專題6.5 數(shù)列求和（舉一反三）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題6.5數(shù)列求和【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1公式法】 3【題型2錯(cuò)位相減法求和】 4【題型3裂項(xiàng)相消法求和】 5【題型4分組（并項(xiàng)）法求和】 6【題型5倒序相加法求和】 7【題型6含有（-1）n的類型求和】 8【題型7奇偶項(xiàng)問(wèn)題求和】 9【題型8先放縮再裂項(xiàng)求和】 11【題型9新定義、新情景下的數(shù)列求和】 121、數(shù)列求和考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(2)掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常用方法2023年新高考I卷：第20題，12分2023年新高考Ⅱ卷：第18題，12分2023年全國(guó)甲卷（理數(shù)）：第17題，12分2024年新高考Ⅱ卷：第12題，5分2024年全國(guó)甲卷（文數(shù)）：第17題，12分2024年全國(guó)甲卷（理數(shù)）：第18題，12分?jǐn)?shù)列是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，命題形式多種多樣，大小均有，屬于高考的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來(lái)看，數(shù)列求和往往以解答題的形式考查，難度中等或稍難，往往在解決數(shù)列基本問(wèn)題后考查數(shù)列求和，在求和后往往與不等式、函數(shù)、最值等問(wèn)題綜合，與不等式結(jié)合時(shí)“放縮”思想及方法尤為重要，需要靈活求解.去年高考?jí)狠S題中出現(xiàn)數(shù)列的新定義、新情景題，綜合性強(qiáng)，難度大，需要靈活求解.【知識(shí)點(diǎn)1數(shù)列求和的幾種常用方法】1．公式法直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和.①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：.②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：=.2．分組求和法與并項(xiàng)求和法(1)分組求和法若一個(gè)數(shù)列是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減.(2)并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和.形如類型，可采用兩項(xiàng)合并求解.3．錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來(lái)求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的.4．裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和.常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧：(1).

(2).

(3).(4).

(5).5．倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解.【方法技巧與總結(jié)】常用求和公式(1).(2).(3).(3).【題型1公式法】【例1】（2024·四川達(dá)州·二模）等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=8，且S9=0.(1)求Sn(2)若bn為等比數(shù)列，b1=【變式1-1】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知{an}是等差數(shù)列，a1=1，且a(1)求數(shù)列{a(2)求數(shù)列{2an}的前【變式1-2】（2024·遼寧·一模）已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，滿足Sn=1(1)求證：當(dāng)n≥5時(shí)，{a(2)求{an}的前n【變式1-3】（2024·江西贛州·二模）已知數(shù)列an滿足a1=14，a(1)求證：數(shù)列1an?1(2)記an的前n項(xiàng)和為Sn，證明：【題型2錯(cuò)位相減法求和】【例2】（2024·河南·三模）已知等差數(shù)列an滿足a2=5(1)求an(2)求數(shù)列an?2【變式2-1】（2024·黑龍江牡丹江·一模）設(shè)n∈N?，若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且an(1)求數(shù)列an(2)若an?bn是以2為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列bn【變式2-2】（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,2S(1)求an(2)若bn=an2n,求數(shù)列【變式2-3】（2024·天津·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列bn是等比數(shù)列，S3?S2=3，(1)求數(shù)列an、b(2)anbn的前n項(xiàng)和T【題型3裂項(xiàng)相消法求和】【例3】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an滿足a(1)證明：數(shù)列2n(2)設(shè)bn=an+1an+2a【變式3-1】（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測(cè)）記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=(?1)na【變式3-2】（2024·福建龍巖·三模）若數(shù)列an是公差為1的等差數(shù)列，且a3=2，點(diǎn)an,bn在函數(shù)f(x)=3x(1)求數(shù)列an(2)設(shè)cn=bn4SnSn+1【變式3-3】（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求數(shù)列an(2)若a1=?1，求數(shù)列1ana【題型4分組（并項(xiàng)）法求和】【例4】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an為公差不為零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，S7=49，且a2(1)求an(2)若數(shù)列an+bn是公比為3的等比數(shù)列，且b3=22，求【變式4-1】（2024·山西·三模）已知等差數(shù)列an的公差d>0，前n項(xiàng)和為Sn，且a3(1)求數(shù)列an(2)若bn=an,n=2k?12n【變式4-2】（2024·黑龍江·三模）已知等差數(shù)列an的公差d>0，a2與a8(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=an,n【變式4-3】（2024·湖南岳陽(yáng)·三模）已知等差數(shù)列an滿足：a1=2，且a1，(1)求數(shù)列an(2)若等差數(shù)列an的公差不為零且數(shù)列bn滿足：bn=4n2【題型5倒序相加法求和】【例5】（2024·上海·模擬預(yù)測(cè)）已知fx=12x2+12x，數(shù)列(1)求數(shù)列an(2)若gx=4x4x+2【變式5-1】（23-24高二下·四川成都·階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足：a12+a(1)求數(shù)列an(2)求bn(3)求b1【變式5-2】（23-24高二下·湖南益陽(yáng)·階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a12+a(1)求數(shù)列an(2)求數(shù)列nan的前n項(xiàng)和(3)求數(shù)列bn的前99項(xiàng)的和T【變式5-3】（23-24高二下·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求證fx(2)若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=fnm（m為正整數(shù)，n=1，2，?，m），求數(shù)列a【題型6含有（-1）n的類型求和】【例6】（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an滿足a1=1，an>0，Sn是數(shù)列a(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=(?1)【變式6-1】（23-24高二下·廣東佛山·期中）設(shè)an是等差數(shù)列，bn是公比大于0的等比數(shù)列，已知a1=b(1)求an和b(2)設(shè)cn=?1nan+【變式6-2】（2024·陜西渭南·二模）已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列bn滿足bn=an+(?1)【變式6-3】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知(1)求an(2)若bn=(?1)nan+【題型7奇偶項(xiàng)問(wèn)題求和】【例7】（2024·山東·二模）已知an是公差不為0的等差數(shù)列，其前4項(xiàng)和為16，且a(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=2an,n為奇數(shù)【變式7-1】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知an(1)證明：an(2)記bn=2an,n為奇數(shù)【變式7-2】（2024·福建泉州·二模）已知數(shù)列an和bn的各項(xiàng)均為正，且a3=18b1，bn是公比3的等比數(shù)列．?dāng)?shù)列a(1)求數(shù)列an，b(2)設(shè)cn=bn+3bn+3?3【變式7-3】（2024·福建廈門·三模）設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a1(1)求an(2)若bn=an,n為奇數(shù)1【題型8先放縮再裂項(xiàng)求和】【例8】（2024·福建廈門·二模）已知數(shù)列an滿足a1=2（1）證明：數(shù)列1a（2）令bn=1【變式8-1】（23-24高三上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1（1）求證1a（2）求證：Sn【變式8-2】（23-24高一下·四川眉山·期末）已知數(shù)列an滿足a1=1，2an+1an+a(1)求證：數(shù)列bn(2)若存在n∈N+，使不等式a1(3)設(shè)正項(xiàng)數(shù)列cn滿足cn2【變式8-3】（2024·廣東惠州·一模）約數(shù)，又稱因數(shù)．它的定義如下：若整數(shù)a除以整數(shù)mm≠0除得的商正好是整數(shù)而沒(méi)有余數(shù)，我們就稱a為m的倍數(shù)，稱m為a的約數(shù)．設(shè)正整數(shù)a共有k個(gè)正約數(shù)，記為a1，a2，…，ak?1，(1)當(dāng)k=4時(shí)，若正整數(shù)a的k個(gè)正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)a的值；(2)當(dāng)k≥4時(shí)，若a2?a1，a3(3)記A=a1a【題型9新定義、新情景下的數(shù)列求和】【例9】（2024·陜西·三模）數(shù)列an的前n項(xiàng)的最大值記為Mn，即Mn=maxa1,a2,???,an(1)設(shè)數(shù)列pn的“生成數(shù)列”為qn，求證：(2)若an=2n?3n【變式9-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于數(shù)列an，定義Δan=an+1?ann∈(1)試寫(xiě)出“2?函數(shù)”f(2,n)，并求f(2,3)的值；(2)若“1?函數(shù)”f(1,n)≤15，求n的最大值；(3)記函數(shù)S(x)=x+2x2+?+nxn，其導(dǎo)函數(shù)為S【變式9-2】（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an是斐波那契數(shù)列，其數(shù)值為：1,1,2,3,5,8,13,21,34??????.這一數(shù)列以如下遞推的方法定義：a1=1，a2=1，an+2=an+1+a(1)已知數(shù)列cn滿足cn=man（n∈N*，(2)設(shè)數(shù)列{dn}的前n項(xiàng)和為S（i）若數(shù)列{dn}為“1（ii）在（i）問(wèn)的前提下，若數(shù)列fn滿足fn=anSn，n∈N*，其前n【變式9-3】（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)元代數(shù)學(xué)家朱世杰在他的《四元玉鑒》一書(shū)中對(duì)高階等差數(shù)列求和有精深的研究，即“垛積術(shù)”．對(duì)于數(shù)列a1,a2,???,an,???，①，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前面相鄰一項(xiàng)的差構(gòu)成數(shù)列a11,a12,???,a1n?1,???，②，稱該數(shù)列②為數(shù)列①的一階差分?jǐn)?shù)列，其中a1i=ai+1(1)若高階等差數(shù)列an為3,4,9,18,31,48,???，求數(shù)列a(2)若r階等差數(shù)列bn的通項(xiàng)公式b（?。┣髍的值；（ⅱ）求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和S附：12一、單選題1．（2024·新疆·二模）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a7a8A．S4 B．S5 C．S62．（2024·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列an中，已知a1=12A．1929 B．2829 C．29303．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1+a2+aA．2 B．3 C．4 D．54．（23-24高三上·云南曲靖·階段練習(xí)）已知數(shù)列bn是公比為q（q≠1）的正項(xiàng)等比數(shù)列，且2lnb1012=0，若fA．4069 B．2023C．2024 D．40465．（2024·河北張家口·三模）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1=1,aA．3×251?156 B．3×251?1036．（2024·四川攀枝花·三模）數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=?1，nan=A．?149 B．?49 C．49 D．1497．（2024·天津北辰·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列an滿足a1+2a2A．53 B．85 C．1278．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，a1=1,an+1?an=A．615 B．620 C．625 D．630二、多選題9．（2023·山東日照·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an中，an=2n+1,A．a(chǎn)nbB．(?1)nC．1anan+1D．a(chǎn)n+10．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知在公差不為0的等差數(shù)列an中，a4=?5,a5是a2與a6的等比中項(xiàng)，數(shù)列bn的前A．a(chǎn)n=2n?13 C．Sn=?111．（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S4A．a(chǎn)n=2n?1 C．?dāng)?shù)列1anan+1的前n項(xiàng)和為2n2n+1 D．?dāng)?shù)列三、填空題12．（2024·山東青島·三模）已知等差數(shù)列an的公差d≠0，首項(xiàng)a1=12，a4是a2與a8的等比中項(xiàng)，記S13．（2024·四川·三模）在數(shù)列an中，已知a1=12，．14．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，bn=an?8,n為奇數(shù)2an+1,n為偶數(shù)，記Sn，Tn四、解答題15．（2024·內(nèi)蒙古包頭·三模）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1(1)證明：數(shù)列Sn?1是等比數(shù)列，并求(2)求數(shù)列1an的前n項(xiàng)和1