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2025屆江蘇省連云港市灌南縣二中數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,,,則()A.25 B.32 C.35 D.402.設(shè),滿足約束條件,則的最大值是()A. B. C. D.3.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的()A.橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變),再向左平移個(gè)單位長度B.橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變),再向右平移個(gè)單位長度C.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再向左平移個(gè)單位長度D.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再向右平移個(gè)單位長度4.在天文學(xué)中,天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足,其中星等為mk的星的亮度為Ek(k=1,2).已知太陽的星等是–26.7,天狼星的星等是–1.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為()A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10–10.15.設(shè)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則a的值為()A. B.3 C.1 D.6.已知正四面體的內(nèi)切球體積為v,外接球的體積為V,則()A.4 B.8 C.9 D.277.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢.或 B.或C. D.8.已知過點(diǎn)且與曲線相切的直線的條數(shù)有().A.0 B.1 C.2 D.39.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.10.秦九韶是我國南寧時(shí)期的數(shù)學(xué)家,普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人,他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法,至今仍是比較先進(jìn)的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例.若輸入、的值分別為、,則輸出的值為()A. B. C. D.11.甲、乙兩名學(xué)生的六次數(shù)學(xué)測驗(yàn)成績(百分制)的莖葉圖如圖所示.①甲同學(xué)成績的中位數(shù)大于乙同學(xué)成績的中位數(shù);②甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分高;③甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分低;④甲同學(xué)成績的方差小于乙同學(xué)成績的方差.以上說法正確的是()A.③④ B.①② C.②④ D.①③④12.已知拋物線的焦點(diǎn)為,過焦點(diǎn)的直線與拋物線分別交于、兩點(diǎn),與軸的正半軸交于點(diǎn),與準(zhǔn)線交于點(diǎn),且,則()A. B.2 C. D.3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.正三棱柱的底面邊長為2,側(cè)棱長為,為中點(diǎn),則三棱錐的體積為________.14.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若an0,a1=1,且2Sn=an(an+t),n∈N*,則S10=_____.15.如圖,在正四棱柱中,P是側(cè)棱上一點(diǎn),且.設(shè)三棱錐的體積為,正四棱柱的體積為V,則的值為________.16.已知函數(shù),若的最小值為,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,已知,分別是正方形邊,的中點(diǎn),與交于點(diǎn),,都垂直于平面,且,,是線段上一動點(diǎn).(1)當(dāng)平面,求的值;(2)當(dāng)是中點(diǎn)時(shí),求四面體的體積.18.(12分)在世界讀書日期間,某地區(qū)調(diào)查組對居民閱讀情況進(jìn)行了調(diào)查,獲得了一個(gè)容量為200的樣本,其中城鎮(zhèn)居民140人,農(nóng)村居民60人.在這些居民中,經(jīng)常閱讀的城鎮(zhèn)居民有100人,農(nóng)村居民有30人.(1)填寫下面列聯(lián)表,并判斷能否有99%的把握認(rèn)為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān)?城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計(jì)經(jīng)常閱讀10030不經(jīng)常閱讀合計(jì)200(2)調(diào)查組從該樣本的城鎮(zhèn)居民中按分層抽樣抽取出7人,參加一次閱讀交流活動,若活動主辦方從這7位居民中隨機(jī)選取2人作交流發(fā)言,求被選中的2位居民都是經(jīng)常閱讀居民的概率.附:,其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819.(12分)武漢有“九省通衢”之稱,也稱為“江城”,是國家歷史文化名城.其中著名的景點(diǎn)有黃鶴樓、戶部巷、東湖風(fēng)景區(qū)等等.(1)為了解“五·一”勞動節(jié)當(dāng)日江城某旅游景點(diǎn)游客年齡的分布情況,從年齡在22歲到52歲的游客中隨機(jī)抽取了1000人,制成了如圖的頻率分布直方圖:現(xiàn)從年齡在內(nèi)的游客中,采用分層抽樣的方法抽取10人,再從抽取的10人中隨機(jī)抽取4人,記4人中年齡在內(nèi)的人數(shù)為,求;(2)為了給游客提供更舒適的旅游體驗(yàn),該旅游景點(diǎn)游船中心計(jì)劃在2020年勞動節(jié)當(dāng)日投入至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐觀光.由2010到2019這10年間的數(shù)據(jù)資料顯示每年勞動節(jié)當(dāng)日客流量(單位:萬人)都大于1.將每年勞動節(jié)當(dāng)日客流量數(shù)據(jù)分成3個(gè)區(qū)間整理得表:勞動節(jié)當(dāng)日客流量頻數(shù)(年)244以這10年的數(shù)據(jù)資料記錄的3個(gè)區(qū)間客流量的頻率作為每年客流量在該區(qū)間段發(fā)生的概率,且每年勞動節(jié)當(dāng)日客流量相互獨(dú)立.該游船中心希望投入的型游船盡可能被充分利用,但每年勞動節(jié)當(dāng)日型游船最多使用量(單位:艘)要受當(dāng)日客流量(單位:萬人)的影響,其關(guān)聯(lián)關(guān)系如下表:勞動節(jié)當(dāng)日客流量型游船最多使用量123若某艘型游船在勞動節(jié)當(dāng)日被投入且被使用,則游船中心當(dāng)日可獲得利潤3萬元;若某艘型游船勞動節(jié)當(dāng)日被投入?yún)s不被使用,則游船中心當(dāng)日虧損0.5萬元.記(單位:萬元)表示該游船中心在勞動節(jié)當(dāng)日獲得的總利潤,的數(shù)學(xué)期望越大游船中心在勞動節(jié)當(dāng)日獲得的總利潤越大,問該游船中心在2020年勞動節(jié)當(dāng)日應(yīng)投入多少艘型游船才能使其當(dāng)日獲得的總利潤最大?20.(12分)在邊長為的正方形,分別為的中點(diǎn),分別為的中點(diǎn),現(xiàn)沿折疊,使三點(diǎn)重合,構(gòu)成一個(gè)三棱錐.(1)判別與平面的位置關(guān)系,并給出證明;(2)求多面體的體積.21.(12分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)P為曲線C上的動點(diǎn),求點(diǎn)P到直線l距離的最大值.22.(10分)在四棱椎中,四邊形為菱形,,,,,,分別為,中點(diǎn)..(1)求證:;(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差,即可根據(jù)題意列出兩個(gè)方程,求出通項(xiàng)公式,從而求得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,則,解得,∴,即有.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和應(yīng)用,涉及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用,屬于容易題.2、D【解析】
作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域,由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,通過平移即可求z的最大值.【詳解】作出不等式組的可行域,如圖陰影部分,作直線:在可行域內(nèi)平移當(dāng)過點(diǎn)時(shí),取得最大值.由得:,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】
根據(jù)三角函數(shù)圖像的變換與參數(shù)之間的關(guān)系,即可容易求得.【詳解】為得到,將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),故可得;再將向左平移個(gè)單位長度,故可得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖像的平移,涉及誘導(dǎo)公式的使用,屬基礎(chǔ)題.4、A【解析】
由題意得到關(guān)于的等式,結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算法則可得亮度的比值.【詳解】兩顆星的星等與亮度滿足,令,.故選A.【點(diǎn)睛】本題以天文學(xué)問題為背景,考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數(shù)對數(shù)運(yùn)算.5、D【解析】
整理復(fù)數(shù)為的形式,由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)可知實(shí)部為0,虛部不為0,即可求解.【詳解】由題,,因?yàn)榧兲摂?shù),所以,則,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)范圍,考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算.6、D【解析】
設(shè)正四面體的棱長為,取的中點(diǎn)為,連接,作正四面體的高為,首先求出正四面體的體積,再利用等體法求出內(nèi)切球的半徑,在中,根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑,利用球的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)正四面體的棱長為,取的中點(diǎn)為,連接,作正四面體的高為,則,,,設(shè)內(nèi)切球的半徑為,內(nèi)切球的球心為,則,解得:;設(shè)外接球的半徑為,外接球的球心為,則或,,在中,由勾股定理得:,,解得,,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了多面體的內(nèi)切球、外接球問題,考查了椎體的體積公式以及球的體積公式,需熟記幾何體的體積公式,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】
根據(jù)偶次根式被開方數(shù)非負(fù)可得出關(guān)于的不等式,即可解得函數(shù)的定義域.【詳解】由題意可得,解得或.因此,函數(shù)的定義域?yàn)榛?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查具體函數(shù)定義域的求解,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
設(shè)切點(diǎn)為,則,由于直線經(jīng)過點(diǎn),可得切線的斜率,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)處的切線斜率,建立關(guān)于的方程,從而可求方程.【詳解】若直線與曲線切于點(diǎn),則,又∵,∴,∴,解得,,∴過點(diǎn)與曲線相切的直線方程為或,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率,求解曲線的切線的方程,其中解答中熟記利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線的方程是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】
函數(shù)的定義域應(yīng)滿足故選C.10、B【解析】
列出循環(huán)的每一步,由此可得出輸出的值.【詳解】由題意可得:輸入,,,;第一次循環(huán),,,,繼續(xù)循環(huán);第二次循環(huán),,,,繼續(xù)循環(huán);第三次循環(huán),,,,跳出循環(huán);輸出.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)算法框圖計(jì)算輸出值,一般要列舉出算法的每一步,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】
由莖葉圖中數(shù)據(jù)可求得中位數(shù)和平均數(shù),即可判斷①②③,再根據(jù)數(shù)據(jù)集中程度判斷④.【詳解】由莖葉圖可得甲同學(xué)成績的中位數(shù)為,乙同學(xué)成績的中位數(shù)為,故①錯(cuò)誤;,,則,故②錯(cuò)誤,③正確;顯然甲同學(xué)的成績更集中,即波動性更小,所以方差更小,故④正確,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查由莖葉圖分析數(shù)據(jù)特征,考查由莖葉圖求中位數(shù)、平均數(shù).12、B【解析】
過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線,垂足為,與軸交于點(diǎn),由和拋物線的定義可求得,利用拋物線的性質(zhì)可構(gòu)造方程求得,進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線,垂足為,與軸交于點(diǎn),由拋物線解析式知:,準(zhǔn)線方程為.,,,,由拋物線定義知:,,,.由拋物線性質(zhì)得:,解得:,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線定義與幾何性質(zhì)的應(yīng)用,關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的定義和焦半徑所滿足的等式.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
試題分析:因?yàn)檎庵牡酌孢呴L為,側(cè)棱長為為中點(diǎn),所以底面的面積為,到平面的距離為就是底面正三角形的高,所以三棱錐的體積為.考點(diǎn):幾何體的體積的計(jì)算.14、55【解析】
由求出.由,可得,兩式相減,可得數(shù)列是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,即求.【詳解】由題意,當(dāng)n=1時(shí),,當(dāng)時(shí),由,可得,兩式相減,可得,整理得,,即,∴數(shù)列是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,.故答案為:55.【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列的前項(xiàng)和,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
設(shè)正四棱柱的底面邊長,高,再根據(jù)柱體、錐體的體積公式計(jì)算可得.【詳解】解:設(shè)正四棱柱的底面邊長,高,則,即故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查柱體、錐體的體積計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
,可得在時(shí),最小值為,時(shí),要使得最小值為,則對稱軸在1的右邊,且,求解出即滿足最小值為.【詳解】當(dāng),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號成立.當(dāng)時(shí),為二次函數(shù),要想在處取最小,則對稱軸要滿足并且,即,解得.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的最值問題,對每段函數(shù)先進(jìn)行分類討論,找到每段的最小值,然后再對兩段函數(shù)的最小值進(jìn)行比較,得到結(jié)果,題目較綜合,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2)【解析】
(1)利用線面垂直的性質(zhì)得出,進(jìn)而得出,利用相似三角形的性質(zhì),得出,從而得出的值;(2)利用線面垂直的判定定理得出平面,進(jìn)而得出四面體的體積,計(jì)算出,,即可得出四面體的體積.【詳解】(1)因?yàn)槠矫?,平面,所以又因?yàn)椋即怪庇谄矫?,所以又,分別是正方形邊,的中點(diǎn),且,所以.(2)因?yàn)?,分別是正方形邊,的中點(diǎn),所以又因?yàn)?,都垂直于平面,平面,所以因?yàn)槠矫?,所以平面所以,四面體的體積,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用,以及求棱錐的體積,屬于中檔題.18、(1)見解析,有99%的把握認(rèn)為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān).(2)【解析】
(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)得到列聯(lián)表,然后計(jì)算出,與臨界值表中的數(shù)據(jù)對照后可得結(jié)論;(2)由題意得概率為古典概型,根據(jù)古典概型概率公式計(jì)算可得所求.【詳解】(1)由題意可得:城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計(jì)經(jīng)常閱讀10030130不經(jīng)常閱讀403070合計(jì)14060200則,所以有99%的把握認(rèn)為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān).(2)在城鎮(zhèn)居民140人中,經(jīng)常閱讀的有100人,不經(jīng)常閱讀的有40人.采取分層抽樣抽取7人,則其中經(jīng)常閱讀的有5人,記為、、、、;不經(jīng)常閱讀的有2人,記為、.從這7人中隨機(jī)選取2人作交流發(fā)言,所有可能的情況為,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共21種,被選中的位居民都是經(jīng)常閱讀居民的情況有種,所求概率為.【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率計(jì)算,以及獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用,利用列舉法是解決本題的關(guān)鍵,考查學(xué)生的計(jì)算能力.對于古典概型,要求事件總數(shù)是可數(shù)的,滿足條件的事件個(gè)數(shù)可數(shù),使得滿足條件的事件個(gè)數(shù)除以總的事件個(gè)數(shù)即可,屬于中檔題.19、(1);(2)投入3艘型游船使其當(dāng)日獲得的總利潤最大【解析】
(1)首先計(jì)算出在,內(nèi)抽取的人數(shù),然后利用超幾何分布概率計(jì)算公式,計(jì)算出.(2)分別計(jì)算出投入艘游艇時(shí),總利潤的期望值,由此確定當(dāng)日游艇投放量.【詳解】(1)年齡在內(nèi)的游客人數(shù)為150,年齡在內(nèi)的游客人數(shù)為100;若采用分層抽樣的方法抽取10人,則年齡在內(nèi)的人數(shù)為6人,年齡在內(nèi)的人數(shù)為4人.可得.(2)①當(dāng)投入1艘型游船時(shí),因客流量總大于1,則(萬元).②當(dāng)投入2艘型游船時(shí),若,則,此時(shí);若,則,此時(shí);此時(shí)的分布列如下表:2.56此時(shí)(萬元).③當(dāng)投入3艘型游船時(shí),若,則,此時(shí);若,則,此時(shí);若,則,此時(shí);此時(shí)的分布列如下表:25.59此時(shí)(萬元).由于,則該游船中心在2020年勞動節(jié)當(dāng)日應(yīng)投入3艘型游船使其當(dāng)日獲得的總利潤最大.【點(diǎn)睛】本小題主要考查分層抽樣,考查超幾何分布概率計(jì)算公式,考查隨機(jī)變量分布列和期望的求法,考查分析與思考問題的能力,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.20、(1)平行,證明見解析;(2).【解析】
(1)由題意及圖形的翻折規(guī)律可知應(yīng)是的一條中位線,利用線面
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