九年級(jí)數(shù)學(xué)教案3 方程（組）與不等式（組）（一）

第三講方程（組）與不等式（組）（一）

［教學(xué)內(nèi)容］

《佳一動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)思維》春季版，九年級(jí)第三講“方程（組）與不等式（組）（一）”.

［教學(xué)目標(biāo)］

知識(shí)技能

1.掌握一元一次方程的概念及解法，并能夠應(yīng)用一元一次方程解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

2.掌握用換元法、加減消元法解二元一次方程組的方法，能夠運(yùn)用二元一次方程組解決一些實(shí)

際生活應(yīng)用問(wèn)題.

3.掌握一元二次方程的概念及基本的四種解法，理解一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)

系，并能夠靈活運(yùn)用解決問(wèn)題.

4.掌握列方程解應(yīng)用題的一般步驟，并能利用方程解決一些簡(jiǎn)單的生活實(shí)際問(wèn)題.

數(shù)學(xué)思考

L通過(guò)用方程描述等量關(guān)系的過(guò)程，體會(huì)模型的思想，建立符號(hào)意識(shí).

2.在解方程的過(guò)程中，體會(huì)換元、降次的思想方法，在利用方程解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中體會(huì)模

型的思想.

問(wèn)題解決

1.學(xué)會(huì)在具體的情境中從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，并綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決簡(jiǎn)

單的實(shí)際問(wèn)題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí).

2.在解決問(wèn)題的實(shí)際過(guò)程中學(xué)會(huì)合作、交流.

情感態(tài)度

通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，體會(huì)解決問(wèn)題的方法，培養(yǎng)

學(xué)生的合作交流意識(shí)和探索精神.

［教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)］

重點(diǎn)：一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程組的概念及解法

難點(diǎn)：一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系以及列方程解決實(shí)際問(wèn)題

［教學(xué)準(zhǔn)備］

動(dòng)畫(huà)多媒體語(yǔ)言課件

第一課時(shí)

教學(xué)路徑

導(dǎo)入

師：前一講我們復(fù)習(xí)了代數(shù)式，今天我們來(lái)復(fù)習(xí)代數(shù)方程的有關(guān)知識(shí)，方程在

初中數(shù)學(xué)中是很重要的一部分內(nèi)容，在中考中一般占15%—20%左右，方程思想也

是我們?cè)诮鉀Q很多實(shí)際問(wèn)題是最常用的一種思想方法，下面我們來(lái)看一下歷史偉大

的數(shù)學(xué)家牛頓是怎么用方程的思想來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的.

啟動(dòng)性問(wèn)題

問(wèn)題：一個(gè)商人每年要花掉100元維持全家生計(jì)，然后將自己剩余的財(cái)產(chǎn)增加

經(jīng)過(guò)3年，商人發(fā)現(xiàn)他的財(cái)產(chǎn)增加了1倍.問(wèn)商人最初有多少財(cái)產(chǎn)？

3

牛頓給出了如下解法：

商人有財(cái)產(chǎn)X

第一年花掉100元

然后增加剩余的八八x—1004x—400

1r-100+---------=------------

333

4%-400…4x-700

第二年又花掉100元-------------100=

3--------------3

然后又增加剩余的工tr-700+4.r-700一16x-280(

3399

16x-28OO…16%-3700

第三年再花掉100元---------------100=---------------

99

16x-37OO16x-370064x-14800

然后再增加剩余的!---------------1---------------=-----------------

392727

此數(shù)等于最初財(cái)產(chǎn)的兩倍64%-14800_

27

（下一步）

解方程64XT4800=及解得商人最初財(cái)產(chǎn)為1480元.

27

師：下面我們就一起來(lái)看一下方程這部分內(nèi)容在中考中主要考查哪幾個(gè)方面.

考點(diǎn)11一元一次方程

師：在復(fù)習(xí)具體考點(diǎn)之前，首先我們把這一講的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系梳理清楚.代數(shù)式是由

一些運(yùn)算符號(hào)連接而成的式子，這里不包括等號(hào)和不等號(hào)，今天我們要復(fù)習(xí)含有等

號(hào)的式子和含有不等號(hào)的式子.含有等號(hào)的式子叫等式，由不等號(hào)連接的式子叫不等

式，方程也是等式，所以我們今天要復(fù)習(xí)的就是代數(shù)方程和一些簡(jiǎn)單的不等式.

回顧：

“一元一次方程

「整式方程彳二元一次方程（組）

一元二次方程

代數(shù)方程《■■、分式方程

I無(wú)理方程

（下一步）■4/―.

二元一次方程（組）消元>一元一次方程<降次一元二次方程

（下一步）

（先出現(xiàn)紅色字體，再一步一步出現(xiàn)黃色陰影字體）

i.等式的概念及性質(zhì)

等式：表示相等關(guān)系的式子叫做等式.

等式的性質(zhì)：（1）等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得的結(jié)果

仍相等.

（2）等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不為0）,所得的結(jié)果仍是等式.

（下一步）

（先出現(xiàn)紅色字體，再一步一步出現(xiàn)黃色陰影字體）

2.一元一次方程及相關(guān)概念

方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程.

方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，一元方程的解也叫它

的根.

解方程：求方程解的過(guò)程叫做解方程.

一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的式子都是整式，未知數(shù)的次

數(shù)是1,這樣的方程叫做一元一次方程.

一元一次方程的一般形式：ax+b=0（a^O）.

（下一步）

（先出現(xiàn)紅色字體，再一步一步出現(xiàn)黃色陰影字體）

3.一元一次方程的解法

一般步驟：（1）去分母，（2）去括號(hào)，（3）移項(xiàng)，（4）合并同類(lèi)項(xiàng)，（5）系數(shù)化1.

注意：（1）去分母時(shí)不要漏乘無(wú)分母的項(xiàng).

（2）去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前是號(hào)，去掉括號(hào)時(shí)括號(hào)內(nèi)每一項(xiàng)都要改變符號(hào).

（3）移項(xiàng)時(shí)要變號(hào).

師：下面我們就一起來(lái)看幾道例題.

初步性問(wèn)題

探究類(lèi)型之一等式的基本性質(zhì)

例1如圖所示的兩臺(tái)天平保持平衡，已知每塊巧克力的重量相等，且每個(gè)果

凍的重量也相等，則每塊巧克力和每個(gè)果凍的重量分別為（）

▲▲,

A.10g,40gB.15g,35gC.20g,30gD.30g,20g

解析：

設(shè)每塊巧克力和每個(gè)果凍的重量分別為尤g,yg,

則產(chǎn)=2、解得「=2。，

答案：c

師：天平表示的就是一種?

生：等量關(guān)系（預(yù)設(shè)）.

師：我們可以設(shè)巧克力和果凍的質(zhì)量分別為Xg和yg,這樣我們就可以建立已知量

和未知量之間的等量關(guān)系了，哪位同學(xué)可以說(shuō)一說(shuō)你列的等量關(guān)系式？

生：（預(yù)設(shè)）3x=2y,x+y=50.

師：這是一個(gè)二元一次方程組，如何求解？

生：（預(yù)設(shè)）消元法求解.

師：當(dāng)天平的左右兩盤(pán)的質(zhì)量相等時(shí)，天平就處于平衡狀態(tài)，即可找到等量關(guān)系.

類(lèi)似性問(wèn)題

1.如圖①所示，在第一個(gè)天平上，祛碼A的質(zhì)量等于祛碼8加上祛碼C的質(zhì)量；如

圖②所示，在第二個(gè)天平上，跌碼A加上祛碼8的質(zhì)量等于3個(gè)祛碼。的質(zhì)量.請(qǐng)

你判斷：1個(gè)祛碼A與一個(gè)祛碼C的質(zhì)量相等.

\⑷/、同//、聞局xlcflcjJlcjL

I二Ij7

①

解析：\@/\同同/、耳町血，圓

4△

①②

同0向/間而/

△

②

\@/vJ既/

探究類(lèi)型之二一元一次方程的解法

例2依據(jù)下列解方程°3x+°5=汩■的過(guò)程,請(qǐng)?jiān)谇懊娴睦ㄌ?hào)內(nèi)填寫(xiě)變形步驟,

0.23

在后面的括號(hào)內(nèi)填寫(xiě)變形依據(jù).

答案：綠色標(biāo)記部分一步一步填橫線(xiàn)上

師：每一個(gè)變形步驟和變形依據(jù)是否都能說(shuō)清楚，第一步變形是如何將系數(shù)變成整

系數(shù)的，依據(jù)是？

生：（預(yù)設(shè)）等號(hào)左邊分?jǐn)?shù)的分子分母同時(shí)乘以10,所以依據(jù)的是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì).

師：能不能說(shuō)是分式的基本性質(zhì)呢？

生：（預(yù)設(shè)）不能，分母中不含有未知數(shù)，所以不是分式.

師：好，下面的每一步請(qǐng)同學(xué)們來(lái)說(shuō)一說(shuō)？

生：（預(yù)設(shè)）第二步去分母是分子分母同時(shí)乘以6,依據(jù)是等式的性質(zhì)2.

生：（預(yù)設(shè)）第三步去括號(hào)的依據(jù)是去括號(hào)法則.

師：解一元一次方程的步驟是去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，未知數(shù)系數(shù)化

為1等.在解具體方程時(shí)，要仔細(xì)觀察它的特點(diǎn)，注意解方程的方法與技巧；去分母

時(shí)，分子是多項(xiàng)式的要添括號(hào).

類(lèi)似性問(wèn)題

2.解方程生」一吆±1=21一1.

364

解析：

先去分母，然后去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，最后將系數(shù)化為1,在去分母的過(guò)

程中，注意不含分母的項(xiàng)別忘了也要乘各分母的最小公倍數(shù).

考點(diǎn)12二元一次方程組的解法

師：復(fù)習(xí)完了一元一次方程的知識(shí)，下面我們一起來(lái)復(fù)習(xí)一下二元一次方程組的相

關(guān)知識(shí).

回顧：

（先出現(xiàn)紅色字體，再一步一步出現(xiàn)黃色陰影字體）

1.二元一次方程組的有關(guān)概念

二元一次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程.

二元一次方程的解：適合一個(gè)二元一次方程的每一對(duì)未知數(shù)的值，叫做二元一次方

程的解.

二元一次方程組：由幾個(gè)二元一次方程組成并含有兩個(gè)未知數(shù)的方程組叫做二元一

次方程組.

二元一次方程組的解：使二元一次方程組中兩個(gè)方程的左右兩邊的值相等的兩個(gè)未

知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的解.

（下一步）

2.二元一次方程組的解法：

（下一步）

代入

二元一次方程（組）-元一次方程

加減“

（下一步出現(xiàn)黃色陰影字體）

（1）代入消元法；（2）加減消元法.

師：回顧完二元一次方程組的相關(guān)知識(shí)，接下來(lái)我們來(lái)看幾道相關(guān)例題.

初步性問(wèn)題

探究類(lèi)型之一二元一次方程組的有關(guān)概念

例1已知|"=2,是二元一次方程組b=7'的解，則_的值為（

ab)

y=1[ax-by=1

A.-1B.1C.2D.3

解析:

x=7依+外=7,

根據(jù)方程組解的定義，把"'代入到關(guān)于x、y的二元一次方程組，

[y=icix—by=i

2a+0=7,

中得<（下一步）

2〃一。=1,

a=2,

解關(guān)于°、。的二元一次方程組（下一步）

翼二g3;

a-b=2-3=-l.

答案：A

師：5=2,是二元一次方程組（依+外=7,的解，說(shuō)明什么？

y=l\ax-by=1

生：（預(yù)設(shè)）將X、y的值代入方程組，兩個(gè)等式成立.

師：代入后我們可以得到？

生：（預(yù)設(shè)）關(guān)于。、人的二元一次方程組.

師：能否求出。、8的值？

生：（預(yù)設(shè)）可以，加減消元法.

師：大家在解有字母系數(shù)方程組的時(shí)候要明確方程的未知數(shù).

類(lèi)似性問(wèn)題

1.若關(guān)于x,y的二元一次方程組=的解滿(mǎn)足》+y<2,則a的取值范圍

x+3y=3

為.

解析：

將兩個(gè)二元一次方程相加得4x+4y=4+a,即x+y=*.（下一步）

整體代換，解關(guān)于。的一元一次不等式*<2.

x=2

3.已知<［是關(guān)于元，y的二元一次方程百x=y+a的解，求（。+1）（。-1）+7

y=g

解析:

x=2

把11代入Gx=y+q得26=G+〃，解得a=y/3.（下一步）

y=G

代入求值：（a+1）（a-l）+7=a2+6=（V3）2+6=9.

初步性問(wèn)題

探究類(lèi)型之二二元一次方程組的解法

2x-3>,=-5,

例2解方程組:

3x+2y=12.

解析:

加減消元法解此二元一次方程組.

答案：

j2x-3y=-5,①

解：〈?

3x+2y=12,②

①X2+②X3得，13x=26,即尤=2.

把x=2代入②得6+2y=12,解得y=3.

x=2

所以此二元一次方程組的解為’

』=3.

師：解二元一次方程組的基本思想是什么？

生：（預(yù)設(shè)）消元.

師：這個(gè)方程組如何消元？

生：（預(yù)設(shè)）加減消元.

師：在二元一次方程組中，若一個(gè)未知數(shù)能很好地表示出另一個(gè)未知數(shù)時(shí)，一般采

用代入法；當(dāng)兩個(gè)方程中的某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等時(shí)，或者系數(shù)均不為零時(shí)，一般

采用加減消元法把兩個(gè)方程增大適當(dāng)?shù)谋稊?shù)再相加減可消去一個(gè)未知數(shù).

類(lèi)似性問(wèn)題

2x+y=5,

2.解方程組:

x-3y=6.

解析：代入消元法解此二元?次方程組.

考點(diǎn)13二元一次方程組的應(yīng)用

師：同學(xué)們先回憶一下列方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟以及我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｒ?jiàn)

的等量關(guān)系.

回顧：

（先出現(xiàn)紅色字體，再出現(xiàn)綠色陰影字體，再一步一步出現(xiàn)黃色字體）

1.列方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟：

審：|審清題意，分清題中的已知量、未知量.

設(shè)：［設(shè)未知數(shù)，設(shè)其中某個(gè)未知量為X,并注意單位.

列:］建立已知量和未知量之間的等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列方程.

?解方程.

■檢驗(yàn)方程的解是否符合題意.

答J寫(xiě)出答案（包括單位）.

（下一步）

（先出現(xiàn)紅色字體）

2.常見(jiàn)的幾種方程類(lèi)型及等量關(guān)系

（1）行程問(wèn)題

基本量之間的關(guān)系：（下一步）路程=速度X時(shí)間.（下一步出現(xiàn)三個(gè)綠色字體）

相遇問(wèn)題：|全路程=甲走的路程+乙走的路程.（下一步）

追及問(wèn)‘若甲為快者，則被追路程=甲走的路程-乙走的路程.（下一步）

流水問(wèn)題：1'嫉=丫靜+丫水，V送=丫靜-丫水?（下一步）

（2）工程問(wèn)題

工作效率=工作總量

基本量之間的關(guān)系:（下一步）作工作時(shí)間.（下一步）

相等關(guān)系：甲、乙合做的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率.（下一步）

提醒:工程問(wèn)題中通常把工作總量看做“1”.（下一步）

（3）利率問(wèn)題

寺里天外（下一步）

①本息和=本金+利息.

②利息=本金X利率義期數(shù).

③利息稅總額=利息總額X利息稅率.

師：回顧完基本概念，接下來(lái)我們來(lái)看幾道相關(guān)例題.

初步性問(wèn)題

探究類(lèi)型利用二元一次方程（組）解決實(shí)際問(wèn)題

例1某班將舉行“慶祝建黨90周年知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng)，班主任安排小明購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品,

下面兩圖是小明買(mǎi)回獎(jiǎng)品時(shí)與班長(zhǎng)的對(duì)話(huà)情境：

請(qǐng)根據(jù)上面的信息，解決問(wèn)題：（1）試計(jì)算兩種筆記本各買(mǎi)了多少本？（2）請(qǐng)你解

釋?zhuān)盒∶鳛槭裁床豢赡苷一?8元？

解析：

設(shè)未知數(shù)：?jiǎn)蝺r(jià)為5的筆記本x本，單價(jià)為8元的筆記本y本；

（1）找等量關(guān)系：兩種筆記本本數(shù)和=40,

兩種筆記本錢(qián)數(shù)=300-68+13；

列方程組求解；

（下一步）

（2）找等量關(guān)系：兩種筆記本本數(shù)和=40,

兩種筆記本錢(qián)數(shù)=300-68；

列方程組求解，解方程組得出解不為正整數(shù)即可說(shuō)明.

答案:

解：設(shè)5元的筆記本買(mǎi)了x本，8元的筆記本買(mǎi)了y本.

x+y=40,x=25,

（1）根據(jù)題意得解得＜

5%+8y=300—68+13,y=15.

答：5元的筆記本買(mǎi)了25本，8元的筆記本買(mǎi)了15本.（下一步）

（2）如果是找回68元，則買(mǎi)筆記本共花了232元，可得方程組

88

x=3,」

x+y=40

解得■

5x+8y=300-683-2

y=3

由于買(mǎi)的筆記本的數(shù)量只能是整數(shù)，故與實(shí)際生活不符，也就是說(shuō)不可能找回

68元.

師：題目以對(duì)話(huà)的形式給出我們條件和問(wèn)題，大家是否清楚題意？

生：（預(yù)設(shè)）兩個(gè)本子的單價(jià)為5元和8元，共買(mǎi)了40本，花了300-68+13元，要

求兩種本子的數(shù)量.

師：這里我們可以直接設(shè)兩種本子的數(shù)量為x和y,關(guān)鍵信息是兩種本子的總價(jià)，是

300-68,還是300-68+13,接下來(lái)就是列方程求解了.

學(xué)生列方程求解.

師：對(duì)于用圖表信息的形式表示的等量關(guān)系，要從數(shù)據(jù)出發(fā)，探究?jī)?nèi)在聯(lián)系從而找

出等量關(guān)系.

師：運(yùn)用二元一次方程解應(yīng)用題，關(guān)鍵是弄清題意，找出各種等量關(guān)系，列出方程

并解出結(jié)果.

類(lèi)似性問(wèn)題

1.某班為獎(jiǎng)勵(lì)在校運(yùn)會(huì)上取得較好成績(jī)的運(yùn)動(dòng)員，花了400元錢(qián)購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種獎(jiǎng)

品共30件，其中甲種獎(jiǎng)品每件16元，乙種獎(jiǎng)品每件12元，求甲、乙兩種獎(jiǎng)品各買(mǎi)

多少件？該問(wèn)題中，若設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種獎(jiǎng)品x件，乙種獎(jiǎng)品y件，則方程組正確的是（）

x+y=30y=30

A..B..

12x+16y=40016x+12y=400

12x+16y=30DJ16x+12y=3O

C..

x+y=400x+y=400

解析：

找等量關(guān)系式，根據(jù)等量關(guān)系式建立方程組求解.（卜一步）

等量關(guān)系：甲種獎(jiǎng)品件數(shù)+乙種獎(jiǎng)品件數(shù)=30件，

購(gòu)買(mǎi)甲種獎(jiǎng)品錢(qián)數(shù)+購(gòu)買(mǎi)乙種獎(jiǎng)品錢(qián)數(shù)=400元.

2.在長(zhǎng)為10m,寬為8m的矩形空地中，沿平行于矩形各邊的方向分割出三個(gè)全等

的小矩形花圃，其示意圖如圖所示，求小矩形花圃的長(zhǎng)和寬.

解析：

設(shè)小矩形花圃的長(zhǎng)為xm,寬為ym,（下一步）

等量關(guān)系式：兩個(gè)小矩形的長(zhǎng)+一個(gè)小矩形的寬=大矩形的長(zhǎng)，

一個(gè)小矩形的長(zhǎng)+兩個(gè)小矩形的寬=大矩形的寬，（下一步）

根據(jù)等量關(guān)系式列方程求解：［2x+V=10，

%+2y=8.

3.某城市規(guī)定：出租車(chē)起步價(jià)允許行駛的最遠(yuǎn)路程為3千米，超過(guò)3千米的部分按

每千米另收費(fèi).甲說(shuō)：“我乘這種出租車(chē)走了11千米，付了17元”；乙說(shuō)：“我乘這

種出租車(chē)走了23千米，付了35元”.請(qǐng)你算一算這種出租車(chē)的起步價(jià)是多少元？超

過(guò)3千米后，每千米的車(chē)費(fèi)是多少元？

解析：設(shè)這種出租車(chē)的起步價(jià)是x元，超過(guò)3千米后，每千米的車(chē)費(fèi)是y元，

等量關(guān)系：起步價(jià)+超出3千米部分的價(jià)格=總價(jià)格，

x+(ll-3)y=17,

根據(jù)等量關(guān)系式列方程求解：■

x+(23-3)y=35.

第二課時(shí)

教學(xué)路徑

師：上節(jié)課我們復(fù)習(xí)了一元一次方程及二元一次方程組的相關(guān)知識(shí)，下面這節(jié)課我

們一起來(lái)復(fù)習(xí)一下一元二次方程的知識(shí).

考點(diǎn)14一元二次方程

師：我們首先來(lái)回憶一下一元二次方程的基本概念及解法.

回顧：

（先出現(xiàn)紅色字體，再一步一步出現(xiàn)黃色字體）

1.一元二次方程的概念

一元二次方程：含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)最高次數(shù)是2的整式方程，其一般形

式為ax*2+/?x+c=0（a，0）.

易錯(cuò)點(diǎn)：一元二次方程的概念隱含其二次項(xiàng)系數(shù)不等于0,故解有關(guān)字母系數(shù)的一元

二次方程不要忘掉其二次項(xiàng)系數(shù)。邦.

（下一步）

（先出現(xiàn)紅色字體，再出現(xiàn)綠色字體，一步一步出現(xiàn)黃色字體）

2.一元二次方程的解法

（1）直接開(kāi)平方法：|它適合于（x+a）2=6（婦0）或（辦+爐=（cx+d）2形式的方程.

（2）配方法：|通過(guò)配成完全平方形式解一元二次方程的方法，叫做配方法.

（3）公式法|先把方程整理成一般形式ajr+hx+c=0,且b2-4ac>0,其求根公式為為.2=

-b±\/b2-4ac

2a，

（4）因式分解法:［把方程化為〃2〃=0,得m=0或n=0的形式.

師：接下來(lái)我們來(lái)看幾道相關(guān)例題.

初步性問(wèn)題

探究類(lèi)型之一一元二次方程的有關(guān)概念

例1若x=2是關(guān)于龍的一元二次方程加x+8=0的一個(gè)解，則的值是（）

A.6B.5C.2D.-6

解析：

由方程根的定義，把x=2代入fr/u+gR得4-2〃?+8=0,解得〃?=6.

答案：A

師：請(qǐng)一位同學(xué)來(lái)講一講這道題？

生：（預(yù)設(shè)）將x的值代入方程，解關(guān)于根的一元一次方程.

師：還有其他方法嗎？

生：（預(yù)設(shè)）利用根與系數(shù)的關(guān)系.

師：非常好，若已知方程的根代入可求字母系數(shù)的值，反之，已知字母系數(shù)，可求

方程的根，總之等式中有兩個(gè)未知量，知一可求一；利用根與系數(shù)的關(guān)系也是一樣

的道理，通過(guò)未知量之間的關(guān)系來(lái)求解.

類(lèi)似性問(wèn)題

2.已知x=l是方程/+8下2=0的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根是（）

A.1B.2C.-2D.-1

解析：

方法一：根據(jù)方程根的定義，把尸1代入x2+陵-2=0得l+b-2=0,得8=1,所

以廠(chǎng)2=0,解得汨=1,X2=-2；（下一步）

方法二：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知汨*2=-2,又即=1,故X2=-2.

初步性問(wèn)題

探究類(lèi)型之二一元二次方程的解法

例2解方程f-4x+l=0.

解析：

用配方法或公式法求解.

答案：

解：

方法一：移項(xiàng)，得f-4x=T.

配方，得（x~2）2=3.

兩邊開(kāi)平方，得尸2=±6，故x=2±&,即XI=2+百，、2=2-e.（下一步）

方法二：因?yàn)閍=l,b=-4,c=L所以A=b2-4ac=12>0.

方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

1±”二4**注叵二2±6即即=2+百，32-6

2a2x1

師：如何求解比較簡(jiǎn)單？

生：（預(yù)設(shè)）配方或求根公式法.

師：要注意什么？

生：（預(yù)設(shè)）配方法要注意開(kāi)方前要檢驗(yàn)被開(kāi)方數(shù)是否非負(fù)，求根公式法要注意先判

斷△再?zèng)Q定是否求根.

師：很好，大家還要注意直接開(kāi)平方法、配方法、求根公式法、因式分解法之間的

聯(lián)系和區(qū)別，求根公式是通過(guò)先配方再開(kāi)平方得到的，選擇合適的方法會(huì)給求解帶

來(lái)便利，比如這道題目，不是完全平方的形式，所以不能直接開(kāi)平方，但是可以配

方，然后再開(kāi)方，當(dāng)然也可以直接用求根公式，由于方程的根不是有理數(shù)，所以不

能用常用的因式分解法，反而是我們求出根后知道等號(hào)左邊的二次三項(xiàng)式如何因式

分解.

類(lèi)似性問(wèn)題

1.一元二次方程尤（k1）=0的解是（）

A.x=0B.x=l

C.x=0或x=lD.x=0或x~l

解析：因式分解法.

由x（x~l）=0可得x=0或獷1=0,即x=0或x=L

3.解方程x（x+6）=16.（用三種不同的方法）

解析：

配方法，因式分解法，求根公式法.

考點(diǎn)15一元二次方程根的判別式

師：同學(xué)們先回憶一下我們是如何判斷一元二次方程的根的情況的？

回顧：

（先出現(xiàn)紅色字體，再出現(xiàn)綠色字體，最后一步步出現(xiàn)黃色字體）

一元二次方程根的判別式：關(guān)于X的一元二次方程加+笈+c=O（a/））的根的判別式

為b2-4ac,也把它記作△=/-4ac,.

判別式△=一元二次方程根的個(gè)數(shù)

（1）房-4a.>do方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

（2）用方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

（3）b24t7c<0<=>方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

（4）。7*$<=>方程有實(shí)數(shù)根.

（下一步）

易錯(cuò)點(diǎn)：在使用根的判別式解決問(wèn)題時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)中含有字母，常漏掉二次項(xiàng)系

數(shù)不為零這個(gè)隱含條件.

初步性問(wèn)題

探究類(lèi)型一元二次方程根的判別式

例1已知關(guān)于x的一元二次方程（a—1）/—2x+l=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a

的取值范圍是（）

A.a<2B.a>2

C.a<2且aWlD.a<-2

解析：由根的個(gè)數(shù)與判別式的關(guān)系得：

一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根="=（-2）-4（?-l）xI>0,（下一步）

解得a<2且a/1.

答案：C

師：如何求。的取值范圍？

生：(預(yù)設(shè))由方程根的個(gè)數(shù)，知△大于0.

師：完整嗎？

生：(預(yù)設(shè))還有二次項(xiàng)系數(shù)不為0.

師：如果一元二次方程中含有字母系數(shù)，大家要注意二次項(xiàng)系數(shù)不能為0,這是由根

的情況求字母系數(shù)的取值范圍，反之根據(jù)字母系數(shù)的取值范圍我們也可以判斷根的

個(gè)數(shù).在判別方程實(shí)根的情況時(shí)，由△=及-4"判別式的特點(diǎn)知：當(dāng)a,c異號(hào)時(shí)，

方程必有兩個(gè)不等實(shí)根；只有當(dāng)a,c同號(hào)時(shí)，才用計(jì)算判別式的值的方法判斷，以

加快解題速度.

例2關(guān)于x的一元二次方程f-3xd=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(1)求人的取值范圍.

(2)請(qǐng)選擇一個(gè)上的負(fù)整數(shù)值，并求出方程的根.

師：請(qǐng)同學(xué)們思考以下問(wèn)題：

1.該一元二次方程的判別式是什么？

2.方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根等價(jià)于什么條件？

解析：

(1)由題意，令△=02-4ac>0,求人的取值范圍；(下一步)

(2)在上的取值范圍內(nèi)選取負(fù)整數(shù).

答案：

解：(1)A=(-3)2-4XlX(-k)=9+4k.

由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根知△>(),

9

即9+4左>0,解得心>-一.

4

(2)可選取攵=-2,此時(shí)該一元二次方程為f-3x+2=0,

解這個(gè)一元二次方程得加=1，X2=2.

師：第一問(wèn)與例1是同樣的題目，第二問(wèn)，選取人的取值時(shí)要注意什么？

生：（預(yù)設(shè)）在第一問(wèn)的取值范圍內(nèi)選取.

類(lèi)似性問(wèn)題

1.證明：不論加取何值時(shí)，關(guān)于X的方程（尸1）（X-2）=加2總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

根.

解析：

先將（尸1）（廠(chǎng)2）=加2化為一般形式，然后證明A>0即可.

2.若關(guān)于x的一元二次方程f+4尤+2上0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍及k的非負(fù)

整數(shù)值.

解析：

方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即AX）,然后解不等式求人的取值范圍，最后取R的負(fù)整

數(shù)解即可.

考點(diǎn)16一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

師：復(fù)習(xí)完了一元二次方程根的判別式，接下來(lái)我們復(fù)習(xí)一下一元二次方程根與系

數(shù)的關(guān)系.一元二次方程的根與系數(shù)有什么關(guān)系呢？同學(xué)們想一想.

回顧：

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：（下一步）

如果x\,xz是一元二次方程cuc2+bx+c=Q（a#0）的兩個(gè)根，那么

hc

X\+X2=~—,Xl*X2=-.

aa

師：下面我們就來(lái)看一下用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以解決哪些類(lèi)型的問(wèn)題.

初步性問(wèn)題

探究類(lèi)型之一利用根與系數(shù)的關(guān)系求方程根的有關(guān)代數(shù)式的值

例1已知一元二次方程9-6廠(chǎng)5=0的兩根為a,b,則的值是__________.

ab

解析：

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得a+匕=6,ab=~5；（下一步）

整體代入有關(guān)根的代數(shù)式：1+1==

abab5

答案：-9

5

師：由條件和要求的你的解題思路是？

生：（預(yù)設(shè)）將要求的代數(shù)式通分可知只要求出兩根之和，兩根之積即可，而方程式

已知的，所以利用根與系數(shù)的關(guān)系可求.

師：非常好，關(guān)于一元二次方程有實(shí)數(shù)根問(wèn)題，一般有三種處理方式（何時(shí)選擇哪

種方式要根據(jù)具體題目的特點(diǎn)來(lái)確定）：①利用求根公式求根；②利用根與系數(shù)的關(guān)

系將這兩個(gè)根的和與積表達(dá)出來(lái)：X|+X2=-2,?檢=￡,以便后繼作整體代換；③將

aa

根代入方程中進(jìn)行整體處理，具體如何處理要根據(jù)題目條件和式子的特點(diǎn)來(lái)決定.

類(lèi)似性問(wèn)題

1.已知一元二次方程VTy+UO的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為“，小，則（yi-l）（”T）的

值為.

解析：

由根與系數(shù)的關(guān)系可得yi+”=3,5”=1,（下--步）

整體代入有關(guān)根的代數(shù)式:（yi-l）（p-l）=yi”-（yi+”）+l=l-3+l=-l.

初步性問(wèn)題

探究類(lèi)型之二利用根與系數(shù)的關(guān)系求未知系數(shù)的值

例2關(guān)于x的一元二次方程f+2x+A+l=0的實(shí)數(shù)解是總和以

（1）求女的取值范圍；

（2）如果X1+X2—X2<—1且左為整數(shù)，求女的值.

解析:

（1）一元二次方程f+2x+k+l=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，故AK）；（下一步）

（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得為+及=-2,X（x2=k+l,整體代入有關(guān)根的不等式

用+及一制無(wú)2<一1，再結(jié)合（1）的結(jié)論確定出左的范圍，最后取整數(shù)解即可.

答案：

解：（1）因?yàn)橐辉畏匠蘤+2x+k+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

所以—=22-4（A+1）=~4k>0,

即”0.（下一步）

（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得xi+%2=-2,x\X2=k+1,

所以-2-（Jt+l）<-1,

解得%>-2,

結(jié)合（1）知-2〈仁0.

又攵為整數(shù)，

所以左=-1或0.

師：第一問(wèn)請(qǐng)同學(xué)來(lái)講一下思路？

生：（預(yù)設(shè)）由方程根的個(gè)數(shù)求字母系數(shù)的取值范圍.

師：勿忘二次項(xiàng)系數(shù)非0,第二問(wèn)呢？

生：（預(yù)設(shè)）根據(jù)不等式的特點(diǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可.

師：當(dāng)方程中含有字母系數(shù)利用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)勿忘判別式的符號(hào)，最后結(jié)合（1）

的結(jié)論勿忘求整數(shù)解，

類(lèi)似性問(wèn)題

2.若關(guān)于x的一元二次方程f-4x+h3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為汨，X2,且滿(mǎn)足幻=3及，試

求出方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根及k的值.

解析：

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知為+X2=4,結(jié)合加=3尬可求出R，X2的值；（下一步）

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系X1X2=63求出4的值.

3.已知關(guān)于x的方程x2—2（^―1）x+M=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根Xi,X2.

(1)求人的取值范圍；(2)若婕|+X2|=X1X2-1，求女的值.

解析：

(1)方程X2—2(A—1)x+R=O有兩個(gè)實(shí)數(shù)根xi，及，則AN0,從而確定出人

的取值范圍；(下一步)

(2)由根與系數(shù)的關(guān)系得無(wú)1+無(wú)2=2(女一1),X\X2=^2，代入k|+X21=X|X2-1求出

上的值，結(jié)合(1)中的結(jié)論要注意女的取值范圍.

考點(diǎn)17一元二次方程的應(yīng)用

師：同學(xué)們先想一下前面我們復(fù)習(xí)的用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的步驟.

生：(思考回答)

師：那么利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題是不是也是這樣的步驟呢？利用一元二次

方程都能解決哪些類(lèi)型的實(shí)際問(wèn)題呢？

生：(思考回答)

回顧：

(先出現(xiàn)紅色，再綠色，再黃色)

1.增長(zhǎng)率問(wèn)題

等量關(guān)系：

(1)增長(zhǎng)率=增量濯礎(chǔ)量.

(2)設(shè)“為原來(lái)的量，為平均增長(zhǎng)率，〃為增長(zhǎng)次數(shù)，b為增長(zhǎng)后的量，則

a(l+m)n=b9當(dāng)加為平均下降率時(shí)，Rlla(l-m)n=b.

2.利潤(rùn)率問(wèn)題

等量關(guān)系：

(1)毛利潤(rùn)=售出價(jià)-進(jìn)貨價(jià).

(2)純利潤(rùn)=售出價(jià)-進(jìn)貨價(jià)-其他費(fèi)用.

利潤(rùn)

(3)利潤(rùn)率=aw-

師：下面我們就來(lái)看一下如何用一元二次方程解決增長(zhǎng)率問(wèn)題及銷(xiāo)售問(wèn)題.

初步性問(wèn)題

探究類(lèi)型之一增長(zhǎng)率問(wèn)題

例1廣安市某樓盤(pán)準(zhǔn)備以每平方米6000元的均價(jià)對(duì)外銷(xiāo)售，由于國(guó)務(wù)院有關(guān)房

地產(chǎn)的新政策出臺(tái)后，購(gòu)房者持幣觀望，房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)商為了加快資金周轉(zhuǎn)，對(duì)價(jià)格

經(jīng)過(guò)兩次下調(diào)后，決定以每平方米4860元的均價(jià)開(kāi)盤(pán)銷(xiāo)售.

（1）求平均每次下調(diào)的百分率；

（2）某人準(zhǔn)備以開(kāi)盤(pán)價(jià)均價(jià)購(gòu)買(mǎi)一套100平方米的住房，開(kāi)發(fā)商給予以下兩種優(yōu)惠

方案以供選擇：①打9.8折銷(xiāo)售；②不打折，一次性送裝修費(fèi)每平方米80元，試問(wèn)

哪種方案更優(yōu)惠？

解析：

（1）設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為X,

第一次下調(diào)后價(jià)格為6000（1-x）元，

第二次下調(diào)后價(jià)格為6000（l—x）2元：（下一步）

（2）分別算出兩種方案下的優(yōu)惠價(jià)格.

答案：

解：（1）設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為x,則根據(jù)題意可得

6000（1—x）2=4860,

解這個(gè)方程得xi=0.1=10%,%2=1.9（不合題意，舍去）.

答：平均每次下調(diào)的百分率為10%.（下一步）

（2）按方案①購(gòu)房?jī)?yōu)惠4860X100X0.02=9720（元）；

按方案②購(gòu)房?jī)?yōu)惠80X100=8000（元）.

因?yàn)?720>8000,所以方案①更優(yōu)惠.

師：增長(zhǎng)率問(wèn)題，如何求解？

生：（預(yù)設(shè)）設(shè)下調(diào)的百分率為x,將第二次下調(diào)后得價(jià)格表示出來(lái)，列出方程求解.

師：解方程的過(guò)程中勿忘檢驗(yàn)，第二問(wèn)，如何判斷哪個(gè)方案更優(yōu)惠？

生：（預(yù)設(shè)）我們可以求優(yōu)惠后的價(jià)格.

生：（預(yù)設(shè)）也可以求優(yōu)惠了的價(jià)格.

師：非常好，從不同的角度去思考一個(gè)問(wèn)題是我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題時(shí)需要注意的.

類(lèi)似性問(wèn)題

1.某商品原售價(jià)289元，經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)后售價(jià)為256元，設(shè)平均每次降價(jià)的百

分率為x,則下面所列方程中正確的是()

A.289(1-x)2=256B.256(1-x)2=289

C.289(1-2%)=256D.256(l-2r)=289

解析：

第一次降價(jià)后的售價(jià)為289(1-x)元，第二次降價(jià)后售價(jià)為289(1-x)(1-x)

=289(1-x)2元，故289(1-x)2=256.

初步性問(wèn)題

探究類(lèi)型之二商品銷(xiāo)售問(wèn)題

例2商場(chǎng)某種商品平均每天可銷(xiāo)售30件，每件盈利50元.為了盡快減少庫(kù)存,

商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天

可多售出2件.設(shè)每件商品降價(jià)x元.據(jù)此規(guī)律，請(qǐng)回答：

(1)商場(chǎng)日銷(xiāo)售量增加______件，每件商品盈利_____元(用含x的代數(shù)式表示);

(2)在上述條件不變、銷(xiāo)售正常情況下，每件商品降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)日盈利可達(dá)

到2100元？

解析：

(2)根據(jù)等量關(guān)系“每件商品的盈利X可賣(mài)出商品的件數(shù)=2100元”列方程求

解.

答案：

(1)2x；(50-x)

(2)解：設(shè)每件商品降價(jià)x元，根據(jù)題意可得

(50-x)(30+2%)=2100,

整理得f-35》+300=0,

解這個(gè)方程得xi=15,X2=20.

因?yàn)殡S著價(jià)格的降低銷(xiāo)售量逐漸增加，所以為了要盡快減少庫(kù)存應(yīng)降價(jià)20

元.

所以，當(dāng)降價(jià)20元時(shí)，商場(chǎng)日盈利可達(dá)到2100元.

師：這是商品銷(xiāo)售問(wèn)題，商品銷(xiāo)售量增加的件數(shù)與降的價(jià)格有什么關(guān)系，盈利與降

的價(jià)格又有什么關(guān)系？

生：（預(yù)設(shè)）商品銷(xiāo)售量增加的件數(shù)與降的價(jià)格成正比例，為2x件，盈利隨著x的

增加而減小，為（50-x）元.

師：第二問(wèn)呢？

生：（預(yù)設(shè)）根據(jù)等量關(guān)系式：每件的利潤(rùn)X件數(shù)=總利潤(rùn)可列方程求解.

類(lèi)似性問(wèn)題

3.某商店準(zhǔn)備進(jìn)一批季節(jié)性小家電，單價(jià)40元.經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，銷(xiāo)售定價(jià)為52元時(shí)，

可售出180個(gè)；定價(jià)每增加1元，銷(xiāo)售量將減少10個(gè).商店若準(zhǔn)備獲利2000元，則

應(yīng)進(jìn)貨多少個(gè)？定價(jià)為多少？

（1）本題如何設(shè)未知數(shù)較適宜？需要列出哪些相關(guān)量的代數(shù)式？

（2）列得方程的解是否都符合題意？如何解釋?zhuān)?/p>

（3）請(qǐng)你為商店估算一下，若要獲得最大利潤(rùn)，則定價(jià)多少？

解析：

（1）本題適合設(shè)定價(jià)增加x元，需表示出每件的利潤(rùn)和銷(xiāo)售量；（下一步）

（2）根據(jù)“每件的利潤(rùn)X銷(xiāo)售量=2000元”列方程，方程的解為正值表明是提

高定價(jià)，方程的解為負(fù)值表明降低定價(jià)；（下一步）

（3）二次函數(shù)最值問(wèn)題：配方法確定定價(jià)和最大利潤(rùn).

師：接下來(lái)我們看一道面積型的一元二次方程應(yīng)用題.

2.如圖所示，鄰邊不等的矩形花圃它的一邊AO利用已有的圍墻，另外三邊

所圍的柵欄的總長(zhǎng)度是6m.若矩形的面積為4m2,則A8的長(zhǎng)度是m（可

利用的圍墻長(zhǎng)度超過(guò)6m）.,

r圍aL墻

////////////////////

AD

B'-------------'c

解析：

設(shè)A3=xm,則8C=（6-2x）m；（下一步）

根據(jù)題意得x(6-2%)=4,解得汨=1,X2=2；(下一步)

當(dāng)x=2時(shí)，6-2犬=2,也就是說(shuō)此時(shí)A3=BC=2m,與圖中的“鄰邊不等”

相矛盾，故應(yīng)舍去.

答案：

【類(lèi)似性問(wèn)題】

考點(diǎn)11

1.2

考點(diǎn)12

1.a<4

(x=3

2