遼寧省沈陽(yáng)市第一七零中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

遼寧省沈陽(yáng)市第一七零中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，下列說(shuō)法正確的是（）A.是奇函數(shù) B.的周期是C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱2．已知函數(shù)的值域?yàn)?，那么?shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.[-1，2）C.（0，2） D.3．已知，若，則（）A.或 B.3或5C.或5 D.34．若，則是（）A.第一象限或第三象限角 B.第二象限或第四象限角C.第三象限或第四象限角 D.第二象限或第三象限角5．設(shè)集合，則=A. B.C. D.6．下列函數(shù)是偶函數(shù)的是A. B.C. D.7．點(diǎn)M(1,4)關(guān)于直線l:x-y+1=0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A.(4,1) B.(3,2)C.(2,3) D.(-1,6)8．已知函數(shù)，則（）A.5 B.C. D.9．已知冪函數(shù)y＝f(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，)，則f(x)（）A.是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)B.是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)C.是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)D.是非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)10．函數(shù)，對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程的解集不可能是A B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______12．已知圓，則過(guò)點(diǎn)且與圓C相切的直線方程為_____13．設(shè)b＞0，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋a2－1的圖象為下列之一，則a的值為______________14．圓的圓心到直線的距離為______.15．某班有39名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外研究小組，每名同學(xué)至多參加兩個(gè)小組.已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為26，15，13，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和物理小組的有6人，同時(shí)參加物理和化學(xué)小組的有4人，則同時(shí)參見數(shù)學(xué)和化學(xué)小組有多少人__________.16．據(jù)資料統(tǒng)計(jì)，通過(guò)環(huán)境整治.某湖泊污染區(qū)域的面積與時(shí)間t（年）之間存在近似的指數(shù)函數(shù)關(guān)系，若近兩年污染區(qū)域的面積由降至．則使污染區(qū)域的面積繼續(xù)降至還需要_______年三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式和單調(diào)增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的解、，求的值及實(shí)數(shù)的取值范圍.18．某紀(jì)念章從某年某月某日起開始上市，通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，得到該紀(jì)念章每枚的市場(chǎng)價(jià)（單位：元）與上市時(shí)間（單位：天）的數(shù)據(jù)如下：上市時(shí)間天市場(chǎng)價(jià)元（1）根據(jù)上表數(shù)計(jì)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述該紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)與上市時(shí)間的變化關(guān)系并說(shuō)明理由：①；②；③；④；（2）利用你選取的函數(shù)，求該紀(jì)念章市場(chǎng)價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)及最低的價(jià)格.19．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）確定函數(shù)的解析式，判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）若存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.20．若向量的最大值為(1)求的值及圖像的對(duì)稱中心；(2)若不等式在上恒成立，求的取值范圍21．如圖1，直角梯形ABCD中，，，．如圖2，將圖1中沿AC折起，使得點(diǎn)D在平面ABC上的正投影G在內(nèi)部．點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．連接DB，DE，三棱錐D－ABC的體積為．對(duì)于圖2的幾何體（1）求證：；

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】利用三角函數(shù)圖象變換可得函數(shù)的解析式，然后利用余弦型函數(shù)的基本性質(zhì)逐項(xiàng)判斷可得出正確選項(xiàng).【詳解】由題意可得，對(duì)于A，函數(shù)是偶函數(shù)，A錯(cuò)誤：對(duì)于B，函數(shù)最小周期是，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，則直線不是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，則是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，D正確.故選：D.2、B【解析】先求出函數(shù)的值域，而的值域?yàn)?，進(jìn)而得，由此可求出的取值范圍.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)椋闹涤驗(yàn)?，所以，解得，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查由分段函數(shù)的值域求參數(shù)的取值范圍，分段函數(shù)的值域等于各段上的函數(shù)的值域的并集是解此題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】根據(jù)分段函數(shù)的定義，分與兩種情況討論即可求解.【詳解】解：由題意，當(dāng)時(shí)，，解得或（舍去）；當(dāng)，，解得（舍去）；綜上，.故選：D.4、D【解析】由已知可得即可判斷.【詳解】，即，則且，是第二象限或第三象限角.故選：D.5、C【解析】由補(bǔ)集的概念，得，故選C【考點(diǎn)】集合的補(bǔ)集運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】研究集合的關(guān)系，處理集合的交、并、補(bǔ)的運(yùn)算問(wèn)題，常用韋恩圖、數(shù)軸等幾何工具輔助解題．一般地，對(duì)離散的數(shù)集、抽象的集合間的關(guān)系及運(yùn)算，可借助韋恩圖，而對(duì)連續(xù)的集合間的運(yùn)算及關(guān)系，可借助數(shù)軸的直觀性，進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化6、C【解析】函數(shù)的定義域?yàn)樗院瘮?shù)為奇函數(shù)；函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以該函數(shù)是偶函數(shù)；函數(shù)的對(duì)稱軸方程為x=?1，拋物線不關(guān)于y軸對(duì)稱，所以該函數(shù)不是偶函數(shù).故選C.7、B【解析】設(shè)出關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)和斜率的關(guān)系列方程組，解方程組求得對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，且在直線上，即①.由于直線的斜率為，所以線段的斜率為②.解由①②組成的方程組得，即關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】分段函數(shù)求值，根據(jù)自變量的取值范圍代相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系【詳解】因?yàn)樗怨蔬x：A9、D【解析】利用冪函數(shù)的定義求得指數(shù)的值，得到冪函數(shù)的解析式，進(jìn)而結(jié)合冪函數(shù)的圖象判定單調(diào)性和奇偶性【詳解】設(shè)冪函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式得，解得，∴，函數(shù)的定義域?yàn)?是非奇非偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，故選：D.10、D【解析】由題意得函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為設(shè)方程的解為，則必有，由圖象可得是平行于x軸的直線，它們與函數(shù)的圖象必有交點(diǎn)，由函數(shù)圖象的對(duì)稱性得的兩個(gè)解要關(guān)于直線對(duì)稱，故可得；同理方程的兩個(gè)解也要關(guān)于直線對(duì)稱，同理從而可得若關(guān)于的方程有一個(gè)正根，則方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根；若關(guān)于的方程有兩個(gè)正根，則方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根綜合以上情況可得，關(guān)于的方程的解集不可能是．選D非選擇題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，即可得的單增區(qū)間，即可求解.【詳解】函數(shù)的對(duì)稱軸是，開口向上，若函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)遞增函數(shù)，則，故答案為：12、【解析】先判斷點(diǎn)在圓上，再根據(jù)過(guò)圓上的點(diǎn)的切線方程的方法求出切線方程.【詳解】由，則點(diǎn)在圓上，，所以切線斜率為，因此切線方程，整理得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了過(guò)圓上的點(diǎn)的求圓的切線方程，屬于容易題.13、-1【解析】根據(jù)題中條件可先排除①,②兩個(gè)圖象，然后根據(jù)③，④兩個(gè)圖象都經(jīng)過(guò)原點(diǎn)可求出a的兩個(gè)值，再根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向就可確定a的值.【詳解】∵b＞0∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸不能為y軸，∴可排除掉①,②兩個(gè)圖象∵③，④兩個(gè)圖象都經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，∴a2﹣1＝0，∴a＝±1∵當(dāng)a＝1時(shí)，二次函數(shù)圖象的開口向上，對(duì)稱軸在y軸左方，∴第四個(gè)圖象也不對(duì)，∴a＝﹣1，故答案為：-1【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，做題時(shí)注意題中條件的利用，合理地利用排除法解決選擇題14、1【解析】利用點(diǎn)到直線的距離公式可得所求的距離.【詳解】圓心坐標(biāo)為，它到直線的距離為，故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離，此類問(wèn)題，根據(jù)公式計(jì)算即可，本題屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】設(shè)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的同學(xué)組成的集合分別為，、，根據(jù)容斥原理可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的同學(xué)組成的集合分別為，、，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的人數(shù)為，因?yàn)槊棵瑢W(xué)至多參加兩個(gè)小組，所以同時(shí)參加三個(gè)小組的同學(xué)的人數(shù)為，如圖所示：由圖可知：，解得，所以同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組有人.故答案為：.16、2【解析】根據(jù)已知條件，利用近兩年污染區(qū)域的面積由降至，求出指數(shù)函數(shù)關(guān)系的底數(shù)，再代入求得污染區(qū)域?qū)⒅吝€需要的年數(shù).【詳解】設(shè)相隔為t年的兩個(gè)年份湖泊污染區(qū)域的面積為和，則可設(shè)由題設(shè)知，，，，即，解得，假設(shè)需要x年能將至，即，，，解得所以使污染區(qū)域的面積繼續(xù)降至還需要2年.故答案為：2三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），增區(qū)間為；（2），.【解析】（1）結(jié)合圖象和，求得的值，再根據(jù)，，求得的解析式，然后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；（2）根據(jù)函數(shù)圖象的變換法則寫出的解析式，再結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱性以及圖象，即可得解.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)的最小正周期為，由圖象可知，則，故，又，所以，即，所以，所以，因?yàn)椋裕?，所以，所以，令，則，故的單調(diào)增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】解：將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得的圖象，由，知，由可得，由可得，若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的解、，則點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，故，所以，，作出函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).綜上所述，，實(shí)數(shù)的取值范圍是.18、（1）②；（2）上市天，最低價(jià)元【解析】（1）根據(jù)所給的四個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合表中數(shù)據(jù)所表示的變化特征進(jìn)行選擇即可；（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)代入所選函數(shù)的解析式，用待定系數(shù)法求出解析式，最后利用函數(shù)的單調(diào)性求出紀(jì)念章市場(chǎng)價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)及最低的價(jià)格.【詳解】（1）通過(guò)表中數(shù)據(jù)所知紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)與上市時(shí)間的變化先是遞減而后遞增，而已知所給的函數(shù)中除了②以外，其他函數(shù)要么是單調(diào)遞增，要么是單調(diào)遞減，要么是常值函數(shù)，所以選擇②；（2）由（1）可知選擇的函數(shù)解析式為：.函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入解析式中得：，顯然當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為26.所以該紀(jì)念章時(shí)的上市20天時(shí)市場(chǎng)價(jià)最低，最低的價(jià)格26元.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)模型，考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷，考查了二次函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.19、（1），函數(shù)在上單調(diào)遞減，證明見解析.（2）【解析】（1）根據(jù)，得到函數(shù)解析式，設(shè)，計(jì)算，證明函數(shù)的單調(diào)性.（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得到，設(shè)，求函數(shù)的最小值得到答案.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，，解得，，故.在上單調(diào)遞減，證明如下：設(shè)，則，，，，故，即.故函數(shù)在上單調(diào)遞減.【小問(wèn)2詳解】，即，，，故，即，設(shè)，，，，故，又，故.20、(1)(2)【解析】(1)先利用向量的數(shù)量積公式和倍角公式對(duì)函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用兩倍角公式以及兩角差的正弦公式進(jìn)行整理，然后根據(jù)最大值為解出的值，最后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的對(duì)稱中心；(2)首先通過(guò)的取值范圍來(lái)確定函數(shù)的范圍，再根據(jù)不等式在上恒成立，推斷出，最后計(jì)算得出結(jié)果【詳解】因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以，由得所以的?duì)稱中心為；(2)因?yàn)?，所以即，因?yàn)椴坏仁皆谏虾愠闪?，所以即解得，的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查了向量的相關(guān)性質(zhì)以及三角函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，主要考查了向量的乘法、三角函數(shù)的對(duì)稱性、三角恒等變換、三角函數(shù)的值域等，屬于中檔題．的對(duì)稱中心為21、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)取AC的中點(diǎn)F，連接DF，CE，EF，證明AC⊥平面DEF即可.(2)以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的方法求解線面角.【小問(wèn)1詳解】取AC的中點(diǎn)F，連接DF，CE，EF，則△DAC，△EAC均為等腰直角三角形∴AC⊥DF，AC⊥EF，∵DF∩EF＝F，∴AC⊥平面DEF，又DE?平面DEF，∴DE⊥AC【小問(wèn)2詳解】連接GA，GC，∵DG⊥平面ABC，而GA?平面ABC，GC?平面ABC，∴DG⊥GA，DG⊥GC，又DA＝DC，∴GA＝GC，∴G在AC的垂直平分線上