云南省劍川縣第一中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

云南省劍川縣第一中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為()A.8 B.9C.27 D.362．《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學和數(shù)學著作，書中提到:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列.若冬至、大寒、雨水的日影子長的和是尺，芒種的日影子長為尺，則冬至的日影子長為（）A.尺 B.尺C.尺 D.尺3．已知向量，且，則的值為（）A.4 B.2C.3 D.14．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則（）A.6 B.12C.56 D.785．已知等比數(shù)列的公比為q，且，則“”是“是遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6．如圖，平面四邊形中，，，，為等邊三角形，現(xiàn)將沿翻折，使點移動至點，且，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B.C. D.7．曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.8．在中，已知，則的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.正三角形9．設，則“”是“直線與直線”平行的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.即不充分也不必要條件10．阿基米德曾說過：“給我一個支點，我就能撬動地球”.他在做數(shù)學研究時，有一個有趣的問題：一個邊長為2的正方形內(nèi)部挖了一個內(nèi)切圓，現(xiàn)在以該內(nèi)切圓的圓心且平行于正方形的一邊的直線為軸旋轉一周形成幾何體，則該旋轉體的體積為（）A. B.C. D.11．三等分角是“古希臘三大幾何問題”之一，數(shù)學家帕普斯巧妙地利用圓弧和雙曲線解決了這個問題．如圖，在圓D中，為其一條弦，，C，O是弦的兩個三等分點，以A為左焦點，B，C為頂點作雙曲線T．設雙曲線T與弧的交點為E，則．若T的方程為，則圓D的半徑為（）A. B.1C.2 D.12．《九章算術》是我國古代的數(shù)學巨著，書中有如下問題：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（爵位依次變低）5個人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成遞增的等差數(shù)列，這5個人各出多少錢？”在這個問題中，若公士出28錢，則不更出的錢數(shù)為（）A.14 B.16C.18 D.20二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)在點處的切線為直線l，則l與坐標軸圍成的三角形面積為___________.14．過點且與直線平行的直線的方程是______.15．已知點P是拋物線y2＝2x上的動點，點P在y軸上的射影是M，點，則|的最小值是_________16．若命題“，使得”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是___________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面于點M連接.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值.18．（12分）已知函數(shù)（1）填寫函數(shù)的相關性質；定義域值域零點極值點單調(diào)性性質（2）通過（1）繪制出函數(shù)的圖像，并討論方程解的個數(shù)19．（12分）某校從高三年級學生中隨機抽取名學生的某次數(shù)學考試成績，將其成績分成，，，，的組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中的值；（2）估計這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；（3）若成績在內(nèi)的學生中男生占.現(xiàn)從成績在內(nèi)的學生中隨機抽取人進行分析，求人中恰有名女生的概率.20．（12分）求滿足下列條件的圓錐曲線的標準方程：（1）已知橢圓的焦點在x軸上且一個頂點為，離心率為；（2）求一個焦點為，漸近線方程為的雙曲線的標準方程；（3）拋物線，過其焦點斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點，且線段AB的中點的縱坐標為2.21．（12分）如圖，已知橢圓的短軸端點為、，且，橢圓C的離心率，點，過點P的動直線l橢圓C交于不同的兩點M、N與，均不重合），連接，，交于點T（1）求橢圓C的方程；（2）求證：當直線l繞點P旋轉時，點T總在一條定直線上運動；（3）是否存在直線l，使得？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由22．（10分）已知點是橢圓上的一點，且橢圓的離心率.（1）求橢圓的標準方程；（2）兩動點在橢圓上，總滿足直線與的斜率互為相反數(shù)，求證：直線的斜率為定值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】執(zhí)行程序框圖，第一次循環(huán)，，滿足；第二次循環(huán)，，滿足；第三次循環(huán)，，不滿足，輸出，故選B.【方法點睛】本題主要考查程序框圖的循環(huán)結構流程圖，屬于中檔題.解決程序框圖問題時一定注意以下幾點：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結構還是循環(huán)結構；(3)注意區(qū)分當型循環(huán)結構和直到型循環(huán)結構；(4)處理循環(huán)結構的問題時一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5)要注意各個框的順序,（6）在給出程序框圖求解輸出結果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可.2、D【解析】根據(jù)題意轉化為等差數(shù)列，求首項.【詳解】設冬至的日影長為，雨水的日影長為，根據(jù)等差數(shù)列的性質可知，芒種的日影長為，，解得：，，所以冬至的日影長為尺.故選：D3、A【解析】由題意可得，利用空間向量數(shù)量積的坐標表示列方程，解方程即可求解.【詳解】因為，所以，因為向量，，所以，解得，所以的值為，故選：A.4、D【解析】由等比數(shù)列的性質直接求得.【詳解】在等比數(shù)列中，由等比數(shù)列的性質可得：由，解得：；由可得：，所以.故選：D5、B【解析】利用充分條件和必要條件的定義結合等比數(shù)列的性質分析判斷【詳解】當時，則，則數(shù)列為遞減數(shù)列，當是遞增數(shù)列時，，因為，所以，則可得，所以“”是“是遞增數(shù)列”的必要不充分條件，故選：B6、A【解析】將三棱錐補形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心應在棱柱上下底面三角形的外心連線上，在中，計算半徑即可.【詳解】由，，可知平面將三棱錐補形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心應在棱柱上下底面三角形的外心連線上，記的外心為，由為等邊三角形，可得又，故在中，此即為外接球半徑，從而外接球表面積為故選：A【點睛】本題考查了三棱錐外接球的表面積，考查了學生空間想象，邏輯推理，綜合分析，數(shù)學運算的能力，屬中檔題.7、A【解析】利用切點和斜率求得切線方程.【詳解】由，有曲線在點處的切線方程為，整理為故選：A8、B【解析】利用誘導公式、兩角和的正弦公式化簡已知條件，由此判斷出三角形的形狀.【詳解】由，得，得，由于，所以，所以.故選：B9、D【解析】由兩直線平行確定參數(shù)值，根據(jù)充分必要條件的定義判斷【詳解】時，兩直線方程分別為，，它們重合，不平行，因此不是充分條件；反之，兩直線平行時，，解得或，由上知時，兩直線不平行，時，兩直線方程分別為，，平行，因此，本題中也不是必要條件故選：D10、B【解析】根據(jù)題意，結合圓柱和球的體積公式進行求解即可.【詳解】由題意可知：該旋轉體的體積等于底面半徑為，高為的圓柱的體積減去半徑為的球的體積，即，故選：B11、C【解析】由題設寫出雙曲線的方程,對比系數(shù),求出即可獲解【詳解】由題知所以雙曲線的方程為又由題設的方程為,所以,即設AB的中點為,則由.所以,即圓的半徑為2故選：C12、B【解析】由題可知這是一個等差數(shù)列，前項和，，列式求基本量即可.【詳解】設每人所出錢數(shù)成等差數(shù)列，公差為，前項和為，則由題可得，解得，所以不更出的錢數(shù)為.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求出切線方程，分別得到直線與x、y軸交點，即可求出三角形的面積.【詳解】由函數(shù)可得：函數(shù)，所以，.所以切線l：，即.令，得到；令，得到；所以l與坐標軸圍成的三角形面積為.故答案為：.14、【解析】設出直線的方程，代入點的坐標，求出直線的方程.【詳解】設過點且與直線平行的直線的方程為，將代入，則，解得：，所以直線的方程為.故答案為：15、##【解析】由拋物線的定義可得，所以的最小值轉化為求的最小值，由圖可知的最小值為，從而可求得答案【詳解】拋物線y2＝2x焦點，準線為，由拋物線的定義可得，所以,因為，，所以，所以，當且僅當三點共線且在線段上時，取得最小值，所以的最小值為，故答案為：16、(-1，0]【解析】將題意的命題轉化條件為“，”為真命題，結合一元二次不等式恒成立即可得解.【詳解】因為命題“，使得”是假命題，所以其否定“，”為真命題，即在R上恒成立.當時，不等式為，符合題意；當時，則需滿足，解得；綜上，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見詳解（2）【解析】（1）連接，交于點，則為中點，再由等腰三角形三線合一可知為中點，連接，利用中位線可知，根據(jù)直線與平面平行的判定定理即可證明；（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，利用向量法即可求出兩平面所成角的余弦值.【小問1詳解】連接，交于點，則為中點，因為，于，則為中點，連接，則，又因為平面，平面,所以平面；【小問2詳解】如圖所示，以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，則，，設平面的一個法向量為，由可得，令，得，即，易知平面的一個法向量為，設平面與平面所成角為，，則平面與平面所成角的余弦值為.18、（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】（1）利用導數(shù)判斷函數(shù)的性質；（2）由函數(shù)性質繪制函數(shù)的圖象，并將方程轉化為，即轉化為與的交點個數(shù).【小問1詳解】函數(shù)的定義域是，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得極大值，同時也是函數(shù)的最大值，，當時，，當時，，函數(shù)的值域是，，得，所以函數(shù)的零點是，定義域值域零點極值點單調(diào)性性質單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間【小問2詳解】函數(shù)的圖象如圖，，即，方程解的個數(shù)，即與的交點個數(shù)，當時，無交點，即方程無實數(shù)根；當或時，有一個交點，即方程有一個實數(shù)根；當時，有兩個交點，即方程有兩個實數(shù)根.19、（1）（2）77（3）【解析】(1)根據(jù)給定條件結合頻率分布直方圖中各小矩形面積和為1的特點列式計算即得.(2)利用頻率分布直方圖求平均數(shù)的方法直接列式計算即得.(3)求出成績在內(nèi)的學生及男女生人數(shù)，再用列舉法即可求出概率.【小問1詳解】由頻率分布直方圖得，解得，所以圖中值是0.020.【小問2詳解】由頻率分布直方圖得這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)：，所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為77.【小問3詳解】數(shù)學成績在內(nèi)的人數(shù)為(人)，其中男生人數(shù)為(人)，則女生人數(shù)為人，記名男生分別為，，名女生分別為，，，從數(shù)學成績在內(nèi)的人中隨機抽取人進行分析的基本事件為：，共個不同結果，它們等可能，其中人中恰有名女生的基本事件為，共種結果，所以人中恰有名女生的概率為為.20、（1）（2）（3）【解析】（1）設橢圓的標準方程為，根據(jù)題意，進而結合求解即可得答案；（2）設雙曲線的方程為，進而結合題意得，，再結合解方程即可得答案；、（3）根據(jù)題意設直線的方程為，進而與拋物線聯(lián)立方程并消去得，再結合韋達定理得，進而得答案.【小問1詳解】解：根據(jù)題意，設橢圓的標準方程為，因為頂點為，離心率為，所以，所以，所以橢圓的方程為【小問2詳解】解：因為雙曲線的一個焦點為，設雙曲線的方程為，因為漸近線方程為，所以，因為所以，所以雙曲線的標準方程為【小問3詳解】解：由題知拋物線的焦點為，因為過拋物線焦點斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點，所以直線的方程為，所以聯(lián)立方程，消去得，設，所以，因為線段AB的中點的縱坐標為2，所以，解得.所以拋物線的標準方程為.21、（1）（2）證明見解析；（3）不存在直線l，使得成立，理由見解析.【解析】（1）根據(jù)題意，列出方程組，求得，即可求得橢圓的方程；（2）設直線的方程為，聯(lián)立方程組求得，設，根據(jù)和在同一條直線上，列出方程求得的值，即可求解；（3）設直線的為，把轉化為，聯(lián)立方程組求得，代入列方程，求得，即可得到結論.【小問1詳解】解：由題意可得，解得，所以所求橢圓的方程為.【小問2詳解】解：由題意，因為直線過點，可設直線的方程為，，聯(lián)立方程組，整理得，可得，因為直線與橢圓有兩個交點，所以，解得，設，因為在同一條直線上，則，①又由在同一條直線上，則，②由①+②3所以，整理得，解得，所以點在直線，即當直線l繞點P旋轉時，點T總在一條定直線上運動.【小問3詳解】解：