2024八年級數(shù)學(xué)上冊提練第13招等腰三角形“三線合一”的七種常見題型習(xí)題課件新版滬科版

滬科版八年級上第13招等腰三角形“三線合一”的七種常見題型01教你一招02典例剖析03分類訓(xùn)練目

錄CONTENTS等腰三角形中的“頂角平分線、底邊上的高、底邊上的

中線”，只要知道其中“一線”，就可以說明這條線同時也

是其他“兩線”.運用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)證明

角相等、線段相等或垂直關(guān)系，可減少證全等的次數(shù)，簡化

解題過程.

等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)是證線段或角的倍

分關(guān)系或相等關(guān)系時常用的性質(zhì)之一，解答含等腰三角形的

題型時，常常要考慮構(gòu)造等腰三角形“三線合一”的基本圖

形.本例通過作垂線，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)

證角的倍分關(guān)系.

利用“三線合一”求角的度數(shù)1.

如圖，一房屋屋架的頂角∠

BAC

＝100°，立柱

AD

⊥

BC

，斜梁

AB

＝

AC

.

求∠

B

，∠

C

，∠

BAD

，∠

CAD

的度數(shù).【解】∵

AB

＝

AC

，∠

BAC

＝100°，

AD

⊥

BC

，∴∠

B

＝∠

C

＝40°，∠

BAD

＝∠

CAD

＝50°.12345678

利用“三線合一”求線段長

BA.2B.3C.4D.5(第2題)123456783.

[2024·阜陽潁州區(qū)期末]如圖，已知∠

ABC

＝60°，點

P

在邊

AB

上，

BP

＝10，點

E

，

F

在邊

BC

上，

PE

＝

PF

.

若

BE

＝2，則

EF

的長為(

A

)A.6B.5C.4D.3(第3題)12345678【點撥】如圖，過點

P

作

PD

⊥

BC

于點

D

，則∠

PDB

＝90°.∵∠

ABC

＝60°，∴∠

BPD

＝30°.

∵

BE

＝2，

BD

＝5，12345678∴

ED

＝

BD

－

BE

＝5－2＝3.∴

EF

＝2

ED

＝6.故選A.

【答案】A12345678

利用“三線合一”證角相等

求證：∠

ACE

＝∠

B

.

12345678【證明】如圖，過點

A

作

AD

⊥

BC

于點

D

.

則∠

ADB

＝90°.

∵

CE

⊥

AE

，∴∠

E

＝90°.

∴Rt△

ABD

≌Rt△

ACE

(

HL

).∴∠

ACE

＝∠

B

.

12345678

利用“三線合一”證線段相等5.

如圖，

AB

＝

AE

，

BC

＝

DE

，∠

B

＝∠

E

，

AM

⊥

CD

，垂足為

M

.

求證：

CM

＝

MD

.

12345678【證明】如圖，連接

AC

，

AD

.

∴△

ABC

≌△

AED

(

SAS

).∴

AC

＝

AD

.

又∵

AM

⊥

CD

，∴

CM

＝

MD

.

12345678

利用“三線合一”判斷三角形的形狀6.

已知在△

ABC

中，∠

BAC

＝90°，

AB

＝

AC

，

D

為

BC

邊的中點.(1)如圖①，

E

，

F

分別是

AB

，

AC

上的點，且

BE

＝

AF

，試判斷△

DEF

的形狀，并說明理由.12345678

12345678∴

DE

＝

DF

，∠

BDE

＝∠

ADF

.

∵

AD

⊥

BC

，∴∠

ADB

＝90°.∴∠

EDF

＝∠

EDA

＋∠

ADF

＝∠

EDA

＋∠

BDE

＝∠

ADB

＝90°.∴△

DEF

為等腰直角三角形.12345678(2)如圖②，

E

，

F

分別為

AB

，

CA

延長線上的點，

且仍有

BE

＝

AF

.

請直接判斷△

DEF

是否仍為(1)

中的形狀.【解】△

DEF

仍為等腰直角三角形.12345678

利用“三線合一”證線段的倍分關(guān)系

(構(gòu)造三線法)7.

如圖，已知在等腰直角三角形

ABC

中，

AB

＝

AC

，

∠

BAC

＝90°，

BF

平分∠

ABC

，

CD

⊥

BF

，交

BF

的延長線于點

D

.

求證：

BF

＝2

CD

.

12345678【證明】如圖，延長

BA

，

CD

交于點

E

.

∵

BF

平分∠

ABC

，

CD

⊥

BD

，∴∠

EBD

＝∠

CBD

，∠

BDE

＝∠

BDC

＝90°.又∵

BD

＝

BD

，∴△

BDE

≌△

BDC

.

∴

BC

＝

BE

.

12345678又∵

BD

⊥

CE

，∴

CE

＝2

CD

.

∵∠

BAC

＝90°，∠

BDC

＝90°，∠

AFB

＝∠

DFC

，∴∠

ABF

＝∠

ACE

.

又∵

AB

＝

AC

，∠

BAF

＝∠

CAE

＝90°，∴△

ABF

≌△

ACE

.

∴

BF

＝

CE

.

∴

BF

＝2

CD

.

12345678【點方法】由角平分線與高線重合，構(gòu)造等腰三角形，利用等腰

三角形“三線合一”證明線段的倍分關(guān)系.【點方法】由角平分線與高線重合，構(gòu)造等腰三角形，利用等腰

三角形“三線合一”證明線段的倍分關(guān)系12345678

利用“三線合一”證線段的和差關(guān)系

(構(gòu)造三線法)8.

如圖，在△

ABC

中，

AD

⊥

BC

于點

D

，且∠

ABC

＝

2∠

C

.

求證：

CD

＝

AB

＋

BD

.

12345678【證明】如圖，以點

A

為圓心，

AB

長為半徑畫弧交

CD

于點

E

，連接

AE

，則

AE

＝

AB

，∴∠

AEB

＝∠

ABC

.

∵

AD

⊥

BC

，∴

DE

＝

BD

.

∵∠

ABC

＝