上海市泥城中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

上海市泥城中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．記等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為.若，，則（）A． B． C． D．2．已知底面為正方形的四棱錐，其一條側(cè)棱垂直于底面，那么該四棱錐的三視圖可能是下列各圖中的（）A． B． C． D．3．已知是平面內(nèi)互不相等的兩個(gè)非零向量,且與的夾角為,則的取值范圍是（）A． B． C． D．4．二項(xiàng)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A． B．80 C． D．1605．已知正三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，其底面邊長(zhǎng)為4，、、分別為側(cè)棱，，的中點(diǎn).若在三棱錐內(nèi)，且三棱錐的體積是三棱錐體積的4倍，則此外接球的體積與三棱錐體積的比值為（）A． B． C． D．6．圓錐底面半徑為，高為，是一條母線，點(diǎn)是底面圓周上一點(diǎn)，則點(diǎn)到所在直線的距離的最大值是（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個(gè)不同的關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)在的圖像上，則的取值范圍是()A． B． C． D．8．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)，，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，所在直線的斜率為（）A． B． C． D．9．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是雙曲線E上的一點(diǎn)，且.若直線與雙曲線E的漸近線交于點(diǎn)M，且M為的中點(diǎn)，則雙曲線E的漸近線方程為()A． B． C． D．10．在中，分別為所對(duì)的邊，若函數(shù)有極值點(diǎn)，則的范圍是（）A． B．C． D．11．命題：的否定為A． B．C． D．12．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為．則“”是“為遞增數(shù)列”的（）條件．A．必要而不充分 B．充要 C．充分而不必要 D．即不充分也不必要二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知盒中有2個(gè)紅球，2個(gè)黃球，且每種顏色的兩個(gè)球均按，編號(hào)，現(xiàn)從中摸出2個(gè)球（除顏色與編號(hào)外球沒有區(qū)別），則恰好同時(shí)包含字母，的概率為________.14．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值為_____.15．在面積為的中，，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則的最大值是______.16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）橢圓：（）的離心率為，它的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，求證：直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn).18．（12分）已知矩陣，求矩陣的特征值及其相應(yīng)的特征向量．19．（12分）為了響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，促進(jìn)垃圾分類，某校組織了高三年級(jí)學(xué)生參與了“垃圾分類，從我做起”的知識(shí)問(wèn)卷作答隨機(jī)抽出男女各20名同學(xué)的問(wèn)卷進(jìn)行打分，作出如圖所示的莖葉圖，成績(jī)大于70分的為“合格”.（Ⅰ）由以上數(shù)據(jù)繪制成2×2聯(lián)表，是否有95%以上的把握認(rèn)為“性別”與“問(wèn)卷結(jié)果”有關(guān)？男女總計(jì)合格不合格總計(jì)（Ⅱ）從上述樣本中，成績(jī)?cè)?0分以下（不含60分）的男女學(xué)生問(wèn)卷中任意選2個(gè)，記來(lái)自男生的個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82820．（12分）在中，角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求角的大?。唬?）若，求的面積．21．（12分）傳染病的流行必須具備的三個(gè)基本環(huán)節(jié)是：傳染源、傳播途徑和人群易感性.三個(gè)環(huán)節(jié)必須同時(shí)存在，方能構(gòu)成傳染病流行.呼吸道飛沫和密切接觸傳播是新冠狀病毒的主要傳播途徑，為了有效防控新冠狀病毒的流行，人們出行都應(yīng)該佩戴口罩.某地區(qū)已經(jīng)出現(xiàn)了新冠狀病毒的感染病人，為了掌握該地區(qū)居民的防控意識(shí)和防控情況，用分層抽樣的方法從全體居民中抽出一個(gè)容量為100的樣本，統(tǒng)計(jì)樣本中每個(gè)人出行是否會(huì)佩戴口罩的情況，得到下面列聯(lián)表：戴口罩不戴口罩青年人5010中老年人2020（1）能否有的把握認(rèn)為是否會(huì)佩戴口罩出行的行為與年齡有關(guān)？（2）用樣本估計(jì)總體，若從該地區(qū)出行不戴口罩的居民中隨機(jī)抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82822．（10分）某校為了解校園安全教育系列活動(dòng)的成效，對(duì)全校學(xué)生進(jìn)行了一次安全意識(shí)測(cè)試，根據(jù)測(cè)試成績(jī)?cè)u(píng)定“合格”“不合格”兩個(gè)等級(jí)，同時(shí)對(duì)相應(yīng)等級(jí)進(jìn)行量化：“合格”記5分，“不合格”記0分．現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的答卷，統(tǒng)計(jì)結(jié)果及對(duì)應(yīng)的頻率分布直方圖如下：等級(jí)不合格合格得分頻數(shù)624（1）由該題中頻率分布直方圖求測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）其他條件不變，在評(píng)定等級(jí)為“合格”的學(xué)生中依次抽取2人進(jìn)行座談，每次抽取1人，求在第1次抽取的測(cè)試得分低于80分的前提下，第2次抽取的測(cè)試得分仍低于80分的概率；（3）用分層抽樣的方法，從評(píng)定等級(jí)為“合格”和“不合格”的學(xué)生中抽取10人進(jìn)行座談．現(xiàn)再?gòu)倪@10人中任選4人，記所選4人的量化總分為，求的數(shù)學(xué)期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

由，和，可求得，從而求得和，再驗(yàn)證選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋?，所以解得，所以，所以，，，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式，還考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.2、C【解析】試題分析：通過(guò)對(duì)以下四個(gè)四棱錐的三視圖對(duì)照可知，只有選項(xiàng)C是符合要求的.考點(diǎn)：三視圖3、C【解析】試題分析：如下圖所示，則，因?yàn)榕c的夾角為，即，所以，設(shè)，則，在三角形中，由正弦定理得，所以，所以，故選C．考點(diǎn)：1．向量加減法的幾何意義；2．正弦定理；3．正弦函數(shù)性質(zhì)．4、A【解析】

求出二項(xiàng)式的展開式的通式，再令的次數(shù)為零，可得結(jié)果.【詳解】解：二項(xiàng)式展開式的通式為，令，解得，則常數(shù)項(xiàng)為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)的求解，關(guān)鍵是熟練應(yīng)用二項(xiàng)展開式的通式，是基礎(chǔ)題.5、D【解析】

如圖，平面截球所得截面的圖形為圓面，計(jì)算，由勾股定理解得，此外接球的體積為，三棱錐體積為，得到答案.【詳解】如圖，平面截球所得截面的圖形為圓面.正三棱錐中，過(guò)作底面的垂線，垂足為，與平面交點(diǎn)記為，連接、.依題意，所以，設(shè)球的半徑為，在中，，，，由勾股定理：，解得，此外接球的體積為，由于平面平面，所以平面，球心到平面的距離為，則，所以三棱錐體積為，所以此外接球的體積與三棱錐體積比值為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問(wèn)題，三棱錐體積，球體積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.6、C【解析】分析：作出圖形，判斷軸截面的三角形的形狀，然后轉(zhuǎn)化求解的位置，推出結(jié)果即可.詳解：圓錐底面半徑為，高為2，是一條母線，點(diǎn)是底面圓周上一點(diǎn)，在底面的射影為；，，過(guò)的軸截面如圖：，過(guò)作于，則，在底面圓周，選擇，使得，則到的距離的最大值為3，故選：C點(diǎn)睛：本題考查空間點(diǎn)線面距離的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，解題的關(guān)鍵是作出軸截面圖形，屬中檔題．7、D【解析】

根據(jù)對(duì)稱關(guān)系可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)；利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性從而得到的圖象；由直線恒過(guò)定點(diǎn)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式可確定；利用過(guò)某一點(diǎn)曲線切線斜率的求解方法可求得和，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為：原題等價(jià)于與有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)由可知，直線恒過(guò)點(diǎn)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增由此可得圖象如下圖所示：其中、為過(guò)點(diǎn)的曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為由圖象可知，當(dāng)時(shí)，與有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)設(shè)，，則，解得：設(shè)，，則，解得：，則本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)直線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)范圍的問(wèn)題；涉及到過(guò)某一點(diǎn)的曲線切線斜率的求解問(wèn)題；解題關(guān)鍵是能夠通過(guò)對(duì)稱性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，通過(guò)確定直線恒過(guò)的定點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合的方式來(lái)進(jìn)行求解.8、A【解析】

本道題繪圖發(fā)現(xiàn)三角形周長(zhǎng)最小時(shí)A,P位于同一水平線上，計(jì)算點(diǎn)P的坐標(biāo)，計(jì)算斜率，即可．【詳解】結(jié)合題意，繪制圖像要計(jì)算三角形PAF周長(zhǎng)最小值，即計(jì)算PA+PF最小值，結(jié)合拋物線性質(zhì)可知，PF=PN，所以，故當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)處，三角形周長(zhǎng)最小，故此時(shí)M的坐標(biāo)為，所以斜率為，故選A．【點(diǎn)睛】本道題考查了拋物線的基本性質(zhì)，難度中等．9、C【解析】

由雙曲線定義得，，OM是的中位線，可得，在中，利用余弦定理即可建立關(guān)系，從而得到漸近線的斜率.【詳解】根據(jù)題意，點(diǎn)P一定在左支上.由及，得，，再結(jié)合M為的中點(diǎn)，得，又因?yàn)镺M是的中位線，又，且，從而直線與雙曲線的左支只有一個(gè)交點(diǎn).在中.——①由，得.——②由①②，解得，即，則漸近線方程為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線漸近線方程，涉及到雙曲線的定義、焦點(diǎn)三角形等知識(shí)，是一道中檔題.10、D【解析】試題分析：由已知可得有兩個(gè)不等實(shí)根.考點(diǎn)：1、余弦定理；2、函數(shù)的極值.【方法點(diǎn)晴】本題考查余弦定理，函數(shù)的極值，涉及函數(shù)與方程思想思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，綜合性較強(qiáng)，屬于較難題型.首先利用轉(zhuǎn)化化歸思想將原命題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不等實(shí)根，從而可得.11、C【解析】

命題為全稱命題，它的否定為特稱命題，將全稱量詞改為存在量詞，并將結(jié)論否定，可知命題的否定為，故選C．12、A【解析】

根據(jù)遞增數(shù)列的特點(diǎn)可知，解得，由此得到若是遞增數(shù)列，則，根據(jù)推出關(guān)系可確定結(jié)果.【詳解】若“是遞增數(shù)列”，則，即，化簡(jiǎn)得：，又，，，則是遞增數(shù)列，是遞增數(shù)列，“”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件．故選：.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件與必要條件的判斷，涉及到根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解參數(shù)范圍，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)組合數(shù)得出所有情況數(shù)及兩個(gè)球顏色不相同的情況數(shù)，讓兩個(gè)球顏色不相同的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為所求的概率．【詳解】從袋中任意地同時(shí)摸出兩個(gè)球共種情況，其中有種情況是兩個(gè)球顏色不相同；故其概率是故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求事件概率，解題關(guān)鍵是掌握概率的基礎(chǔ)知識(shí)和組合數(shù)計(jì)算公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

先推導(dǎo)出函數(shù)的周期為，可得出，代值計(jì)算，即可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，又該函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，所以，，則，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，所以，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的對(duì)稱性計(jì)算函數(shù)值，解題的關(guān)鍵就是結(jié)合函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱軸推導(dǎo)出函數(shù)的周期，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.15、【解析】

由任意三角形面積公式與構(gòu)建關(guān)系表示|AB||AC|，再由已知與平面向量的線性運(yùn)算、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算轉(zhuǎn)化，最后由重要不等式求得最值.【詳解】由△ABC的面積為得|AB||AC|sin∠BAC=，所以|AB||AC|sin∠BAC=，①又,即|AB||AC|cos∠BAC=，②由①與②的平方和得:|AB||AC|=，又點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，即的最大值是為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查平面向量中由線性運(yùn)算表示未知向量，進(jìn)而由重要不等式求最值，屬于中檔題.16、【解析】

先求得時(shí)；再由可得時(shí),兩式作差可得,進(jìn)而求解.【詳解】當(dāng)時(shí),,解得；由,可知當(dāng)時(shí),,兩式相減,得,即,所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,所以,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查由與的關(guān)系求通項(xiàng)公式,考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）根據(jù)橢圓的基本性質(zhì)列出方程組，即可得出橢圓方程；（2）設(shè)點(diǎn)，，，由，，結(jié)合斜率公式化簡(jiǎn)得出，，即，滿足，由的任意性，得出直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn).【詳解】（1）依題意得，解得即橢圓：；（2）設(shè)點(diǎn)，，其中，由，得，即，注意到，于是，因此，滿足由的任意性知，，，即直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查了求橢圓的方程，直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題.18、矩陣屬于特征值的一個(gè)特征向量為，矩陣屬于特征值的一個(gè)特征向量為【解析】

先由矩陣特征值的定義列出特征多項(xiàng)式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程組，即可求得相應(yīng)的特征向量.【詳解】由題意，矩陣的特征多項(xiàng)式為，令，解得，，將代入二元一次方程組，解得，所以矩陣屬于特征值的一個(gè)特征向量為；同理，矩陣屬于特征值的一個(gè)特征向量為v【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩陣的特征值與特征向量的計(jì)算，其中解答中熟記矩陣的特征值和特征向量的計(jì)算方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（Ⅰ）填表見解析，有95%以上的把握認(rèn)為“性別”與“問(wèn)卷結(jié)果”有關(guān)；（Ⅱ）分布列見解析，【解析】

（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖填寫列聯(lián)表，計(jì)算得到答案.（Ⅱ），計(jì)算，，，得到分布列，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.【詳解】（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖可得：男女總計(jì)合格101626不合格10414總計(jì)202040，故有95%以上的把握認(rèn)為“性別”與“問(wèn)卷結(jié)果””有關(guān).（Ⅱ）從莖葉圖可知，成績(jī)?cè)?0分以下（不含60分）的男女學(xué)生人數(shù)分別是4人和2人，從中任意選2人，基本事件總數(shù)為，，，，012.【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)，分布列，數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.20、（1）；（2）【解析】

(1)利用正弦定理邊化角,再利用二倍角的正弦公式與正弦的和角公式化簡(jiǎn)求解即可.(2)由(1)有,根據(jù)正弦定理可得,進(jìn)而求得的值,再根據(jù)三角形的面積公式求解即可.【詳解】（1）由,得,得,由正弦定理得,顯然,同時(shí)除以,得.所以.所以.顯然,所以,解得.又,所以.（2）若,由正弦定理得,得,解得.又,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正余弦定理與面積公式在解三角形中的運(yùn)用,需要根據(jù)題意用正弦定理進(jìn)行邊角互化,再根據(jù)三角恒等變換進(jìn)行化簡(jiǎn)求解等.屬于中檔題.21、（1）有的把握認(rèn)為是否戴口罩出行的行為與年齡有關(guān).（2）【解析】

(1)根據(jù)列聯(lián)表和獨(dú)立性檢驗(yàn)的公式計(jì)算出觀測(cè)值,從而由參考數(shù)據(jù)作出判斷.(2)因?yàn)闃颖局谐鲂胁淮骺谡值木用裼?0人,其中年輕人有10人,用樣本估計(jì)總體,則