玉林市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題含解析_第1頁
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文檔簡介

玉林市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.一個頻率分布表(樣本容量為)不小心被損壞了一部分,只記得樣本中數(shù)據(jù)在上的頻率為,則估計樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)共有()A. B. C. D.2.函數(shù)在的圖像大致為A. B. C. D.3.函數(shù)在上的大致圖象是()A. B.C. D.4.定義在R上的偶函數(shù)滿足,且在區(qū)間上單調(diào)遞減,已知是銳角三角形的兩個內(nèi)角,則的大小關(guān)系是()A. B.C. D.以上情況均有可能5.設(shè),,是非零向量.若,則()A. B. C. D.6.已知拋物線,過拋物線上兩點(diǎn)分別作拋物線的兩條切線為兩切線的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)若,則直線與的斜率之積為()A. B. C. D.7.已知,,,則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.8.已知.給出下列判斷:①若,且,則;②存在使得的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于軸對稱;③若在上恰有7個零點(diǎn),則的取值范圍為;④若在上單調(diào)遞增,則的取值范圍為.其中,判斷正確的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.49.在正方體中,,分別為,的中點(diǎn),則異面直線,所成角的余弦值為()A. B. C. D.10.集合,,則()A. B. C. D.11.已知圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對稱,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.12.已知點(diǎn)是拋物線:的焦點(diǎn),點(diǎn)為拋物線的對稱軸與其準(zhǔn)線的交點(diǎn),過作拋物線的切線,切點(diǎn)為,若點(diǎn)恰好在以,為焦點(diǎn)的雙曲線上,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,某地一天從時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù),則這段曲線的函數(shù)解析式為______________.14.我國著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》提出了“三斜求積術(shù)”.他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜.三斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方,送到中斜平方,取相減后余數(shù)的一半,自乘而得一個數(shù),小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那個數(shù),相減后余數(shù)被4除,所得的數(shù)作為“實”,1作為“隅”,開平方后即得面積.所謂“實”、“隅”指的是在方程中,p為“隅”,q為“實”.即若的大斜、中斜、小斜分別為a,b,c,則.已知點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn),,,,,則的面積為________.15.在三棱錐中,,,兩兩垂直且,點(diǎn)為的外接球上任意一點(diǎn),則的最大值為______.16.三棱錐中,點(diǎn)是斜邊上一點(diǎn).給出下列四個命題:①若平面,則三棱錐的四個面都是直角三角形;②若,,,平面,則三棱錐的外接球體積為;③若,,,在平面上的射影是內(nèi)心,則三棱錐的體積為2;④若,,,平面,則直線與平面所成的最大角為.其中正確命題的序號是__________.(把你認(rèn)為正確命題的序號都填上)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在三棱錐S-ABC中,∠BAC=∠SBA=∠SCA=90°,∠SAB=45°,∠SAC=60°,D為棱AB的中點(diǎn),SA=2(I)證明:SD⊥BC;(II)求直線SD與平面SBC所成角的正弦值.18.(12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓的離心率為,且過點(diǎn).為橢圓的右焦點(diǎn),為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn),連接分別交橢圓于兩點(diǎn).⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;⑵若,求的值;⑶設(shè)直線,的斜率分別為,,是否存在實數(shù),使得,若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.19.(12分)在中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且.(1)求B;(2)若的面積為,周長為8,求b.20.(12分)某精密儀器生產(chǎn)車間每天生產(chǎn)個零件,質(zhì)檢員小張每天都會隨機(jī)地從中抽取50個零件進(jìn)行檢查是否合格,若較多零件不合格,則需對其余所有零件進(jìn)行檢查.根據(jù)多年的生產(chǎn)數(shù)據(jù)和經(jīng)驗,這些零件的長度服從正態(tài)分布(單位:微米),且相互獨(dú)立.若零件的長度滿足,則認(rèn)為該零件是合格的,否則該零件不合格.(1)假設(shè)某一天小張抽查出不合格的零件數(shù)為,求及的數(shù)學(xué)期望;(2)小張某天恰好從50個零件中檢查出2個不合格的零件,若以此頻率作為當(dāng)天生產(chǎn)零件的不合格率.已知檢查一個零件的成本為10元,而每個不合格零件流入市場帶來的損失為260元.假設(shè)充分大,為了使損失盡量小,小張是否需要檢查其余所有零件,試說明理由.附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則.21.(12分)隨著科技的發(fā)展,網(wǎng)絡(luò)已逐漸融入了人們的生活.網(wǎng)購是非常方便的購物方式,為了了解網(wǎng)購在我市的普及情況,某調(diào)查機(jī)構(gòu)進(jìn)行了有關(guān)網(wǎng)購的調(diào)查問卷,并從參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取了男女各100人進(jìn)行分析,從而得到表(單位:人)經(jīng)常網(wǎng)購偶爾或不用網(wǎng)購合計男性50100女性70100合計(1)完成上表,并根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購與性別有關(guān)?(2)①現(xiàn)從所抽取的女市民中利用分層抽樣的方法抽取10人,再從這10人中隨機(jī)選取3人贈送優(yōu)惠券,求選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概率;②將頻率視為概率,從我市所有參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取10人贈送禮品,記其中經(jīng)常網(wǎng)購的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差.參考公式:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822.(10分)如圖,已知四棱錐,底面為邊長為2的菱形,平面,,是的中點(diǎn),.(Ⅰ)證明:;(Ⅱ)若為上的動點(diǎn),求與平面所成最大角的正切值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

計算出樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù),再減去樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù)即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知,樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù)為,樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù)為,因此,樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計算頻數(shù),要理解頻數(shù)、樣本容量與頻率三者之間的關(guān)系,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

由分子、分母的奇偶性,易于確定函數(shù)為奇函數(shù),由的近似值即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè),則,所以是奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱,排除選項C.又排除選項D;,排除選項A,故選B.【點(diǎn)睛】本題通過判斷函數(shù)的奇偶性,縮小考察范圍,通過計算特殊函數(shù)值,最后做出選擇.本題較易,注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查.3、D【解析】

討論的取值范圍,然后對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷.【詳解】當(dāng)時,,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,令,則,根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì),當(dāng)時,,故切線的斜率變小,當(dāng)時,,故切線的斜率變大,可排除A、B;當(dāng)時,,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,令,,當(dāng)時,,故切線的斜率變大,當(dāng)時,,故切線的斜率變小,可排除C,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了識別函數(shù)的圖像,考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.4、B【解析】

由已知可求得函數(shù)的周期,根據(jù)周期及偶函數(shù)的對稱性可求在上的單調(diào)性,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可比較.【詳解】由可得,即函數(shù)的周期,因為在區(qū)間上單調(diào)遞減,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知,在上單調(diào)遞增,因為,是銳角三角形的兩個內(nèi)角,所以且即,所以即,.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)值的大小比較,根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.5、D【解析】試題分析:由題意得:若,則;若,則由可知,,故也成立,故選D.考點(diǎn):平面向量數(shù)量積.【思路點(diǎn)睛】幾何圖形中向量的數(shù)量積問題是近幾年高考的又一熱點(diǎn),作為一類既能考查向量的線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及平面幾何知識,又能考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力及轉(zhuǎn)化與化歸能力的問題,實有其合理之處.解決此類問題的常用方法是:①利用已知條件,結(jié)合平面幾何知識及向量數(shù)量積的基本概念直接求解(較易);②將條件通過向量的線性運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化,再利用①求解(較難);③建系,借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算,此法對解含垂直關(guān)系的問題往往有很好效果.6、A【解析】

設(shè)出A,B的坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)求出過A,B的切線的斜率,結(jié)合,可得x1x2=﹣1.再寫出OA,OB所在直線的斜率,作積得答案.【詳解】解:設(shè)A(),B(),由拋物線C:x2=1y,得,則y′.∴,,由,可得,即x1x2=﹣1.又,,∴.故選:A.點(diǎn)睛:(1)本題主要考查拋物線的簡單幾何性質(zhì),考查直線和拋物線的位置關(guān)系,意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是解題的思路,由于與切線有關(guān),所以一般先設(shè)切點(diǎn),先設(shè)A,B,,再求切線PA,PB方程,求點(diǎn)P坐標(biāo),再根據(jù)得到最后求直線與的斜率之積.如果先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo),計算量就大一些.7、A【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,借助特殊值即可比較大小.【詳解】因為,所以.因為,所以,因為,為增函數(shù),所以所以,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性比較大小,屬于中檔題.8、B【解析】

對函數(shù)化簡可得,進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的最值、周期性、單調(diào)性、零點(diǎn)、對稱性及平移變換,對四個命題逐個分析,可選出答案.【詳解】因為,所以周期.對于①,因為,所以,即,故①錯誤;對于②,函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的函數(shù)為,其圖象關(guān)于軸對稱,則,解得,故對任意整數(shù),,所以②錯誤;對于③,令,可得,則,因為,所以在上第1個零點(diǎn),且,所以第7個零點(diǎn),若存在第8個零點(diǎn),則,所以,即,解得,故③正確;對于④,因為,且,所以,解得,又,所以,故④正確.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換,考查三角函數(shù)的平移變換、最值、周期性、單調(diào)性、零點(diǎn)、對稱性,考查學(xué)生的計算求解能力與推理能力,屬于中檔題.9、D【解析】

連接,,因為,所以為異面直線與所成的角(或補(bǔ)角),不妨設(shè)正方體的棱長為2,取的中點(diǎn)為,連接,在等腰中,求出,在利用二倍角公式,求出,即可得出答案.【詳解】連接,,因為,所以為異面直線與所成的角(或補(bǔ)角),不妨設(shè)正方體的棱長為2,則,,在等腰中,取的中點(diǎn)為,連接,則,,所以,即:,所以異面直線,所成角的余弦值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查空間異面直線的夾角余弦值,利用了正方體的性質(zhì)和二倍角公式,還考查空間思維和計算能力.10、A【解析】

解一元二次不等式化簡集合A,再根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零化簡集合B,求交集運(yùn)算即可.【詳解】由可得,所以,由可得,所以,所以,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集運(yùn)算,涉及一元二次不等式解法及對數(shù)的概念,屬于中檔題.11、C【解析】

將圓,化為標(biāo)準(zhǔn)方程為,求得圓心為.根據(jù)圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對稱,則圓心在漸近線上,.再根據(jù)求解.【詳解】已知圓,所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為:,所以圓心為.因為雙曲線,所以其漸近線方程為,又因為圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對稱,則圓心在漸近線上,所以.所以.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程及對稱性,還有雙曲線的幾何性質(zhì),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.12、D【解析】

根據(jù)拋物線的性質(zhì),設(shè)出直線方程,代入拋物線方程,求得k的值,設(shè)出雙曲線方程,求得2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,利用雙曲線的離心率公式求得e.【詳解】直線F2A的直線方程為:y=kx,F(xiàn)1(0,),F(xiàn)2(0,),代入拋物線C:x2=2py方程,整理得:x2﹣2pkx+p2=0,∴△=4k2p2﹣4p2=0,解得:k=±1,∴A(p,),設(shè)雙曲線方程為:1,丨AF1丨=p,丨AF2丨p,2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,2c=p,∴離心率e1,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線及雙曲線的方程及簡單性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想,考查計算能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、,【解析】

根據(jù)圖象得出該函數(shù)的最大值和最小值,可得,,結(jié)合圖象求得該函數(shù)的最小正周期,可得出,再將點(diǎn)代入函數(shù)解析式,求出的值,即可求得該函數(shù)的解析式.【詳解】由圖象可知,,,,,從題圖中可以看出,從時是函數(shù)的半個周期,則,.又,,得,取,所以,.故答案為:,.【點(diǎn)睛】本題考查由圖象求函數(shù)解析式,考查計算能力,屬于中等題.14、.【解析】

利用正切的和角公式求得,再求得,利用余弦定理求得,代入“三斜求積術(shù)”公式即可求得答案.【詳解】,所以,由余弦定理可知,得.根據(jù)“三斜求積術(shù)”可得,所以.【點(diǎn)睛】本題考查正切的和角公式,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,余弦定理的應(yīng)用,考查學(xué)生分析問題的能力和計算整理能力,難度較易.15、【解析】

先根據(jù)三棱錐的幾何性質(zhì),求出外接球的半徑,結(jié)合向量的運(yùn)算,將問題轉(zhuǎn)化為求球體表面一點(diǎn)到外心距離最大的問題,即可求得結(jié)果.【詳解】因為兩兩垂直且,故三棱錐的外接球就是對應(yīng)棱長為2的正方體的外接球.且外接球的球心為正方體的體對角線的中點(diǎn),如下圖所示:容易知外接球半徑為.設(shè)線段的中點(diǎn)為,故可得,故當(dāng)取得最大值時,取得最大值.而當(dāng)在同一個大圓上,且,點(diǎn)與線段在球心的異側(cè)時,取得最大值,如圖所示:此時,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查球體的幾何性質(zhì),幾何體的外接球問題,涉及向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算,屬綜合性困難題.16、①②③【解析】

對①,由線面平行的性質(zhì)可判斷正確;對②,三棱錐外接球可看作正方體的外接球,結(jié)合外接球半徑公式即可求解;對③,結(jié)合題意作出圖形,由勾股定理和內(nèi)接圓對應(yīng)面積公式求出錐體的高,則可求解;對④,由動點(diǎn)分析可知,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時,直線與平面所成的角最大,結(jié)合幾何關(guān)系可判斷錯誤;【詳解】對于①,因為平面,所以,,,又,所以平面,所以,故四個面都是直角三角形,∴①正確;對于②,若,,,平面,∴三棱錐的外接球可以看作棱長為4的正方體的外接球,∴,,∴體積為,∴②正確;對于③,設(shè)內(nèi)心是,則平面,連接,則有,又內(nèi)切圓半徑,所以,,故,∴三棱錐的體積為,∴③正確;對于④,∵若,平面,則直線與平面所成的角最大時,點(diǎn)與點(diǎn)重合,在中,,∴,即直線與平面所成的最大角為,∴④不正確,故答案為:①②③.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何基本關(guān)系的應(yīng)用,線面垂直的性質(zhì)及判定、錐體體積、外接球半徑求解,線面角的求解,屬于中檔題三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(I)證明見解析;(II)1【解析】

(I)過D作DE⊥BC于E,連接SE,根據(jù)勾股定理得到SE⊥BC,DE⊥BC得到BC⊥平面SED,得到證明.(II)過點(diǎn)D作DF⊥SE于F,證明DF⊥平面SBC,故∠ESD為直線SD與平面SBC所成角,計算夾角得到答案.【詳解】(I)過D作DE⊥BC于E,連接SE,根據(jù)角度的垂直關(guān)系易知:AC=1,AB=SB=2,CS=CB=3,故DE=BDsin∠CBD=6根據(jù)余弦定理:13+SE2-2故SE⊥BC,DE⊥BC,SE∩DE=E,故BC⊥平面SED,SD?平面SED,故SD⊥BC.(II)過點(diǎn)D作DF⊥SE于F,BC⊥平面SED,DF?平面SED,故DF⊥BC,DF⊥SE,BC∩SE=E,故DF⊥平面SBC,故∠ESD為直線SD與平面SBC所成角,SD2=S故sin∠ESD=【點(diǎn)睛】本題考查了線線垂直,線面夾角,意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.18、(1)(2)(3)【解析】試題分析:(1);(2)由橢圓對稱性,知,所以,此時直線方程為,故.(3)設(shè),則,通過直線和橢圓方程,解得,,所以,即存在.試題解析:(1)設(shè)橢圓方程為,由題意知:解之得:,所以橢圓方程為:(2)若,由橢圓對稱性,知,所以,此時直線方程為,由,得,解得(舍去),故.(3)設(shè),則,直線的方程為,代入橢圓方程,得,因為是該方程的一個解,所以點(diǎn)的橫坐標(biāo),又在直線上,所以,同理,點(diǎn)坐標(biāo)為,,所以,即存在,使得.19、(1);(2)【解析】

(1)通過正弦定理和內(nèi)角和定理化簡,再通過二倍角公式即可求出;(2)通過三角形面積公式和三角形的周長為8,求出b的表達(dá)式后即可求出b的值.【詳解】(1)由三角形內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式,得,結(jié)合正弦定理,得,由及二倍角公式,得,即,故;(2)由題設(shè),得,從而,由余弦定理,得,即,又,所以,解得.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了正余弦定理,倍角公式,三角形面積公式,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)見解析(2)需要,見解析【解析】

(1)由零件的長度服從正態(tài)分布且相互獨(dú)立,零件的長度滿足即為合格,則每一個零件的長度合格的概率為,滿足二項分布,利用補(bǔ)集的思想求得,再根據(jù)公式求得;(2)由題可得不合格率為,檢查的成本為,求出不檢查時損失的期望,與成本作差,再與0比較大小即可判斷.【詳解】(1),由于滿足二項分布,故.(2)由題意可知不合格率為,若不檢查,損失的期望為;若檢查,成本為,由于,當(dāng)充分大時,,所以為了使損失盡量小,小張需要檢查其余所有零件.【點(diǎn)睛】本

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