數(shù)學自主廣場：向量的分解與向量的坐標運算

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場我夯基我達標1.0是平行四邊形ABCD對角線的交點，下列各組向量中可作為這個平行四邊形所在平面,表示它的所有向量的基底的是（)①與②與③與④與A.①②B.①③C。①④D.③④思路解析：平面內任意不共線的兩個向量均能構成一組向量基底。通過畫圖可得：①與不共線；②=-,則∥；③與不共線；④=—,則∥。于是僅①③可以構成平面內所有向量的基底。答案：B2.如圖2-2-4，矩形ABCD中，若=5e1,=3e2，則圖2-2-4A.(5e1+3e2)B.(5e1—3e2)C.(3e2+5e1）D。(5e2—3e1)思路解析：用，表示，再代入向量和的值即可.==（)=(+）=()=（5e1+3e2）。答案:A3。（2006山東高考卷，理5）設向量a=（1,—3)，b=(—2,4)，c=(-1,-2），若表示向量4a,4b—2c,2(a-A.（2,6）B.(-2，6)C。（2，—6）D.(—2,-6）思路解析：由題意，得4a+4b-2c+2（a—答案：D4。M為△ABC的重心，點D、E、F分別為三邊BC、AB、AC的中點，則等于()A.6B.-6C.0D。6思路解析：如圖2-2—5所示，設MB的中點為P，連結DP、PE,得平行四邊形MDPE,取向量,為一組基底，則有=2=2（+），=-2,=-2，則有=0。圖2答案:C5。在△ABC中，已知A(2，3），B(8,-4）,G（2，—1)是中線AD上一點，且｜|=2|｜，則點C的坐標為()A.（—4,2)B。(—4，—2）C.（4，-2)D。（4，2）思路解析：思路一:設C點坐標為(x,y)，則線段BC的中點D(）.由｜|=2｜｜，得點G分有向線段AD的比為λ=2。則有2=解得即C(—4,-2).思路二：由||=2｜|，知G是△ABC的重心，由三角形重心坐標公式得方程，再解方程得坐標.答案：B6。已知向量a=（1，2），b=(—3,2)且向量ka+b與lb+a平行，則實數(shù)k，l滿足的關系式為（）A。kl=—1B。k+l=0C。l-k=0思路解析:∵ka+b=（k-3,2k+2)，lb+a=（-3l+1，2l+2），∴（k-3)(2l+2）-(2k+2)（-3l整理得kl=1.答案:D7。（2004安徽春季高考卷，文4）已知向量a=（1,2），b=（2,3)，c=（3,4),且c=λ1a+λ2b，則λ1、λ2A。-2、1B.1、-2C。2、—1思路解析:轉化為解方程組求得.λ1a+λ2b=λ1（1,2）+λ2(2,3）=（λ1+2λ2,2λ1+3λ2則解得λ1=—1，λ2=2。答案:D8.若a=（—1，x)與b=（-x，2）共線且方向相同,則x=_________________.思路解析:∵a與b共線，∴—2+x2=0.∴x=±.當x=時，a=(—1，），b=（—，2）=2(—1，)，即此時a與b同向；當x=—時,a=(—1,—）,b=(，2）=2（1,)=—（—1,-），即此時a、b反向.答案：29。已知向量=(6，1)，=（x,y）,=(—2，-3）,當∥時，求實數(shù)x、y應滿足的關系。思路分析：利用向量共線的坐標表示.解：由題意,得=—=—()=-［（6，1)+（x,y)+(—2，—3)]=(—x—4，-y+2)，=(x,y）,又∵∥,∴x（-y+2）—y·(—x—4）=0。解得y=—x，即x，y應滿足y=-x.我綜合我發(fā)展10.已知a=（1，2），b=（-3,2),當k為何值時，ka+b與a—3b平行？平行時,它們是同向還是反向？思路分析：ka+b與a—3b平行，可以利用它們之間的線性關系，找到系數(shù)λ；還可以利用兩向量平行坐標的關系直接求k。解法一：由題意,得ka+b=k（1,2）+（-3，2）=(k—3，2k+2），a-3b=(1，2）-3（-3，2）=(10，—4).又ka+b與a-3b平行，則存在唯一實數(shù)λ,使ka+b=λ(a-3b），由（k—3,2k+2）=λ(10，-4)，∴解得k=—,λ=-.∴當k=—時,ka+b與a—3b平行?！遦=-＜0，∴ka+b與a—3b反向.解法二：由解法一知ka+b=(k-3，2k+2)，a—3b=（10,—4)。∵(ka+b)∥（a—3b），∴(k—3)×(-4)—10×（2k+2)=0。解得k=—。此時ka+b=（——3，-+2）=（-,)=—（10,-4)=—（a—3b).∴當k=—時,ka+b與a-3b平行并且反向。11.已知a=(x1，y1)，b=（x2，y2)且a≠0，b≠0，ab,求證:(a+b）（a-b).思路分析：證明向量不平行，可以采用反證的思想方法。證明:假設(a+b）∥（a-b),∵a+b=(x1+x2,y1+y2）,a—b=（x1-x2,y1-y2),∴(x1+x2)(y1-y2）-(y1+y2）(x1-x2）=0.∴x1y1+x2y1-x1y2—x2y2—x1y1-x1y2+x2y1+x2y2=0?！?（x2y1-x1y2)=0,即x1y2-x2y1=0?！遖≠0，b≠0，∴a∥b,這與已知ab矛盾.∴假設不成立。故(a+b）（a-b).12.如圖2-圖2思路分析：本題沒有指明所構成的平行四邊形的頂點順序，故應分三種情形分別求解。解：（1)當平行四邊形為ABCD時，因為,所以(4，1)=（x+2,y—1)，即x=2，y=2，即D(2，2).(2)當平行四邊形為ACDB時，因為，所以(-1,-2）=(3—x，4—y)，即x=4,y=6,即D（4，6）.（3）當平行四邊形為DACB時，因為,所以（—2-x，1—y)=（4,1)。所以x=—6,y=0，即D(-6，0)。13.已知點O(0,0），A(1，2），B(4,5)及=+t，求：(1)t為何值時，P在x軸上？P在y軸上?P在第二象限?（2）四邊形OABP能否構成平行四邊形?若能，求出相應的t值；若不能,請說明理由.思路分析:首先把向量表示為坐標的形式，再利用點在x軸上、y軸上、第二象限內的特征,得到坐標的條件；要看四邊形OABP能否構成平行四邊形，就要看能否找到t，使，即對邊所在的直線平行且相等。解：(1）+t=(1+3t,2+3t)。