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2025屆湖南省衡陽(yáng)市衡陽(yáng)縣數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.觀察下列各式:,,,,,,,,根據(jù)以上規(guī)律,則()A. B. C. D.2.已知全集,集合,,則()A. B. C. D.3.某空間幾何體的三視圖如圖所示(圖中小正方形的邊長(zhǎng)為1),則這個(gè)幾何體的體積是()A. B. C.16 D.324.設(shè),且,則()A. B. C. D.5.已知當(dāng),,時(shí),,則以下判斷正確的是A. B.C. D.與的大小關(guān)系不確定6.對(duì)于任意,函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),函數(shù).若,則大小關(guān)系是()A. B. C. D.7.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,,()A. B. C. D.8.已知集合,,若,則()A.4 B.-4 C.8 D.-89.寧波古圣王陽(yáng)明的《傳習(xí)錄》專(zhuān)門(mén)講過(guò)易經(jīng)八卦圖,下圖是易經(jīng)八卦圖(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦),每一卦由三根線組成(“—”表示一根陽(yáng)線,“——”表示一根陰線).從八卦中任取兩卦,這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率為()A. B. C. D.10.橢圓是日常生活中常見(jiàn)的圖形,在圓柱形的玻璃杯中盛半杯水,將杯體傾斜一個(gè)角度,水面的邊界即是橢圓.現(xiàn)有一高度為12厘米,底面半徑為3厘米的圓柱形玻璃杯,且杯中所盛水的體積恰為該玻璃杯容積的一半(玻璃厚度忽略不計(jì)),在玻璃杯傾斜的過(guò)程中(杯中的水不能溢出),杯中水面邊界所形成的橢圓的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.11.如圖1,《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“折竹抵地”問(wèn)題:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,問(wèn)折者高幾何?意思是:有一根竹子,原高一丈(1丈=10尺),現(xiàn)被風(fēng)折斷,尖端落在地上,竹尖與竹根的距離三尺,問(wèn)折斷處離地面的高為()尺.A. B. C. D.12.()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,,是的角平分線,設(shè),則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.14.如圖,機(jī)器人亮亮沿著單位網(wǎng)格,從地移動(dòng)到地,每次只移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度,則亮亮從移動(dòng)到最近的走法共有____種.15.已知,,則與的夾角為.16.已知集合,其中,.且,則集合中所有元素的和為_(kāi)________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在中,角的對(duì)邊分別為,且.(1)求角的大?。唬?)已知外接圓半徑,求的周長(zhǎng).18.(12分)如圖,三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,且,,,,是棱的中點(diǎn).(1)證明:;(2)求二面角的余弦值.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,為直線上動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作拋物線:的兩條切線,,切點(diǎn)分別為,,為的中點(diǎn).(1)證明:軸;(2)直線是否恒過(guò)定點(diǎn)?若是,求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.20.(12分)某職稱(chēng)晉級(jí)評(píng)定機(jī)構(gòu)對(duì)參加某次專(zhuān)業(yè)技術(shù)考試的100人的成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),繪制了頻率分布直方圖(如圖所示),規(guī)定80分及以上者晉級(jí)成功,否則晉級(jí)失敗.晉級(jí)成功晉級(jí)失敗合計(jì)男16女50合計(jì)(1)求圖中的值;(2)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表,并判斷能否有的把握認(rèn)為“晉級(jí)成功”與性別有關(guān)?(3)將頻率視為概率,從本次考試的所有人員中,隨機(jī)抽取4人進(jìn)行約談,記這4人中晉級(jí)失敗的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.(參考公式:,其中)0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.02421.(12分)如圖,已知三棱柱中,與是全等的等邊三角形.(1)求證:;(2)若,求二面角的余弦值.22.(10分)已知矩形紙片中,,將矩形紙片的右下角沿線段折疊,使矩形的頂點(diǎn)B落在矩形的邊上,記該點(diǎn)為E,且折痕的兩端點(diǎn)M,N分別在邊上.設(shè),的面積為S.(1)將l表示成θ的函數(shù),并確定θ的取值范圍;(2)求l的最小值及此時(shí)的值;(3)問(wèn)當(dāng)θ為何值時(shí),的面積S取得最小值?并求出這個(gè)最小值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
每個(gè)式子的值依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列,然后歸納出數(shù)列的遞推關(guān)系后再計(jì)算.【詳解】以及數(shù)列的應(yīng)用根據(jù)題設(shè)條件,設(shè)數(shù)字,,,,,,,構(gòu)成一個(gè)數(shù)列,可得數(shù)列滿足,則,,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查歸納推理,解題關(guān)鍵是通過(guò)數(shù)列的項(xiàng)歸納出遞推關(guān)系,從而可確定數(shù)列的一些項(xiàng).2、B【解析】
直接利用集合的基本運(yùn)算求解即可.【詳解】解:全集,集合,,則,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查集合的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】幾何體為一個(gè)三棱錐,高為4,底面為一個(gè)等腰直角三角形,直角邊長(zhǎng)為4,所以體積是,選A.4、C【解析】
將等式變形后,利用二次根式的性質(zhì)判斷出,即可求出的范圍.【詳解】即故選:C【點(diǎn)睛】此題考查解三角函數(shù)方程,恒等變化后根據(jù)的關(guān)系即可求解,屬于簡(jiǎn)單題目.5、C【解析】
由函數(shù)的增減性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用得:設(shè),求得可得為增函數(shù),又,,時(shí),根據(jù)條件得,即可得結(jié)果.【詳解】解:設(shè),則,即為增函數(shù),又,,,,即,所以,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的增減性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,屬中檔題.6、A【解析】
由已知可得的單調(diào)性,再由可得對(duì)稱(chēng)性,可求出在單調(diào)性,即可求出結(jié)論.【詳解】對(duì)于任意,函數(shù)滿足,因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),當(dāng)時(shí),是單調(diào)增函數(shù),所以在定義域上是單調(diào)增函數(shù).因?yàn)?,所以?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較函數(shù)值的大小,解題的關(guān)鍵要掌握函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的代數(shù)形式,屬于中檔題..7、B【解析】
利用正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱(chēng)性可得出,進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱(chēng)性求概率,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】
根據(jù)交集的定義,,可知,代入計(jì)算即可求出.【詳解】由,可知,又因?yàn)?,所以時(shí),,解得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查交集的概念,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
根據(jù)古典概型的概率求法,先得到從八卦中任取兩卦基本事件的總數(shù),再找出這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本事件數(shù),代入公式求解.【詳解】從八卦中任取兩卦基本事件的總數(shù)種,這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本事件數(shù)有6種,分別是(巽,坤),(兌,坤),(離,坤),(震,艮),(震,坎),(坎,艮),所以這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率是.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
根據(jù)題意可知當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時(shí),水面邊界所形成橢圓的離心率最大,由橢圓的幾何性質(zhì)即可確定此時(shí)橢圓的離心率,進(jìn)而確定離心率的取值范圍.【詳解】當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時(shí),水面邊界所形成橢圓的離心率最大.此時(shí)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,短軸長(zhǎng)為6,所以橢圓離心率,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義及其性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】如圖,已知,,
∴,解得
,∴,解得
.∴折斷后的竹干高為4.55尺故選B.12、B【解析】
利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.【詳解】.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
設(shè),,,由,用面積公式表示面積可得到,利用,即得解.【詳解】設(shè),,,由得:,化簡(jiǎn)得,由于,故.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了解三角形綜合,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸,綜合分析,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于中檔題.14、【解析】
分三步來(lái)考查,先從到,再?gòu)牡剑詈髲牡?,分別計(jì)算出三個(gè)步驟中對(duì)應(yīng)的走法種數(shù),然后利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得出結(jié)果.【詳解】分三步來(lái)考查:①?gòu)牡?,則亮亮要移動(dòng)兩步,一步是向右移動(dòng)一個(gè)單位,一步是向上移動(dòng)一個(gè)單位,此時(shí)有種走法;②從到,則亮亮要移動(dòng)六步,其中三步是向右移動(dòng)一個(gè)單位,三步是向上移動(dòng)一個(gè)單位,此時(shí)有種走法;③從到,由①可知有種走法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知,共有種不同的走法.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查格點(diǎn)問(wèn)題的處理,考查分步乘法計(jì)數(shù)原理和組合計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,屬于中等題.15、【解析】
根據(jù)已知條件,去括號(hào)得:,16、2889【解析】
先計(jì)算集合中最小的數(shù)為,最大的數(shù),可得,求和即得解.【詳解】當(dāng)時(shí),集合中最小數(shù);當(dāng)時(shí),得到集合中最大的數(shù);故答案為:2889【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列與集合綜合,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)3+3【解析】
(1)利用余弦的二倍角公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn)整理并結(jié)合范圍0<A<π,可求A的值.(2)由正弦定理可求a,利用余弦定理可得c值,即可求周長(zhǎng).【詳解】(1),即又(2),∵,∴由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA,∴,∵c>0,所以得c=2,∴周長(zhǎng)a+b+c=3+3.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,正弦定理,余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.18、(1)詳見(jiàn)解析;(2).【解析】
(1)根據(jù)平面,四邊形是矩形,由為中點(diǎn),且,利用平面幾何知識(shí),可得,又平面,所以,根據(jù)線面垂直的判定定理可有平面,從而得證.(2)分別以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,得到,,,,分別求得平和平面的法向量,代入二面角向量公式求解.【詳解】(1)證明:∵平面,∴四邊形是矩形,∵為中點(diǎn),且,∴,∵,,,∴.∴,∵,∴與相似,∴,∴,∴,∵,∴平面,∴平面,∵平面,∴,∴平面,∴.(2)如圖,分別以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,設(shè)平面的法向量為,則,,解得:,同理,平面的法向量,設(shè)二面角的大小為,則.即二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查線線垂直、線面垂直的轉(zhuǎn)化以及二面角的求法,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和推理論證、運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.19、(1)見(jiàn)解析(2)直線過(guò)定點(diǎn).【解析】
(1)設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)求得切線的方程,設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)并代入切線的方程,同理將點(diǎn)坐標(biāo)代入切線的方程,利用韋達(dá)定理求得線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo),由此判斷出軸.(2)求得點(diǎn)的縱坐標(biāo),由此求得點(diǎn)坐標(biāo),求得直線的斜率,由此求得直線的方程,化簡(jiǎn)后可得直線過(guò)定點(diǎn).【詳解】(1)設(shè)切點(diǎn),,,∴切線的斜率為,切線:,設(shè),則有,化簡(jiǎn)得,同理可的.∴,是方程的兩根,∴,,,∴軸.(2)∵,∴.∵,∴直線:,即,∴直線過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系,考查直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.20、(1);(2)列聯(lián)表見(jiàn)解析,有超過(guò)的把握認(rèn)為“晉級(jí)成功”與性別有關(guān);(3)分布列見(jiàn)解析,=3【解析】
(1)由頻率和為1,列出方程求的值;(2)由頻率分布直方圖求出晉級(jí)成功的頻率,計(jì)算晉級(jí)成功的人數(shù),填寫(xiě)列聯(lián)表,計(jì)算觀測(cè)值,對(duì)照臨界值得出結(jié)論;(3)由頻率分布直方圖知晉級(jí)失敗的頻率,將頻率視為概率,知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值,寫(xiě)出分布列,計(jì)算數(shù)學(xué)期望.【詳解】解:(1)由頻率分布直方圖各小長(zhǎng)方形面積總和為1,可知,解得;(2)由頻率分布直方圖知,晉級(jí)成功的頻率為,所以晉級(jí)成功的人數(shù)為(人),填表如下:晉級(jí)成功晉級(jí)失敗合計(jì)男163450女94150合計(jì)2575100假設(shè)“晉級(jí)成功”與性別無(wú)關(guān),根據(jù)上表數(shù)據(jù)代入公式可得,所以有超過(guò)的把握認(rèn)為“晉級(jí)成功”與性別有關(guān);(3)由頻率分布直方圖知晉級(jí)失敗的頻率為,將頻率視為概率,則從本次考試的所有人員中,隨機(jī)抽取1人進(jìn)行約談,這人晉級(jí)失敗的概率為0.75,所以可視為服從二項(xiàng)分布,即,,故,,,,.所以的分布列為:01234數(shù)學(xué)期望為.或().【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖和離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用問(wèn)題,屬于中檔題.若離散型隨機(jī)變量,則.21、(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】
(1)取BC的中點(diǎn)O,則,由是等邊三角形,得,從而得到平面,由此能證明(2)以,,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求得二面角的余弦值,得到結(jié)果.【詳解】(1)取BC的中點(diǎn)O,連接,,由于與是等邊三角形,所以有,,且,所以平面,平面,所以.(2)設(shè),是全等的等邊三角形,所以,又,由余弦定理可得,在中,有,所以以,,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,令,則,又平面的一個(gè)法向量為,所以二面角的余弦值為,即二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用線面垂直證明線性垂直,利用向量法求二面角的余弦值,屬于中檔題目.22、(1)(2),的最小值為.(3)時(shí),面積取最小值為【解析】
(1),利用三角函數(shù)定義分別表示,且,即可得到關(guān)于的解析式;,,則,即可得到的范圍;(2)由
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