數(shù)學(xué)自主廣場：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場我夯基我達(dá)標(biāo)1。(浙江杭州二模,文2函數(shù)）f(x）=cos4x，x∈R是()A.最小正周期為π的偶函數(shù)B.最小正周期為π的奇函數(shù)C。最小正周期為的偶函數(shù)D.最小正周期為的奇函數(shù)思路解析：T===,f(-x)=cos(—4x)=cos4x=f（x)，即f(x)是偶函數(shù)。答案：C2.若函數(shù)y=f(x)的圖象上各點的縱坐標(biāo)保持不變,橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,然后再將整個圖象沿x軸向左平移個單位，沿y軸向下平移1個單位，得到的曲線與y=sinx的圖象相同，則y=f(x)是(）A.y=sin（2x+)+1B。y=sin（2x—）+1C.y=sin(2x-)+1D。y=sin（2x+）+1思路解析:逆向法解決，將y=sinx的圖象沿y軸向上平移1個單位得函數(shù)y=sinx+1的圖象；再將函數(shù)y=sinx+1的圖象向右平移個單位得函數(shù)y=sin（x—）+1的圖象;再將函數(shù)y=sin(x-）+1的圖象上各點的縱坐標(biāo)保持不變,橫坐標(biāo)縮短到原來的得函數(shù)y=sin(2x—）+1.這就是函數(shù)y=f（x)的解析式.這樣由后至前,等于把y=sinx進(jìn)行“逆變換"倒推出所求的函數(shù)解析式,逆變換時，相應(yīng)地將向左改為向右,向上改為向下,伸長變?yōu)榭s短即可.答案：B3.已知圖1-3-圖1-3-5A。ω=,φ=B.ω=，φ=-C.ω=2，φ=D。ω=2，φ=-思路解析：曲線與y軸的交點為（0,1），說明當(dāng)x=0時，函數(shù)值y=1,則2sinφ=1即sinφ=。∵—＜φ＜，∴φ=。又曲線與x軸的一個交點是（，0),說明當(dāng)x=時,函數(shù)值y=0，即sin(ω+）=0，∴ω+=kπ（k∈Z）。∵這點是曲線與x軸正方向的第二個交點,其相位是2π,即ω·+=2π，解得ω=2，即ω=2，φ=。答案:C4.(2006江蘇高考卷，4為了得到函數(shù)）y=2sin（+）,x∈R的圖象，只需把函數(shù)y=2sinx，x∈R的圖象上所有的點（)A.向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變）B.向右平移個單位長度,再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)C。向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變)D.向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變)思路解析：本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換。先將y=2sinx,x∈R的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)y=2sin（x+),x∈R的圖象，再把所得圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍(縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)y=2sin(+）,x∈R的圖象.答案：C5。（2006全國高考卷Ⅰ,理5)函數(shù)f(x）=tan（x+）的單調(diào)增區(qū)間為(）A.（kπ-,kπ+)，k∈ZB.(kπ,（k+1)π）,k∈ZC.（kπ—,kπ+),k∈ZD.(kπ—，kπ+），k∈Z思路解析:利用整體性策略，令kπ—＜x+＜kπ+，k∈Z,解得單調(diào)增區(qū)間.答案：C6。函數(shù)y=（x∈R)的最大值是_________________。思路解析：思路一：（換元法）設(shè)cosx=t，x∈R，則函數(shù)y=(x∈R)的最大值即函數(shù)y=,-1≤t≤1的最大值。可以證明當(dāng)-1≤t≤1時，函數(shù)y=是增函數(shù)，所以函數(shù)的最大值是3.思路二：由y=（x∈R），得cosx=?！啵鼃≤1.∴≤y≤3.答案:37.(2006北京高考卷，文2）函數(shù)y=1+cosx的圖象（)A.關(guān)于x軸對稱B.關(guān)于y軸對稱C.關(guān)于原點對稱D。關(guān)于直線x=對稱思路解析：函數(shù)y=1+cosx是偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對稱.答案:B8.函數(shù)f（x)=2sin(2x+），(1)求f（x)的最大值M、最小值N和最小正周期T。(2）由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到y(tǒng)=f（x）的圖象?（3)寫出函數(shù)的對稱軸和對稱中心？思路解析：利用公式直接得結(jié)論。解：(1）M=2，N=—2，T==π.(2）變換步驟是：①把y=sinx的圖象上所有的點向左平行移動個單位,得函數(shù)y=sin(x+)的圖象；②把函數(shù)y=sin（x+)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變），得函數(shù)y=sin(2x+）的圖象；③把函數(shù)y=sin(2x+)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變），得函數(shù)f（x）=2sin(2x+)的圖象.（3）令2x+=kπ+(k∈Z)，得x=+(k∈Z），即對稱軸是直線x=+(k∈Z)。令2x+=kπ（k∈Z）,得x=-（k∈Z），即對稱中心是(-，0）(k∈Z）。我綜合我發(fā)展9。下列等式中正確的有______________________。①arcsin（-)=-arcsin②arccos（—)=arccos③arctan（-1)=—arctan1④arcsin1=⑤arccos0=0⑥arctan(—）=思路解析:①arcsin(—）=-,-arcsin=—，∴arcsin（—)=-arcsin。②arccos(-)=，arccos=，∴arccos(-)≠arccos。③arctan(—1)=—，—arctan1=-,∴arctan(—1)=-arctan1.④由sin=1，且∈［—，］,∴arcsin1=.⑤由cos=0,且0∈［0，π］,∴arccos0=≠0。⑥由tan(—)=-3，且—∈［—，］,∴arctan（—3）=—≠.答案:①③④10.函數(shù)y=5sin（-2x）的單調(diào)遞增區(qū)間是________________。思路解析:函數(shù)y=-5sin(2x—）=5sin(2x+），令2kπ—≤2x+≤2kπ+（k∈Z），解得2kπ-≤2x≤2kπ—，即kπ—≤x≤kπ—.答案：[kπ-,kπ—］（k∈Z)11。已知cos（2x+）=—,x∈［0，2π],求角x的集合。思路分析：先由x的范圍確定2x+的范圍，然后判斷角的個數(shù)，再求出角。解:∵0≤x≤2π，∴≤2x+≤.∵cos(2x+)=-,∴2x+=或2x+=或2x+=或2x+=.∴x的集合為｛,，，}.12.已知0≤x≤，求函數(shù)y=cos2x-2acosx的最大值M（a)與最小值m(a)。思路分析:利用換元法轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題.解:設(shè)cosx=t，∵0≤x≤,∴0≤t≤1?！遹=t2—2at=(t—a)2-a2，∴當(dāng)a＜0時，m(a)=0,M(a）=1-2a；當(dāng)0≤a＜，m(a)=-a2,M（a）=1-2a；當(dāng)≤a＜1，m(a）=-a2，M（a)=0；當(dāng)a≥1時，m(a）=1—2a，M(a)=0.13.(經(jīng)典回放)如圖1—圖1-3-6（1）求這段時間的最大溫差；(2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式。思路分析：圖象最上方的點的縱坐標(biāo)是溫度的最大值，最下方點的縱坐標(biāo)是溫度的最小值.解：（1）由圖知，這段時間的最大溫差是30—10=20(℃)。（2)圖中從6時到14時的圖象是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b的半個周期的圖象，即=2（14-6），∴ω=。