《回歸分析》 課件 第5章 多重共線性

多重共線性來源與影響診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注回歸分析之緒論應(yīng)用回歸分析李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院1

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57多重共線性來源與影響診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注目錄多重共線性來源與影響診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院2

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57多重共線性來源與影響診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注多重共線性來源與影響診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院3

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57診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注多重共線性

來源與影響多重共線性在回歸分析中，

由變量間強(qiáng)相關(guān)性引發(fā)的問題被稱為多重共線性，

該問題用數(shù)學(xué)語言也可以表示為，

存在一組不全為零的常數(shù)a0,a1,·

·

·

,ap

，使得a0

+

a1xi

1

+

a2xi

2

+

·

·

·

+

apxip

≈

0, i

=

1,

2,

·

·

·

,

n成立，或者有a0

+

a1xi

1

+

a2xi

2

+

·

·

·

+

apxip

=

0, i

=

1,

2,

·

·

·

,

n李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院4

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57診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注多重共線性

來源與影響多重共線性例5.1：

美國新客車出售量的相關(guān)數(shù)據(jù)下表。試建立新客車出售量（Y，單位：十萬輛）與新車消費(fèi)價(jià)格指數(shù)（X1，未經(jīng)季節(jié)調(diào)整，1967年為100%）、消費(fèi)者價(jià)格指數(shù)（X2，全部項(xiàng)目，1967年為100%）、個(gè)人可支配收入（X3，單位：百億美元）、利率（X4）和民間就業(yè)勞動(dòng)人數(shù)（X5，單位：百萬人）的線性回歸方程，并簡要分析結(jié)果。（數(shù)據(jù)來源于Gujarati（2009））李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院5

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57年份YX1X2X3X4X51971102.27112.0121.377.684.8979.3671972108.72111.0125.383.964.5582.1531973113.50111.1133.194.987.3885.064197487.75117.5147.7103.848.6186.794197585.39127.6161.2114.286.1685.846197699.94135.7170.5125.265.2288.7521977110.46142.9181.5137.935.5092.0171978111.64153.8195.3155.127.7896.0481979105.59166.0217.7172.9310.2598.824198089.79179.3247.0191.8011.2899.303198185.35190.2272.3212.7613.73100.397198279.80197.6286.6226.1411.2099.526198391.79202.6297.4242.818.69100.8341984103.94208.5307.6267.069.65105.0051985110.39215.2318.5284.117.75107.1501986114.50224.4323.4302.216.31109.597診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注多重共線性

來源與影響多重共線性表

1:新車銷量數(shù)據(jù)李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院6

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57診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注多重共線性

來源與影響多重共線性圖

1:各變量矩陣散點(diǎn)圖李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院7

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57診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注多重共線性

來源與影響多重共線性在此基礎(chǔ)上，利用軟件R建立回歸方程，得到：Y?

=

26.526

+

0.482X1

?

1.012X2

+

0.603X3

?

1.090X4

+

1.288X5.表

2:系數(shù)檢驗(yàn)a變量名稱系數(shù)的估計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)誤差t

值P

值截距x1

x2

x326.5260.482-1.0120.60383.6320.7070.5200.3750.3170.681-1.9601.6070.7580.5110.0780.139x4

x5-1.0901.2881.5331.265-0.7121.0190.4930.332n=16R2=0.755R2=0.632F

=

6.161P=0.007李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院8

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57診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注多重共線性

來源與影響多重共線性模型整體通過了F檢驗(yàn)，但是五個(gè)自變量的系數(shù)卻未通過t檢驗(yàn)（α

=0.05）。從解釋的角度看，新車消費(fèi)者價(jià)格指數(shù)（X1）系數(shù)為0.482， 意味著當(dāng)其他三個(gè)自變量不變時(shí)，

新車消費(fèi)者價(jià)格指數(shù)每 增加1單位，新客車銷售量Y

會(huì)平均增加0.482個(gè)單位。這似乎 與散點(diǎn)圖顯示的內(nèi)容并不相符，與經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋也存在著矛盾。李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院9

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57多重共線性來源與影響診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注多重共線性來源與影響診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院10

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57多重共線性來源與影響診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注來源抽樣方法使用不當(dāng)可能引起多重共線性。比如，在研究變量X1、X2對(duì)Y的影響時(shí)，圖2中顯示兩個(gè)自變量間存在較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系。但是假如由于抽樣方法使用不當(dāng)，獲取的樣本只是來自總體中滿足公式（1）或者（2）的一個(gè)子空間，該圖左上、右下部分對(duì)應(yīng)的樣本有可能未被抽到，

即數(shù)據(jù)缺少了X1較低X2較高（或X1較高X2較低）

的信息，才導(dǎo)致兩者間呈現(xiàn)出這樣的關(guān)系。李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院11

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57多重共線性來源與影響診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注來源a0

+

a1xi

1

+

a2xi

2

+

·

·

·

+

apxip

≈

0,a0

+

a1xi

1

+

a2xi

2

+

·

·

·

+

apxip

=

0,i

=

1,

2,

·

·

·

,

n

(1)i

=

1,

2,

·

·

·

,

n

(2)但是事實(shí)上，只有信息完整、樣本分布與總體相一致的情況下，才能得出自變量間的真實(shí)關(guān)系以及它們對(duì)因變量的真實(shí)效應(yīng)。李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院12

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57多重共線性來源與影響診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注來源?2?1012?2?1120x1x2圖

2:變量間散點(diǎn)圖李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院13

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57多重共線性來源與影響診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注來源對(duì)模型或者研究總體的約束可能導(dǎo)致多重共線性。比如，

研究人的身高、體重對(duì)其血壓的影響時(shí)，

一般來講身高越高，

人體重的取值也會(huì)越大，

這是變量間自然存在的關(guān)系，只要引入這兩項(xiàng)變量，無論使用什么抽樣方法都不能避免多重共線性。特別是在一些帶有滯后變量的時(shí)間序列數(shù)據(jù)、或者關(guān)系密切的經(jīng)濟(jì)類截面數(shù)據(jù)中，這種現(xiàn)象更為普遍。李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院14

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57診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注多重共線性

來源與影響對(duì)估計(jì)的影響多重共線性的存在使得系數(shù)的估計(jì)量的方差急劇增大，有效性降低。記λ1

≥λ2

≥·

·

·≥λp

>0

為矩陣X

?X

的特征根，則有當(dāng)存在多重共線性時(shí)，必有某些特征根λi

很接近于0，從而使1

變得非常大。此時(shí)如果繼續(xù)使用最小二乘法估計(jì)回歸系λi數(shù)，容易造成系數(shù)的估計(jì)量的方差之和急劇增大。李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院15

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診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注多重共線性

來源與影響對(duì)估計(jì)的影響李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院16

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57診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注多重共線性

來源與影響對(duì)估計(jì)的影響李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院17

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57診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注多重共線性

來源與影響對(duì)估計(jì)的影響由此可得，?1var

(β

)

=σ2(1

?

r

)L12

11?2var

(β

)

=σ2(1

?

r

)L12

22即隨著兩個(gè)自變量間的相關(guān)性增強(qiáng)，系數(shù)估計(jì)量β?1與β?2的方差將逐漸增大。李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院18

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57診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注多重共線性

來源與影響對(duì)估計(jì)的影響多重共線性容易導(dǎo)致系數(shù)的估計(jì)量的符號(hào)與現(xiàn)實(shí)相悖。假定有四個(gè)自變量X1、X2、X3、X4，研究者試圖建立因變量Y

與這四個(gè)自變量間的線性回歸模型，估計(jì)方程為Y?

=

β?1X1

+

β?2X2

+

β?3X3

+

β?4X4.不失一般性，不妨令β?i

>0,i

=1,2,3,4，如果X2、X3兩個(gè)自變量間存在完全多重共線性，有等式X2

=?3X3

成立，則在利用最小二乘法對(duì)系數(shù)進(jìn)行估計(jì)時(shí)，有李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院19

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57診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注多重共線性

來源與影響對(duì)估計(jì)的影響Y?

=

β?1X1

+

β?2X2

+

β?3X3

+

β?4X4=

β?1X1

+

(β?3

?

3β?2)X3

+

β?4X4=

β?1X1

+

(β?2

?

1/3β?3)X2

+

β?4X4.顯然X2、X3對(duì)應(yīng)系數(shù)估計(jì)量的符號(hào)可能發(fā)生變化，與實(shí)際情況不符。李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院20

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57診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注多重共線性

來源與影響對(duì)估計(jì)的影響多重共線性容易使回歸系數(shù)難以通過t檢驗(yàn)。對(duì)系數(shù)的估計(jì)量進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量具有如下形式：多重共線性的存在導(dǎo)致檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量中分母較大，容易使得系數(shù)難以通過顯著性檢驗(yàn)。李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院21

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診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注多重共線性

來源與影響對(duì)預(yù)測的影響李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院22

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57診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注多重共線性

來源與影響對(duì)預(yù)測的影響分別在R2取值(0.1,0.9)時(shí)按照ρ

=0.2、ρ

=0.5生成數(shù)據(jù)，樣本量為n=1000，其中70%的樣本作為訓(xùn)練集，30%

的樣本作為測試集。在訓(xùn)練集上建立回歸模型，測試集上按照公式（3）計(jì)算平均預(yù)測誤差。重復(fù)該過程200次。(3)李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院23

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診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注多重共線性

來源與影響對(duì)預(yù)測的影響比較在變量間相關(guān)性較弱（ρ

=0.2）與相關(guān)性較強(qiáng)（ρ

= 0.5）的情況下，如果保持變量間相關(guān)性不變，預(yù)測效果的 差異；當(dāng)變量間相關(guān)性較強(qiáng)（ρ

=0.5）時(shí)，令測試集數(shù)據(jù)n0

=300， 改變X1、X2相關(guān)性為0.7，比較其預(yù)測結(jié)果與相關(guān)性保持不 變時(shí)有何不同。李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院24

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57診斷方法處理方法

嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注多重共線性

來源與影響對(duì)預(yù)測的影響01020300.250.750.50SNRPEmethodrho=0.2rho=0.5rho=0.7圖

3:預(yù)測誤差圖李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院25

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57診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注多重共線性

來源與影響對(duì)預(yù)測的影響與X1、X2相關(guān)性較弱（ρ

=0.2）時(shí)相比，即使X1、X2相關(guān) 性為ρ

=0.5的情況下，只要保證預(yù)測時(shí)變量間相關(guān)性與建模 時(shí)期一致，就可以利用該模型進(jìn)行預(yù)測，但是預(yù)測效果會(huì)受 到一定程度的影響；同樣的，如果在預(yù)測時(shí)，變量X1、X2相關(guān)性由建模時(shí)期的0.5轉(zhuǎn) 變?yōu)?.7（或者相關(guān)類型發(fā)生變化），預(yù)測誤差也會(huì)因此有所 上升；隨著擬合優(yōu)度R2的提升，這種預(yù)測效果的差異會(huì)逐漸減小。李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院26

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57多重共線性來源與影響診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注多重共線性來源與影響診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院27

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57多重共線性來源與影響診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注診斷方法以下幾類方法可以用來對(duì)多重共線性進(jìn)行診斷：方差膨脹因子診斷法特征根診斷法其他診斷法李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院28

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57處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注多重共線性

來源與影響

診斷方法診斷方法：方差膨脹因子診斷法該診斷方法的主要思想是，

當(dāng)回歸系數(shù)估計(jì)量的方差“膨脹”的幅度較大時(shí)，模型中就可能存在多重共線性。所謂方差膨脹因子，是指用來度量由于自變量間高度相關(guān)導(dǎo)致的β?方差增加幅度的一種工具。假定現(xiàn)對(duì)自變量X

進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化得到X?，則R

=X??X?表示自變量的協(xié)方差矩陣（也是相關(guān)陣）。令L

=

(lij

)

=

(X??X?)?1那么矩陣L主對(duì)角線上的元素就被稱為各個(gè)自變量的方差膨脹因子（Variance

Inflation

Factor，VIF）。李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院29

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57處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注多重共線性

來源與影響

診斷方法診斷方法：方差膨脹因子診斷法根據(jù)上述公式，有Var

(β?i

)

=

lii

σ2,i

=

1,

2,

·

·

·,

p第i

個(gè)自變量Xi

的方差膨脹因子為iil

=11

?

R2i2i式中R

表示自變量iX

對(duì)其余p

?1

個(gè)自變量的復(fù)決定系數(shù)，反映了第i

個(gè)自變量對(duì)其余p

?1個(gè)自變量的線性相關(guān)程度。李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院30

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57處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注多重共線性

來源與影響

診斷方法診斷方法：方差膨脹因子診斷法經(jīng)驗(yàn)表明，當(dāng)某個(gè)自變量的VIF超過5

或10時(shí)，可認(rèn)為與其他自變量間存在多重共線性。此外，當(dāng)p個(gè)自變量的VIF

遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1時(shí)，也可以說明存在嚴(yán)重的多重共線性。李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院31

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57

處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注多重共線性

來源與影響

診斷方法診斷方法：方差膨脹因子診斷法以例5.1為例，分別計(jì)算四個(gè)自變量的方差膨脹因子VIF，見表表

3:方差膨脹因子變量名稱

X1

X2

X3

X4

X5VIF

250.000

434.783

232.558

4.941

40.984四個(gè)自變量方差膨脹因子的平均值VIF

≈192.653。由此可以作出判斷，模型中確實(shí)存在多重共線性。該模型的多重共線性可能是由X1，X2，X3，X5這幾個(gè)自變量引起的。李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院32

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57診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注多重共線性

來源與影響診斷方法：特征根診斷法李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院33

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57診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注多重共線性

來源與影響診斷方法：特征根診斷法但是在什么情況下可以認(rèn)為特征值近似為0

呢？為此，首先引入條件數(shù)的概念。令λm表示矩陣X?X的最大特征值，則

一般地，ki

小于100時(shí)，認(rèn)為X沒有明顯的多重共線性；當(dāng)ki

在100到時(shí)，認(rèn)為X

具有較強(qiáng)的多重共線性；而當(dāng)ki

超過1000時(shí)，說明存在嚴(yán)重的多重共線性。李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院34

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診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注多重共線性

來源與影響診斷方法：特征根診斷法但是需要注意的是，與方差膨脹因子不同，僅僅根據(jù)條件數(shù) 無法確定在哪幾個(gè)變量間存在多重共線性。令c

=(c1,c2,·

·

·

,cp

)表示矩陣X?X

特征值，對(duì)應(yīng)的特征向

量可以用λ

=(λ1,λ2,·

·

·

,λp

)表示，在多重共線性下有X?Xc

= λc

≈0（或者=0），進(jìn)而可以得出Xc≈0（或者=0），故根 據(jù)特征向量研究者可以判斷多重共線性發(fā)生在哪些變量。李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院35

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57診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注多重共線性

來源與影響診斷方法：特征根診斷法??i將p維特征向量c,i

=1,2,·

·

·

,p按照特征值大小排列成一個(gè)p

×p的矩陣，矩陣中每一個(gè)元素平方后除以其對(duì)應(yīng)的特征值，然后按照列進(jìn)行歸一化可得每個(gè)特征值下，各個(gè)自變量對(duì)應(yīng)的方差比例。若有幾個(gè)自變量的方差比例值在某一行同時(shí)較大，則可以認(rèn)為這幾個(gè)自變量存在多重共線性。李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院36

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57診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注多重共線性

來源與影響診斷方法：其他自變量的協(xié)方差矩陣中包含較大元素時(shí)需要警惕多重共線性 問題。但是協(xié)方差矩陣只是用來初步探測兩兩自變量間的相 關(guān)程度，元素取值較小并不意味著多重共線性一定不存在。 詳見書中舉例。回歸系數(shù)估計(jì)量的正負(fù)號(hào)以及意義解釋。當(dāng)方程中某些系數(shù) 估計(jì)量的符號(hào)、意義解釋與實(shí)際相違背時(shí)，警惕多重共線性 問題。李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院37

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57診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注多重共線性

來源與影響診斷方法：其他系數(shù)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)誤差與t檢驗(yàn)。當(dāng)系數(shù)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)誤差 較大時(shí)，或者一些在實(shí)際意義中重要的自變量在方程中卻并 不顯著，可能存在多重共線性?；貧w系數(shù)的估計(jì)量對(duì)數(shù)據(jù)的敏感程度。比如，當(dāng)在方程中增 加、剔除自變量或者改變觀測值時(shí)，回歸系數(shù)估計(jì)量的取值 發(fā)生較大變化，也需要注意回歸方程的多重共線性問題。李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院38

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57多重共線性來源與影響診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注多重共線性來源與影響診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院39

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57多重共線性來源與影響診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注處理方法以下三類方法有助于處理回歸分析中的多重共線性問題：重新設(shè)定模型。由于模型引入的自變量間本身可能就具有相關(guān)性，對(duì)模型進(jìn)行重設(shè)可以降低其帶來的影響。重新定義回歸變量。比如在例5.1

中，可以設(shè)法找到一個(gè)關(guān)于X1，

X2，

X3這三個(gè)變量的函數(shù)，

如X

=X1

×X2

×X3、X

=(X1

+X2)/X3

等，使得既能保留變量原有的大部分信息，又能降低多重共線性的影響。進(jìn)行變量剔除。可以根據(jù)方差膨脹因子VIF大小依次對(duì)變量進(jìn)行剔除，直到消除多重共線性為止。李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院40

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57多重共線性來源與影響診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注處理方法增加樣本數(shù)量。當(dāng)多重共線性是由抽樣方法使用不當(dāng)引起時(shí) ，通過增大樣本數(shù)量更加容易避免只在總體的某個(gè)子空間中 抽樣，從而獲取到與總體分布相一致的樣本，消除多重共線 性。使用回歸系數(shù)的有偏估計(jì)。這類方法是以犧牲估計(jì)量的無偏 性為代價(jià)來達(dá)到提高其有效性的目的，常見的方法有主成分 法、偏最小二乘法、嶺回歸法等。李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院41

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57多重共線性來源與影響診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注多重共線性來源與影響診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院42

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57多重共線性來源與影響診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注嶺估計(jì)嶺估計(jì)最早由霍爾（A.E.Hoerl）在1962年提出，是一種對(duì)普通最小二乘法的改進(jìn)。其解決多重共線性問題的思路是，

既然多重共線性帶來的 估計(jì)問題源于|X?X|

=0

（或者|X?X|≈0），

那么給矩 陣X?X添加一項(xiàng)正常數(shù)矩陣，kI(k>0)，使得|X?X

+kI| 接近0的程度與|X?X|相比更小。李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院43

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57多重共線性來源與影響診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注嶺估計(jì)此時(shí)，得到的估計(jì)β?(k)

=

(X?X

+

kI)?1X?Y就是回歸系數(shù)β的嶺回歸估計(jì)，這顯然是個(gè)有偏估計(jì)。并且參數(shù)k決定了其偏差的大小，研究者稱其為嶺參數(shù)。李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院44

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57多重共線性來源與影響診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注嶺估計(jì)李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院45

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57多重共線性來源與影響診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注嶺估計(jì)為什么使用有偏估計(jì)？令Y

、X1、X2、X3、X4分別表示因變量和四個(gè)自變量，X1從 均值為1，方差為2的正態(tài)分布中生成，X2

從(?0.5,0.5)的均 勻分布中生成，其余兩個(gè)變量X3

=0.9X1

+0.3X2

+e1、X4

=

0.5X2

+e2因變量Y

=X1

+X2

+X3

+X4

+e3,其中e1、e2是兩個(gè)與X1同分布的隨機(jī)干擾項(xiàng)，e3服從均值為2，方差為4的正態(tài)分布。然后分別利用最小二乘法、嶺回歸法對(duì)生成的模擬數(shù)據(jù)擬合 回歸模型。重復(fù)上述過程1000次，觀察自變量X2對(duì)應(yīng)系數(shù)的 最小二乘估計(jì)、嶺回歸估計(jì)的近似抽樣分布。李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院46

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57多重共線性來源與影響診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注嶺估計(jì)為什么使用有偏估計(jì)？圖

4:嶺回歸估計(jì)與最小二乘估計(jì)抽樣分布圖李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院47

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57多重共線性來源與影響診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注性質(zhì)李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院48

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57多重共線性來源與影響診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注性質(zhì)性質(zhì)3：當(dāng)k>0時(shí)，隨著k增加，β?(k)的偏差會(huì)增加，但是

方差會(huì)隨之減小。并且當(dāng)β?β有界時(shí)，存在非零的k值使得嶺 回歸估計(jì)量β?(k)的均方誤差MSE小于最小二乘估計(jì)的MSE。李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院49

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57診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注多重共線性

來源與影響嶺參數(shù)的選擇原則上希望k可以使估計(jì)量的均方誤差達(dá)到最小，但這種最 優(yōu)的k值往往依賴于未知參數(shù)β和σ2，

并且這種依賴關(guān)系具 體有怎樣的函數(shù)形式還尚未清楚。常用的有以下三種方法：嶺跡法方差膨脹因子法殘差平方和法李揚(yáng)/林存潔/王菲菲/孫韜/廖軍回歸分析之緒論中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院50

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57診斷方法處理方法嶺估計(jì)小結(jié)與評(píng)注多重共線性

來源與影響嶺參數(shù)的選擇:嶺跡法嶺回歸估計(jì)隨著嶺參數(shù)的變化而變化的曲線，稱為嶺跡。當(dāng)模型中存在著嚴(yán)重的多重共線性時(shí)，回歸系數(shù)的不穩(wěn)定性 將通過嶺跡明顯表現(xiàn)出來。研究者的目的就是找到一個(gè)合理 的較小k值，在該取值處，嶺回歸估計(jì)量β?(k)是穩(wěn)定的。同 時(shí)，也可以結(jié)合系數(shù)估計(jì)量的符號(hào)、解釋、殘差平方和的變 化等信息進(jìn)行選擇。通過審