外接球-【巔峰課堂】2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期熱點(diǎn)題型歸納與變式演練(人教A版2019必修第二冊(cè))（解析版）公開課

專題05外接球

目錄

一、熱點(diǎn)題型歸納...............................................................................1

【題型一】球定義型......................................................................1

【題型二】長(zhǎng)方體模型1：三線垂直........................................................3

【題型三】長(zhǎng)方體模型2：四個(gè)表面直角三角形型............................................5

【題型四】長(zhǎng)方體模型3：對(duì)棱相等或等邊直角三角形構(gòu)造長(zhǎng)方體型...........................7

【題型五】棱錐模型1：三棱錐.............................................................9

【題型六】棱錐模型2：正四棱錐（或圓錐）型.............................................10

【題型七】棱錐模型3：面面垂直型........................................................12

【題型八】線面垂直型1：直棱柱（圓柱）型...............................................15

【題型九】線面垂直型2：棱錐型..........................................................16

【題型十】?jī)?nèi)切球........................................................................18

【題型十一】圓臺(tái)型......................................................................21

【題型十二】綜合構(gòu)造型..................................................................22

二、最新?？碱}組練............................................................................25

盤拉點(diǎn)致型歸佃

【題型一】球定義型

【例1】

矩形ABC。中，A8=4,BC=3,沿AC將ABC。矩形折起，使面8AC，面ZMC,則四面體A-BCD的外

接球的體積為（）

125r125-125-125

A.---71B.---C.-----------------71D.---4

69123

【答案】A

【分析】矩形ABC。中，由AB=4,8C=3,￡>8=AC=5,設(shè)交AC于。，由于。到點(diǎn)A8,C,。的距離均

為g，所以。為四面體A-3C。的外接球的球心，由此能求出四面體A-BCD的外接球的體積.

【詳解】如圖：

矩形A8CD中，因?yàn)锳B=4,BC=3,

所以。8=AC=5,

設(shè)OB交AC于。，則。是R/AABC和RNDAC的外心，

所以。到點(diǎn)A8.CD的距離均為|,所以。為四面體A-BCZ）的外接球的球心，

所以四面體力-BCQ的外接球的半徑R=g,

所以四面體A-BCD的外接球的體積V=-x^xf-Y=絲物.故選:A.

3⑴6

【例2】

矩形A8CZ）中，AB=3,BC=\,現(xiàn)將叢。沿對(duì)角線AC向上翻折，得到四面體。-ABC,則該四面體外

接球的體積為（）

A.生叵萬(wàn)B.10萬(wàn)C.5曬兀D.40%

3

【答案】A

【分析】設(shè)4c的中點(diǎn)為0,連接OBOD,則由矩形的性質(zhì)可知04=8=08=03,所以可得0為四面

體。-ABC外接球的球心，求出04的長(zhǎng)可得球的半徑，從而可求出球的體積

【詳解】解：設(shè)AC的中點(diǎn)為。，連接。仇。。，

因?yàn)樗倪呅蜛8C。為矩形，所以。4=OC=O8=OD,ZABC=90°,

所以。為四面體。-ABC外接球的球心，

因?yàn)锳8=3,8C=1,所以AC=JAB，+BC2=，32+代=癡,

所以O(shè)A=，AC=巫，所以面體"C外接球的半徑為巫，

222

所以該四面體外接球的體積為*/?3=3萬(wàn)（孚）=半兀,

故選：A

【例3】

若正方體ABC。-ABCR的棱長(zhǎng)為2,M,N,P,。分別為棱48,BC,CR,的中點(diǎn)，則四面

體MNPQ的外接球的半徑為（）

A.&B,2C.1D.6

【答案】A

【分析】由正方體的性質(zhì)可知正方體ABC。-44Gq的中心為。到每條棱的中點(diǎn)的距離都相等，從而可求

出外接球的半徑

（詳解】設(shè)正方體ABCD-ABCB的中心為。.則易得OM=ON=OP=OQ=應(yīng).

即四面體MNPQ外接球的半徑為友.故選：A.

AB

【例4】

已知四面體尸-ABC中，AB1AC,ABLPB,S.AB=PB=2AC=2,PC=3,則該四面體的外接球的體

積為（）

9八石27

A.94B.-7tC.8"D.—71

24

【答案】B

【分析】根據(jù)勾股定理及逆定理、直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、球的體積公式進(jìn)行求解

即可.

【詳解】取AP、CP的中點(diǎn)。、0,連接DO、OB、DB、OA,

因?yàn)樗訟ABP是以口為斜邊的直角三角形，

因此AP=JAB?+p3?=J2?+2?=20，DB=3AP=e,

因?yàn)锳C=1,PC=3,所以有A尸+AC2=FC2,即AC，9,即△ACP是以CP為斜邊的直角三角形，顯

13

然有0A=0C=0尸=-PC==，

22

因?yàn)锳C_LQ4,ABVAC,A4cPA=A,A3,24u平面PAB,

所以AC_L平面Q48,因?yàn)锳P、CP的中點(diǎn)是D、0,所以QD〃AC且O￡>=?AC=!，

22

因此ODJL平面R4B,而BDu平面R4B,所以O(shè)D_LDB,即是以O(shè)B為斜邊的直角三角形，所以

OB=yjOD2+DB-=J-+2=~,

V42

3

于是有Q4=0C=0尸=08=5,所以點(diǎn)。是四面體P—ABC的外接球的球心，

439

所以四面體P-A5C的外接球的體積為；?乃?（1）3=；乃，故選：B

322

【題型二】長(zhǎng)方體模型1：三線垂直型

【例1】

正方體的棱長(zhǎng)為2,則它的外接球半徑為（

A.&B.&C.V2D.1

【答案】B

【分加】正方體外接球直徑為正方體的體對(duì)角線，直接求即可.

【詳解】正方體外接球直徑為正方體的體對(duì)角線，故廠=逗=叵1=6，

22

故選：B.

【例2】

已知正三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)為正，則此三棱錐的外接球的表面積為（）

A.nB.3nC.6nD.9兀

【答案】C

【分析】正三棱錐的外接球即是棱長(zhǎng)為血的正方體的外接球，即得解.

【詳解】正?:棱錐的外接球即是棱長(zhǎng)為0的正方體的外接球,

所以外接球的直徑2R=J（以）2+（&y+（&）2=瓜,

所以4R2=6,外接球的表面積4乃R2=6乃，故選：c

【例3】

在三棱錐A-8CZ）中，已知A8、AC.A￡＞兩兩垂直，且4BCO是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則該三棱錐的外接球

的體積為（）

A.127rB.4由無(wú)C.6兀D.瓜兀

【答案】D

三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，則底面AABC為等邊三角形，所以三棱錐可以補(bǔ)成正方體，且兩者的外接球是同一

個(gè)，求出正方體的外接球半徑即可求出外接球的體積.

【詳解】解：山條件可知，三棱錐為正三棱錐，且可以補(bǔ)成正方體，兩者的外接球是同一個(gè)，正方體的體

對(duì)角線就是外接球的直徑.

設(shè)AB=x,則AC=A￡）=x,ABVAC,即有&x=2，所以工=近

則三棱錐的外接球的直徑為2R=yjAB2+AC2+AD2=,2+2+2=瓜，

則尺=如，所以體積丫="刑=卡》.

23

故選：D

【例4】

已知三棱錐P-ABC,PA_L平面A8C,且|/科=6，在AABC中，|AC|=1,忸4=2,且滿足sin2A=sin2B,

則三棱錐尸-ABC外接球的體積為（）

.272口32c8及「8

A.-----71B.71C.-----71D.-71

3333

【答案】c

先證明AC，BC,設(shè)三棱錐P-ABC外接球的半徑為R,把此三棱錐放到長(zhǎng)方體中，使三棱錐P-ABC的四個(gè)

頂點(diǎn)恰好是長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)，解方程（2R）2=|AC|2+|BC|2+\PAf=8,即得解.

【詳解】由sin2A=sin2B且怛。到4。，則2A+2B=T,，A+B=?;.C=],

則ACJ_BC,設(shè)二棱錐尸-ABC外接球的半徑為R,把此三棱錐放到長(zhǎng)方體中，使三棱錐尸-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)

恰好是長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)，則（2R『=|AC「+忸C『+1/嘴=&...R=&,

則％=g乃*--7T.故選：C

【題型三】長(zhǎng)方體模型2：四個(gè)表面直角三角形

【例1】在三棱錐P-ABC,若以，平面ABC,ACLBC,\AC\=5,|BC|=VH,|PA|=8,則三棱錐P—ABC

外接球的表面積是（）

A.IOOTTB.50兀C.144兀D.727t

[答案]A

【與加】根據(jù)三棱錐的幾何特征，可將二棱錐放于長(zhǎng)方體內(nèi)，三棱錐的外接球就是長(zhǎng)方體外接球.

【詳解】如圖，將三棱錐放于一個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)：

則三棱錐的外接球就是長(zhǎng)方體的外接球,為三棱錐P—ABC外接球的直徑，

V|PB|=6+（717）2+82=10,

二外接球的表面積為：4乃x[?J=]0G萬(wàn)故選：A.

【例2】

若三棱錐尸-ABC的四個(gè)面都為直角三角形，且叢_L平面ABC,PA=AB=l,AC=2,則其外接球的表

面積為（）

A.6冗B.5萬(wàn)C.4%D.34

【答案】B

【分析】構(gòu)造如圖所示的長(zhǎng)方體，設(shè)其外接球的半徑為R可得2R=PC=J|抬f+|AC『,

結(jié)合球的表面積計(jì)算公式即可.

【詳解】構(gòu)造如圖所示的長(zhǎng)方體,設(shè)其外接球的半徑為上

貝lj2R=PC=yl\PA^+\AC[=V12+22=V5，

所以外接球的表面積為：4兀（e=5小

故選：B

【例31

《九章算術(shù).商功》中有這樣段話：“斜解立方，得兩曲堵（qiandu）.斜解凄堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉席（bienao）.”

這里所謂的“鱉席”，就是在對(duì)長(zhǎng)方體進(jìn)行分割時(shí)所產(chǎn)生的四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐.已知三棱錐

A-8Cr＞是一個(gè)"鱉膈''，45,平面5c。，AC1CD,且48=0，BC=CD=\,則三棱錐A—BC。的

外接球的表面積為（）

A.3zrB.4HC.7〃D.9%

【答案】B

【分加】將：棱錐A-BCD補(bǔ)為長(zhǎng)方體可求得結(jié)果._

【詳解】如圖所示，將三棱錐A-58補(bǔ)為一個(gè)長(zhǎng)寬高分別為1,1,夜的長(zhǎng)方體，則三棱錐A-BC。的外接球

即長(zhǎng)方體的外接球.設(shè)外接球的半徑為R,則（2R『=l+l+2=4,所以R2=I，

所以：棱錐A-的外接球的表面積5=47K=4".故選：B.

【例4】

已知三棱錐S—ABC中，SAJ_平面ABC,SA=AB=BC=五,AC=2,點(diǎn)E,F分別是線段AB,BC的

中點(diǎn)，直線AF,CE相交于點(diǎn)G,則過點(diǎn)G的平面a與截三棱錐S-ABC的外接球。所得截面面積的取值范

圍為（）

8乃08乃3

A.產(chǎn)B.一，一九

92

2乃3空2萬(wàn)

C.一,-乃D.

323

【答案】B

【分析】可用補(bǔ)形法求球的半徑，當(dāng)截面垂直0G時(shí)，截面面積最小，截面過球心時(shí)面積最大可得.

【詳解】解：因?yàn)锳fi2+5C2=AC2,故AB_LBC,將二棱錐S—ABC補(bǔ)形成反方體，易知二棱錐S—ABC的

外接球0的半徑R=12+2+2=叵取AC的中點(diǎn)Q,連接8。必過點(diǎn)G,因?yàn)锳B=BC=g，故

22

因?yàn)?4,故。d=

DG=-BD=-工，則過點(diǎn)G的平面截球。所得截面圓的最小半

33

/、L

徑產(chǎn)=半-H=|,故截面面積的最小值為^,最大值為萬(wàn)R2=T%,

故選:B.

【題型四】長(zhǎng)方體模型3：三棱錐對(duì)棱相等與等邊直角三角形構(gòu)造長(zhǎng)方體型

【例1】

已知在四面體ABCD中，AB=CD=2?AD=AC=BC=BD=5則四面體A3C￡>的外接球表面積為

【答案】9兀

【分析】

把四面體A3。補(bǔ)成為一個(gè)長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體求出外接球的半徑，即可求出外接球表面積.

【詳解】

對(duì)于四面體ABCD中，因?yàn)锳B=C。=2及,AD=AC=BC=BDf,

所以可以把四面體48a）還原為一個(gè)長(zhǎng)方體，如圖：

設(shè)從同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條邊長(zhǎng)分別為X、八Z則有:

x2+y2=8x=2

^2+Z2=5,解得:,y=2點(diǎn)A、B、C、。均為長(zhǎng)、寬、高分別為2,2,1的長(zhǎng)方體的頂點(diǎn),

y2+z2=5Z=1

且四面體ABCD的外接球即為該長(zhǎng)方體的外接球,于是長(zhǎng)方體的體對(duì).角線即為外接球的直彳仝，

不妨設(shè)外接球的半徑為R，,2R=VF萬(wàn)了=3，外接球的表面積為4忒2=兀（2/?>=9n.故答案為：9兀.

【例2】

已知三棱錐P-ABC,AC=BC^1,AB=s/2,P在平面ABC的射影是M,M、C兩點(diǎn)關(guān)于AB對(duì)稱，且PM=1,

則三棱錐P-ABC外接球半徑是（）

A.3B.立C.立D.1

234

【答案】A

【分析】根據(jù)幾何關(guān)系，證明。、4、8、C為正方體的頂點(diǎn)，則三棱錐的外接球?yàn)檎襟w外接球.

【詳解】：AC=BC=LAB=0,AABC是等腰直角三角形，

?；M、C兩點(diǎn)關(guān)于A8對(duì)稱，，四邊形AC8M是正方形.

=1且垂直平面ABC,；.P、4、B、C、M是棱長(zhǎng)為1的正方體的頂點(diǎn)，

.?.正方體的外接球就是該三棱錐的外接球，

正方體體對(duì)角線上是外接球的直徑，，外接球半徑B.

2

【例3】

在三棱錐。-ASC中，AB=AD=2,BD=CB=CD=272.AC=2j5,則該四面體外接球的表面積是

()

32

A.12萬(wàn)B.8〃C.—7tD.24萬(wàn)

3

【答案】A

【分析】由條件可將二棱錐補(bǔ)體為正方體，即可求解外接球的半徑，即可求解.

【詳解】由下圖可知，該兒何體可以補(bǔ)形為正方體，其外接球恰好為正方體的外接球，正方體的體對(duì)角線

長(zhǎng)為AC=26=2R,故其外接球的表面積為4萬(wàn)穴2=12萬(wàn).

【例4】

如圖，在三棱錐S-AfiC中，SA=SC=AC=2?AB=BC=SB=2,則三棱錐S-AfiC外接球的表面積是

A.124B.4兀C.4岳D.—

3

【答案】A

【I?析】根據(jù)題意，將該幾何體放置了正方體中截得，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求邊長(zhǎng)為2的正方體的外接球，再求解

即可.

【詳解】解：因?yàn)樵谌忮FS-ABC中，SA=SC=AC=242,AB=BC=SB=2,

所以將三棱錐補(bǔ)形成正方體如圖所示，正方體的邊長(zhǎng)為2,

則體對(duì)角線長(zhǎng)為2百，外接球的半徑為R=K，

所以外接球的表由I積為47六=127，

故選：A.

【題型五】棱錐模型1:三棱錐

【例1】

.已知正四面體A-BCO外接球的表面積為12萬(wàn)，則該正四面體的表面積為（）

A.4右B.66C.8石D.12G

【答案】C

【分析】根據(jù)球的表面積公式可得半徑，利用補(bǔ)全法，可得正四面體的邊長(zhǎng)，可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)外接球半徑為R，則S=4萬(wàn)斤=12%，解得R=6,將正四面體A-BCD恢復(fù)成正方體，

知正四面體的棱為正方體的面對(duì)角線，故ABxXlx百=2后，解得AB=2&，

2

故該正四面體的表面積為4x曰X（2&『=875,故選：C.

【例2】已知正三棱錐P-ABC的外接球。的半徑為1,且滿足礪+而+元=0,則正三棱錐P-ABC的體積

為

A.-B.BC.3D.邁

4424

【答案】B

【詳解】解：由函+礪+反=0可得O,A8,C四點(diǎn)共面且O點(diǎn)是△ABC的重心.則有底面三角形的邊長(zhǎng)

為2rcos30=6，正四棱錐的體積丫=15小=1乂1'6乂6$M60。*1=且.

3*324

【例3】

在三棱錐尸-ABC中，PA=PB=PC=5AB=AC=BC=^3,則三棱錐P-ABC外接球的表面積是

（）

1525

A.9兀B.—nC.4兀D.—Tt

24

【答案】D

【分析】由外接球球心在正棱錐的高上，求得外接球的半徑后可得表面積.

【詳解】由已知尸-ABC是正三棱錐，設(shè)尸”是正棱錐的高，由外接球球心。在P”上，如圖，設(shè)外接球半

徑為R，

又CH=與*百=',則PH=JPC2-CH2=2,

由OC2=O〃2+C〃2得/?2=（2-/?尸+『，解得R=。，

所以表面積為S=4萬(wàn)x]￡|=坐.

故選：D.

【題型六】棱錐模型2：正四棱錐（或圓錐）

[例1]

已知在高為2的正四棱錐P-A8c。中，AB=2,則正四棱錐P-ABC。外接球的體積為（）

【答案】B

【分析】根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，結(jié)合球的體積公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】設(shè)正方形A8CD的中心為。，正四棱錐P-ABCD外接球的半徑為R,有04=夜，/?2=（2-力+（夜丫,

解得R=3，則正四棱錐尸-AfiCD外接球的體積為士%=也.故選：B

23⑴2

【例2】

已知圓錐的側(cè)面積為8萬(wàn)，且圓錐的側(cè)面展開圖恰好為半圓，則該圓錐外接球的表面積為（）

A8x/LrRQ「9乃64zr

A.-----B.97rC.--D.---

323

【答案】D

【分加】由題意首先求得圓錐的底面半徑、母線長(zhǎng)和高度，然后列方程求得其外接球半徑，最后由球的表

面積公式可得表面積的值.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為心母線長(zhǎng)為/,

則｛,c，解得，/人”^彳=26，設(shè)圓錐外接球的半徑為R，則（2石-種+22=產(chǎn)，解得

[7vl=2/rr[1=4

R也,

3

則外接球的表面積為47/?2=等.故選：D.

【例3】

已知正方體A8CO-ABGR的棱長(zhǎng)為2,其各面的中心分別為點(diǎn)E,F,G,H,M,N,則連接相鄰各面中

心構(gòu)成的幾何體的外接球表面積為（）

A.4萬(wàn)B.8〃C.124D.16〃

【答案】A

【分析】依題意可知正方體的中心。滿足：OE=OF=OG=OH=OM=ON=l,故外接球半徑為1,即可

求其表面積.

【詳解】如圖所示：設(shè)正方體488-A4GR的中心。滿足：

OE=OF=OG=OH=OM=ON=i

所以該幾何體的外接球的球心為。，半徑為1

則外接球表面積為5=4萬(wàn)產(chǎn)=47

故選：A

【例4】

已知正四棱錐P-ABC。所有棱的長(zhǎng)均為2,則該棱錐外接球的表面積為（）

A.44B.87

C.127rD.16]

【答案】B

由于尸A=PC=2,AC=20,得PA±PC故球心為AC與即交點(diǎn)則球表面積可求.

【詳解】如圖所示：

p

所以PA，PC,

設(shè)AC與8。交于點(diǎn)O，

則。4=08=OC=O。=OP=啦，

所以正四棱錐尸-ABCD的外接球是以0為球心，半徑為亞的球,

所以該棱錐外接球的表面積為4萬(wàn)x（夜丫=8萬(wàn)，故選：B

【題型七】棱錐模型3：面面垂直型

【例1】已知四棱錐F-483）中，平面？M，平面N8CD，其中幺BCD為正方形，為等腰直

角三角形，PA?PD■近,則四棱錐F-4BCD外接球的表面積為

A.10用B.4零C.16才D.8力

【答案】D

【詳解】試題分析：畫圖如下圖所示，由圖可知圓的半徑Q<=OB=GP=',故正方形的對(duì)角線的交點(diǎn)

恰好為球心，球的表面積為能*=覬,

【例2】在四邊形ABC。中，AB=BC=BZABC=90°,ZV1CO為等邊三角形，將△ACO沿邊AC折起,

使得平面ACDL平面A5C,則三棱錐O-43C外接球的表面積為（）

cc-4乃e164

A.8萬(wàn)B.124C.—D.

33

【答案】D

由直角三角形的性質(zhì)確定三角形ABC外接圓的半徑，再由。。，平面ABC確定三棱錐。-A5C外接球的球

心在上，由勾股定理求出外接球的半徑，進(jìn)而得出表面積.

【詳解】取AC的中點(diǎn)為。一連接

因?yàn)?ABC=90。，所以三角形ABC外接圓的圓心為°i,且Cq=g，（夜丫+（應(yīng)丫=1

因?yàn)槠矫鍭C。，平面ABC,所以，平面ABC因?yàn)榘耸降稙榈冗吶切?，所以三棱錐。-A8C外接球

的球心在。。1上設(shè)球心為。，半徑為R,連接8,。01=衣二］7=6由上=09：+0。：=1+（6-/?『，解

得人迫

3

即三棱錐。-ABC外接球的表面積為S=4"x竽］=等故選：D

【例3】

已知矩形ABC。中，Afi-4,AD=3,E,尸分別為邊A8和CQ上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且EF//4）,

將四邊形4）在沿EF折起，使平面45F",平面^口石，連接AB,CD,當(dāng)三棱柱ABE-OCF的體積最

大時(shí)，該三棱柱的外接球體積為（）

A68V1752布17V17n/rr

A.--------TCB.--------riC.--------71D.130134

336

［答案］C

設(shè)則3E=4-x,折得的幾何體為三棱柱ABE-0CF,利用棱柱的體積公式，結(jié)合基本不等式求

得體積最大值時(shí)工的值，進(jìn)而求得外接球的半徑，根據(jù)體積公式，即可求解.

【詳解】如圖所示，設(shè)AE=x,則跖=4-x,折得的幾何體為三棱柱ABE-OCA

I31+4-x

因?yàn)槠矫嫫矫?CEE,可得AEL跖，所以匕加吠=］》（4-力34整（——）2=6,

當(dāng)且僅當(dāng)x=4—x時(shí)，即x=2時(shí)，％比0田的體積最大，

設(shè)三棱柱的外接球的半徑為R，則2、=8。=>/4+4+9=后，可得R=典，

2

=工組.故選：c

36

【例4】

已知四棱錐P-ABCO中，底面A8C。為邊長(zhǎng)為4的正方形，側(cè)面叩J?底面ABC。，且△E4B為等邊三角

形，則該四棱錐P-AB8外接球的表面積為（）

【答案】A

【分析】取側(cè)面△R4B和底面正方形ABCD的外接圓的圓心分別為。”。2,分別過。一。2作兩個(gè)平面的垂

線交于點(diǎn)0,得到點(diǎn)。即為該球的球心,取線段A5的中點(diǎn)E,得到四邊形。再。2。為矩形，分別求得。。2，。2。，

結(jié)合球的截面圓的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】如圖所示，在四棱錐P-ABCD^,取側(cè)面和底面正方形4BCO的外接圓的圓心分別為QQ,

分別過。一。2作兩個(gè)平面的垂線交于點(diǎn)0，

則由外接球的性質(zhì)知，點(diǎn)。即為該球的球心，

取線段48的中點(diǎn)E,連QE,02E,O2D,0D,則四邊形。無(wú)。。為矩形，

在等邊△PA8中，可得PE=2ji,則0￡=3叵，即。。2=冬叵，

在正方形ABCD中，因?yàn)锳8=4,可得Q￡>=20,

22

在直角AORD中，可得BpR=OO；+O2D=—,

所以四棱錐P-ABCD外接球的表面積為5=4%爐=衛(wèi)/.

故選：A.

B

【題型八】線面垂直型1:直棱柱型（圓柱型）

【例1】

在直三棱柱A8C-A&G中，AB=AC=AAt=4,ABYAC,則該直三棱柱ABC-A&G的外接球的體積是

（）

A.487B.326兀C.167D.184r

【答案】B

由題意可知將直三棱柱可以補(bǔ)成一個(gè)正方體，則直三棱柱的外接球就是正方體的外接球，而正方體外接球

的直徑是正方體的對(duì)角線，從而可得答案

【詳解】解：因?yàn)橹比庵?BC-A8G中，A8=4C=A4,=4,AB1AC,

所以將直三棱柱補(bǔ)成棱長(zhǎng)為4的正方體，如圖所示

直三棱柱的外接球就是正方體的外接球，設(shè)外接球的半徑為R,則（2/?y=邛+下+下，解得R=26，

所以外接球的體枳為二乃於=±乃x12x2石=32岳，故選：B

【例2】

1T

正四棱柱ABCO-ABGR中，AB=2,二面角4-BO-G的大小為則該正四棱柱外接球的表面積為

A.12%B.14萬(wàn)C.16萬(wàn)D.18萬(wàn)

【答案】B

【分析】先根據(jù):面角A-BO-G的大小為?，求出正四棱柱的高，進(jìn)而可求出正四棱柱外接球的直徑，

從而可求出結(jié)果.

【詳解】取3。的中點(diǎn)0,連結(jié)OA，OG，易知在正四棱柱中，OCt±BD.

c）A=OC]，

jr

所以/AOG即為二面角A-5D-G的平面角，即/AOG=[,又=0G，所以為等邊三角形,

所以04=4G=20,所以A4,=JOA，-OA2=瓜,

因?yàn)檎睦庵耐饨忧蛑睆降扔谡睦庵捏w對(duì)角線長(zhǎng),設(shè)外接球半徑為R.

則2R=j22+22+6=VS，所以外接球的表面積為S=4TTR2=14萬(wàn).

故選B

【例3】

7

如圖，在正四棱柱ABCO-AECQ中，底面的邊長(zhǎng)為幾，與底面所成角的大小為出且tan"：,則

該正四棱柱的外接球表面積為（）

【答案】D

【分析】根據(jù)正四棱柱ABC。-A/8QD的側(cè)棱DC底面A8CC,判斷/。山。為直線8D/與底面A8C。

所成的角，可求出正四棱柱的高,利用體對(duì)角線長(zhǎng)度即為直徑求解球的表面積即可

[詳解]?.?正四棱柱ABCD-A向CM/的側(cè)棱/）小，底面ABCD,：./。網(wǎng)）為直線8。與底面ABCD所成

的角，

.,.tanZD/BD=|,二?正四棱柱ABC。-AJ3/C/D中，底面A8CO的邊長(zhǎng)為遙，；.8。=2上，

二正四棱柱的高6=26X|=迪??.正四棱柱的外接球半徑為R=D[B=后

'3F~-2---I-

52

正四棱柱的外接球表面積為S=4n/?2=?%.故選：D.

【例4】

學(xué)生到工廠參加勞動(dòng)實(shí)踐，用薄鐵皮制作一個(gè)圓柱體，圓柱體的全面積為8萬(wàn)，則該圓柱體的外接球的表面

積的最小值是（）

A.4（A/5—l）zrB.8（5/5—l）zrC.4（-^5+\）TTD.8（A/5+1）TT

【答案】B

4

【分析】設(shè)圓柱的高為力，底面圓的半徑為小該圓柱外接球的半徑為R,根據(jù)圓柱的面積得到力=--，

r

0<r<2,再由球與圓柱的結(jié)構(gòu)特征，得到R=進(jìn)而可表示出球的表面積，從而可求出最小值.

【詳解】設(shè)圓柱的高為〃，底面圓的半徑為「，該圓柱外接球的半徑為R,

、[4八

4—廣4----r>0

由題意可得24廣〃+2萬(wàn)產(chǎn)=8%，則泌+/=4；所以九=-----=—r,5r,則0<rv2,

rr[r>0

根據(jù)圓柱與球的對(duì)稱性可得：R=J+圖,

所以該圓柱體的外接球的表面積為5=4乃斤=4萬(wàn)卜+:）=4"產(chǎn)+-4尸=4萬(wàn)（4+捺一

\7

24萬(wàn)（2逐-2）=8（逐-1"當(dāng)且僅當(dāng)?=即/=京時(shí)一，等號(hào)成立.故選：B.

【題型九】線面垂直型2：棱錐型

【例11

《九章算術(shù)》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，將底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱

錐稱之為“陽(yáng)馬”，在如圖所示的塹培48C-A8C中，4A=4C=5,AB=3,BC=4,則在塹堵ABC-

中截掉陽(yáng)馬C-A84A后的幾何體的外接球的體積是（）

125岳1250

A.50萬(wàn)--------FD.200萬(wàn)

36

【答案】B

【分析】首先根據(jù)題意得到剩余的幾何體為三棱錐G-4BC,CG_L平面ABC,AB1BC,再將三棱錐放

入長(zhǎng)方體求解外接球體積即可.

【詳解】由題知：剩余的幾何體為三棱錐G-ABC,CC」平面ABC,ABVBC.

將二棱錐G-ABC放入長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的外接球?yàn)槿忮F的外接球，如圖所示：

外接球半徑R=在小2上=逑

所以外接球體積丫=3萬(wàn)絲孚L故選：B

【例2】

已知三棱錐P-ABC中，氏=4,A8=AC=2石，BC=6,勿，面48C,則此三棱錐的外接球的體積為（）

【答案】A

【分析】在底面AA3C中，利用余弦定理求出cos/BAC,得到sin/8AC,再由正弦定理得到AABC的外接

圓半徑，利用勾股定理，得到三棱錐外接球的半徑，得到其體積.

【詳解】：底面AABC中，AB=AC=273,BC=6,

cosZBAC---sinBAC=—>

...AABC的外接圓半徑為'一，"耳

?.?用_1_面43&二三棱錐外接球的半徑a=/+（?）=（2后+22=16,，R=4,

所以三棱維P-A8C外接球的體積V=:乃代=詈

故選：A.

【例3】

三棱錐P-ABC中，底面ABC為邊長(zhǎng)為6的正三角形，以，平面A8C,且以=4,則該三棱錐的外接球的

表面積為（）.

A.647rB.48兀C.32兀D.167t

【答案】A

【分析】根據(jù)題意求得外接圓的半徑為r=2G，球心到AABC外接圓圓心的距離為d=2,

進(jìn)而求得外接球的半徑，利用球的表面積公式，即可求解.

【詳解】由題意，底面AABC時(shí)邊長(zhǎng)為6的正一角形，PA_L平面ABC,且%=4,

可得此三棱錐外接球，即為以AABC為底面，以R4為高的正三棱柱的外接球，

因?yàn)锳ABC時(shí)邊長(zhǎng)為6的正三角形，可得A43C外接圓的半徑為,=28，

球心到AABC外接圓圓心的距離為d=2,

所以外接球的半徑為R=77壽=4，

所以外接球的表面積為5=4萬(wàn)卡=4^X42=647.

故選：A.

【例4】

已知三棱錐P-ABC中，PAl^ABC,底面A8C是邊長(zhǎng)為2的正三角形，PA=4,則三棱錐P-ABC的外

接球表面積為（）

【答案】B

【彳析】由已知結(jié)合二:棱錐和正三棱柱的幾何特征，得到三棱錐的外接即為以“ABC為底面，以R4為高的

正三棱柱的外接球，分別求得棱錐底面外接圓的半徑和球心到底面的距離，求得球的半徑，利用球的面積

公式，即可求解.

【詳解】根據(jù)已知中底面AMC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且始，底面ABC,

可得此三棱錐外接球，即為以為底面，以上4為高的正三棱柱的外接球，

因?yàn)锳ABC時(shí)邊長(zhǎng)為2的正三角形，可得“LBC的外接圓半徑為r=2叵，

3

所以球心到AABC的外接圓圓心的距離為」=2,

故球的半徑為7?=。7彳=拽，

3

所以三棱錐P-ABC外接球的表面積為5=勿加,=（64萬(wàn).

故選：B.

【題型十】?jī)?nèi)切球

［例1］

已知正方體4BCD-A4GA的棱長(zhǎng)為1,其內(nèi)切球與外接球的表面積分別為5，邑，則”=（）

［答案］C

【K析】根據(jù)正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱，求出其半徑，外接球的直徑為正方體的對(duì)角線，求出

半徑，由球的表面積公式，即可求解.

【詳解】?jī)?nèi)切球的半徑外接球的半徑&=等,

所以表面積之比為&=HQ=L故選：c.

邑⑴3

【例2】

已知正三棱柱的高與底面邊長(zhǎng)均為2,則該正三棱柱內(nèi)半徑最大的球與其外接球的表面積之比為（）

A.-B.且C.-D.叵

7777

【答案】A

【5析】根據(jù)柱體外接球的特點(diǎn)可知，該正三棱柱的外接球的球心在上下底面中心連線的中點(diǎn)處，再根據(jù)

勾股定理即可求出外接球的半徑；由正三棱柱的性質(zhì)可知，當(dāng)球半徑「是底面正三角形內(nèi)切圓的半徑時(shí)，該

內(nèi)切球的半徑最大，由此即可求出該內(nèi)切球的半徑，再根據(jù)球的表面積公式，即可求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)正三棱柱ABC-ABC，取三棱柱ABC-ABC的兩底面中心0,。1,

連結(jié)。?！〉闹悬c(diǎn)連結(jié)80,則BD為正三棱柱外接球的半徑.是邊長(zhǎng)為2的正三角形，

。是AABC的中心，，80=2、6=辿.又?.?OD=Loa=」AA=i，

332,21

BD=j0B、0D2=g=誓....正三棱柱ABC-ABG外接球的表面積47x8。=學(xué).

根據(jù)題意可知，當(dāng)球半徑「是底面正三角形內(nèi)切圓的半徑時(shí)，此時(shí)正三棱柱內(nèi)的球半徑最大，即

_16

r=—xy/j=—,

33

A77,

所以正三棱柱ABC-A4G內(nèi)半徑最大的球表面積為4Txr=號(hào)，

47

所以該正三棱柱內(nèi)半徑最大的球與其外接球的表面積之比為虎a一=『1故選：A.

米爪7

【例3】

在正方體A8CO-AMGR中，三棱錐A-8CQ的內(nèi)切球的表面積為16萬(wàn)，則正方體外接球的體積為（）

A.8反B.288萬(wàn)C.36萬(wàn)D.72近兀

【答案】B

【分析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為。，求出三棱錐A-BCQ的內(nèi)切球半徑，設(shè)A到平面BG。的距離為兒可得

Xvg0=4%-g",從而可得a=46,求出正方體的對(duì)角線可得正方體外接球的半徑，利用球的體積公式

即可求解.

【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為“，則BO=&a，因?yàn)槿忮FA-BG。的內(nèi)切球的表面積為16兀，

所以三棱錐A-BCQ的內(nèi)切球半徑為2.設(shè)三棱錐A-BCQ的內(nèi)切球的球心為0,

=

A到平面BCQ的距離為h,則展他,5cox/z=4x—S^BCDx2=>〃=8,

〃=^x后a=8,