陜西省寶雞市三迪中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年陜西省寶雞市三迪中學(xué)九年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列是一元二次方程的是（）A． B． C． D．2．在四邊形中，，．下列說法能使四邊形為矩形的是（）A． B． C． D．3．用配方法解方程時(shí)，配方后正確的是（）A． B． C． D．4．如圖，在平行四邊形中，，，將線段水平向右平移a個(gè)單位長(zhǎng)度得到線段，若四邊形為菱形時(shí)，則a的值為（）A．1 B．2 C．3 D．45．根據(jù)下表：x…456135…5確定方程的解的取值范圍是（）A．或 B．或C．或 D．或6．下列命題中，真命題是（）A．順次聯(lián)結(jié)平行四邊形各邊的中點(diǎn)，所得的四邊形一定是矩形B．順次聯(lián)結(jié)等腰梯形各邊的中點(diǎn)，所得的四邊形一定是菱形C．順次聯(lián)結(jié)對(duì)角線垂直的四邊形各邊的中點(diǎn)，所得的四邊形一定是菱形D．順次聯(lián)結(jié)對(duì)角線相等的四邊形各邊的中點(diǎn)，所得的四邊形一定是矩形7．若一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其面積為11，則m為（）A．11 B． C． D．228．如圖，矩形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作交于點(diǎn)E，已知，的面積為5，則的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C． D．9．原定于2020年10月在昆明舉辦的世界生物多樣性大會(huì)第15次締約方大會(huì)，因疫情推遲到2021年5月舉辦，為喜迎“”，某校團(tuán)委舉辦了以“”為主題的學(xué)生繪畫展覽，為美化畫面，要在長(zhǎng)為、寬為的矩形畫面四周鑲上寬度相等的彩紙，并使彩紙的面積恰好與原畫面面積相等（如圖），若設(shè)彩紙的寬度為，根據(jù)題意可列方程為（）A． B．C． D．10．如圖，在正方形中，，E為對(duì)角線上與點(diǎn)A，C不重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，與點(diǎn)G，連接，，有下列結(jié)論：①，②，③，④的最小值為3．其中正確結(jié)論的序號(hào)為（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④二、填空題：本題共6小題，共20分。11．關(guān)于x的方程是一元二次方程，則____________．12．如圖，正方形的對(duì)角線，交于點(diǎn)O，P為邊上一點(diǎn)，且，則的度數(shù)為____________．13．a(chǎn)是方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值是____________．14．如圖，將一張長(zhǎng)方形紙片沿折起，重疊部分為，若，，則重疊部分的面積為____________．15．如圖，在中，，且，，點(diǎn)D是斜邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，連接，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，則線段的最小值為____________．16．一農(nóng)戶要建一個(gè)長(zhǎng)方形羊舍，羊舍的一邊利用長(zhǎng)的住房墻，另外三邊用長(zhǎng)的柵欄圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于墻的一邊留一個(gè)寬的木門，當(dāng)羊舍的面積是時(shí)，所圍的羊舍與墻平行的邊長(zhǎng)為____________m．三、解答題：本題共9小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17．（本小題10分）解方程：（1）；（2）．18．（本小題5分）如圖，已知線段．利用尺規(guī)作圖的方法作一個(gè)菱形，使為菱形的對(duì)角線．（保留作圖痕跡，不要求寫作法）．19．（本小題5分）已知關(guān)于x的一元二次方程，若是這個(gè)方程的一個(gè)根，求m的值和另一根．20．（本小題5分）如圖，在四邊形中，為一條對(duì)角線，，，，E為的中點(diǎn)，連接．求證：四邊形為菱形．21．（本小題8分）已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）求證：無論m為何值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若該方程的兩個(gè)根為p和q，且滿足，求m的值．22．（本小題8分）如圖，在中，，，，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以的速度向B點(diǎn)移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以的速度向C點(diǎn)移動(dòng)．如果P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒后的面積等于？23．（本小題8分）如圖，在菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使得．連接．過點(diǎn)B作，交于點(diǎn)F，連接．（1）求證：四邊形是矩形；（2）若，，求的長(zhǎng)．24．（本小題9分）閱讀材料：在學(xué)習(xí)解一元二次方程以后，對(duì)于某些不是一元二次方程的方程，我們可通過變形將其轉(zhuǎn)化為一元二次方程來解．例如：解方程：．解：設(shè)，則原方程可化為：．解得：，．當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，∴．∴原方程的解是：，，，．上述解方程的方法叫做“換元法”．請(qǐng)用“換元法”解決下列問題：（1）解方程：；（2）解方程：；（3）解方程：．25．（本小題12分）感知：如圖①，在正方形中，E為邊上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合），連接，過點(diǎn)A作，交于點(diǎn)F，易證：．（不需要證明）探究：如圖②，在正方形中，E，F(xiàn)分別為邊，上的點(diǎn)（點(diǎn)E，F(xiàn)不與正方形的頂點(diǎn)重合），連接，作的垂線分別交邊，于點(diǎn)G，H，垂足為O．若E為中點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)．應(yīng)用：如圖③，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，，，相交于點(diǎn)G．若，圖中陰影部分的面積與正方形的面積之比為，則的面積為____________，的周長(zhǎng)為____________．答案和解析1．【答案】C【解析】解：A、方程的未知數(shù)的最高次數(shù)是1次，不是一元二次方程，不符合題意；B、方程含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，不符合題意；C、方程是一元二次方程，符合題意；D、方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合題意．故選：C．一元二次方程的概念：只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，據(jù)此逐項(xiàng)判斷即可．本題主要考查一元二次方程的概念，熟知一元二次方程滿足的條件是解答的關(guān)鍵．2．【答案】A【解析】解：∵，，∴四邊形是平行四邊形，當(dāng)時(shí)，四邊形為矩形（對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形），故選項(xiàng)A正確，符合題意；當(dāng)時(shí)，無法確定四邊形為矩形，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意；當(dāng)時(shí)，無法確定四邊形為矩形，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；當(dāng)時(shí)，四邊形為菱形，但無法確定四邊形為矩形，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意；故選：A．根據(jù)，，可知四邊形是平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定方法和各個(gè)選項(xiàng)中的條件，即可判斷哪個(gè)選項(xiàng)符合題意．本題考查平行四邊形的判定、矩形的判定、菱形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確矩形的判定方法．3．【答案】C【解析】解：∵，∴，∴，∴．故選：C．先把移到方程的右邊，然后方程兩邊都加4，再把左邊根據(jù)完全平方公式寫成完全平方的形式即可．本題考查了解一元二次方程-配方法：將一元二次方程配成的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．4．【答案】B【解析】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∵將線段水平向右平得到線段，∴，∴四邊形為平行四邊形，當(dāng)時(shí)，為菱形，此時(shí)．故選：B．證得四邊形為平行四邊形，當(dāng)時(shí)，為菱形，此時(shí)．本題主要考查了菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，平移的性質(zhì)，證得四邊形為平行四邊形，熟練掌握菱形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．5．【答案】A【解析】解：由表格得：時(shí)，，時(shí)，；時(shí)，，時(shí)，，可得方程的解取值范圍是或．故選：A．觀察已知表格，根據(jù)代數(shù)式的值的變化確定出方程解的范圍即可．此題考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的數(shù)據(jù)變化規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．6．【答案】B【解析】解：順次聯(lián)結(jié)平行四邊形各邊的中點(diǎn)，所得的四邊形一定是平行四邊形，故A是假命題，不符合題意；順次聯(lián)結(jié)等腰梯形各邊的中點(diǎn)，所得的四邊形一定是菱形，故B是真命題，符合題意；順次聯(lián)結(jié)對(duì)角線垂直的四邊形各邊的中點(diǎn)，所得的四邊形一定是矩形，故C是假命題，不符合題意；順次聯(lián)結(jié)對(duì)角線相等的四邊形各邊的中點(diǎn)，所得的四邊形一定是菱形，故D是假命題，不符合題意；故選：B．根據(jù)平行四邊形，矩形，菱形的判定定理逐項(xiàng)判斷即可．本題考查命題與定理，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形，矩形，菱形的判定定理．7．【答案】D【解析】解：設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)根分別為a，b，∴，，∵a，b分別是一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，且菱形的面積為11，∴，即，∴．故選：D．根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到兩根的和為10，兩根積為m，根據(jù)菱形的面積得到兩根乘積為22，即可求出m值．本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及菱形的性質(zhì)，完全平方公式，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根和是解題的關(guān)鍵．8．【答案】B【解析】解：如圖，連接，由題意可得，為對(duì)角線的垂直平分線，∴，，∴．∴，∵，∴，∴，在中，由勾股定理得：．故選：B．連接，由題意可得為對(duì)角線的垂直平分線，可得，，由三角形的面積則可求得的長(zhǎng)，得出的長(zhǎng)，然后由勾股定理求得答案．本題考查了矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理以及三角形的面積問題，此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．9．【答案】A【解析】【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．由彩紙的面積恰好與原畫面面積相等，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：依題意，得，即．故選：A．10．【答案】C【解析】解：①連接，交于點(diǎn)O，∵，，∴．∵四邊形為矩形，∴，，由題意可知：，．在和中，，∴，∴，∴，故①正確；②延長(zhǎng)，交于M，交于點(diǎn)H，∵，∴，由①知：，∴，∴，∵，∴，∴，即：，∴．故②正確；③由②知：．即：．故③正確；④∵點(diǎn)E為上一動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，最?。啵啵散僦?，∴的最小值為，故④錯(cuò)誤．故選：C．①連接，易知四邊形為矩形，可得；由可得，所以；②延長(zhǎng)，交于M，交于點(diǎn)H，由矩形可得，則；由，則；由四邊形為正方形可得，即，所以，即，可得；③由②中的結(jié)論可得；④由于點(diǎn)E為上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，根據(jù)垂線段最短可得此時(shí)最小，最小值為，由①知，所以的最小值為．本題主要考查了正方形的性質(zhì)，垂線段最短，三角形全等的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，垂直的定義，根據(jù)圖形位置的特點(diǎn)通過添加輔助線構(gòu)造全等是解題的關(guān)鍵，也是解決此類問題常用的方法．11．【答案】1【解析】解：∵關(guān)于x的方程是一元二次方程，∴且，解得：．故答案為：1．根據(jù)一元二次方程的定義得出且，再求出答案即可．本題考查了一元二次方程的定義，能根據(jù)一元二次方程的定義得出且是解此題的關(guān)鍵．12．【答案】【解析】解：∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴．故答案為：．根據(jù)四邊形是正方形，可得，，再根據(jù)，即可求出的度數(shù)．本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形性質(zhì)等，解決本題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)．13．【答案】2021【解析】解：∵a是方程的解，∴，即，．故答案為：2021．先利用一元二次方程的解的定義得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算．本題主要考查了求代數(shù)式的值，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解，整體思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．14．【答案】【解析】解：∵長(zhǎng)方形紙片按圖中那樣折疊，由折疊的性質(zhì)可知，，∵，∴，∴，∴，在中，，即，解得，∴重疊部分的面積，故答案為：．根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，等量代換得到，根據(jù)等腰三角形的判定定理得到，根據(jù)勾股定理列式計(jì)算即可．本題考查了折疊的性質(zhì)，掌握折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段相等是解題的關(guān)鍵，注意三角形的面積公式的應(yīng)用．15．【答案】2.4【解析】解：如圖，連接，在中，，且，，由勾股定理得，∵，，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∴當(dāng)時(shí)，的值最小，此時(shí)，∴，∴的最小值為2.4，故答案為：2.4．由勾股定理求出的長(zhǎng)，再證明四邊形是矩形，可得，根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)時(shí)，的值最小，再利用三角形面積求出，即可解答．本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積、垂線段最短，關(guān)鍵是掌握矩形的對(duì)角線相等．16．【答案】16【解析】解：設(shè)所圍的羊舍與墻平行的邊長(zhǎng)為，則所圍的羊舍與墻垂直的邊長(zhǎng)為，根據(jù)題意得：，解得：，．∵，∴不符合題意，舍去，∴，故答案是：16．設(shè)所圍的羊舍與墻平行的邊長(zhǎng)為，則所圍的羊舍與墻垂直的邊長(zhǎng)為，根據(jù)矩形的面積公式結(jié)合羊舍的面積是，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再由矩形的長(zhǎng)小于等于，即可確定x的值，此題得解．本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．17．【答案】解：（1）移項(xiàng)得，∴，則或，∴，；（2）∵，∴，，，則，∴，∴，．【解析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用公式法解一元二次方程即可．本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法等．18．【答案】解：如圖所示，四邊形即為所求作的菱形：【解析】作的垂直平分線，垂足為O，然后截取即可；本題考查作圖-復(fù)雜作圖，菱形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是是這里玩五種基本作圖，屬于中考?？碱}型．19．【答案】解：把代入原方程解得，即方程為：，解得：，，∴原方程的另一個(gè)根為．【解析】把代入原方程得出，求出m的值，把m的值代入原方程，求出方程的解即可．本題考查了解一元二次方程，一元二次方程的解的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出m的值．20．【答案】證明：∵，E為的中點(diǎn)，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，，∴，∴四邊形是菱形．【解析】由，，推出四邊形是平行四邊形，再證明即可解決問題．本題考查菱形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的判定方法，屬于中考?？碱}型．21．【答案】（1）證明：∵，∴無論m為何值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）解：由根與系數(shù)的關(guān)系，得，，∵，∴，即，解得：，，∴m的值為：1或．【解析】（1）先計(jì)算，從而可得結(jié)論；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，再代入，建立方程求解即可．本題考查的一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟知以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．22．【答案】解：如圖，過點(diǎn)Q作于E，則．∵，∴．∴．設(shè)經(jīng)過t秒后的面積等于，則，，．根據(jù)題意，．．，．當(dāng)時(shí)，，，不合題意舍去，?。?dāng)點(diǎn)Q到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，∴答：經(jīng)過2秒后的面積等于．【解析】作出輔助線，過點(diǎn)Q作于E，即可得出的面積為，由P、Q點(diǎn)的移動(dòng)速度，設(shè)時(shí)間為t秒時(shí)，可以得出、關(guān)于t的表達(dá)式，代入面積公式，即可得出答案．本題考查了一元二次方程的運(yùn)用，注意求得的值的取舍問題．23．【答案】（1）證明：∵四邊形是菱形，∴，，，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴．∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴，∴平行四邊形是矩形．（2）解：由（1）知四邊形是矩形，∴，，∴．又∵，，∴．在中，，∴，∴．【解析】（1）證四邊形是平行四邊形，再證，則，然后由矩形的判定即可得出結(jié)論；（2）由矩形的性質(zhì)得，，所以．又由，，由直角三角形性質(zhì)得．在中，，由直角三角形性質(zhì)得，即可得出結(jié)論．本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．【答案】解：（1）設(shè)，則原方程可化為：．解得：，．當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，∴．∴原方程的解是：，，；（2）設(shè)，則原方程可化為，即，解得：或，當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，∴；∴原方程的解是：，，，；（3）設(shè)，則原方程可化為．整理得，∴，解得：或，當(dāng)時(shí)，，即，由知此時(shí)方程無解；當(dāng)時(shí)，，即，解得：和，經(jīng)檢驗(yàn)和都是原分式方程的解．【解析】（1）設(shè)，則原方程可化為，解方程求得t的值，再求x的值即可；（2）設(shè)，則原方程可化為，解方程求得a的值，再求x的值即可；（3）設(shè)，則原方程可化為，整理得，解方程求得m的值，再求x的值，檢驗(yàn)后即可求得分式方程的解．本題考查了整體換元法，整體換元法是我們常用的一種解題方法，在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來代替它從而簡(jiǎn)化問題，當(dāng)