湖南省2024-2025學年高三上學期10月聯(lián)考數(shù)學試題

2024年高三10月聯(lián)考卷數(shù)學本試卷滿分150分，考試時間120分鐘注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1．已知集合A=xlnx-1≥0A．0,2 B．2,3 C．0,+∞ D．2．已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足|z+1|=|z+iA．1 B．2 C．2或22 D．1或3．已知向量a=2,0，b=λ,32，若向量b在向量aA．3 B．7 C．104 D．4．已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(2-x)，且在區(qū)間[1,+∞A．a>b>C．c>b>5．已知圓錐的母線長為定值R，當圓錐的體積最大時，圓錐的底面半徑為（

）A．33R B．63R C．6．已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則不等式(A．(-∞,-1)∪1C．(-1,1)∪(3,+∞) D7．若正項等比數(shù)列an滿足anan+1=22nA．152 B．1524 C．88．已知小明射箭命中靶心的概率為35，且每次射擊互不影響，則小明在射擊4A．36625 B．925 C．144625二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分在每小題給出的選項中，至少有兩項是符合題目要求，若全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯或不選得0分）二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分）9．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，AB=BC=1A．直三棱柱的側面積是4+2B．直三棱柱的外接球表面積是4C．三棱錐E-AAD．AE+E10．已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，cA．若a2tanB．若cos2C．若a=3,D．若△ABC是銳角三角形，則11．已知數(shù)列an的首項為a1=1，且9anan+1=an-4A．an+1an<15 B．三、填空題（本大題共3個小題，每小題5分，共15分）第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）12．已知x>1，y>0，且x+2y13．已知函數(shù)fx=sin2πωx(ω>0)14．設函數(shù)fx=①當m=0時，函數(shù)fx在②若函數(shù)fx有且僅有兩個零點，則m③當m<0時，若存在實數(shù)a,b，使得fa=④已知點P-m,0，函數(shù)fx的圖象上存在兩點Q1x1,y1,其中所有正確結論的序號是．四、解答題（本大題共5個小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．（13分）已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S5(1)求數(shù)列{an}(2)令cn=an1+bn16．（15分）如圖，在三棱錐P-ABC中，A1，B1，C1分別是側棱PA，PB，PC的中點，AB(1)求證：平面A1B1(2)如果A1C=B1C17．（15分）近年來，某大學為響應國家號召，大力推行全民健身運動，向全校學生開放了A,B(1)該校學生甲?乙?丙三人某周均從A,B兩個健身中心中選擇其中一個進行健身，若甲?乙?丙該周選擇A健身中心健身的概率分別為12(2)該校學生丁每周六?日均去健身中心進行體育鍛煉，且這兩天中每天只選擇兩個健身中心的其中一個，其中周六選擇A健身中心的概率為12.若丁周六選擇A健身中心，則周日仍選擇A健身中心的概率為14；若周六選擇B健身中心，則周日選擇A健身中心的概率為23.(3)現(xiàn)用健身指數(shù)kk∈0,10來衡量各學生在一個月的健身運動后的健身效果，并規(guī)定k值低于1分的學生為健身效果不佳的學生，經統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)從全校學生中隨機抽取一人，其k值低于1分的概率為0.02.現(xiàn)從全校學生中隨機抽取一人，如果抽取到的學生不是健身效果不佳的學生，則繼續(xù)抽取下一個，直至抽取到一位健身效果不佳的學生為止，但抽取的總次數(shù)不超過n.若抽取次數(shù)的期望值不超過23，求參考數(shù)據(jù)：0.918．（17分）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>1>b>0)(1)求橢圓C的方程；(2)記橢圓C的左焦點為F，若過F,A,B三點的圓的圓心恰好在y19.對于四個正數(shù)m、n、p、q，若滿足，則稱有序數(shù)對是的“下位序列”．（1）對于2、3、7、11，有序數(shù)對是的“下位序列”嗎？請簡單說明理由；（2）設a、b、c、d均為正數(shù)，且是的“下位序列”，試判斷、、之間的大小關系；（3）設正整數(shù)n滿足條件：對集合內的每個m，總存在正整數(shù)k，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整數(shù)n的最小值．數(shù)學參考答案1．【答案】C【解析】由lnx-1≥0可得：由x2-3x<0所以A∪B=故選：C.2．【答案】C【解析】設z=a+bi，a因為|z所以a+12+b2=5當a=b=1時，z=2故選：C3．【答案】D【解析】解：由已知可得，b在a上的投影向量為a?又b在a上的投影向量c=12所以b=λ2故選：D.4．【答案】D【解析】由f(x)=f(2-而1<20.4<2+ln1.1<則f20.4>f(2+故選：D5．【答案】B【解析】設圓錐的底面半徑為r，高為h，則r2可得r2則圓錐的體積Vh=1當0<h<33R時，V'則Vh在0,33可知當h=33R故選：B.6．【答案】A【解析】由函數(shù)f(當x∈(-∞,當x∈(12當x∈(2,+∞)時，函數(shù)單調遞增，則f由(x+1)f'解①得，x<-1，解②得，1綜上，不等式(x+1)f故選：A．7．【答案】A【解析】設正項等比數(shù)列an的公比為q因為anan解得q=2，所以a所以an=2所以S4所以數(shù)列an的前4項的和S4的值為故選：A.8．【答案】D【解析】由已知命中的概率為35，不命中的概率為25，射擊故概率P=故選：D.9．【答案】ACD【解析】A.△ABC中，AC所以直棱柱的側面積為1+1+3×2=4+23B.△ABC外接圓的半徑r所以直棱柱外接球的半徑R=則直三棱柱外接球的表面積S=4πRC.因為BB1//AA1，且BB1?平面A點E在BB1上，所以點E到平面AA1C且△AA1則三棱錐E-AA1O的體積為定值1D.將側面展開為如圖長方形，連結AC1,交BB此時AE+EC1最小，最小值為2故選：ACD10．【答案】BD【解析】對于A：因為a2tanB則sin2又A,B∈0,π，則sin可得sinAcosB又因為A+可得2A=2B或2A+2所以a=b或a2對于B：因為1+cosA2所以cosA所以sinA在三角形中，sinA＞0，所以cos則此三角形為直角三角形，故B正確；對于C：因為a=3,b=4,B=則解此三角形只有一解，故C錯誤；對于D：因為△ABC所以0＜C＜所以0＜π2-B同理cosA則sinA+sin故選：BD.11．【答案】BCD【解析】若數(shù)列an中存在某項ak=0，由9進而an所有項均為0，與a1=1由9anan+1所以1a故數(shù)列1an+3是以4為首項，公比為4的等比數(shù)列，所以1對于A，因為an=14n對于B，由Sn=4所以Sn<4對于C，由4n所以Rn=1對于D，因為nan1+3錯位相減得34Tn則Tn=4故選：BCD12．【答案】3+22/2【解析】由x+2y因為x>1，y所以x-所以1x當且僅當(x-1)y=所以1x-1故答案為：3+2213．【答案】1【解析】因為fx=sin2π因為fx在區(qū)間0,18上有5所以2T≤18<5可得19故答案為：1914．【答案】②③④【解析】當m=0時，x≥0時，fx=0，故在對于②，當m=0顯然不成立，故m當x≥0時，令fx=0，即-2m2x=0，得x=0，x對于③,當m<0時,fx=-x-m,

若fa=fb，由-m=-2m2對于④,由①③可知：m≤0時，顯然不成立,故m要使Q1x1,y1,則只需要x>0,y=-

故x1PQ由對稱可得f-化簡可得x1+m+f-x所以-由于-x1,-x2均大于0因此x=由于m>0，fm=12此時x2-x1=故答案為：②③④15．【解析】（1）由題意知，S5=62S解得a1=2q由b1得b1兩式相減，得nb所以bn當n=1時，b故bn（2）由（1）知，an=2n，Tn2T兩式加減，得-T所以Tn16．【答案】(1)證明見解析；(2)2【解析】（1）因為A1，B1，C1分別是側棱PA，PB所以A1因為AB⊥BC，所以因為A1C⊥平面BB1所以A1又A1C∩所以B1C1又因為B1C1所以平面A1B1（2）因為A1C⊥平面BB1所以A1因為AB=BC=4所以A1因為B1C1⊥平面所以BC⊥平面A又B1C?平面A所以CA如圖，以點C為原點，建立空間直角坐標系，則B4,0,0故A1設平面A1BB則有n?A1因為A1C⊥所以CA1=故cosn所以二面角A1-B17．【解析】（1）由題意得這三人中這一周恰好有一人選擇A健身中心健身的概率P=（2）記事件C：丁周六選擇A健身中心，事件D：丁周日選擇B健身中心，則P(由全概率公式得P(故丁周日選擇B健身中心健身的概率為1324（3）設從全校學生中隨機抽取1人，抽取到的學生是健身效果不佳的學生的概率為p，則p=0.02設抽取次數(shù)為X，則X的分布列為X123?nnPp1-(1-?(1-(1-故EX又1-p兩式相減得pEX所以E=1-所以EX=1-0.可知當n=29時，E當n=30時，E當n=31時，E若抽取次數(shù)的期望值不超過23，則n的最大值為30.18．【解析】（1）橢圓C的方程為x2當l⊥x軸時，AB=依題意e=ca=321∴橢圓