專題10.4 隨機(jī)事件、頻率與概率（舉一反三）（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題10.4隨機(jī)事件、頻率與概率【六大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1隨機(jī)事件與樣本空間】 3【題型2隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算】 4【題型3互斥事件與對(duì)立事件的概率】 6【題型4頻率與概率】 8【題型5生活中的概率】 9【題型6頻率估計(jì)概率在統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用】 111、隨機(jī)事件、頻率與概率考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別(2)理解事件間的關(guān)系與運(yùn)算2023年上海卷：第5題，4分從近幾年的高考情況來看，隨機(jī)事件、頻率與概率的考查相對(duì)較少，主要考查以頻率估計(jì)概率、互斥事件與對(duì)立事件等內(nèi)容，往往以選擇題或填空題的形式考查，難度較易；有時(shí)以頻率估計(jì)概率也會(huì)在解答題中出現(xiàn)，與統(tǒng)計(jì)等知識(shí)結(jié)合.【知識(shí)點(diǎn)1頻率與概率】1．頻率與概率的區(qū)別頻率本身是隨機(jī)的，在試驗(yàn)之前是無法確定的，在相同的條件下做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗(yàn)，得到的事件的頻率也可能會(huì)不同.概率本身是一個(gè)在[0,1]內(nèi)的確定值，不隨試驗(yàn)結(jié)果的改變而改變.舉例辨析例如，在相同條件下擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣1000次，出現(xiàn)正面向上的次數(shù)是521，則正面向上的頻率（正面向上），而正面向上的概率P（正面向上），它是一個(gè)客觀常數(shù)，2．頻率的穩(wěn)定性(用頻率估計(jì)概率)

大量試驗(yàn)表明，在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性.一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率(A)會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A).我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此，我們可以用頻率(A)估計(jì)概率P(A).【知識(shí)點(diǎn)2隨機(jī)事件】1．事件(1)隨機(jī)事件

一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來表示.為了敘述方便，我們將樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件.隨機(jī)事件一般用大寫字母A，B，C，表示.在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件A發(fā)生.

(2)必然事件

A作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以總會(huì)發(fā)生，我們稱為必然事件.

(3)不可能事件

空集?不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，我們稱?為不可能事件.2．事件的關(guān)系和運(yùn)算(1)兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算事件的關(guān)系或運(yùn)算含義符號(hào)表示圖形表示包含A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生并事件（和事件）A與B至少一個(gè)發(fā)生或交事件（積事件）A與B同時(shí)發(fā)生或互斥（互不相容）A與B不能同時(shí)發(fā)生互為對(duì)立A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生，(2)多個(gè)事件的和事件、積事件

類似地，我們可以定義多個(gè)事件的和事件以及積事件.對(duì)于多個(gè)事件A，B，C，，A∪B∪C∪(或A+B+C+)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A，B，C，中至少一個(gè)發(fā)生，A∩B∩C∩(或ABC)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A，B，C，同時(shí)發(fā)生.【知識(shí)點(diǎn)3隨機(jī)事件的關(guān)系與概率】1．互斥事件、對(duì)立事件的判斷判別互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩個(gè)事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件.2．互斥事件的概率求法求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運(yùn)用互斥事件的求和公式計(jì)算；二是間接求法，先求此事件的對(duì)立事件的概率，再用公式P(A)=1—P(A)求出所求概率，特別是“至多”“至少”型題目，用間接求法比較簡(jiǎn)便.【方法技巧與總結(jié)】1．從集合的角度理解互斥事件和對(duì)立事件(1)幾個(gè)事件彼此互斥，是指由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集.(2)事件A的對(duì)立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集.2．概率加法公式的推廣當(dāng)一個(gè)事件包含多個(gè)結(jié)果且各個(gè)結(jié)果彼此互斥時(shí)，要用到概率加法公式的推廣，即.【題型1隨機(jī)事件與樣本空間】【例1】（23-24高二·上海·課堂例題）下列事件：①拋擲一枚硬幣，落下后正面朝上；②從某三角形的三個(gè)頂點(diǎn)各畫一條高線，這三條高線交于一點(diǎn)；③實(shí)數(shù)a，b都不為0，但a2+b2=0；④某地區(qū)明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中為隨機(jī)事件的是（

）A．①④ B．①②③ C．②③④ D．②④【解題思路】利用隨機(jī)事件的定義逐一分析給定的各個(gè)事件即可判斷作答.【解答過程】拋擲一枚硬幣，是正面朝上，還是反面朝上，落下前不可確定，①是隨機(jī)事件；三角形三條高線一定交于一點(diǎn)，②是必然事件；實(shí)數(shù)a，b都不為0，則a2某地區(qū)明年7月的降雨量是一種預(yù)測(cè)，不能確定它比今年7月的降雨量高還是低，④是隨機(jī)事件，所以在給定的4個(gè)事件中，①④是隨機(jī)事件.故選：A.【變式1-1】（23-24高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）高一(1)班計(jì)劃從A，B，C，D，E這五名班干部中選兩人代表班級(jí)參加一次活動(dòng)，則樣本空間中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．5 B．10C．15 D．20【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合列舉法運(yùn)算求解.【解答過程】從A，B，C，D，E五人中選兩人，不同的選法有：A,B,所以樣本空間中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為10．故選：B.【變式1-2】（24-25高二上·上?！ふn后作業(yè)）給出下列四個(gè)命題，其中正確命題的序號(hào)是（

）①“三個(gè)球全部放入兩個(gè)盒子，其中必有一個(gè)盒子有一個(gè)以上的球”是必然事件；②“當(dāng)x為某一實(shí)數(shù)時(shí)，可使x2③“明天上海要下雨”是必然事件；④“從100個(gè)燈泡中取出5個(gè)，5個(gè)都是次品”是隨機(jī)事件．A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【解題思路】根據(jù)必然事件，不可能事件和隨機(jī)事件的定義逐個(gè)分析判斷【解答過程】對(duì)于①，三個(gè)球全部放入兩個(gè)盒子，就是將3個(gè)分成兩部分，其中一部分1個(gè)球，另一部分2個(gè)球，所以必有一個(gè)盒子有一個(gè)以上的球，所以①正確，對(duì)于②，“當(dāng)x為某一實(shí)數(shù)時(shí)，可使x2對(duì)于③，“明天上海要下雨”是不確定的，是隨機(jī)事件，所以③錯(cuò)誤，對(duì)于④，“從100個(gè)燈泡中取出5個(gè)，5個(gè)都是次品”是隨機(jī)事件，所以④正確，故選：C.【變式1-3】（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）下列事件為隨機(jī)事件的是（）A．投擲一枚骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)小于7B．投擲一枚骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)等于7C．下周日下雨D．沒有水和空氣，人也可以生存下去【解題思路】根據(jù)隨機(jī)事件的定義即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【解答過程】A中事件為必然事件；B，D中事件為不可能事件；C中事件為隨機(jī)事件．故選：C.【題型2隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算】【例2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）同時(shí)拋擲兩顆骰子，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，記“點(diǎn)數(shù)之和為5”是事件A，“點(diǎn)數(shù)之和為4的倍數(shù)”是事件B，則（

）A．A+B為不可能事件 B．A與B為互斥事件C．AB為必然事件 D．A與B為對(duì)立事件【解題思路】利用事件的基本關(guān)系判斷即可.【解答過程】同時(shí)拋擲兩顆骰子，有36個(gè)結(jié)果，“點(diǎn)數(shù)之和為5”是事件A有1,4,“點(diǎn)數(shù)之和為4的倍數(shù)”是事件B有1,3,對(duì)于選項(xiàng)A:A+B表示“點(diǎn)數(shù)之和為5或是4的倍數(shù)”，不是不可能事件.故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：A與B不可能同時(shí)發(fā)生．故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：AB表示“點(diǎn)數(shù)之和為5且是4的倍數(shù)”，是不可能事件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：A與B不能包含全部基本事件，故D錯(cuò)誤.故選:B．【變式2-1】（2024·四川宜賓·三模）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件1表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件2表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，事件3表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)大于3”，事件4表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)小于3”則（

）A．事件1與事件3互斥 B．事件1與事件2互為對(duì)立事件C．事件2與事件3互斥 D．事件3與事件4互為對(duì)立事件【解題思路】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件定義判斷求解.【解答過程】由題可知，事件1可表示為：A=1,3,5,事件2可表示為：B=事件3可表示為：C=4,5,6,事件4可表示為：D=因?yàn)锳∩C=5因?yàn)锳∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，所以事件1與事件2互為對(duì)立事件，B正確；因?yàn)锽∩C=4,6因?yàn)镃∩D為不可能事件，C∪D不為必然事件，所以事件3與事件4不互為對(duì)立事件，D錯(cuò)誤；故選：B.【變式2-2】（2024·四川內(nèi)江·三模）一個(gè)人連續(xù)射擊2次，則下列各事件關(guān)系中，說法正確的是（

）A．事件“兩次均擊中”與事件“至少一次擊中”互為對(duì)立事件B．事件“第一次擊中”與事件“第二次擊中”為互斥事件C．事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”互為對(duì)立事件D．事件“恰有一次擊中”與事件“兩次均擊中”為互斥事件【解題思路】根據(jù)對(duì)立事件和互斥事件的概念，分析各個(gè)選項(xiàng)的內(nèi)容即可得到答案.【解答過程】一個(gè)人連續(xù)射擊2次，其可能結(jié)果為擊中0次，擊中1次，擊中2次，其中“至少一次擊中”包括擊中一次和擊中兩次，事件“兩次均擊中”包含于事件“至少一次擊中”，故A錯(cuò)誤；事件“第一次擊中”包含第一次擊中且第二次沒有擊中，或第一、二次都擊中，事件“第二次擊中”包含第二次擊中且第一次沒有擊中，或第一、二次都擊中，故B錯(cuò)誤；事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”可以同時(shí)發(fā)生，故C錯(cuò)誤；事件“恰有一次擊中”與事件“兩次均擊中”為互斥事件，故D正確；故選：D.【變式2-3】（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)）從數(shù)學(xué)必修一、二和政治必修一、二共四本書中任取兩本書，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（

）A．至少有一本政治與都是數(shù)學(xué) B．至少有一本政治與都是政治C．至少有一本政治與至少有一本數(shù)學(xué) D．恰有1本政治與恰有2本政治【解題思路】總的可能的結(jié)果為“兩本政治”，“兩本數(shù)學(xué)”，“一本數(shù)學(xué)一本政治”，然后寫出各個(gè)事件包含的事件，結(jié)合互斥事件與對(duì)立事件的概念，即可得出答案.【解答過程】從裝有2本數(shù)學(xué)和2本政治的四本書內(nèi)任取2本書，可能的結(jié)果有：“兩本政治”，“兩本數(shù)學(xué)”，“一本數(shù)學(xué)一本政治”，“至少有一本政治”包含事件：“兩本政治”，“一本數(shù)學(xué)一本政治”.對(duì)于A，事件“至少有一本政治”與事件“都是數(shù)學(xué)”是對(duì)立事件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，事件“至少有一本政治”包含事件“都是政治”，兩個(gè)事件是包含關(guān)系，不是互斥事件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，事件“至少有一本數(shù)學(xué)”包含事件：“兩本數(shù)學(xué)”，“一本數(shù)學(xué)一本政治”，因此兩個(gè)事件都包含事件“一本數(shù)學(xué)一本政治”，不是互斥事件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，“恰有1本政治”表示事件“一本數(shù)學(xué)一本政治”，與事件“恰有2本政治”是互斥事件，但是不對(duì)立，故D正確.故選:D.【題型3互斥事件與對(duì)立事件的概率】【例3】（23-24高一下·陜西西安·期末）已知隨機(jī)事件A，B滿足P(A)=13，P(B)=34，P(A∪B)=5A．116 B．18 C．316【解題思路】根據(jù)給定條件，利用概率的基本性質(zhì)列式計(jì)算即得.【解答過程】依題意，P(A∩B)=P(A)+P(B)?P(A∪B)=1故選：D.【變式3-1】（23-24高一下·江蘇常州·期末）已知事件A,B互斥，它們都不發(fā)生的概率為13，且PA=2PB，則A．13 B．49 C．59【解題思路】根據(jù)互斥事件，對(duì)立事件的概率關(guān)系即可計(jì)算求解.【解答過程】由事件A,B互斥，且A,B都不發(fā)生為13，則P(A∪B)=P(A)+P(B)=1?又PA=2PB，所以2P(B)+P(B)=23所以PA故選：C.【變式3-2】（23-24高一下·廣東肇慶·期末）已知樣本空間Ω=1,2,3,4，事件A=1,2，B=A．34 B．12 C．14【解題思路】根據(jù)題意，由概率的計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【解答過程】因?yàn)棣?1,2,3,4，且事件A=1,2，B=所以PA∪B故選：A.【變式3-3】（23-24高一下·北京·期末）已知隨機(jī)事件A和B互斥，A和C對(duì)立，且PC=0.8,PB=0.3，則A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【解題思路】利用對(duì)立事件概率公式和互斥事件加法公式計(jì)算即可.【解答過程】由A和C對(duì)立，PC=0.8，可得PA又由隨機(jī)事件A和B互斥可知PAB由PA∪B將PA=0.2,PB故選：D.【題型4頻率與概率】【例4】（23-24高一下·廣西河池·期末）下列說法中正確的是（

）A．隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率B．在n次隨機(jī)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有確定性C．隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率D．在同一次試驗(yàn)中，每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的頻率之和不一定等于1【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合頻率，概率的定義，即可判斷.【解答過程】頻率與概率不是同一個(gè)概念，故A錯(cuò)誤；在n次隨機(jī)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性，故B錯(cuò)誤；隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率，故C正確；在同一次試驗(yàn)中，每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的頻率之和一定等于1，故D錯(cuò)誤．故選：C．【變式4-1】（23-24高一下·山東棗莊·期末）某地區(qū)的公共衛(wèi)生部門為了調(diào)查本地區(qū)中學(xué)生的吸煙情況，對(duì)隨機(jī)抽出的200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.調(diào)查中使用了兩個(gè)問題.問題1：你父親的公歷出生月份是不是奇數(shù)？問題2：你是否經(jīng)常吸煙？調(diào)查者設(shè)計(jì)了一個(gè)隨機(jī)化裝置，這是一個(gè)裝有大小、形狀和質(zhì)量完全一樣的50個(gè)白球和50個(gè)紅球的密封袋子，每個(gè)被調(diào)查者隨機(jī)地從袋中摸取1個(gè)球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的學(xué)生如實(shí)回答第一個(gè)問題，摸到紅球的學(xué)生如實(shí)回答第二個(gè)問題，回答“是”的人往一個(gè)盒子中放一個(gè)小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最終盒子中的小石子為56個(gè)，則該地區(qū)中學(xué)生吸煙人數(shù)的比例約為（

）A．2% B．3% C．6% D．8%【解題思路】由概率得出這100個(gè)回答第一個(gè)問題的學(xué)生中，約有50人回答了“是”，結(jié)合題設(shè)條件，估計(jì)第二個(gè)問題有6人回答了“是”，從而得出所占比例.【解答過程】因?yàn)橐粋€(gè)裝有大小、形狀和質(zhì)量完全一樣的50個(gè)白球和50個(gè)紅球的袋子中，隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸到白球和紅球的概率都為12因此，這200人中，回答了第一個(gè)問題的有100人，而一年12個(gè)月中，奇數(shù)的占一半，所以對(duì)第一個(gè)問題回答“是”的概率為1所以這100個(gè)回答第一個(gè)問題的學(xué)生中，約有50人回答了“是”，從而可以估計(jì)，在回答第二個(gè)問題的100人中，約有56?50=6人回答了“是”，所以可以估計(jì)出該地區(qū)中學(xué)生吸煙人數(shù)的百分比為6%故選：C.【變式4-2】（23-24高一下·山西長(zhǎng)治·期末）下列說法正確的是（

）A．甲、乙二人進(jìn)行羽毛球比賽，甲勝的概率為34B．概率是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定C．事件A，B滿足A?B，則PD．天氣預(yù)報(bào)中，預(yù)報(bào)明天降水概率為90%，是指降水的可能性是90%【解題思路】根據(jù)概率的定義及性質(zhì)判斷即可.【解答過程】對(duì)于A，甲、乙二人比賽，甲勝的概率為34，是指每場(chǎng)比賽，甲勝的可能性為3則比賽4場(chǎng)，甲可能勝4場(chǎng)、3場(chǎng)、2場(chǎng)、1場(chǎng)、0場(chǎng)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，隨機(jī)試驗(yàn)的頻率是變化的，概率是頻率的穩(wěn)定值，是固定的，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：事件A，B滿足A?B，則PA對(duì)于D，天氣預(yù)報(bào)中，預(yù)報(bào)明天降水概率為90%，是指降水的可能性是90故選：D.【變式4-3】（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．一個(gè)人打靶，打了10發(fā)子彈，有7發(fā)子彈中靶，因此這個(gè)人中靶的概率是7B．一個(gè)同學(xué)做擲硬幣試驗(yàn)，擲了6次，一定有3次正面向上C．某地發(fā)行彩票，其回報(bào)率為47%，有人花了100元錢買彩票，一定會(huì)有47元的回報(bào)D．大量試驗(yàn)后，可以用頻率近似估計(jì)概率【解題思路】利用概率的定義和估計(jì)方法逐個(gè)選項(xiàng)分析求解即可.【解答過程】對(duì)于A，可得中靶的結(jié)果是頻率，不是概率；故錯(cuò)誤，對(duì)于B，C，太過絕對(duì)，故錯(cuò)誤，對(duì)于D，符合概率的估算方法，故正確．故選：D.【題型5生活中的概率】【例5】（23-24高一下·青海海南·期末）某超市舉行購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)定購(gòu)物消費(fèi)每滿188元就送一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，中獎(jiǎng)的概率為15%，則下列說法正確的是（

A．某人抽獎(jiǎng)100次，一定能中獎(jiǎng)15次 B．某人抽獎(jiǎng)200次，至少能中獎(jiǎng)3次C．某人抽獎(jiǎng)1次，一定不能中獎(jiǎng) D．某人抽獎(jiǎng)20次，可能1次也沒中獎(jiǎng)【解題思路】中獎(jiǎng)的概率為15%，只能說有15【解答過程】中獎(jiǎng)的概率為15%，與抽的次數(shù)無關(guān)，只是有15故選：D．【變式5-1】（23-24高一下·新疆喀什·期末）下列說法正確的是（

）A．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定于該隨機(jī)事件發(fā)生的概率B．某種福利彩票的中獎(jiǎng)概率為11000C．連續(xù)100次擲一枚硬幣，結(jié)果出現(xiàn)了49次反面，則擲一枚硬幣出現(xiàn)反面的概率為49D．某市氣象臺(tái)預(yù)報(bào)“明天本市降水概率為70%”，指的是：該市氣象臺(tái)專家中，有70%認(rèn)為明天會(huì)降水，30%認(rèn)為明天不會(huì)降水【解題思路】根據(jù)頻率與概率的定義以及兩者之間的關(guān)系，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【解答過程】對(duì)于A,隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定于該隨機(jī)事件發(fā)生的概率，概率是頻率的穩(wěn)定值，故A正確，對(duì)于B,某種福利彩票的中獎(jiǎng)概率為11000對(duì)于C,連續(xù)100次擲一枚硬幣，結(jié)果出現(xiàn)了49次反面，則在100此拋硬幣的實(shí)驗(yàn)中擲一枚硬幣出現(xiàn)反面的頻率為49100，而擲一枚硬幣出現(xiàn)反面的概率為1對(duì)于D，某市氣象臺(tái)預(yù)報(bào)“明天本市降水概率為70%”，指的明天會(huì)降水的可能性為70%.故D錯(cuò)誤，故選：A.【變式5-2】（24-25高二·全國(guó)·課后作業(yè)）張明與張華兩人做游戲,下列游戲中不公平的是()①拋擲一枚骰子,向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)則張明獲勝,向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)則張華獲勝;②同時(shí)拋擲兩枚硬幣,恰有一枚正面向上則張明獲勝,兩枚都正面向上則張華獲勝;③從一副不含大小王的撲克牌中抽一張,撲克牌是紅色的則張明獲勝,撲克牌是黑色的則張華獲勝;④張明、張華兩人各寫一個(gè)數(shù)字6或8,如果兩人寫的數(shù)字相同張明獲勝,否則張華獲勝.A．①② B．② C．②③④ D．①②③④【解題思路】根據(jù)題意，逐項(xiàng)判斷即可.【解答過程】①拋擲一枚骰子,向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)是等可能的，均為12②中,恰有一枚正面向上包括(正,反),(反,正)兩種情況,而兩枚都正面向上僅為(正,正),因此②中游戲不公平.③從一副不含大小王的撲克牌中抽一張,撲克牌是紅色和黑色是等可能的，均為12④張明、張華兩人各寫一個(gè)數(shù)字6或8,一共四種情況(6,6),(6,8),(8,6),(8,8)，兩人寫的數(shù)字相同和不同是等可能的，均為12故選B.【變式5-3】（2024·河南·二模）三國(guó)時(shí)期，諸葛亮曾經(jīng)利用自身豐富的氣象觀測(cè)經(jīng)驗(yàn)，提前三天準(zhǔn)確地預(yù)報(bào)出一場(chǎng)大霧，并在大霧的掩護(hù)下，演出了一場(chǎng)“草船借箭”的好戲，令世人驚嘆.諸葛亮應(yīng)用的是（

）A．動(dòng)力學(xué)方程的知識(shí) B．概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)C．氣象預(yù)報(bào)模型的知識(shí) D．迷信求助于神靈【解題思路】應(yīng)用豐富的氣象觀測(cè)經(jīng)驗(yàn)，預(yù)報(bào)天氣，屬于經(jīng)驗(yàn)預(yù)報(bào)法，可知諸葛亮應(yīng)用的是概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí).【解答過程】諸葛亮曾經(jīng)利用自身豐富的氣象觀測(cè)經(jīng)驗(yàn)，提前三天準(zhǔn)確地預(yù)報(bào)出一場(chǎng)大霧，屬于氣象業(yè)務(wù)實(shí)踐中的經(jīng)驗(yàn)預(yù)報(bào)法，利用的是概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí).并未應(yīng)用到動(dòng)力學(xué)方程的知識(shí)和氣象預(yù)報(bào)模型的知識(shí).故選：B.【題型6頻率估計(jì)概率在統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用】【例6】（23-24高一上·廣東梅州·開學(xué)考試）兩名同學(xué)在一次用頻率估計(jì)概率的試驗(yàn)中統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制出統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則符合這一結(jié)果的試驗(yàn)是（

）

A．拋一枚硬幣，正面朝上的概率；B．?dāng)S一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點(diǎn)的概率；C．轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)到數(shù)字為奇數(shù)的概率；D．從裝有2個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球的口袋中任取一個(gè)球恰好是藍(lán)球的概率．【解題思路】先根據(jù)頻率和概率的關(guān)系得到概率為P=1【解答過程】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可知，實(shí)驗(yàn)結(jié)果在0.33附近波動(dòng)，即其概率P=1選項(xiàng)A，擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率為12選項(xiàng)B，擲一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點(diǎn)的概率為16選項(xiàng)C，轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)到數(shù)字為奇數(shù)的概率為23選項(xiàng)D，從裝有2個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球的口袋中任取一個(gè)球恰好是藍(lán)球的概率為13故此選項(xiàng)符合題意；故選：D.【變式6-1】（2024·四川綿陽(yáng)·三模）某車間從生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了1000個(gè)零件進(jìn)行一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)的檢測(cè)，整理檢測(cè)結(jié)果得此項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．a(chǎn)=0.005B．估計(jì)這批產(chǎn)品該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)的眾數(shù)為45C．估計(jì)這批產(chǎn)品該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)的中位數(shù)為60D．從這批產(chǎn)品中隨機(jī)選取1個(gè)零件，其質(zhì)量指標(biāo)在50,70的概率約為0.5【解題思路】利用各組的頻率之和為1，求得a的值，判定A；根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的概念判定BC；根據(jù)頻率估計(jì)概率值，從而判定D.【解答過程】a+0.035+0.030+0.020+0.010×10=1，解得a=0.005頻率最大的一組為第二組，中間值為40+502質(zhì)量指標(biāo)大于等于60的有兩組，頻率之和為0.020+0.010×10=0.3<0.5由于質(zhì)量指標(biāo)在[50,70)之間的頻率之和為0.03+0.02×10=0.5，可以近似認(rèn)為從這批產(chǎn)品中隨機(jī)選取1個(gè)零件，其質(zhì)量指標(biāo)在50,70故選：C.【變式6-2】（2024·甘肅隴南·一模）某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品（單位：件）按標(biāo)準(zhǔn)分為A,B,C三個(gè)等級(jí)．加工業(yè)務(wù)約定：對(duì)于A級(jí)品、B級(jí)品、C級(jí)品，廠家每件分別收取加工費(fèi)80元，50元，30元．該廠有甲、乙兩個(gè)分廠可承接加工業(yè)務(wù)，甲分廠加工成本費(fèi)為40元/件，乙分廠加工成本費(fèi)為35元/件．該廠家為決定由哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個(gè)分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等級(jí)，整理如下：甲分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表等級(jí)ABC頻數(shù)453025乙分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表等級(jí)ABC頻數(shù)401050(1)分別估計(jì)甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率；(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)，以平均利潤(rùn)為依據(jù)，該廠家應(yīng)選哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)？【解題思路】（1）用頻率來估算概率，然后求解即可；（2）根據(jù)題意計(jì)算平均利潤(rùn)即可.【解答過程】（1）解：（1）由表可知，甲分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率為45100乙分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率為40100（2）甲分廠加工100件產(chǎn)品的總利潤(rùn)為45×(80?40)+30×(50?40)+25×(30?40)=1850元，所以甲分廠加工100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為18.5元，乙分廠加工100件產(chǎn)品的總利潤(rùn)為40×(80?35)+10×(50?35)+50×(30?35)=1700元，所以乙分廠加工100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為17元．故該廠家應(yīng)選甲分廠承接加工業(yè)務(wù)．【變式6-3】（23-24高一上·福建寧德·期末）某種產(chǎn)品特約經(jīng)銷商根據(jù)以往當(dāng)?shù)氐男枨笄闆r，得出如下該種產(chǎn)品日需求量的頻率分布直方圖．

(1)求圖中a的值，并估計(jì)日需求量的眾數(shù)；(2)某日，經(jīng)銷商購(gòu)進(jìn)130件該種產(chǎn)品，根據(jù)近期市場(chǎng)行情，當(dāng)天每售出1件能獲利30元，未售出的部分，每件虧損20元．設(shè)當(dāng)天需求量為x件（100≤x≤150），純利潤(rùn)為S元．（?。表示為x的函數(shù)；（ⅱ）據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)當(dāng)天純利潤(rùn)S不少于3400元的概率．【解題思路】（1）利用頻率分布直方圖中所有的小長(zhǎng)方形的面積之和為一求出a的值，利用直方圖中最高的小長(zhǎng)方形底邊的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)求出眾數(shù)；（2）（?。┰O(shè)當(dāng)天的需求量為x件，討論x≥130、100≤x<130，寫出函數(shù)分段形式；（ⅱ）由（ⅰ）中所得函數(shù)解出純利潤(rùn)S不少于3400元時(shí)x的范圍，再利用直方圖中頻率估計(jì)相應(yīng)的概率值.【解答過程】（1）由直方圖可知：(0.013+0.017+0.03+a+0.015)×10=1，可得a=0.025.由圖知：頻率最高出現(xiàn)在[120,130)，則眾數(shù)為120+1302（2）（ⅰ）當(dāng)100≤x<130時(shí)，S=30x?20(130?x)=50x?2600,當(dāng)130≤x≤150時(shí)，S=30×130=3900,∴S=50x?2600,100≤x<130（ⅱ）若50x?2600≥3400得：x≥120，又100≤x≤150，所以120≤x≤150.由直方圖知：120≤x≤150對(duì)應(yīng)頻率是(0.030+0.025+0.015)×10=0.7，所以估計(jì)當(dāng)天純利潤(rùn)S不少于3400元的概率是0.7.一、單選題1．（24-25高二上·吉林·階段練習(xí)）若隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為Ω=0,1,2，則下列說法不正確的是（A．事件P=1,2是隨機(jī)事件 B．事件Q=C．事件M=?1,?2是不可能事件 D．事件?1,0【解題思路】根據(jù)隨機(jī)事件，必然事件，不可能事件的概念判斷即可.【解答過程】隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為Ω=則事件P=1,2事件Q=0,1,2事件M=?1,?2事件?1,0是不可能事件，故D錯(cuò)誤.故選：D.2．（24-25高二上·四川成都·階段練習(xí)）下列說法一定正確的是（

）A．一名籃球運(yùn)動(dòng)員，號(hào)稱“百發(fā)百中”，若罰球三次，不會(huì)出現(xiàn)三投都不中的情況B．隨機(jī)事件發(fā)生的概率與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān)C．若買彩票中獎(jiǎng)的概率為萬分之一，則買一萬元的彩票一定會(huì)中獎(jiǎng)一元D．一個(gè)骰子擲一次得到2的概率是16【解題思路】根據(jù)頻率與概率的關(guān)系得到ACD錯(cuò)誤，B正確.【解答過程】A選項(xiàng)，一名籃球運(yùn)動(dòng)員，號(hào)稱“百發(fā)百中”，若罰球三次，也可能出現(xiàn)三投都不中的情況，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，隨機(jī)事件發(fā)生的概率是一個(gè)固定的值，與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān)，B正確；C選項(xiàng)，若買彩票中獎(jiǎng)的概率為萬分之一，則買一萬元的彩票不一定會(huì)中獎(jiǎng)一元，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，一個(gè)骰子擲一次得到2的概率是16故選：B.3．（23-24高二上·四川巴中·期末）如圖，由A，B兩盞正常的小燈泡組成并聯(lián)電路，當(dāng)閉合開關(guān)時(shí)，下列事件為必然事件的是（

）A．A燈亮，B燈不亮 B．A燈不亮，B燈亮C．A，B兩盞燈均亮 D．A，B兩盞燈均不亮【解題思路】根據(jù)并聯(lián)電路的特點(diǎn)及必然事件的概念判斷即可.【解答過程】由A，B兩盞正常的小燈泡組成并聯(lián)電路，當(dāng)閉合開關(guān)時(shí)，可知A，B兩盞燈均亮.故選：C.4．（24-25高三上·重慶·開學(xué)考試）某池塘中飼養(yǎng)了A?B兩種不同品種的觀賞魚，假設(shè)魚群在池塘里是均勻分布的.在池塘的東?南?西三個(gè)采樣點(diǎn)捕撈得到如下數(shù)據(jù)（單位：尾），若在采樣點(diǎn)北捕撈到20尾魚，則品種A約有（

）采樣點(diǎn)品種A品種B東209南73西178A．6尾 B．10尾 C．13尾 D．17尾【解題思路】根據(jù)魚群在池塘里是均勻分布的，利用頻率求解.【解答過程】解：因?yàn)轸~群在池塘里是均勻分布的，所以品種A約所占比為：20+7+1720+7+17+9+3+8所以在采樣點(diǎn)北捕撈到20尾魚，則品種A約有1116故選：C.5．（2024·浙江溫州·三模）設(shè)A,B為同一試驗(yàn)中的兩個(gè)隨機(jī)事件，則“PA+PB=1”是“事件A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)對(duì)立事件概率的性質(zhì)可以說明條件是必要的，容易給出反例說明條件不是充分的.【解答過程】若A,B互為對(duì)立事件，根據(jù)對(duì)立事件概率公式可直接得到PA若試驗(yàn)基本事件含3種及以上，其中A,B表示概率為12則A,B不互為對(duì)立事件，此時(shí)PA故選：B.6．（2024·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）從1，2，3，4，5中任取2個(gè)數(shù)，設(shè)事件A=“2個(gè)數(shù)都為偶數(shù)”，B=“2個(gè)數(shù)都為奇數(shù)”，C=“至少1個(gè)數(shù)為奇數(shù)”，D=“至多1個(gè)數(shù)為奇數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（

）A．A與B是互斥事件 B．A與C是互斥但不對(duì)立事件C．B與D是互斥但不對(duì)立事件 D．C與D是對(duì)立事件【解題思路】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義判斷.【解答過程】根據(jù)題意ΩA=C=1,2D=則A∩B=?，所以A與B是互斥事件，A正確；A∩C=?,A∪C=Ω，所以A與CB∩D=?,B∪D=Ω，所以B與DC∩D=1,2,1,4,3,2故選：A.7．（23-24高二上·湖北荊州·期末）天氣預(yù)報(bào)說，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為0.6．我們通過設(shè)計(jì)模擬實(shí)驗(yàn)的方法求概率，利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1~5之間的隨機(jī)數(shù)：425123423344144435525332152342534443512541135432334151312354若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，則這三天中至少有兩天下雨的概率近似為（

）A．920 B．12 C．1120【解題思路】由樣本數(shù)據(jù)，利用頻率近似估計(jì)概率.【解答過程】設(shè)事件A=“三天中至少有兩天下雨”，20個(gè)隨機(jī)數(shù)中，至少有兩天下雨有123,435,525,332,152,534,512,541,135,334,151,312,354，即事件A發(fā)生了13次，用頻率估計(jì)事件A的概率近似為1320故選：D．8．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）某教育機(jī)構(gòu)為調(diào)查中小學(xué)生每日完成作業(yè)的時(shí)間，收集了某位學(xué)生100天每天完成作業(yè)的時(shí)間，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（每個(gè)區(qū)間均為左閉右開），根據(jù)此直方圖得出了下列結(jié)論，其中正確的是（

）

A．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)的時(shí)間在2小時(shí)至2.5小時(shí)的有50天B．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間超過3小時(shí)的概率為0.3C．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)為2.625小時(shí)D．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間的眾數(shù)為2.3小時(shí)【解題思路】利用頻率分別直方圖、頻數(shù)、頻率、中位數(shù)、眾數(shù)直接求解.【解答過程】對(duì)于A，該學(xué)生每日完成作業(yè)的時(shí)間在2小時(shí)至2.5小時(shí)的天數(shù)為：0.5×0.5×100=25天，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間超過3小時(shí)的概率為(0.3+0.2+0.1+0.1)×0.5=0.35，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，1,2.5的頻率為(0.1+0.3+0.5)×0.5=0.45，1,3的頻率為0.45+0.4×0.5=0.65，則該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)為2.5+0.5?0.45對(duì)于D，估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間的眾數(shù)為2+2.52故選：C.二、多選題9．（23-24高一下·內(nèi)蒙古通遼·期末）下列事件中，是必然事件的是（

）A．明天北京市不下雨B．在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在4℃時(shí)結(jié)冰C．早晨太陽(yáng)從東方升起D．x∈R，則x的值不小于0【解題思路】運(yùn)用必然事件的概念判斷即可.【解答過程】A為隨機(jī)事件，B為不可能事件，C，D為必然事件．故選:CD.10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某校高三年級(jí)有（1），（2），（3）三個(gè)班，一次期末考試，統(tǒng)計(jì)得到每班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率（數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上的學(xué)生人數(shù)與該班學(xué)生總?cè)藬?shù)之比）如表所示：班級(jí)（1）（2）（3）優(yōu)秀率80%85%75%則下列說法一定正確的是（

）A．（2）班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率最高B．（3）班的學(xué)生人數(shù)不一定最少C．該年級(jí)全體學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率為80%D．若把（1）班和（2）班的數(shù)學(xué)成績(jī)放在一起統(tǒng)計(jì)，得到優(yōu)秀率為83%，則（1）班人數(shù)多于（2）班人數(shù)【解題思路】由題目表格中的數(shù)據(jù)，逐一判斷選項(xiàng)，可得答案.【解答過程】選項(xiàng)A：顯然（2）班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率最高，故A正確；選項(xiàng)B：只根據(jù)優(yōu)秀率的大小，無法比較每個(gè)班人數(shù)的多少，故B正確；選項(xiàng)C：該年級(jí)全體學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率為全年級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)與全年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)之比，由于各班的學(xué)生人數(shù)不知道，所以不能計(jì)算該年級(jí)全體學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：設(shè)（1）班、（2）班數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)分別為x，y，（1）班、（2）班人數(shù)分別為a，b，則xa=80%，yb=85即x+ya+b=83%，即80%a+85%b故選:AB.11．（2024·河北滄州·一模）某學(xué)校為了豐富同學(xué)們的課外活動(dòng)，為同學(xué)們舉辦了四種科普活動(dòng)：科技展覽、科普講座、科技游藝、科技繪畫．記事件A：只參加科技游藝活動(dòng)；事件B：至少參加兩種科普活動(dòng)；事件C：只參加一種科普活動(dòng)；事件D：一種科普活動(dòng)都不參加；事件E：至多參加一種科普活動(dòng)，則下列說法正確的是（

）A．A與D是互斥事件 B．B與E是對(duì)立事件C．E=C∪D D．A=C∩E【解題思路】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的概念判斷AB的真假，根據(jù)事件的交、并的概念判斷CD的真假.【解答過程】對(duì)A：互斥事件表示兩事件的交集為空集.事件A：只參加科技游藝活動(dòng)，與事件D：一種科普活動(dòng)都不參加，二者不可能同時(shí)發(fā)生，交集為空集，故A正確；對(duì)B：對(duì)立事件表示兩事件互斥且必定有一個(gè)發(fā)生.事件B和事件E滿足兩個(gè)特點(diǎn)，故B正確；對(duì)C：C∪D表示：至多參加一種科普活動(dòng)，即為事件E，故C正確；對(duì)D：C∩E表示：只參加一種科普活動(dòng)，但不一定是科技游藝活動(dòng)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題12．（23-24高一下·山西太原·期末）投擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，用ai表示“第i枚硬幣正面朝上”，bi表示“第i枚硬幣反面朝上”i=1,2，則該試驗(yàn)的樣本空間Ω=【解題思路】按照a1表示“第1枚硬幣正面朝上”，a2表示“第2枚硬幣正面朝上”，b1表示“第1枚硬幣反面朝上”，b【解答過程】事件空間：a1故答案為：a113．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)A,B是隨機(jī)事件，且PA=38,PB【解題思路】求出PB【解答過程】因?yàn)镻B=3故PA∩故答案為：1814．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）為研究吸煙是否與患肺癌有關(guān)，某腫瘤研究所采取有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法調(diào)查了10000人，已知非吸煙者占比75%，吸煙者中患肺癌的有63人，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，吸煙者患肺癌的概率是未吸煙者患肺癌的概率的4.2倍，則估計(jì)本次研究調(diào)查中非吸煙者患肺癌的人數(shù)是45【解題思路】設(shè)非吸煙者患肺癌的概率為x，根據(jù)題意列出方程，求出x，即可得到答案【解答過程】本次研究調(diào)查中，非吸煙者有7500人，吸煙者樣本量有2500人，設(shè)非吸煙者患肺癌的人數(shù)是x人，則632500=4.2×x因此，本次研究調(diào)查中非吸煙者患肺癌的人數(shù)為45人．故答案為：45.四、解答題15．（23-24高二·上海·課堂例題）判斷下面哪些是隨機(jī)現(xiàn)象，哪些是確定性現(xiàn)象，并列舉幾個(gè)生活中的確定性現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象的例子．（1）明天太陽(yáng)升起；（2）明天上海局部地區(qū)下雨；（3）明年小明又大一歲；（4）小明今天放學(xué)回家到路口時(shí)恰好碰到綠燈．【解題思路】利用隨機(jī)現(xiàn)象、確定性現(xiàn)象的意義直接判斷即可.【解答過程】（1）明天太陽(yáng)升起是確定性現(xiàn)象；（2）明天上海局部地區(qū)下雨是隨機(jī)現(xiàn)象；（3）明年小明又大一歲是確定性現(xiàn)象.（4）小明今天放學(xué)回家到路口時(shí)恰好碰到綠燈是隨機(jī)現(xiàn)象.如：導(dǎo)體通電時(shí)發(fā)熱、拋一塊石頭下落都是確定性現(xiàn)象；擲一枚硬幣出現(xiàn)正面、某人射擊一次中靶、一個(gè)電影院某天的上座率超過50%都是隨機(jī)現(xiàn)象.16．（24-25高二上·上海·隨堂練習(xí)）擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，事件A：“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件B：“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，事件C：“點(diǎn)數(shù)小于3”，事件D：“點(diǎn)數(shù)大于2”，事件E：“點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)”.求：(1)A∩B，B∩C；(2)A∪B，B∪C；(3)D，A∩C，B∪C，【解題思路】（1）根據(jù)交事件（積事件）的概念求解即可；（2）根據(jù)并事件（和事件）的概念求解即可；（3）根據(jù)對(duì)立事件與交事件、并事件運(yùn)算求解即可.【解答過程】（1）擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，樣本空間為Ω={1,2,3,4,5,6}事件包含的樣本點(diǎn)為A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2},D={3,