北京市西城區(qū)北京教育學(xué)院附中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

北京市西城區(qū)北京教育學(xué)院附中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直線的一個(gè)方向向量為，則它的斜率為（）A. B.C. D.2．已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍（）A.-1m B.-1m<0或0<mC.m或m-1 D.m1或m-13．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，已知，，，，則（）A. B.C. D.4．已知橢圓的離心率為，則（）A. B.C. D.5．內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若，則一定是（）A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形6．曲線為四葉玫瑰線，這種曲線在苜蓿葉型立交橋的布局中有非常廣泛的應(yīng)用，苜蓿葉型立交橋有兩層，將所有原來(lái)需要穿越相交道路的轉(zhuǎn)向都由環(huán)形匝道來(lái)實(shí)現(xiàn)，即讓左轉(zhuǎn)車(chē)輛行駛環(huán)道后自右側(cè)切向匯入高速公路，四條環(huán)形匝道就形成了苜蓿葉的形狀.下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()①曲線C關(guān)于點(diǎn)(0，0)對(duì)稱(chēng)；②曲線C關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)；③曲線C的面積超過(guò)4π.A.0 B.1C.2 D.37．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，以為圓心，以為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，若(為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線的離心率為（）.A. B.C. D.8．已知長(zhǎng)方體的底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，長(zhǎng)方體的高為，則與對(duì)角面夾角的正弦值等于（）A. B.C. D.9．①命題設(shè)“，若，則或”；②若“”為真命題，則p，q均為真命題；③“”是函數(shù)為偶函數(shù)的必要不充分條件；④若為空間的一個(gè)基底，則構(gòu)成空間的另一基底；其中正確判斷的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.410．已知奇函數(shù)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，有，則不等式的解集為（）A. B.C. D.11．已知函數(shù)，則（）A. B.C. D.12．“”是“直線和直線垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是__________14．兩姐妹同時(shí)推銷(xiāo)某一商品，現(xiàn)抽取他們其中8天的銷(xiāo)售量（單位：臺(tái)），得到的莖葉圖如圖所示，已知妹妹的銷(xiāo)售量的平均數(shù)為14，姐姐的銷(xiāo)售量的中位數(shù)比妹妹的銷(xiāo)售量的眾數(shù)大2，則的值為_(kāi)_____.15．已知為橢圓上的一點(diǎn)，，分別為圓和圓上的點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____16．已知方程的兩根為和5，則不等式的解集是______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知平面直角坐標(biāo)系上一動(dòng)點(diǎn)滿足：到點(diǎn)的距離是到點(diǎn)的距離的2倍.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，求的最大值.18．（12分）已知直線過(guò)點(diǎn)（1）若直線與直線垂直，求直線的方程；（2）若直線在兩坐標(biāo)軸的截距相等，求直線的方程19．（12分）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若公差，且，，成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20．（12分）如圖，直三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D為棱AC中點(diǎn).（1）證明：AB1//平面；（2）若面B1BC1與面BC1D的夾角余弦值為，求.21．（12分）某快遞公司近60天每天攬件數(shù)量的頻率分布直方圖如下圖所示（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.（1）求這60天每天包裹數(shù)量的平均值和中位數(shù)；（2）在這60天中包裹件數(shù)在和的兩組中，用分層抽樣的方法抽取30件，求在這兩組中應(yīng)分別抽取多少件？22．（10分）在①成等差數(shù)列；②成等比數(shù)列；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并對(duì)其求解.問(wèn)題：已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，且___________.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)的方向向量求得斜率.【詳解】且是直線的方向向量，.故選：A2、C【解析】把看成動(dòng)點(diǎn)與所確定的直線的斜率，動(dòng)點(diǎn)在所給曲線上.【詳解】就是點(diǎn)，所確定的直線的斜率，而在上，因?yàn)椋?故選：C3、A【解析】利用空間向量加法法則直接求解【詳解】連接BD，如圖，則故選：A4、D【解析】由離心率及橢圓參數(shù)關(guān)系可得，進(jìn)而可得.【詳解】因?yàn)?，則，所以.故選：D5、C【解析】利用余弦定理角化邊整理可得.【詳解】由余弦定理有，整理得，故一定是直角三角形.故選：C6、C【解析】根據(jù)圖像或解析式即可判斷對(duì)稱(chēng)性①②；估算第一象限內(nèi)圖像面積即可判斷③.【詳解】①將點(diǎn)(－x，－y)代入后依然為，故曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；②將點(diǎn)(y，x)代入后依然為，故曲線C關(guān)于y＝x對(duì)稱(chēng)；③曲線C在四個(gè)象限的圖像是完全相同的，不妨只研究第一象限的部分，∵，∴曲線C上離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)的距離為顯然第一象限內(nèi)曲線C的面積小于以為直徑的圓的面積，又∵，∴第一象限內(nèi)曲線C的面積小于，則曲線C的總面積小于4π.故③錯(cuò)誤.故選：C.7、A【解析】設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，為的中點(diǎn)，可得，由，可知為的三等分點(diǎn)，用兩種方式表示，可得關(guān)于的方程組，結(jié)合即可得到雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，為的中點(diǎn)，可得，由到漸近線的距離為，所以，又，所以，因?yàn)?，所以，整理可得：，即，所以，可得，所以，所以雙曲線的離心率為，故選：A.8、C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的夾角坐標(biāo)公式即可求出線面角的正弦值.【詳解】連接，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系∵底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，，∴，，，因?yàn)?，且，所以平面，∴，平面的法向量，∴與對(duì)角面所成角的正弦值為故選：C.9、B【解析】利用逆否命題、含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性、充分和必要條件、空間基底等知識(shí)對(duì)四個(gè)判斷進(jìn)行分析，由此確定正確答案.【詳解】①，原命題的逆否命題為“，若且，則”，逆否命題是真命題，所以原命題是真命題，①正確.②，若“”為真命題，則p，q至少有一個(gè)真命題，②錯(cuò)誤.③，函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是“”.所以“”是函數(shù)為偶函數(shù)的充分不必要條件，③錯(cuò)誤.④，若為空間的一個(gè)基底，即不共面，若共面，則存在不全為零的，使得，故，因?yàn)闉榭臻g的一個(gè)基底，，故，矛盾，故不共面，所以構(gòu)成空間的另一基底，④正確.所以正確的判斷是個(gè).故選：B10、B【解析】根據(jù)給定的不等式構(gòu)造函數(shù)，再探討函數(shù)的性質(zhì)，借助性質(zhì)解不等式作答.【詳解】依題意，令，因是R上的奇函數(shù)，則，即是R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則有在單調(diào)遞增，又函數(shù)在R上連續(xù)，因此，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，不等式，于是得，解得，所以原不等式的解集是.故選：B11、B【解析】求出，代值計(jì)算可得的值.【詳解】因?yàn)?，則，故.故選：B.12、A【解析】因?yàn)橹本€和直線垂直，所以或，再根據(jù)充分必要條件的定義判斷得解.【詳解】因?yàn)椤爸本€和直線垂直，所以或.當(dāng)時(shí)，直線和直線垂直；當(dāng)直線和直線垂直時(shí)，不一定成立.所以是直線和直線垂直的充分不必要條件，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)投影向量概念求解即可.【詳解】因?yàn)榭臻g向量，，所以，，所以向量在向量上投影向量為：，故答案為：.14、13【解析】先根據(jù)妹妹的銷(xiāo)售量的平均數(shù)為14，求得y,進(jìn)而得到其眾數(shù)，然后再根據(jù)姐姐的銷(xiāo)售量的中位數(shù)比妹妹的銷(xiāo)售量的眾數(shù)大2，得到姐姐的銷(xiāo)售量的中位數(shù).【詳解】因?yàn)槊妹玫匿N(xiāo)售量的平均數(shù)為14，所以，解得，由莖葉圖知：妹妹的銷(xiāo)售量的眾數(shù)是14，因?yàn)榻憬愕匿N(xiāo)售量的中位數(shù)比妹妹的銷(xiāo)售量的眾數(shù)大2，所以姐姐的銷(xiāo)售量的中位數(shù)是16，所以，解得，所以，故答案為：1315、8【解析】根據(jù)橢圓的定義、點(diǎn)到圓上距離的最小值，即可得到答案；【詳解】設(shè)為橢圓的左右焦點(diǎn)，則，等號(hào)成立，當(dāng)共線，共線，的最小值為，故答案為：16、【解析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次不等式的解法即可解出【詳解】由題意可知，，解得，所以即為，解得或，所以不等式的解集是故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，設(shè)點(diǎn)，列方程即可.（2）點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)問(wèn)題，可以先求出點(diǎn)到直線的距離最值的兩倍就是的距離，也可以求出點(diǎn)的軌跡方程直接求解的距離.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，由題意，得：，化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)軌跡方程為【小問(wèn)2詳解】方法一：設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)在圓，即上運(yùn)動(dòng)，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程為，所以兩圓的圓心分別為，半徑均為2，則.方法二：由可得：所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓軌跡的圓心到直線的距離為：18、（1）（2）或【解析】(1)由兩條直線垂直可設(shè)直線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入計(jì)算即可；(2)當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程即可得出結(jié)果；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)可設(shè)直線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)橹本€與直線垂直所以，設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以直線的方程為【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，斜率為，由點(diǎn)斜式求得直線的方程是，即當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，把點(diǎn)代入方程得，所以直線的方程是綜上，所求直線的方程為或19、（1）；（2）.【解析】（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)列方程可得數(shù)列首項(xiàng)與公差，即可得解；（2）由，結(jié)合裂項(xiàng)相消法即可得解.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，，，，成等比數(shù)列，所以，所以，即，又因?yàn)?，所以，所以；?）因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用及裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.20、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）連接，使，連接，即可得到，從而得證；（2）設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解面與面的夾角余弦值為，從而得到方程，解得即可【小問(wèn)1詳解】證明：如圖，連，使，連，由直三棱柱，所以四邊形為矩形，所以為中點(diǎn)，在中，、分別為和中點(diǎn)，，又因平面平面，面，面，平面【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)如圖建系，則，，所以、，設(shè)平面的法向量則，故可取設(shè)平面的法向量，則，故可取，因?yàn)槊媾c面的夾角余弦值為，所以，即，解得，21、（1）平均數(shù)和中位數(shù)都為260件；（2）在的件數(shù)為，在的件數(shù)為.【解析】（1）由每組頻率乘以組中值相加即可得平均數(shù)，設(shè)中位數(shù)為，由落在區(qū)間內(nèi)的頻率為0.5可得結(jié)果；（2）先得頻率分別為0.1，0.5，由分層抽樣的概念即可得結(jié)果.【詳解】（1）每天包裹數(shù)量的平均數(shù)為；設(shè)中位數(shù)為，易知，則，解得.所以公司每天包裹的平均數(shù)和中位數(shù)都為260件.（2）件數(shù)在，的頻率分別為0.1，0.5頻率之比為1：5，所抽取的3