專題7.1 基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積（舉一反三）（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題7.1基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積【六大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征】 5【題型2空間幾何體的表面積】 7【題型3空間幾何體的體積】 9【題型4斜二測畫法及其應(yīng)用】 11【題型5最短路徑問題】 14【題型6空間幾何體的截面問題】 171、基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)認(rèn)識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)簡單物體的結(jié)構(gòu)(2)知道球、棱(圓)柱、棱(圓)錐、棱(圓)臺的表面積和體積的計(jì)算公式，并能解決簡單的實(shí)際問題(3)能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形的直觀圖2023年新高考I卷：第12題，5分2023年新高考Ⅱ卷：第14題，12分2023年全國乙卷（理數(shù)）：第8題，5分2024年新高考I卷：第5題，5分2024年全國甲卷（文數(shù)）：第14題，5分、（理數(shù)）：第14題，5分立體幾何是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征與斜二測畫法是立體幾何的基礎(chǔ)，空間幾何體的表面積和體積是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，主要以選擇題、填空題的形式考查，難度較易；有時作為解答題的一個構(gòu)成部分考查幾何體的表面積與體積，難度中等；在復(fù)習(xí)時，要加強(qiáng)幾何體表面積和體積的解題訓(xùn)練.【知識點(diǎn)1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征】1．多面體的結(jié)構(gòu)特征棱柱棱錐棱臺定義有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺.圖形及表示棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'

(或六棱柱AD').棱錐S-ABCD(或四棱錐S-AC)棱臺ABCD-A'B'C'D'結(jié)構(gòu)特征(1)底面互相平行且全等；

(2)側(cè)面都是平行四邊形；

(3)側(cè)棱都相等，且互相平行.(1)底面是多邊形；

(2)側(cè)面都是三角形；

(3)側(cè)面有一個公共頂點(diǎn).(1)上、下底面互相平行，且是相似圖形；

(2)各側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn)；(3)各側(cè)面為梯形.分類棱柱的底面是幾邊形就叫幾棱柱，例如，三棱柱、四棱柱……棱錐的底面是幾邊形就叫幾棱錐，例如，三棱錐、四棱錐……由幾棱錐截得的就叫幾棱臺，例如，由三棱錐截得的棱臺叫三棱臺.2．旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征圓柱圓錐圓臺球定義以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱.以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐.用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺.半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球.圖形及表示圓柱OO'圓錐SO圓臺OO'球O結(jié)構(gòu)特征(1)圓柱兩個底面是圓面而不是圓.

(2)圓柱有無數(shù)條母線，圓柱的任意兩條母線互相平行(與軸平行)且相等.

(3)平行于底面的截面是與底面大小相同的圓面，過軸的截面(軸截面)是全等的矩形.(1)底面是圓面.

(2)有無數(shù)條母線，長度相等且交于頂點(diǎn).

(3)平行于底面的截面是與底面大小不同的圓面，過軸的截面(軸截面)是全等的等腰三角形.(1)上、下底面是互相平行且不相等的圓面.

(2)有無數(shù)條母線，等長且延長線交于一點(diǎn).

(3)平行于底面的截面是與兩底面大小都不等的圓面，過軸

的截面(軸截面)是全等的等腰梯形.(1)球的表面叫做球面，所以球面是旋轉(zhuǎn)形成的曲面.另外，球面也可看成空間中，到定點(diǎn)(球心)的距離等于定長(半徑)的所有點(diǎn)的集合.

(2)球的截面都是圓面.棱柱與圓柱統(tǒng)稱為柱體，棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體，棱臺與圓臺統(tǒng)稱為臺體.3．空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定.(2)通過反例對結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說明個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可.【知識點(diǎn)2斜二測畫法和展開圖的常用結(jié)論】1．斜二測畫法的常用結(jié)論：(1)在斜二測畫法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段.“平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半.”(2)按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：.2．幾何體的表面展開圖的常用結(jié)論：幾何體的表面展開圖可以有不同的形狀，應(yīng)多實(shí)踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關(guān)系，一定先觀察立體圖形的每一個面的形狀.【知識點(diǎn)3簡單幾何體的表面積與體積】1．多面體的側(cè)面積、表面積和體積多面體圖形側(cè)面積與表面積體積棱柱直棱柱的側(cè)面展開圖是矩形，

S直棱柱側(cè)=Ch(C為底面周長，h為高)，

S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底為底面面積)V柱=S底h(S底為底面面積，h為高)棱錐正棱錐的側(cè)面展開圖是一些全等的等腰三角形，S正棱錐側(cè)=Ch'(C為底面周長，h'為斜高)，S正棱錐表=S正棱錐側(cè)+S底(S底為底面面積)(S底為底面面積，h為高)棱臺正棱臺的側(cè)面展開圖是一些全等的等腰梯形，S正棱臺側(cè)=(C+C')h'(C'、C分別為上、下底面的周長，h'為斜高)，S正棱臺表=S正棱臺側(cè)+S+S′(S′、S分別為上、下底面面積)(S'、S分別為上、下底面面積，h為棱臺的高)2．旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積、表面積和體積旋轉(zhuǎn)體圖形側(cè)面積與表面積體積圓柱圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，S圓柱側(cè)=2πrl，表面積S=2πr2+2πrl=2πr(r+l)體積V=S底h(S底為底面面積，h為高)圓錐圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，S圓錐側(cè)=πrl，表面積

S=πr2+πrl=πr(r+l)體積V=S底h(S底為底面面積，h為高)圓臺圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán)，S圓臺側(cè)=π(r1+r2)l，

表面積體積(S'、S分別為上、下底面面積，h為圓臺的高)球半徑為R的球的表面積S=4πR2半徑為R的球的體積【知識點(diǎn)4最短路徑問題】1．最短路徑問題的解題策略(1)解題思想：化曲為直，化折為直，立體展開成平面.(2)方法總結(jié)：解決空間幾何體表面最短路徑問題關(guān)鍵是把立體圖形平面化，即把立體圖形沿著某一條直線展開，轉(zhuǎn)化為平面問題之后，借助“兩點(diǎn)之間，線段最短”，構(gòu)造三角形，借助解三角形的方法求解.【知識點(diǎn)5空間幾何體表面積與體積的常見求法】1．常見的求幾何體體積的方法

(1)公式法：直接代入公式求解.

(2)等體積法：四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面面積和高都易求出的形式即可.

(3)補(bǔ)體法：將幾何體補(bǔ)成易求解的幾何體，如棱錐補(bǔ)成棱柱，三棱柱補(bǔ)成四棱柱等.

(4)分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.

2．求組合體的表面積與體積的方法

求組合體的表面積的問題，首先應(yīng)弄清它的組成部分，其表面有哪些底面和側(cè)面，各個面的面積應(yīng)該怎樣求，然后根據(jù)公式求出各個面的面積，最后相加或相減.求體積時也要先弄清各組成部分，求出各簡單幾何體的體積，再相加或相減.【方法技巧與總結(jié)】1．與體積有關(guān)的幾個結(jié)論(1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.(2)底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等(祖暅原理).2．直觀圖與原平面圖形面積間的關(guān)系：，.【題型1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征】【例1】（23-24高一下·浙江·期中）下列四個命題中正確的是（

）A．每個面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐B．所有棱長都相等的四棱柱是正方體C．以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱D．以直角三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐【解題思路】根據(jù)題意，舉出反例可得AB錯誤，由圓柱、圓錐的定義分析CD，綜合可得答案．【解答過程】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于A，如圖：在三棱錐A?BCD中，有AB=BC=CD=AD=a，AC=BD=b，該每個面都是等腰三角形，但該棱錐不是正三棱錐，A錯誤；對于B，底面為菱形的直四棱柱，其側(cè)棱與底面邊長相等，該四棱柱的所有棱長都相等，但不是正方體，B錯誤；對于C，以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱，C正確；對于D，以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐，D錯誤．故選：C．【變式1-1】（23-24高一下·廣東湛江·期末）下列說法正確的是（

）A．棱柱中兩個互相平行的平面一定是棱柱的底面B．棱柱的側(cè)面都是全等的平行四邊形C．有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱D．用一個平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺【解題思路】利用棱柱的定義判斷ABC；利用棱臺的定義判斷D.【解答過程】對于A，正六棱柱正對的兩個側(cè)面平行，但它們不是正六棱柱的底面，A錯誤；對于B，底面鄰邊不等的長方體的相鄰兩個側(cè)面不全等，B錯誤；對于C，由棱柱的定義知，C正確；對于D，當(dāng)截面與棱錐的底面不平行時，棱錐底面與截面之間的部分不是棱臺，D錯誤.故選：C.【變式1-2】（2024·遼寧撫順·三模）已知圓錐的底面圓的半徑為1，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為π2的扇形，則該圓錐的母線長為（

A．52 B．3 C．72【解題思路】設(shè)母線長為l，根據(jù)題意得到π2【解答過程】設(shè)母線長為l，由題意，可得π2l=2π×1，解得故選：D.【變式1-3】（23-24高一下·廣東清遠(yuǎn)·期末）下列說法中，正確的是（

）A．底面是正多邊形的棱錐是正棱錐B．一個多面體至少有4個面C．有兩個面相互平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱D．用一個平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺【解題思路】根據(jù)簡單幾何體的定義以及結(jié)構(gòu)特征去判斷即可.【解答過程】正棱錐底面是正多邊形，還需要滿足頂點(diǎn)到底面射影落在底面正多邊形的中心，A錯誤；多面體中面數(shù)最少為三棱錐，四個面，B正確，；有兩個面相互平行，其余各面都是平行四邊形的多面體不一定是棱柱，還需要滿足各個側(cè)面的交線互相平行，C錯誤；用一個平面去截棱錐，必須是平行于底面的平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分才是棱臺，D錯誤.故選：B.【題型2空間幾何體的表面積】【例2】（2024·河南濮陽·模擬預(yù)測）正四棱臺ABCD?A1BA．8 B．12 C．24 D．48【解題思路】做正四棱臺的截面，先求斜高，再求側(cè)面積.【解答過程】如圖：取棱的中點(diǎn)，作截面EFGH，則FG、EH為正四棱臺的斜高.在等腰梯形EFGH中，易知EF=2，GH=4，∠EHG=60°，所以EH?cos60°=4?22=1所以四棱臺的側(cè)面積為：4×1故選：C.【變式2-1】（2024·江蘇無錫·模擬預(yù)測）蒙古包是我國蒙古族牧民居住的房子，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活．如圖所示的蒙古包由圓柱和圓錐組合而成，其中圓柱的高為2m，底面半徑為4m,O是圓柱下底面的圓心．若圓錐的側(cè)面與以O(shè)為球心，半徑為4

A．85πm2 B．165πm2【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合圓柱、圓錐以及球的結(jié)構(gòu)特征解得圓錐母線長l=5，進(jìn)而可求圓錐的側(cè)面積.【解答過程】設(shè)PO1=?,PA=l(?為圓錐高，

OM⊥PA,∵以O(shè)為球心，半徑為4的球與圓錐側(cè)面相切，則OM=4，在△POA中，S△POA=1且?2+16=l2，則所以圓錐的側(cè)面積為S側(cè)故選：C.【變式2-2】（2024·四川成都·二模）在所有棱長均相等的直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，∠BAD=60°，點(diǎn)P在四邊形A．16+43 B．8+23 C．4+3【解題思路】先根據(jù)軌跡的長度求出棱長，利用四棱柱的表面積公式可求答案.【解答過程】設(shè)棱長為a，延長A1B1，過點(diǎn)C1作C1由∠BAD=60°，可得由直四棱柱的性質(zhì)可得，C1O⊥平面AA因?yàn)镃1P=7在平面AA1B1B內(nèi)，點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)為圓心，a因?yàn)镺B1=因?yàn)辄c(diǎn)P的軌跡長度為2π3，所以O(shè)P=2，即四棱柱的表面積為4×2×2+2×2×2×3故選：A.

【變式2-3】（2024·重慶·模擬預(yù)測）民間娛樂健身工具陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺在山西夏縣的新石器時代遺址中發(fā)現(xiàn)．如圖，是一個陀螺的立體結(jié)構(gòu)圖（上端是圓柱，下端是圓錐），已知底面圓的直徑AB=8，圓柱體部分的高BC=5，圓錐體部分的高CD=3，則這個陀螺的表面積為（

）A．60π B．76π C．92π【解題思路】根據(jù)已知求出圓錐的母線長，從而可求出圓錐的側(cè)面積，再求出圓柱的側(cè)面積和底面面積，進(jìn)而可求出陀螺的表面積【解答過程】由題意可得圓錐體的母線長為l=3所以圓錐體的側(cè)面積為5×4π圓柱體的側(cè)面積為8π×5=40π所以此陀螺的表面積為20π+40π故選：B.【題型3空間幾何體的體積】【例3】（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）菏澤市博物館里，有一條深埋600多年的元代沉船，對于研究元代的發(fā)展提供了不可多得的實(shí)物資料.沉船出土了豐富的元代瓷器，其中的白地褐彩龍風(fēng)紋罐（如圖）的高約為36cm，把該瓷器看作兩個相同的圓臺拼接而成（如圖），圓臺的上底直徑約為20cm，下底直徑約為40cmA．4200πcm3 B．8400πcm3 C．【解題思路】根據(jù)圓臺體積公式求解.【解答過程】根據(jù)題意，V=2V故選：B.【變式3-1】（2024·天津河西·三模）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，平面EB1CA．1∶1 B．4∶3 C．6∶5 D．7∶5【解題思路】根據(jù)割補(bǔ)法結(jié)合棱臺的體積公式，即可求得答案.【解答過程】設(shè)三棱柱ABC?A1B1C1的高為則V=V因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，故S△AEF結(jié)合題意可知幾何體AEF?A則V1故V2=S??7故選：D.【變式3-2】（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）某圓臺的下底面周長是上底面周長的4倍，母線長為10，該圓臺的側(cè)面積為100π，則該圓臺的體積為（

A．184π B．208π C．224π【解題思路】設(shè)圓臺的上底面的半徑為r，下底面的半徑為R，則由題意可得R=4r，再由圓臺的側(cè)面積列方程可求出r，從而可求出上下底面面積和圓臺的高，進(jìn)而可求出臺的體積.【解答過程】設(shè)圓臺的上底面的半徑為r，下底面的半徑為R，則2πR=4×2π因?yàn)樵搱A臺的側(cè)面積為100π，母線長l=10所以π(r+4r)×10=100π，解得r=2，則所以圓臺上底面的面積為πr2=4圓臺的高?=所以該圓臺的體積V=1故選：C．【變式3-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知軸截面為正三角形的圓錐，被平行于底面的平面所截，截得的上、下兩個幾何體的表面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2，若S1A．1:7 B．9:112C．3:11?【解題思路】作出圓錐的軸截面，設(shè)出大小圓錐的底面圓半徑，表示出母線長，利用S1:S2=3:11代入化簡得到r【解答過程】如圖，作出圓錐的軸截面，設(shè)截得的圓錐的底面圓半徑為O1D=r因?yàn)檩S截面是正三角形，所以母線長為SD=2r1，原圓錐的母線長為則截得的圓臺的母線長為BD=2r2?r1．因?yàn)镾于是，V1:V故選：A．【題型4斜二測畫法及其應(yīng)用】【例4】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，△O′A′B′是水平放置的△OAB用斜二測畫法畫出的直觀圖（圖中虛線分別與x′軸和y′軸平行），

A．82 B．122 C．24【解題思路】由直觀圖得到平面圖形，再求出相應(yīng)的線段長，最后由面積公式計(jì)算可得.【解答過程】由直觀圖可得如下平面圖形：其中OB=O′B′=6，OD=O′所以S△OAB故選：D.【變式4-1】（2024·山東濟(jì)南·一模）已知正三角形邊長為2，用斜二測畫法畫出該三角形的直觀圖，則所得直觀圖的面積為（

）A．24 B．64 C．22【解題思路】根據(jù)斜二測畫法的知識確定正確答案.【解答過程】正三角形的高為3，根據(jù)斜二測畫法的知識可知，直觀圖的面積為12故選：B.【變式4-2】（23-24高一下·湖北黃岡·期末）如圖，水平放置的四邊形ABCD的斜二測直觀圖為矩形A′B′C′D′A．62 B．122 C．8【解題思路】根據(jù)斜二測畫法的原則進(jìn)行求解即可.【解答過程】由題設(shè)知：原四邊形中AB=CD=A′B所以原四邊形ABCD為平行四邊形，而O′C′=2綜上，四邊形ABCD的周長為AB+CD+AD+BC=10.故選：D.【變式4-3】（23-24高一下·安徽池州·期中）一水平放置的平面四邊形OABC的直觀圖O′A′B′C′如圖所示，其中O′A′=O′C′A．322 B．32 C．3【解題思路】結(jié)合圖形可得A′B′=2，則可得四邊形【解答過程】設(shè)y′軸與A′B′交點(diǎn)為D，因O'又B′C′//y又∠x′O′y′=45o，結(jié)合A則四邊形O′A′因四邊形O′A′B′則四邊形OABC的面積為32故選：B.【題型5最短路徑問題】【例5】（23-24高一下·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）已知三棱錐P?ABC的底面ABC是邊長為1的等邊三角形，PA⊥平面ABC且PA=3，一只螞蟻從△ABC的中心沿表面爬至點(diǎn)P，則其爬過的路程最小值為（

A．36 B．393 C．43【解題思路】利用垂直條件證明得PA⊥平面ABC，即可得平面PAC⊥平面ABC，然后根據(jù)平面展開圖判斷最短距離，再利用勾股定理計(jì)算求解即可.【解答過程】將底面ABC旋轉(zhuǎn)，以AC為軸，旋轉(zhuǎn)至平面PAC與平面ABC共面，如圖，設(shè)△ABC的中心為O，此時OP為最短距離，設(shè)O到直線AC的距離為d，則d=13×故選：B.【變式5-1】（23-24高三下·河北衡水·階段練習(xí)）如圖，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的底面邊長為lcm，高為5cmA．12 B．13 C． D．15【解題思路】由條件將三棱柱的側(cè)面展開，根據(jù)兩點(diǎn)間距離最短求最小值.【解答過程】將正三棱柱ABC?A在展開圖中,最短距離是六個矩形對角線的連線的長度,也即為三棱柱的側(cè)面上所求距離的最小值.由已知求得矩形的長等于6×1=6,寬等于5,由勾股定理d=6故選:C.【變式5-2】（23-24高二上·浙江·階段練習(xí)）正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，M是面BCC1BA．2 B．3+1 C．2+2 【解題思路】利用展開方法，以△BCC1為基準(zhǔn)，將△BC1D【解答過程】點(diǎn)M在線段BC1上運(yùn)動，即動線段DM在動線段DN在△DCC1內(nèi)運(yùn)動，動線段MN在以△BCC1為基準(zhǔn)，將△BC1D其中△BC1D翻折至△BC1△DMN的周長等于D2M+MN+N在四邊形C1D2由余弦定理可求得D2所以D2故△DMN的周長最小值等于1+3故選：B.【變式5-3】（23-24高一下·山東青島·期末）如圖，圓錐的母線長為3，底面半徑為1，一只螞蟻從點(diǎn)P處沿著該圓錐側(cè)面爬行一周后回到點(diǎn)P處，則螞蟻爬行的最短路線長為（

）

A．3 B．3 C．23 D．【解題思路】畫出圓錐的側(cè)面展開圖，則螞蟻爬行的最短距離為PP'，在【解答過程】已知圓錐的側(cè)面展開圖為半徑是3的扇形，如圖，

一只螞蟻從點(diǎn)P出發(fā)繞著圓錐的側(cè)面爬行一圈回到點(diǎn)P的最短距離為PP設(shè)∠SPP'=α，圓錐底面周長為2π，所以圓弧所以α=2在△SPP'中，由SP=SP故選：D.【題型6空間幾何體的截面問題】【例6】（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知SO1=2，底面半徑O1A=4的圓錐內(nèi)接于球O，則經(jīng)過S和OA．252π B．253π C．【解題思路】根據(jù)球的截面性質(zhì)，結(jié)合三角形面積等積性、勾股定理進(jìn)行求解即可.【解答過程】如圖，設(shè)球O的半徑為R，線段O1A的中點(diǎn)為E，因?yàn)樗?2+(R?2)設(shè)經(jīng)過S和O1A中點(diǎn)E的平面截球O所得截面圓的圓心為O2，半徑為r，球心O則r2=R2?因?yàn)楫?dāng)d為點(diǎn)O到SE的距離時最大，此時d?SE=SO?EO1，又所以d=SO?E所以r2故截面面積的最小值為πr故選：A.【變式6-1】（2024·江西·模擬預(yù)測）已知在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=BB1=2BC，點(diǎn)P，Q，T分別在棱BB1，CA．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【解題思路】連接QP并延長交CB的延長線于點(diǎn)E，連接ET并延長交AD于點(diǎn)S，過點(diǎn)S作SR//EQ交DD1于點(diǎn)【解答過程】如圖連接QP并延長交CB的延長線于點(diǎn)E，連接ET并延長交AD于點(diǎn)S，過點(diǎn)S作SR//EQ交DD1于點(diǎn)則五邊形PQRST即為平面PQT截該長方體所得的截面多邊形.其中因?yàn)锽1P=3BP，CQ=3C所以△EBP∽△ECQ，則EBEC=BP又△SAT∽△EBT，所以SAEB=AT則SD=5顯然△SDR∽△ECQ，則SDEC=DR故選：C.【變式6-2】（2024·海南·模擬預(yù)測）當(dāng)飛機(jī)超音速飛行時，聲波會形成一個以飛機(jī)前端為頂點(diǎn)，飛機(jī)的飛行方向?yàn)檩S的圓錐（如圖），稱為“馬赫錐”.馬赫錐的軸截面頂角θ與飛機(jī)的速度v、音速c滿足關(guān)系式sinθ2=cv

A．100πm2 B．300πm2 C．【解題思路】作出半軸截面，解直角三角形得底面圓半徑，進(jìn)而即可得解.【解答過程】如圖所示：

該飛機(jī)形成的馬赫錐在距離頂點(diǎn)30m處的截面圓圓心為O，AB由題意sin∠BAO而∠BAO是銳角，所以∠BAO=30又AO=30m，所以BO=AO?該飛機(jī)形成的馬赫錐在距離頂點(diǎn)30m處的截面圓面積為π故選：B.【變式6-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱A1B1，DA．62 B．32 C．305【解題思路】根據(jù)題意可求得正方體的外接球球心位置，易知當(dāng)截面面積最大時，截面圓的半徑為該正方體外接球的半徑R，當(dāng)截面與OP垂直時，截面面積最小；分別求出對應(yīng)的半徑大小即可得出結(jié)果.【解答過程】如圖，正方體ABCD?A1B1C則外接球的半徑R=1要使過直線EF的平面截該球得到的截面面積最小，則截面圓的圓心為線段EF的中點(diǎn)P，連接OE，OF，OP，則OE=OF=aEF=a所以O(shè)P=O此時截面圓的半徑r=R顯然當(dāng)截面面積最大時，截面圓的半徑為該正方體外接球的半徑R；所以Ss故選：D．一、單選題1．（2024·湖北·模擬預(yù)測）用斜二測畫法畫出的水平放置的△ABC的直觀圖如圖所示，其中D′是B′C′的中點(diǎn)，且A′D′//yA．2 B．2 C．22 【解題思路】根據(jù)斜二測畫法確定原圖形，求解即可.【解答過程】根據(jù)題意，把直觀圖還原出原平面圖形為等腰三角形，如圖所示，其中AD⊥BC，AD=2A'D原平面圖形的面積為S△ABC故選：D．2．（2024·四川達(dá)州·二模）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為AB中點(diǎn)，

A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形【解題思路】根據(jù)點(diǎn)P在C1、D1以及【解答過程】B選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)P與D1

取A1B1中點(diǎn)H，因?yàn)镋是AB中點(diǎn)，則EH//D連接DE、EH、HD1、又因?yàn)镈D1⊥DEC選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)P與C1

取BB1中點(diǎn)G，因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，所以連接DE、EG、GC1、D選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)P為C1

因?yàn)镋是AB中點(diǎn)，所以PB1//DE連接PB1、又因?yàn)锽1P=C因?yàn)槭钦襟w，所以C1D1所以平行四邊形EB不管點(diǎn)P在什么位置，都不可能是三角形.故選：A.3．（2024·貴州黔南·二模）某學(xué)生為制作圓臺形容器，利用如圖所示的半圓環(huán)（其中小圓和大圓的半徑分別是2cm和4cm）鐵皮材料，通過卷曲使得AB邊與DC邊對接制成圓臺形容器的側(cè)面，則該圓臺的高為（A．32cm B．1cm C．3【解題思路】根據(jù)圓臺的側(cè)面展開圖求得r=1R=2【解答過程】設(shè)圓臺的上底面半徑為rcm，下底面半徑為Rcm，母線長為lcm由題意可得：2πr=1所以該圓臺的高為?=l故選：C.4．（2024·山東·二模）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體可能是（

）．A．三棱柱 B．圓柱 C．三棱錐 D．圓錐【解題思路】由圓錐的三視圖結(jié)合條件可得.【解答過程】由圓錐的三視圖可知該幾何體是底面半徑為1，高為3的圓錐.故選：D．5．（2024·河南駐馬店·二模）已知某正六棱柱的體積為63，其外接球體積為205πA．63+18 B．33+18 C．【解題思路】根據(jù)正六棱柱的體積及外接球的體積列方程求解得出邊長及高最后求出表面積即可.【解答過程】設(shè)該正六棱柱的底面邊長為a，高為?，其外接球的半徑為R，易知43πR且34聯(lián)立①②，因?yàn)?∈Z，解得a=1,?=4所以正六棱柱的表面積S=3故選：D.6．（2024·四川資陽·二模）已知球O的體積為500π3，點(diǎn)A到球心O的距離為3，則過點(diǎn)A的平面α被球O所截的截面面積的最小值是（A．9π B．12π C．16π【解題思路】根據(jù)球的體積公式，結(jié)合球的截面的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【解答過程】設(shè)球O的半徑為R，則43πR因?yàn)辄c(diǎn)A到球心O的距離為3，所以過點(diǎn)A的平面α被球O所截的截面圓的半徑的最小值為r=5則所求截面面積的最小值為πr故選：C.7．（2024·貴州·模擬預(yù)測）為了美化廣場環(huán)境，縣政府計(jì)劃定購一批石墩．已知這批石墩可以看作是一個圓臺和一個圓柱拼接而成，其軸截面如下圖所示，其中AB=2CE=2EF=40cm，AC=102cmA．10000π3cm3 B．11000π3【解題思路】過點(diǎn)C作CM⊥AB于M，根據(jù)條件，求出圓臺的高，再利用圓臺與圓柱的體積公式，即可求出結(jié)果.【解答過程】如圖，過點(diǎn)C作CM⊥AB于M，因?yàn)锳B=2CE=2EF=40cm，所以圓臺的體積為V=1又圓柱的體積為V1所以該石墩的體積為7000π3故選：D.8．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，已知P，M分別為線段BD1，

A．1+22 B．4+222 C．【解題思路】設(shè)BD的中點(diǎn)為O，即可證明△BOP≌△BNP，從而得到PN=PO，再將平面BDD1B1與平面BC1B1展開并攤平，在平面圖形中連接ON，交BB【解答過程】

設(shè)BD的中點(diǎn)為O，連接PO（P不與點(diǎn)B重合），PB=PB，OB=所以△BOP≌△BNP，所以PN=PO，把平面BDD在平面圖形中連接ON，交BB1于點(diǎn)M，交D1B于點(diǎn)P，此時在△BON中利用余弦定理可得ON=

所以△PMN的周長的最小值為4+22故選：B．二、多選題9．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）下列說法中，錯誤的為（

）A．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；B．有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺；C．底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；D．棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐不可能是正六棱錐．【解題思路】對于A，根據(jù)棱錐的定義分析判斷，對于B，根據(jù)棱臺的定義分析判斷，對于C，根據(jù)正三棱錐的定義分析判斷，對于D，根據(jù)正六棱錐的定義分析判斷.【解答過程】對于A，有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫棱錐，而有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體不一定是棱錐，如圖，所以A錯誤，對于B，棱臺是由棱錐被平行于棱錐底面的平面所截而得，而有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體的側(cè)棱不一定交于一點(diǎn)，所以B錯誤，對于C，底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐的頂點(diǎn)不一定在底面的射影為底面等邊三角形的中心，所以C錯誤，對于D，若六棱錐的所有棱長都相等，則底面為正六邊形，由過底面中心和頂點(diǎn)的截面知，若以正六邊形為底面，則側(cè)棱必然大于底面邊長，所以D正確，故選：ABC.10．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知球O是正三棱錐A?BCD的外接球，BC=3,AB=23，點(diǎn)E在線段BD上，且BD=3BE．過點(diǎn)E作球的截面，則所得截面圓的面積可能是（

A．π B．2π C．3π 【解題思路】首先根據(jù)幾何關(guān)系確定外接球的半徑，再根據(jù)點(diǎn)E的位置，求OE，即可確定球心到平面距離的范圍，即可求解.【解答過程】如圖，作AO1⊥平面BCD，O1是等邊△CBD的中心，O是正三棱錐A?BCD外接球的球心，點(diǎn)O在連結(jié)DO1交BC于點(diǎn)F，設(shè)該球半徑為R，則OA=OD=R．由BC=3,AB=23可得O在Rt△OO1D中，因?yàn)镈F=3O1F，DB=3BE，所以O(shè)在Rt△OO1E中，設(shè)球心O到過點(diǎn)E的截面圓的距離為d,可知d∈[0,2截面圓半徑r2所以截面圓的面積的取值范圍為[2π故選：BCD．11．（2024·山東·模擬預(yù)測）如圖，有一個棱臺形的容器ABCD?A1B1C1D1（上底面A．AB．該四棱臺的側(cè)面積為3C．若將一個半徑為0.9mD．若一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著容器外壁爬到點(diǎn)C1，則其爬行的最短路程為【解題思路】由勾股定理即可判斷A，由梯形的面積公式代入計(jì)算，即可判斷B，做出軸截面圖形代入計(jì)算，即可判斷C，將四棱臺展開，然后代入計(jì)算，即可判斷D【解答過程】對于A，由題意可得AA對于B，梯形ADD1A所以梯形ADD1A梯形ABB1A所以梯形ABB1A故該四棱臺的側(cè)面積為2×3對于C，若放入容器內(nèi)的球可以接觸到容器的底面，則當(dāng)球的半徑最大時，球恰好與面ADD1A1、面過三個切點(diǎn)的截面如圖（1）所示，由題意可知棱臺的截面為等腰梯形，較長的底邊上的底角的正切值為12?12=2由于∠MPN,∠MON互補(bǔ)，故tan∠MON=2則2tan∠MOP1?tan2∠MOP所以將半徑為0.9cm對于D，將平面ABCD與平面DCC如圖（2），則AC將平面ABCD與平面BCC則AC所以最短路程為454故選：BD.三、填空題12．（2024·浙江·三模）已知圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為5，側(cè)面積為30π，則圓臺的高為3【解題思路】根據(jù)圓臺的側(cè)面積求圓臺的母線，再根據(jù)圓臺軸截面求出高即可.【解答過程】因?yàn)閳A臺的上底面半徑為1，下底面半徑為5，側(cè)面積為30π設(shè)母線長為l，高為?.則π(1+5)×l=30如圖所示圓臺的軸截面，在△BED中，|ED|=4,|BD|=5，由勾股定理得：圓臺的高?=3.故答案為：3.13．（2023·遼寧錦州·模擬預(yù)測）已知用斜二測畫法畫梯形OABC的直觀圖O′A′B′C′如圖所示，O′A′=3C′B′，C′E′⊥

【解題思路】先由直觀圖還原梯形OABC，再利用斜二測畫法的性質(zhì)求得其邊與高，從而判斷得該梯形為等腰梯形，進(jìn)而利用圓臺與圓錐的體積公式求解即可.【解答過程】在直觀圖中，C′D′

在直觀圖中，O′A′=3C所以在還原圖中，OA=3CB，D為OA的三等分點(diǎn)，又在直觀圖中，C′所以在還原圖中，CD//y軸，則CD⊥OA，所以SOABC=1故OA=6，OD=13OA=2所以四邊形OABC繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間幾何體的體積等于一個圓臺的體積減去一個圓錐的體積，即V=1故答案為：48π14．（2024·新疆·二模）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“羨除”的幾何體，該幾何體的一種結(jié)構(gòu)是三個面均為梯形，其他兩面為三角形的五面體．如圖所示，四邊形ABCD，ABFE，CDEF均為等腰梯形，AB//CD//EF，AB=6，CD=8，EF=10，EF到平面ABCD的距離為5，CD與AB間的距離為10，則這個羨除的體積V=【解題思路】先連線再根據(jù)棱錐體積公式計(jì)算組合體體積即可.【解答過程】連接CE,BE,V==12故答案為：200.四、解答題15．（23-24高一下·湖北黃岡·階段練習(xí)）如圖，長、寬、高分別為3，2，1的長方體木塊上有一只小蟲從頂點(diǎn)A出發(fā)沿著長方體的外表面爬到頂點(diǎn)C1，則它爬行的最短路程是多少？【解題思路】分別將矩形A1B1C1D1繞著A1B1展開到A1B1C1