山西省懷仁市重點(diǎn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一上期末預(yù)測試題含解析

山西省懷仁市重點(diǎn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一上期末預(yù)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．函數(shù)（，且）的圖象必過定點(diǎn)A. B.C. D.2．若，，，，則（）A. B.C. D.3．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）.A. B.C. D.4．設(shè)是兩個單位向量，且，那么它們的夾角等于（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)，則的值為A. B.C. D.6．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.7．設(shè)函數(shù),則下列結(jié)論錯誤的是A.函數(shù)的值域?yàn)?B.函數(shù)是奇函數(shù)C.是偶函數(shù) D.在定義域上是單調(diào)函數(shù)8．若且，則下列不等式中一定成立的是A. B.C. D.9．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線若的頂點(diǎn)，，且的歐拉線的方程為，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為A. B.C. D.10．設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（）A.函數(shù)的值域是；B.點(diǎn)是函數(shù)的圖像的一個對稱中心；C.直線是函數(shù)的圖像的一條對稱軸；D.將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如果函數(shù)滿足在集合上的值域仍是集合，則把函數(shù)稱為H函數(shù)．例如：就是H函數(shù)．下列函數(shù)：①；②；③；④中，______是H函數(shù)（只需填寫編號）（注：“”表示不超過x的最大整數(shù)）12．直線l與平面α所成角為60°，l∩α＝A，則m與l所成角的取值范圍是_______.13．計(jì)算的值為__________14．函數(shù)，其中,,的圖象如圖所示，求的解析式____15．已知，則___________.（用含a的代數(shù)式表示）16．若關(guān)于的方程的一個根在區(qū)間上，另一個根在區(qū)間上，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)，（Ⅰ）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值18．已知且，函數(shù).（1）求的定義域；（2）判斷的奇偶性，并用定義證明；（3）求使的取值范圍.19．已知函數(shù)（0＜ω＜6）的圖象的一個對稱中心為（1）求f（x）的最小正周期；（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）求f（x）在區(qū)間上的最大值和最小值20．設(shè)函數(shù)，（1）求函數(shù)的值域；（2）設(shè)函數(shù)，若對，，，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍21．改革開放四十周年紀(jì)念幣從2018年12月5日起可以開始預(yù)約通過市場調(diào)查，得到該紀(jì)念章每1枚的市場價(jià)單位：元與上市時(shí)間單位：天的數(shù)據(jù)如下：上市時(shí)間x天81032市場價(jià)y元826082根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)：；；中選取一個恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)刻畫改革開放四十周年紀(jì)念章的市場價(jià)y與上市時(shí)間x的變化關(guān)系并說明理由利用你選取的函數(shù)，求改革開放四十周年紀(jì)念章市場價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)及最低的價(jià)格

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，且有(且)，令，則，，所以函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn).故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)(且)恒過定點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題目.2、C【解析】由于，所以先由已知條件求出，的值，從而可求出答案【詳解】，因?yàn)?，，所以，，因?yàn)?，，所以，，則故選：C【點(diǎn)睛】此題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，考查兩角差的余弦公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】根據(jù)三角函數(shù)的概念，，可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榻墙K邊經(jīng)過點(diǎn)所以故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查角終邊過一點(diǎn)正切值的計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.4、C【解析】由條件兩邊平方可得，代入夾角公式即可得到結(jié)果.【詳解】由，可得：，又是兩個單位向量，∴∴∴它們的夾角等于故選C【點(diǎn)睛】本題考查單位向量的概念，向量數(shù)量積的運(yùn)算及其計(jì)算公式，向量夾角余弦的計(jì)算公式，以及已知三角函數(shù)求角，清楚向量夾角的范圍5、C【解析】由，故選C6、B【解析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于的不等式，即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得.故選：B.7、D【解析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式研究函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，值域，可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以，所以的值域?yàn)椋赃x項(xiàng)是正確的；又，，所以在定義域上不是單調(diào)函數(shù)，故選項(xiàng)是錯誤的；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在定義域內(nèi)恒成立，所以為奇函數(shù)，故選項(xiàng)是正確的；因?yàn)楹愠闪?，所以函?shù)為偶函數(shù)，故選項(xiàng)是正確的.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性性，奇偶性和值域，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】利用不等式的性質(zhì)逐個檢驗(yàn)即可得到答案.【詳解】A,a＞b且c∈R，當(dāng)c小于等于0時(shí)不等式不成立，故錯誤；Ba，b，c∈R，且a＞b，可得a﹣b＞0，當(dāng)c=0時(shí)不等式不成立，故錯誤；,C,舉反例，a=2,b=-1滿足a>b,但不滿足，故錯誤；D,將不等式化簡即可得到a>b,成立，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)以及排除法的應(yīng)用，屬于簡單題.用特例代替題設(shè)所給的一般性條件，得出特殊結(jié)論，然后對各個選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)，從而做出正確的判斷，這種方法叫做特殊法.若結(jié)果為定值，則可采用此法.特殊法是“小題小做”的重要策略.常用的特例有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等9、A【解析】設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由重心坐標(biāo)公式求得重心，代入歐拉線得一方程，求出AB的垂直平分線，和歐拉線方程聯(lián)立求得三角形的外心，由外心到兩個頂點(diǎn)的距離相等得另一方程，兩方程聯(lián)立求得點(diǎn)C的坐標(biāo)【詳解】設(shè)C（m，n），由重心坐標(biāo)公式得，三角形ABC的重心為（，），代入歐拉線方程得：2＝0，整理得：m﹣n+4＝0①AB的中點(diǎn)為（1，2），直線AB的斜率k2，AB的中垂線方程為y﹣2（x﹣1），即x﹣2y+3＝0聯(lián)立，解得∴△ABC的外心為（﹣1，1）則（m+1）2+（n﹣1）2＝32+12＝10，整理得：m2+n2+2m﹣2n＝8②聯(lián)立①②得：m＝﹣4，n＝0或m＝0，n＝4當(dāng)m＝0，n＝4時(shí)B，C重合，舍去∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（﹣4，0）故選A【點(diǎn)睛】本題考查直線方程的求法，訓(xùn)練了直線方程的點(diǎn)斜式，考查了方程組的解法10、B【解析】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可；【詳解】解：因?yàn)?，，所以，即函?shù)的值域是，故A正確；因?yàn)?，所以函?shù)關(guān)于對稱，故B錯誤；因?yàn)?，所以函?shù)關(guān)于直線對稱，故C正確；將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度得到為偶函數(shù)，故D正確；故選：B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、③④【解析】根據(jù)新定義進(jìn)行判斷.【詳解】根據(jù)定義可以判斷①②在集合上的值域不是集合，顯然不是H函數(shù).③④是H函數(shù).③是H函數(shù)，證明如下：顯然，不妨設(shè)，可得，即，恒有成立，滿足，總存在滿足是H函數(shù).④是H函數(shù)，證明如下：顯然，不妨設(shè)，可得，即，恒有成立，滿足，總存在滿足H函數(shù).故答案為：③④12、【解析】根據(jù)直線l與平面α所成角是直線l與平面α內(nèi)所有直線成的角中最小的一個，直線l與平面α所成角的范圍，即可求出結(jié)果【詳解】由于直線l與平面α所成角為60°，直線l與平面α所成角是直線l與平面α內(nèi)所有直線成的角中最小的一個，而異面直線所成角的范圍是（0，]，直線m在平面α內(nèi)，且與直線l異面，故m與l所成角的取值范圍是.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查直線和平面所成的角的定義和范圍，判斷直線與平面所成角是直線與平面α內(nèi)所有直線成的角中最小的一個，是解題的關(guān)鍵13、【解析】.14、【解析】首先根據(jù)函數(shù)的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)求出A，b，然后由圖像求出函數(shù)周期從而計(jì)算出，再由函數(shù)過點(diǎn)求出.【詳解】，，，解得，則，因?yàn)楹瘮?shù)過點(diǎn)，所以，，解得因?yàn)?，所以?故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查由圖像確定正弦型函數(shù)的解析式，第一步通過圖像的最值確定A，b的值，第二步通過周期確定的值，第三步通過最值點(diǎn)或者非平衡位置的點(diǎn)以及15、【解析】利用換底公式化簡，根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則求解即可【詳解】因?yàn)?，所以故答案為?16、【解析】設(shè)，時(shí)，方程只有一個根，不合題意，時(shí)，方程的根，就是函數(shù)的零點(diǎn)，方程的一個根在區(qū)間上，另一個根在區(qū)間上，且只需，即，解得，故答案為.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)最小正周期是，單調(diào)遞增區(qū)間是.(Ⅱ)最大值為，最小值為【解析】詳解】試題分析：(Ⅰ)將函數(shù)解析式化為，可得最小正周期為；將代入正弦函數(shù)的增區(qū)間可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．(Ⅱ)由可得，故，從而可得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為試題解析：（Ⅰ），所以函數(shù)的最小正周期是，由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為點(diǎn)睛：解決三角函數(shù)綜合題（1）將f(x)化為的形式；（2）構(gòu)造；（3）逆用和（差）角公式得到（其中φ為輔助角）；（4）利用，將看做一個整體，并結(jié)合函數(shù)的有關(guān)知識研究三角函數(shù)的性質(zhì)18、（1）；（2）函數(shù)是偶函數(shù)，詳見解析；（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或.【解析】（1）根據(jù)對數(shù)的真數(shù)為正數(shù)列式可解得結(jié)果；（2）函數(shù)是偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的定義證明即可；（3）不等式化為后，分類討論底數(shù)，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可解得結(jié)果.【小問1詳解】要使函數(shù)數(shù)有意義，則必有，解得，所以函數(shù)的定義域是；【小問2詳解】函數(shù)是偶函數(shù)，證明如下：∵，，又∴函數(shù)是偶函數(shù)；【小問3詳解】使，即當(dāng)時(shí)，有，，當(dāng)時(shí)，有，解得或.綜上所述：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或.19、（1）；（2）[]，k∈Z；（3）最大值為10，最小值為【解析】（1）先降冪化簡原式，再利用對稱中心求得ω，進(jìn)而得周期；（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間列出不等式即可得解；（3）利用（2）的結(jié)論，確定所給區(qū)間的單調(diào)性，再得最值【詳解】解：（1）=4sin（sincos-cossin）-1=2sin2-1-2sincos=-cosωx-sinωx=-2sin（ωx），∵是對稱中心，∴-，得ω=2-12k，k∈Z，∵0＜ω＜6，∴k=0，ω=2，∴，其最小正周期為π；（2）由，得，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[]，k∈Z，（3）由（2）可知，f（x）在[]遞減，在[]遞增，可知當(dāng)x=時(shí)得最大值為0；當(dāng)x=時(shí)得最小值故f（x）在區(qū)間[]上的最大值為0，最小值為【點(diǎn)睛】此題考查了三角函數(shù)式的恒等變換，周期性，單調(diào)性，最值等，屬于中檔題20、（1）；（2）.【解析】(1)由題可得，利用基本不等式可求函數(shù)的值域；(2)由題可求函數(shù)在上的值域，由題可知函數(shù)在上的值域包含于函數(shù)在上的值域，由此可求正實(shí)數(shù)a的取值范圍【小問1詳解】∵，又，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以，即函數(shù)的值域?yàn)椤拘?詳解】∵，設(shè)，因?yàn)?，所以，函?shù)在上單調(diào)遞增，∴，即，設(shè)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)锳．由題意知，∵函數(shù)，函數(shù)圖象的對稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上遞增，則，即，∴，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在上的最大值為，中的較