2025屆江蘇省南通市海安高級(jí)中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2025屆江蘇省南通市海安高級(jí)中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示：x2.0134.015.16.12y38.011523.836.04則最能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是（）A. B.C. D.2．已知定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)，設(shè)，，，則有（）A. B.C. D.3．平行線與之間的距離等于（）A. B.C. D.4．函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是（）A B.C. D.5．已知函數(shù)（，且）的圖象恒過(guò)點(diǎn)，若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為（）A. B.C. D.6．y＝sin(2x-)－sin2x的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是A. B.C. D.7．函數(shù)A.是奇函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減C.是偶函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞增D.是偶函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減8．設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.的一個(gè)周期為B.的圖像關(guān)于直線對(duì)稱C.的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.在有3個(gè)零點(diǎn)9．已知是關(guān)于x的一元二次不等式的解集，則的最小值為（）A. B.C. D.10．設(shè)，則（）A. B.aC. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則___________.12．化簡(jiǎn)________.13．不等式的解集為_(kāi)____________.14．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，__________15．已知函數(shù)，，若關(guān)于x的方程（）恰好有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為_(kāi)______.16．已知函數(shù)，：①函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；②函數(shù)的最小正周期是；③把函數(shù)f(2x)圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與函數(shù)y=圖象的對(duì)稱軸完全相同；④函數(shù)在R上的最大值為2.則以上結(jié)論正確的序號(hào)為_(kāi)______________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的對(duì)稱中心；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域18．已知全集為實(shí)數(shù)集，集合，.（1）求及；（2）設(shè)集合，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．如圖，在正方體中，、分別為、的中點(diǎn)，與交于點(diǎn).求證：（1）；（2）平面平面.20．已知，，求下列各式的值：（1）（2）21．已知函數(shù)（1）判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并用定義給出證明；（2）解不等式：；（3）若關(guān)于x方程只有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】將各點(diǎn)分別代入各函數(shù)，即可求出【詳解】將各點(diǎn)分別代入各函數(shù)可知，最能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是故選：D2、D【解析】根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)的性質(zhì)可求得m，再由函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得選項(xiàng).【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義在R上的奇函數(shù)，所以，即，解得，所以，所以在R上單調(diào)遞減，又因?yàn)椋?，所以故選：D.3、C【解析】，故選4、B【解析】利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì)可知，，從而可得函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為，再賦值即可得答案【詳解】令，，解得：，.所以函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為，.當(dāng)時(shí)，就是函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故選：B.5、A【解析】令指數(shù)函數(shù)的指數(shù)為零即可求出指數(shù)型函數(shù)過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)三角函數(shù)的定義計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)（，且），令，即時(shí)，所以函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)，又角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，故選：A6、B【解析】，由，得，，時(shí)，為，故選B7、A【解析】由可知是奇函數(shù)，排除，，且，由可知錯(cuò)誤，故選8、D【解析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可【詳解】，對(duì)A，最小周期為，故也為周期，故A正確；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，為的對(duì)稱軸，故B正確；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，又為的對(duì)稱點(diǎn)，故C正確；對(duì)D，則，解得，故在內(nèi)有共四個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤故選：D9、C【解析】由題知，，，則可得，則，利用基本不等式“1”的妙用來(lái)求出最小值.【詳解】由題知是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則有，，，所以，且是兩個(gè)不同的正數(shù)，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值是.故選：C10、C【解析】由求出的值，再由誘導(dǎo)公式可求出答案【詳解】因?yàn)椋?，所以，故選：C二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】由冪函數(shù)的解析式的形式可求出和的值，再將點(diǎn)代入可求的值，即可求解.【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，，又的圖象過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以.故答案為：.12、【解析】觀察到，故可以考慮直接用輔助角公式進(jìn)行運(yùn)算.【詳解】故答案為：.13、【解析】將不等式轉(zhuǎn)化為，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】不等式為，即，解得，所以不等式的解集為，故答案為：14、【解析】∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)∴f（-x）=-f（x）∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=log2x∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-f（-x）=-log2（-x）.故答案為.點(diǎn)睛：本題根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)可推斷出f（-x）=-f（x）進(jìn)而根據(jù)x＞0時(shí)函數(shù)的解析式即可求得x＜0時(shí)，函數(shù)的解析式15、【解析】令，則方程轉(zhuǎn)化為，可知可能有個(gè)不同解，二次函數(shù)可能有個(gè)不同解，由恰好有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，可得有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則，然后根據(jù)，，分3種情況討論即可得答案.【詳解】解：令，則方程轉(zhuǎn)化為，畫出的圖象，如圖可知可能有個(gè)不同解，二次函數(shù)可能有個(gè)不同解，因?yàn)榍『糜?個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則，因?yàn)?，解得，，解得，所以，，每個(gè)方程有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，所以由，可得，即，解得；由，可得，即，解得；由，可得，即，而在上恒成立，綜上，實(shí)數(shù)λ的取值范圍為.故答案為：.16、②③④【解析】利用輔助角公式、二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)、，再逐一分析各個(gè)命題，計(jì)算判斷作答.【詳解】依題意，函數(shù)，因，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)不對(duì)稱，①不正確；，于是得的最小正周期是，②正確；，則把函數(shù)f(2x)圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的函數(shù)，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與函數(shù)y=圖象的對(duì)稱軸完全相同，③正確；令，則，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在R上的最大值為2，④正確，所以結(jié)論正確的序號(hào)為②③④.故答案為：②③④【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及求含有和的三角函數(shù)值域或最值問(wèn)題，可以通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域或最值問(wèn)題解答.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）化簡(jiǎn)函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解；（2）由，可得，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解；【小問(wèn)1詳解】解：由題意，函數(shù)，令，解得，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)?，可得，?dāng)時(shí)，即時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，可得，所以函數(shù)的值域?yàn)?8、（1），（2）【解析】（1）先求出集合A、B，再求，；（2）對(duì)是否為分類討論，分別求出a的范圍.【小問(wèn)1詳解】由可得又，則所以，【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，則；綜上可得19、（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）證明出四邊形為平行四邊形，可證得結(jié)論成立；（2）證明出平面，平面，利用面面平行的判定定理可證得結(jié)論成立.【小問(wèn)1詳解】證明：在正方體中，且，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，則且，所以，四邊形為平行四邊形，則.【小問(wèn)2詳解】證明：因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?，則為的中點(diǎn)，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，平面，平面，所以，平面，因?yàn)?，平面，平面，所以，平面，因?yàn)椋虼?，平面平?20、（1）.（2）【解析】（1）利用二倍角公式和誘導(dǎo)公式直接求解；（2）判斷出，根據(jù)，求出的值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?【小問(wèn)2詳解】.因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所?1、（1）f(x)在R上單調(diào)遞增；證明見(jiàn)解析；（2）；（3）{－3}（1，+∞）.【解析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即得；（2）由題可得，然后利用函數(shù)單調(diào)性即得；（3）由題可得方程有且只有一個(gè)正數(shù)根，分m=1，m≠1討論，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得.【小問(wèn)1詳解】f(x)在R上單調(diào)遞增；任取x1，x2∈R，且x1<x2，則∵∴，∴即∴函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增【小問(wèn)2詳解】∵，∵，∴，又∵函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，∴，