.拋物線上 D.橢圓上9．兩條平行直線與之間的距離為（）A. B.C. D.10．太極圖被稱為“中華第一圖”，閃爍著中華文明進程的光輝，它是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖展現了一種相互轉化，相對統(tǒng)一的和諧美．定義：能夠將圓O的周長和面積同時等分成兩個部分的函數稱為圓O的一個“太極函數”，設圓O：，則下列說法中正確的是（）①函數是圓O的一個太極函數②圓O的所有非常數函數的太極函數都不能為偶函數③函數是圓O的一個太極函數④函數的圖象關于原點對稱是為圓O的太極函數的充要條件A.①② B.①③C.②③ D.③④11．積分（）A. B.C. D.12．下列橢圓中，焦點坐標是的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知銳角的內角，，的對邊分別為，，，且．若，則外接圓面積的最小值為______14．直線l過拋物線的焦點F，且l與該拋物線交于不同的兩點，．若，則弦AB的長是____15．某市有30000人參加階段性學業(yè)水平檢測，檢測結束后的數學成績X服從正態(tài)分布，若，則成績在140分以上的大約為______人16．某校為了解學生學習的情況，采用分層抽樣的方法從高一人、高二人、高三人中，抽取人進行問卷調查.已知高一被抽取的人數為，那么高二被抽取的人數為__.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓：，定點，Q為圓上的一動點，點P在半徑CQ上，且，設點P的軌跡為曲線E.（1）求曲線E的方程；（2）過點的直線交曲線E于A，B兩點，過點H與AB垂直的直線與x軸交于點N，當取最大值時，求直線AB的方程.18．（12分）已知等差數列中，，前5項的和為，數列滿足，（1）求數列，的通項公式；（2）記，求數列的前n項和19．（12分）已知橢圓的焦點為，且該橢圓過點（1）求橢圓的標準方程；（2）若橢圓上的點滿足，求的值20．（12分）已知圓的方程為：.（1）求的值，使圓的周長最?。唬?）過作直線，使與滿足（1）中條件的圓相切，求的方程，并求切線段的長.21．（12分）在平面直角坐標系中，設橢圓（）的離心率是e，定義直線為橢圓的“類準線”，已知橢圓C的“類準線”方程為，長軸長為8.（1）求橢圓C的標準方程；（2）O為坐標原點，A為橢圓C的右頂點，直線l交橢圓C于E，F兩不同點（點E，F與點A不重合），且滿足，若點P滿足，求直線的斜率的取值范圍.22．（10分）如圖,是平行四邊形，已知，,平面平面.（1）證明：；（2）若，求平面與平面所成二面角的平面角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】表示事件至少有一個發(fā)生概率，據此得到答案.【詳解】分別表示隨機事件發(fā)生的概率，表示事件至少有一個發(fā)生的概率，故表示事件都不發(fā)生的概率.故選：C.2、D【解析】根據題意轉化為等差數列，求首項.【詳解】設冬至的日影長為，雨水的日影長為，根據等差數列的性質可知，芒種的日影長為，，解得：，，所以冬至的日影長為尺.故選：D3、A【解析】利用等差中項求出的值，進而可求得的值.【詳解】因為得，因此，.故選：A.4、D【解析】根據裂項求和法求得，再計算即可.【詳解】解：由題意得====所以.故選：D5、C【解析】先考慮充分性，再考慮必要性即得解.【詳解】解：如果為常數列，則成等差數列，所以“為常數列”是“成等差數列”的充分條件；等差數列，所以，所以數列為，所以數列是常數列，所以“為常數列”是“成等差數列”的必要條件.所以“為常數列”是“成等差數列”的充要條件.故選：C6、B【解析】直接利用正態(tài)分布的應用和密度曲線的對稱性的應用求出結果【詳解】根據隨機變量服從正態(tài)分布，所以密度曲線關于直線對稱，由于，所以，所以，則，所以故選：B.【點睛】本題考查的知識要點：正態(tài)分布的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題7、D【解析】細查題意，把代入橢圓方程，得，整理得出，設出點的坐標，由根與系數的關系可以推出線段的中點坐標，再由過原點與線段的中點的直線的斜率為，進而可推導出的值.【詳解】聯立橢圓方程與直線方程，可得，整理得，設，則，從而線段的中點的橫坐標為，縱坐標，因為過原點與線段中點的直線的斜率為，所以，所以，故選D.【點睛】該題是一道關于直線與橢圓的綜合性題目，涉及到的知識點有直線與橢圓相交時對應的解題策略，中點坐標公式，斜率坐標公式，屬于簡單題目.8、A【解析】根據題意，得到兩兩垂直，以點為坐標原點，分別以為軸，建立空間直角坐標系，設，由題意，得到，，再由得到，求出點的軌跡，即可得出結果.【詳解】由題意，兩兩垂直，以點為坐標原點，分別以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為底面是邊長為的正方形，則，，因為為底面內的一動點，所以可設，因此，，因為平面，所以，因此，所以由得，即，整理得：，表示圓，因此，動點的軌跡在圓上.故選：A.【點睛】本題主要考查立體幾何中的軌跡問題，靈活運用空間向量的方法求解即可，屬于常考題型.9、D【解析】由已知有，所以直線可化為，利用兩平行直線距離公式有，選D.點睛：本題主要考查兩平行直線間的距離公式，屬于易錯題．在用兩平行直線距離公式時，兩直線中的系數要相同，不然不能用此公式計算10、B【解析】①③可以通過分析奇偶性和結合圖象證明出符合要求，②④可以舉出反例.【詳解】是奇函數，且與圓O的兩交點坐標為，能夠將圓O的周長和面積同時等分為兩個部分，故符合題意，①正確；同理函數是圓O的一個太極函數，③正確；例如，是偶函數，也能將將圓O的周長和面積同時等分為兩個部分，故②錯誤；函數的圖象關于原點對稱不是為圓O的太極函數的充要條件，例如為奇函數，但不滿足將圓O的周長和面積同時等分為兩個部分，所以④錯誤；故選：B11、B【解析】根據定積分的幾何意義求值即可.【詳解】由題設，定積分表示圓在x軸的上半部分，所以.故選：B12、B【解析】根據給定條件逐一分析各選項中的橢圓焦點即可判斷作答.【詳解】對于A，橢圓的焦點在x軸上，A不是；對于B，橢圓，即，焦點在y軸上，半焦距，其焦點為，B是；對于C，橢圓，即，焦點在y軸上，半焦距，其焦點為，C不是；對于D，橢圓，即，焦點在y軸上，半焦距，其焦點為，D不是.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用二倍角公式求出，即可得到，再利用余弦定理及基本不等式求出的取值范圍，再利用正弦定理求出外接圓的半徑，即可求出外接圓的面積；【詳解】解：因為，所以，解得或（舍去）．又為銳角三角形，所以．因為，當且僅當時等號成立，所以．外接圓的半徑，故外接圓面積的最小值為故答案為：14、4【解析】由題意得，再結合拋物線的定義即可求解.【詳解】由題意得，由拋物線的定義知：，故答案為：4.15、150【解析】根據考試的成績X服從正態(tài)分布．得到考試的成績X的正太密度曲線關于對稱，根據，得到，根據頻率乘以樣本容量得到這個分數段上的人數【詳解】由題意，考試的成績X服從正態(tài)分布考試的成績X的正太密度曲線關于對稱，，，，該市成績在140分以上的人數為故答案為：15016、【解析】利用分層抽樣可求得的值，再利用分層抽樣可求得高二被抽取的人數.【詳解】高一年級抽取的人數為：人，則，則高二被抽取的人數，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】(1)結合已知條件可得到點P在線段QF的垂直平分線上，然后利用橢圓定義即可求解；(2)結合已知條件設出直線的方程，然后聯立橢圓方程，利用弦長公式求出，再設出直線NH的方程，求出N點坐標，進而求出，然后表示出，再利用換元法和均值不等式求解即可.【小問1詳解】設點的坐標為，∵，∴點P在線段QF垂直平分線上，∴，又∵，∴∴點P在以C，F為焦點的橢圓上，且，∴，∴曲線的方程為：.【小問2詳解】設直線AB方程為，，由，解得，，解得，由韋達定理可知，，，∴∵AB與HN垂直，∴直線NH的方程為，令，得，∴，又由，∴，∴設則∴當且僅當即時等號成立，有最大值，此時滿足，故，所以直線AB的方程為：，即或.18、（1），；（2）.【解析】（1）利用等差數列求和公式可得，進而可得，再利用累加法可求，即得；（2）由題可得，然后利用分組求和法即得.【小問1詳解】設公差為d，由題設可得，解得，所以；當時，，∴，當時，（滿足上述的），所以【小問2詳解】∵當時，當時，綜上所述：19、（1）（2）【解析】（1）利用兩點間距離公式求得P到橢圓的左右焦點的距離，然后根據橢圓的定義得到a的值，結合c的值，利用a,b,c的平方關系求得的值，再結合焦點位置，寫出橢圓的標準方程（2）利用向量的數量積，求得點滿足的條件，再結合橢圓的方程，解得的值【小問1詳解】解：設橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b，半焦距為c，因為所以，即，又因為c=2，所以，又因為橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，所以該橢圓的標準方程為.【小問2詳解】解：因為，所以，即，又，所以，即.20、（1）（2）直線方程為或，切線段長度為4【解析】（1）先求圓的標準方程，由半徑最小則周長最??；（2）由，則圓的方程為：，直線和圓相切則圓心到直線的距離等于半徑，分直線與軸垂直和直線與軸不垂直兩種情況進行討論即可得解.進一步，利用圓的幾何性質可求解切線的長度.【小問1詳解】，配方得：，當時，圓的半徑有最小值2，此時圓的周長最小.【小問2詳解】由（1）得，，圓的方程為：.當直線與軸垂直時，，此時直線與圓相切，符合條件；當直線與軸不垂直時，設為，由直線與圓相切得：，解得，所以切線方程為，即.綜上，直線方程為或.圓心與點的距離，則切線長度為.21、（1）；（2）.【解析】（1）由題意列關于，，的方程，聯立方程組求得，，，則橢圓方程可求；（2）分直線軸與直線l不垂直于x軸兩種情況討論，當直線l不垂直于x軸時，設，，直線l：（，），聯立直線方程與橢圓方程，消元由，得到，再列出韋達定理，由則，解得，再由，求出的坐標，則，再利用基本不等式求出取值范圍；【詳解】解：（1）由題意得：，，又，聯立以上可得：，，，橢圓C的方程為.（2）由（1）得，當直線軸時，又，聯立得，解得或，所以，此時，直線的斜率為0.當直線l不垂直于x軸時，設，，直線l：（，），聯立，整理得，依題意，即（*）且，.又，，，即，且t滿足（*），，，故直線的斜率，當時，，當且僅當，即時取等號，此時；當時，，當且僅當，即時取等號，此時；綜上，直線的斜率的取值范圍為.【點睛】本題考查利用待定系數法求橢圓方程，直線與橢圓的綜合應用，屬于難題.22、(1)見解析;(2).【解析】（1）推導出，取BC的中點F，連結EF，可推出，從而平面，進而，由此得到平面，從而；（2）以為坐標原點，，所在直線分別為，軸，以過點且與平行的直線為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面與平面所成二面角的余弦值【詳解】（1）∵是平行四邊形，且∴，故，即取BC的中點F，連結EF.∵∴又∵平面平面∴平面∵平面∴∵平面∴平