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2025屆湖南省長沙市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末檢測模擬試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖,在三棱柱中,E,F(xiàn)分別是BC,中點(diǎn),,則()A.B.C.D.2.已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5,雙曲線的左頂點(diǎn)為A,若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行,則實(shí)數(shù)n的值是()A. B.C. D.3.已知直線的一個方向向量,平面的一個法向量,若,則()A.1 B.C.3 D.4.若方程表示圓,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A B.C. D.5.傾斜角為45°,在y軸上的截距為2022的直線方程是()A. B.C. D.6.已知橢圓與直線交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)為線段的中點(diǎn),則a的值為()A. B.3C. D.7.過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程是()A. B.C. D.8.如圖,某圓錐軸截面是等邊三角形,點(diǎn)是底面圓周上的一點(diǎn),且,點(diǎn)是的中點(diǎn),則異面直線與所成角的余弦值是()A. B.C. D.9.下列命題中,結(jié)論為真命題的組合是()①“”是“直線與直線相互垂直”的充分而不必要條件②若命題“”為假命題,則命題一定是假命題③是的必要不充分條件④雙曲線被點(diǎn)平分的弦所在的直線方程為⑤已知過點(diǎn)的直線與圓的交點(diǎn)個數(shù)有2個.A.①③④ B.②③④C.①③⑤ D.①②⑤10.在等差數(shù)列中,若,則()A.6 B.9C.11 D.2411.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見次日行里數(shù),請公仔細(xì)算相還.”其意思為:有一個人走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達(dá)目的地,請問第二天走了()A.192
里 B.96
里C.48
里 D.24
里12.展開式的第項(xiàng)為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.中國三大名樓之一的黃鶴樓因其獨(dú)特的建筑結(jié)構(gòu)而聞名,其外觀有五層而實(shí)際上內(nèi)部有九層,隱喻“九五至尊”之意,為迎接2022年春節(jié)的到來,有網(wǎng)友建議在黃鶴樓內(nèi)部掛燈籠進(jìn)行裝飾,若在黃鶴樓內(nèi)部九層塔樓共掛1533盞燈籠,且相鄰的兩層中,下一層的燈籠數(shù)是上一層燈籠數(shù)的兩倍,則內(nèi)部塔樓的頂層應(yīng)掛______盞燈籠14.過圓上一點(diǎn)的圓的切線的一般式方程為________15.如圖,將一個正方體沿相鄰三個面的對角線截出一個棱錐,若該棱錐的體積為,則該正方體的邊長為___________.16.已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在三棱錐中,,點(diǎn)P為線段MC上的點(diǎn)(1)若平面PAB,試確定點(diǎn)P的位置,并說明理由;(2)若,,,求三棱錐的體積18.(12分)已知三棱柱中,面底面,,底面是邊長為的等邊三角形,,、分別在棱、上,且.(1)求證:底面;(2)在棱上找一點(diǎn),使得和面所成角的余弦值為,并說明理由.19.(12分)已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項(xiàng)和20.(12分)在中,(1)求的大?。唬?)若,.求的面積21.(12分)圓錐曲線的方程是.(1)若表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓,求的取值范圍;(2)若表示焦點(diǎn)在軸上且焦距為的雙曲線,求的值.22.(10分)已知函數(shù)(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)有兩個不相等的零點(diǎn),證明:
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】,故選:D2、C【解析】首先根據(jù)拋物線焦半徑公式得到,從而得到,再根據(jù)曲線的一條漸近線與直線AM平行,斜率相等求解即可.【詳解】由題知:,解得,拋物線.雙曲線的左頂點(diǎn)為,,因?yàn)殡p曲線的一條漸近線與直線平行,所以,解得.故選:C3、D【解析】由向量平行充要條件代入解之即可解決.【詳解】由,可知,則有,解之得故選:D4、D【解析】根據(jù),解不等式即可求解.【詳解】由方程表示圓,則,解得.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故選:D5、A【解析】根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系,結(jié)合直線斜截式方程進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為45°,所以該直線的斜率為,又因?yàn)樵撝本€在y軸上的截距為2022,所以該直線的方程為:,故選:A6、A【解析】先聯(lián)立直線和橢圓的方程,結(jié)合中點(diǎn)公式及點(diǎn)可求a的值.【詳解】設(shè),聯(lián)立,得,,因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn),所以,即,解得,因?yàn)椋?故選:A.7、C【解析】根據(jù)兩直線垂直時斜率乘積為,可以直接求出所求直線的斜率,再根據(jù)點(diǎn)斜式求出直線方程,最后化成一般式方程即可.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為,故所求直線的斜率等于,所求直線的方程為,即,故選:C8、C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系,分別得到,然后根據(jù)空間向量夾角公式計(jì)算即可.【詳解】以過點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸,直線,分別為軸,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè),則根據(jù)題意可得,,,,所以,,設(shè)異面直線與所成角為,則.故選:C.9、C【解析】求出兩直線垂直時m值判斷①;由復(fù)合命題真值表可判斷②;化簡不等式結(jié)合充分條件、必要條件定義判斷③;聯(lián)立直線與雙曲線的方程組成的方程組驗(yàn)證判斷④;判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷⑤作答.【詳解】若直線與直線相互垂直,則,解得或,則“”是“直線與直線相互垂直”的充分而不必要條件,①正確;命題“”為假命題,則與至少一個是假命題,不能推出一定是假命題,②不正確;,,則是的必要不充分條件,③正確;由消去y并整理得:,,即直線與雙曲線沒有公共點(diǎn),④不正確;點(diǎn)在圓上,則直線與圓至少有一個公共點(diǎn),而過點(diǎn)與圓相切的直線為,直線不包含,因此,直線與圓相交,有兩個交點(diǎn),⑤正確,所以所有真命題的序號是①③⑤.故選:C10、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本量運(yùn)算求解【詳解】設(shè)的公差為d,因?yàn)?,所以,又,所以故選:B11、B【解析】由題可得此人每天走的步數(shù)等比數(shù)列,根據(jù)求和公式求出首項(xiàng)可得.【詳解】由題意可知此人每天走的步數(shù)構(gòu)成為公比的等比數(shù)列,由題意和等比數(shù)列的求和公式可得,解得,第此人第二天走里.故選:B12、B【解析】由展開式的通項(xiàng)公式求解即可【詳解】因?yàn)?,所以展開式的第項(xiàng)為,故選:B二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】根據(jù)給定條件,各層燈籠數(shù)從上到下排成一列構(gòu)成等比數(shù)列,利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算作答.【詳解】依題意,各層燈籠數(shù)從上到下排成一列構(gòu)成等比數(shù)列,公比,前9項(xiàng)和為1533,于是得,解得,所以內(nèi)部塔樓的頂層應(yīng)掛3盞燈籠.故答案為:314、【解析】求出過切線的半徑所在直線斜率,由垂直關(guān)系得切線斜率,然后得直線方程,現(xiàn)化為一般式【詳解】圓心為,,所以切線的斜率為,切線方程為,即故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查求過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程,利用切線性質(zhì)求得斜率后易得直線方程15、2【解析】根據(jù)體積公式直接計(jì)算即可.【詳解】設(shè)正方體邊長為,則,解得.故答案為:16、2n+1【解析】由計(jì)算,再計(jì)算可得結(jié)論【詳解】由題意時,,又適合上式,所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查由求通項(xiàng)公式,解題根據(jù)是,但要注意此式不含,三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)點(diǎn)P為MC中點(diǎn),理由見解析(2)【解析】(1)根據(jù)平面PAB,得到線線垂直,再得到點(diǎn)P的位置;(2)根據(jù)平面PAB,將問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算即可.【小問1詳解】∵平面PAB,平面ABP,∴又∵在中,,∴P為MC中點(diǎn).∴若平面PAB,則點(diǎn)P為MC中點(diǎn)【小問2詳解】當(dāng)P為中點(diǎn)時,在中,,,∴,同理可得∴在中,,∵由(1)知平面PAB,∴∴三棱錐的體積為18、(1)證明見解析;(2)為的中點(diǎn),理由見解析.【解析】(1)取的中點(diǎn),連接,利用面面垂直的性質(zhì)定理可得出平面,可得出,再由,結(jié)合線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立;(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn),利用空間向量法可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的方程,求出的值,即可得出結(jié)論.【詳解】(1)取的中點(diǎn),連接,如圖:因?yàn)槿切问堑冗吶切危?,又因?yàn)槊娴酌?,平面平面,面,所以平面,又面,所以,又,,平面;?)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則、、,在上找一點(diǎn),其中,,,,設(shè)面的一個法向量,則,不妨令,則,和面所成角的余弦值為,則,解得或(舍),所以,為的中點(diǎn),符合題意.19、(1);(2).【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組,解出這兩個量的值,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求得,利用裂項(xiàng)相消法可求得.【小問1詳解】解:設(shè)等差數(shù)列公差為,,【小問2詳解】解:,.20、(1)(2)【解析】(1)利用正弦定理將邊化角,再根據(jù)兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式得到,即可得解;(2)首先由余弦定理求出,即可得到,再根據(jù)面積公式計(jì)算可得;【小問1詳解】解:因?yàn)?,由正弦定理可得,即,又在中,,所以,,所以;【小?詳解】解:由余弦定理得,即,解得,所以,又,所以;.21、(1)且(2)【解析】(1)由條件可得,解出即可;(2)由條件可得,解出即可.【小問1詳解】若表示焦點(diǎn)在軸上橢圓,則,解得且【小問2詳解】若表示焦點(diǎn)在軸上且焦距為的雙曲線,則,解得22、(1)單調(diào)遞增區(qū)間是(4,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,4);(2)證明見解析.【解析】(1)求的導(dǎo)函數(shù),結(jié)合定義域及導(dǎo)數(shù)的符號確定單調(diào)區(qū)間;(2)法一:討論、時的零點(diǎn)情況,即可得,構(gòu)造,利用導(dǎo)數(shù)研究在(0,2a)恒成立,結(jié)合單調(diào)性證明不等式;法二:設(shè),由零點(diǎn)可得,進(jìn)而應(yīng)用分析法將結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明,綜合換元法、導(dǎo)數(shù)證明結(jié)論即可.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞),當(dāng)a=2時,,則令得,x>4;令得,0<x<4;所以,單調(diào)遞增區(qū)間是(4,+∞);單調(diào)遞減區(qū)間是(0,4).【小問2詳解】法一:當(dāng)a≤0時,>0在(0,+∞)上恒成立,故函數(shù)不可能有兩個不相等的零點(diǎn),當(dāng)a>0時,函數(shù)在(2a,+∞)上單調(diào)遞增,在(0,2a)上單調(diào)遞減,因?yàn)楹瘮?shù)有兩個不相等的零點(diǎn),則,不妨設(shè),設(shè),(0<x
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