反比例函數（解析版）-中考數學備考復習重點資料歸納

第11講反比例函數（精講精練）

目自；ffla*!&

L結合具體情境體會反比例函數的意義，能根據已知條件確定反比例函數的關

系式

k

2.能畫出反比例函數的圖像，根據圖像和關系式>=—（左彳0）探索并理解k>0

X

和kVO時，圖像的變化情況

3.能用反比例函數解決簡單實際問題

匡］考宣導戊

考點1:反比例函數的概念、圖像與性質................................................2

考點2：確定函數解析式...............................................................10

考點3：反比例函數與幾何綜合........................................................20

考點4：反比例函數與一次函數綜合....................................................32

考點5:實際問題與反比例函數........................................................43

課堂總結：思維導圖..................................................................55

分層訓練：課堂知識鞏固..............................................................56

考點1:反比例函數的概念、圖像與性質

1.反比例函數的概念：

(1)定義：形如的函數稱為反比例函數，%叫做比例系數，自變量的取值范圍是

X

非零的一切實數.

⑵形式：反比例函數有以下三種基本形式：①y=4?y=kx-'-,③孫=4.（其中左為常數,

且20）

2.反比例函數圖像與性質

A的符號圖索經過象限rlifiJT變化的情雙

圖象經過第你個象限內.用數尸的

一、三：*!?倒珈.丫的用大而發(fā)小.

（工、7月號）

芯0圖依經逑不W個象限內.傅敏廣的

1:、WM位前X的諭大而雄大.

1（1、「蚌號》

3.反比例函數的圖象特征

（1）由兩條曲線組成，叫做雙曲線；

（2）圖象的兩個分支都無限接近x軸和y軸，但都不會與x軸和y軸相交；

（3）圖象是中心對稱圖形，原點為對稱中心；也是軸對稱圖形，2條對稱軸分別是平面直

角坐標系一、三象限和二、四象限的角平分線.

S3中…」_____________________________________________________

:二掇制發(fā)卷書

【例題精析1】｛反比例函數的定義★｝下面的函數是反比例函數的是（）

【分析】根據反比例函數的定義逐個判斷即可.

【解答】解：A.v不是關于x的反比例函數，故本選項不符合題意；B.y是x的是正比

例函數，不是反比例函數，故本選項不符合題意；C.y是關于x的反比例函數，故本選項

符合題意；D.y不是關于x的反比例函數，故本選項不符合題意；故選：C.

【點評】本題考查了反比例函數的定義，能熟記反比例函數的定義是解此題的關鍵，注意：

形如y=2（k為常數，人工0）的函數，叫反比例函數.

X

【例題精析2】｛反比例函數的定義^豬函數尸（病-3加+2）/-3是反比例函數，則加

的值是（）

A.1B.-2C.2或-2D.2

【分析】根據反比例函數的意義，得出=且〃/-3加+2*0,進而求出，”的值.

【解答】解：?.,函數y=（〃/一3加+2口阿"是反比例函數，.1加-3=-],且-3機+2#0,

m=±2,當用=2時，m2-3m+2=0,不合題意舍去，當〃?=-2時，m2-3w+2=12*0,

m=—2>故選：B.

【點評】本題考查反比例函數的定義，理解反比例函數的意義，得出|刈-3=-1,且

川-3m+240是解決問題的關鍵.

【點評】這道題主要考查了反比例的概念，正比例關系是兩個量的比值是一個定值，希望加

以區(qū)分.

【例題精析3】｛反比例函數的圖像★｝函數了=4與卜=去+%在同一坐標系的圖象可能

X

是下列選項中的（）

A.

【分析】因為A"的符號不確定，所以應根據4的符號及一次函數與反比例函數圖象的性質解

答.

【解答】解：,.,y=Ax+%=%（x+l）,.,.直線經過點（-1,0）,故4、C選項錯誤：當％<0時,

反比例函數夕=與的圖象在二，四象限，一次函數夕=依+左的圖象過二、三、四象限，選項

X

。不符合；當4>0時，反比例函數夕=k￡的圖象在一、三象限，一次函數〉=履+左的圖象

X

過一、二、三象限，選項5符合.故選：B.

【點評】本題主要考查了反比例函數和一次函數的圖象性質，正確掌握它們的性質才能靈活

解題.

【例題精析4】｛反比例函數的性質★｝對于反比例函數y=下列說法不正確的是(

X

)

A.這個函數的圖象分布在第一、三象限

B.點(1,4)在這個函數圖象上

C.這個函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形

D.當x>0時，y隨x的增大而增大

【分析】根據反比例函數的性質：當k>0,雙曲線的兩支分別位于第一、三象限，在每一

象限內y隨x的增大而減小進行分析即可.

【解答】解：A,反比例函數y=&中的k=4>0,雙曲線的兩支分別位于第一、三象限，

X

正確，不符合題意；8、點(1,4)在它的圖象上，正確，不符合題意；C、反比例函數的圖

象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，正確，不符合題意；D、反比例函數y=y=&中的

X

k=4>0,其在每一象限內y隨x的增大而減小，不正確，符合題意；故選：D.

【點評】本題考查反比例函數圖象與性質，關鍵掌握以下性質：反比例函數y=&/xO),

X

當人>0,反比例函數圖象在一、三象限，每個象限內，y隨x的增大而減??；當上<0,反

比例函數圖象在第二、四象限內，每個象限內，y隨x的增大而增大

雷對支刑佳

【對點訓練1】｛反比例函數的圖像★｝已知在同一直角坐標系中二次函數y=

和反比例函數y=g的圖象如圖所示，則一次函數的圖象可能是()

xm

y

【分析】根據反比例函數圖象和二次函數圖象經過的象限，即可得出機<0、〃>0、a>0,

由此即可得出@<0,-n<0,即可得出一次函數夕=巴》-"的圖象經過二三四象限，再對

mm

照四個選項中的圖象即可得出結論.

【解答】解：?.?二次函數開口向下，?.?二次函數的對稱軸在y軸右側，左同右異,

6符號與。相異，n>0；?反比例函數圖象經過一三象限，,.巴<0,-?<0>

m

.?.一次函數y=的圖象經過二三四象限.故選：B.

m

【點評】本題考查了反比例函數的圖象、一次函數的圖象以及二次函數的圖象，根據反比例

函數圖象和二次函數圖象經過的象限，找出"<0、〃>0、“>0是解題的關鍵.

【對點訓練2】｛反比例函數的性質★｝已知反比例函數y=4,在下列結論中，不正確

x

的是()

A.圖象必經過點(-1,-2)B.圖象在第一、三象限

C.若x<-l,則y<-2D.點/(X],yj,B(x?,%)圖象上的兩點，且用<0<%，

則必<力

【分析】直接利用反比例函數的性質結合反比例函數的增減性分別分析得出答案.

【解答】解：A.反比例函數了=2,圖象必經過點(-1,-2),原說法正確，故此選項不合

X

題意；B.反比例函數y=2,圖象在第一、三象限，原說法正確，故此選項不合題意；C.若

X

x<-l.則夕>-2,原說法錯誤，故此選項符合題意；D.點工(不，乂)，B(X2,乃)圖象

上的兩點，且不<0<々，則必<為，原說法正確，故此選項不合題意；故選：C.

【點評】此題主要考查了反比例函數的性質，正確掌握反比例函數的增減性是解題關鍵.

【對點訓練3】｛反比例函數的定義★｝已知函數y=是反比例函數，則用的

值為_-1

【分析】根據反比例函數的定義，即y=?(AwO),只需令〃?2-2=T且機-1*0即可.

X

【解答】解：根據題意/7?2-2=—1,m=±\,又加-IwO,mwl,所以加=—1.故答案

為：-1?

【點評】本題考查了反比例函數的定義，重點是將一般式y(tǒng)=&(AHO)轉化為了=云九4*0)

X

的形式.

【對點訓練4】｛反比例函數的性質★)(2021?茶陵縣模擬)如圖，點P(3a,a)是反比例

函數y=2(k>0)與0。的一個交點，圖中陰影部分的面積為101，則反比例函數的解

X

【分析】根據圓的對稱性以及反比例函數的對稱性可得，陰影部分的面積等于圓的面積的■!",

4

即可求得圓的半徑，再根據P在反比例函數的圖象上，以及在圓上，即可求得上的值.

【解答】解：設圓的半徑是廠，根據圓的對稱性以及反比例函數的對稱性可得：

一萬尸=10萬解得：廠=29?點尸(3a,是反比例函數》=￡(4>0)與00的一個交點.

4x

3a2=k.yl(3a)2+a2=ra2(2V10)2=4.「.4=3x4=12,則反比例函數的解析式

且12

是：y=——?

X

故答案是：y=-.

X

【點評】本題主要考查了反比例函數圖象的對稱性，正確根據對稱性求得圓的半徑是解題的

關鍵.

【實戰(zhàn)經典1]（2021?荊門）在同一平面直角坐標系中，函數夕=6-《與y=2（%x0）

的大致圖象是（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

【分析】根據人的取值范圍，分別討論4>0和左<0時的情況，然后根據一次函數和反比例

函數圖象的特點進行選擇正確答案.

【解答】解：當〃>0時，一次函數義=依-%經過一、三、四象限，函數的歹=2伏工0）的

|x|

圖象在一、二象限，故選項②的圖象符合要求.當*<0時，一次函數卜=丘-%經過一、二、

四象限，

函數的y=的圖象經過三、四象限，故選項③的圖象符合要求.故選：B.

1*1

【點評】此題考查一次函數的圖象和反比例函數的圖象，數形結合是解題的關鍵.

【實戰(zhàn)經典2】（2021?聊城）已知二次函數了="2+fer+c的圖象如圖所示，則一次函

數y=bx+c的圖象和反比例函數y="土的圖象在同一坐標系中大致為（）

X

D.H

【分析】先根據二次函數的圖象開口向下和對稱軸可知Z><0,由拋物線交V的正半軸，可

知c>0,由當x=l時，y<0,可知a+b+c<0,然后利用排除法即可得出正確答案.

【解答】解：?.?二次函數的圖象開口向下，.?.〃<（），."<0,

???拋物線與〉軸相交于正半軸，.ic>。，.?.直線歹=云+。經過一、二、四象限，

由圖象可知，當x=l時，”0,.?.〃+6+。<0,.?.反比例函數歹="+）+。的圖象必在二、

四象限，

故/、B、C錯誤，。正確；故選：D.

【點評】本題考查的是二次函數的圖象與系數的關系，反比例函數及一次函數的性質，熟知

以上知識是解答此題的關鍵.

【實戰(zhàn)經典3]（2021?黔西南州）對于反比例函數y=-3,下列說法錯誤的是（）

A.圖象經過點（1,-5）B.圖象位于第二、第四象限

C.當x<0時，y隨x的增大而減小D.當x>0時，y隨x的增大而增大

【分析】根據題目中的函數解析式和反比例函數的性質，可以判斷各個選項中的說法是否正

確，從而可以解答本題.

【解答】解：?.■反比例函數y=.?.當x=l時，j=--=-5,故選項力不符合題意；

x1

k=-5,故該函數圖象位于第二、四象限，故選項8不符合題意；當x<0,y隨x的增大

而增大，故選項C符合題意；當x>0時，y隨x的增大而增大，故選項。不符合題意；故

選：C.

【點評】本題考查反比例函數的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用反比例函數的性質

解答.

【實戰(zhàn)經典4]（2021?杭州）已知必和必均是以x為自變量的函數，當x=〃i時，函數

值分別是M和，若存在實數加，使得=0，則稱函數y,和y2具有性質P.以

下函數必和為具有性質P的是（）

A.乂=/+2x和%=-x-lB.必=x?+2x和%=-x+lC.y,=—和力=-》-1

D.y,=—和%=-x+l

【分析】根據題干信息可知，直接令必+%=0,若方程有解，則具有性質產，若無解，則

不具有性質尸.

【解答】解：A.令%+%=0,則x2+2x-x-l=0,解得x=T丁或x=T丁,即

函數M和力具有性質尸，符合題意；B.令%+%=0,則J+2x-x+l=0,整理得，

x2+x+l=0,方程無解，即函數必和為不具有性質產，不符合題意；C.令乂+%=0,

則=整理得，x2+x+}=0,方程無解，即函數乂和力不具有性質P，不符合

X

題意；D.令7]+%=0,則-1一x+l=O,整理得，x2-x+1=0,方程無解，即函數必和

x

為不具有性質產，不符合題意；故選：A.

m題被做理

考點2：確定函數解析式

待定系數法：只需要知道雙曲線上任意一點坐標，設函數解析式，代入求出反比例函數系數

k即可.

國例典我書

【例題精析1】｛確定反比例函數的解析式★｝一個反比例函數圖象過點4(2,3),則這

個反比例函數的解析式是_y=9_.

X

【分析】設出反比例函數解析式，然后把點的坐標代入求出左值，即可得到解析式.

【解答】解：設該反比例函數為夕=々%H0),則k=xy.該反比例函數的圖象經過點4(2,3),

X

.?/=2x3=6,.?.該反比例函數的解析式為：y=故答案為：y=-.

XX

【點評】本題考查了待定系數法求反比例函數解析式，靈活運用待定系數法是解題的關鍵，

本題把點的坐標代入函數表達式進行計算即可求解.

【例題精析2】｛確定反比例函數的解析式★｝如圖，菱形。8/C的邊。8在x軸上，點

k

/l(8,4),tanZC(9B=-4,若反比個例函數y=￡(4工0)的圖象經過點C,則反比例函數

3x

【分析】根據菱形的性質和點力的坐標可求出CM，再由銳角三角函數可求出OM,進而

確定點C的坐標，再將點C的坐標代入函數關系式即可.

4

【解答】解：?.?四邊形O/8C是菱形，/1(8,4),:.CM=4,又?.?tanNCO8=§,，。河二？，

.?.點C(3,4),?.?點C(3,4)在反比例函數y=?的圖象上，.?4=3x4=12,

X

.??反比例函數關系式為y=昆，故答案為：y=-.

XX

【點評】本題考查菱形的性質，銳角三角函數的定義以及反比例函數圖象上點值坐標的特征

是解決問題的關鍵.

【例題精析3】｛確定反比例函數的解析式★｝如圖，在平面直角坐標系xQy中，直線

與x軸交于點4(-2,0),與反比例函數在第一象限內的圖象的交于點8(2,〃)，連接50,

右SMOB=4,

(1)反比例函數的解析式為_y=-_；

X

(2)若直線45與y軸的交點為C,則A0C8的面積為.

【分析】(1)先根據三角形面積公式求出〃得到8(2,4),然后利用待定系數法求反比例函數

解析式；

(2)先利用待定系數法求出直線48的解析式，再確定C點坐標，然后利用三角形面積公

式求解.

【解答】解：(1)vSM0B=4,

—x2xn=4,解得〃=4,

2

8(2,4),

設反比例函數解析式為歹=K,

X

把8(2,4)代入得A=2x4=8,

.?.反比例函數解析式為夕=§；

X

(2)設直線48的解析式為y=ox+6,

把4-2,0),8(2,4)代入得卜2"+'=°,解得

2。+6=4

直線AB的解析式為y=x+2,

當x=0時，y=x+2=2,則C(0,2),

?二S、ocB=-X2X2=2.

故答案為：(l)y=?,(2)2.

X

【點評】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：求反比例函數與一次函數的交點坐

標，把兩個函數關系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩

者無交點.也考查了待定系數法求反比例函數和一次函數解析式.

€對支刊珠

【對點訓練1】｛確定反比例函數的解析式★｝已知平行四邊形/8C。中，4-9,0)、

8(-3,0),C(0,4),反比例函數y=4是經過線段CQ的中點，則反比例函數解析式為

X

12

y=——?

X

【分析】因為四邊形Z8CQ時平行四邊形，所以C。的中點為(-3,4),由中點坐標可求反比

例函數的解析式.

【解答】解：如圖：???4(-9,0)、8(-3,0)、C(0,4),.-.AB=6,8C=5,l?反比例函數為y=4,

X

?.?四邊形是平行四邊形，.,./BuC。，48//CD,，。(-6,4),二。的中點為(-3,4),

.?=-12,=-2；.??反比例函數的解析式為y=-"；故答案為了=-”.

【點評】本題考查了待定系數法求反比例函數的解析式與平行四邊形的性質；熟練掌握平行

四邊形的性質，會用待定系數法求反比例函數解析式是解題的關鍵.

【對點訓練2】｛確定反比例函數的解析式★｝如圖，反比例函數y='的圖象經過

X

RtAOAB的頂點4,。為斜邊。4的中點，則過點。的反比例函數圖象的函數表達式為

2

'=———?

【分析】設利用線段的中點坐標公式得到。點坐標為gf,;),然后利用待定系

數法求過點。的反比例函數解析式.

【解答】解：設/(/,§),

t

為斜邊。力的中點，點坐標為(gr,：),設過點。的反比例函數圖象的函數表達式

為，，

X

把。(夕，±)代入得&=夕—=2,.?.過點。的反比例函數圖象的函數表達式為了=：.故

答案為y=2.

X

【點評】本題考查了待定系數法求反比例函數的解析式：設出含有待定系數的反比例函數解

析式y(tǒng)=&(%為常數，4x0),然后把一個已知點的坐標代入求出4得到反比例函數解析式.

X

【對點訓練3】如圖，已知反比例函數y='(x>0)的圖象經過點/(4,2),過工作/C_Ly

X

軸于點C.點8為反比例函數圖象上的一動點，過點8作5O1X軸于點。，直線8C與

x軸的負半軸交于點E.

(1)求反比例函數的表達式；

(2)若BD=3OC,求A8OE的面積.

y

【分析】(i)利用待定系數法即可解決問題.

(2)求出直線BC的解析式，可得E點坐標，求出CE,8。即可解決問題.

【解答】解：(1)；反比例函數了=竺。＞0)的圖象經過點/1(4,2),，"?=8,.?.反比例函數

0

y=_(X〉O)；

X

(2)???/C_L>軸，4(4,2),.,.0C=2,??,BO=3OC,8。=6,???8O_Lx軸，—，6),

vC(0,2),設直線8。的解析式為〉=去+6,貝I」有4，解得，，，

—k+b=66=2

13i

2741

二.直線8C的解析式為y=3x+2,E(--,0),/.DE=-+-=2fSABED=-xDExBD=6.

【點評】本題考查了反比例函數的綜合應用，待定系數法、一次函數與坐標軸的交點特征，

梯形面積等知識點，熟練掌握一次函數和反比例函數的相關知識是解題關鍵.

【對點訓練4】如圖，平面直角坐標系xQy中，函數了=幺的圖象上4、8兩點的坐標分

X

別為］(”,〃+1),8(〃-5,-2”).

(1)求反比例函數了=公和直線45的解析式；

X

(2)連接/。、BO,求A4O5的面積.

【分析】(1)根據反比例函數系數4=盯得出"("+1)=(〃-5)(-2〃)，即

n2+n=-2n2+10n3n2-9n=0,解方程求得/、8的坐標，進而即可利用待定系數法求得

函數的解析式；

(2)求得〃的坐標，然后利用三角形面積公式即可求得.

【解答】解：(1)???/、8兩點在y=&的圖象上，而N(”,〃+l),B(n-5,-2n),

X

222

n(n+1)=(H-5)(-2/7),HPn+n=-2n+10n3n-9〃=0,解得々=(),w2=3

k

?.?y=—的圖象與坐標軸沒有交點，.??4=0舍去，，〃=？，.?.4(3,4),8(-2,-6),

x

.,.^=3x4=12,

設直線48的解析式為：y=ax+b,則[3"+”=4,解得：^=2

[-2a+6=-6[b=-2

二.直線48的解析式為：j=2x-2,反比例函數解析式為：y=-；

X

(2)設直線18交x軸于點。，則當歹=0時，2x-2=0,:.x=l,.,.￡>(1,0),

SMOB=lxlx4+yxlx6=5

.?.A4O8的面積為5.

【點:評】本題考查了待定系數法求反比例函數的解析式，一次函數的解析式，一次函數圖象

上點的坐標特征，三角形的面積，求得力、8點的坐標是解題的關鍵.

【實戰(zhàn)經典1]（2020?黔西南州）如圖，在菱形/80C中，AB=2,乙4=60。，菱形的

一個頂點C在反比例函數、=月依n0）的圖象上，則反比例函數的解析式為（）

V3「3口6

y=----C.y=—D.y=

【分析】根據菱形的性質和平面直角坐標系的特點可以求得點C的坐標，從而可以求得女的

值，進而求得反比例函數的解析式.

【解答】解：?.?在菱形480C中，4=60。,菱形邊長為2,.?.oc=2,Z.COB=60°,過C

作CELO8于E,貝l」NOCE=30。，；.OE=；OC=1,CE=6,.?.點C的坐標為（-1,百），

?.?頂點C在反比例函數二4的圖象上，，6=&,得k=Y,即、=—巫，故選：B.

X-1X

【點評】本題考查待定系數法求反比例函數解析式、菱形的性質，解答本題的關鍵是明確題

意，求出點C的坐標.

【實戰(zhàn)經典2]（2021?西藏）如圖.在平面直角坐標系中，的面積為名，垂

8

直x軸于點08與雙曲線^=&相交于點C,且5C:OC=1:2.則上的值為（）

X

99

A.-3B.一一C.3D.-

42

【分析】過。作軸于。，可得A￡）OCSA4O5,根據相似三角形的性質求出％農，

由反比例函數系數〃的幾何意義即可求得4.

【解答】解：過。作。Q_Lx軸于。，?.?"二'，.?."=2,?.?A4_Lx軸，.?.CD//48,

OC2OB3

WOCs^OB，,衿=（釜2=令=：,???S-AOB=帶，???S”=曲/=2X召弓

'MOBUH3"o"yoZ

【點評】本題主要考查了反比例函數系數々的幾何意義，相似三角形的性質和判定，根據相

似三角形的性質和判定求出Sg℃是解決問題的關鍵.

【實戰(zhàn)經典3]（2020?黔南州）如圖，正方形的邊長為10,點/的坐標為（-8,0）,

點8在y軸上，若反比例函數卜=幺（我片0）的圖象過點C,則該反比例函數的解析式為

x

12

y=——-

【分析】過點C作CE_Ly軸于E,由“44S”可證,可得CE=O8=6,

BE=40=8,可求點C坐標，即可求解.

【解答】解：如圖，過點C作CELy軸于E,

:.OB=y/AB2-AO2=J100-64=6,

;N4BC=N40B=90°N4B0+NCBE=9?！?N4BO+NB40=90°,NB40=NCBE,

又ZAOB=NBEC=90°，二\ABO=\BCE(AAS),:.CE=OB=6,BE=AO=8,OE=2,

.?.點C(6,2),?.?反比例函數y=4/x0)的圖象過點C,.?.左=6x2=12,.?.反比例函數的解

X

析式為夕=”，

X

故答案為：y=—-

X

【點評】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，正方形的性質，利用待定系數法求解

析式，求出點C坐標是本題的關鍵.

圖8敘找理

考點3:反比例函數與幾何綜合

(1)意義：從反比例函數y=4(kW0)圖象上任意一點向X軸和y軸作垂線，垂線與坐標軸

X

所圍成的矩形面積為I乩以該點、一個垂足和原點為頂點的三角形的面積為:此

制做我布

【例題精析1】｛反比例函數的幾何意義★★｝如圖，A,8是反比例函數y=9在第一

X

象限內的圖象上的兩點，且4,8兩點的橫坐標分別是2和3,則AO/B的面積是()

A.4.5B.3.5C.2.5D.1.5

【分析】過N,B兩點分別作軸于C,8。，》軸于。，由反比例函數解析式求得4、

8的坐標，根據反比例函數系數A的幾何意義得出SMOC=S^D=3，由

SMOB=Sg0c+S梯形/8QC—S^OD=S梯形/6QC即可求得?

【解答】解：?.?4，8是反比例函數y=9在第一象限內的圖象上的兩點，且4,8兩點的

X

橫坐標分別是2和3,.?.當x=2時，y=3,即4(2,3),當x=3時，y=2,即8(3,2).

如圖，過/,8兩點分別作/C_Lx軸于C,軸于。，則叉40c=S48m=；x6=3.

?^=1(^+JC).CZ)=1(23)xl=j,

?aMOB=S&AOC+§悌形-‘MOD=$梯形roc+

【點評】本題考查了反比例函數夕=幺中左的幾何意義，即圖象上的點與原點所連的線段、

X

坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關系即s=；|k|.

【例題精析2】｛反比例函數的幾何意義★★｝如圖，4是反比例函數了=幺圖象上一點，

X

過點/作X軸的平行線交反比例函數y=-士的圖象于點8,點C在X軸上，且凡此、=2,

x

則％的值為()

A.7B.-7C.-5D.5

【分析】根據反比例函數系數％的幾何意義可得邑80M=；[-3|=1,S44QM=V%],根據平

行線的性質和三角形的面積公式可得SMMB=&-=2，根據SMOM-SgOM=2，求出發(fā)的值

即可.

1T.1

【解答】解：如圖，連接0/、OB,延長相交y軸于”,則九?！?]|-3j=5,SMOM=-\k\,

丫4B//x軸，ShOAK=SAC/B=2,即~1^ASOM=2,y|A|——=2,k<0,k=-1>

【點評】本題考查反比例函數系數我的幾何意義，根據反比例函數系數A的幾何意義得出

-SgOM=SMBC=2是正確解答的關鍵?

【例題精析3】｛反比例函數的幾何意義★★)如圖，已知P(w,0),0(0,n)(m>0,〃>0),

反比例函數y的圖象與線段尸。交于C,。兩點，若”.℃=5M如=邑加°，則〃=(

93

A.-B.4C.3D.-

22

【分析】過點。作。石，x軸于點E，過點。作CE，x軸于點F.由=SRCOD=S^DOO可

i7

得出PC=CD=。。，BPOE=EF=FP,再根據尸點的坐標即可得出QE=—加，OF=—m,

33

設直線尸。的解析式為y=Ax+〃，由點P（嘰0）結合待定系數法求函數解析式即可得出直線

P0的解析式，將反比例函數解析式代入直線解析式中，由根與系數的關系可表示出項?超，

17

結合OE=—〃？，OF=—m,即可求出〃的值.

33

【解答】解：過點。作軸于點E,過點。作Cx軸于點尸.

*/SAPOC=S^CQD=Smo。,/.PC-CD—DQ,即OE—EF=FP,*/OP-3OE=m,

12

OE~~m,O77=§〃7.設直線P。的解析式為卜=+〃，，,點。（加,0）在直線。。上，

/.0=km+n,解得:k-,即直線PQ的解析式為＞=一2X+〃.令一己X+〃=”，即

minmx

nx2-tnnx+m2=0,

17Q

=-/nx—m,解得：n=—,故選：A.

332

【點評】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題、待定系數法求函數解析式以及三角

形的面積公式,解題的關鍵是結合根與系數的關系找出關于〃的一元一次方程.

【例題精析4】｛反比例函數的幾何意義★★｝如圖，RtAOAB中，NCM8=90。，點4

在x軸上,反比例函數y=t（x>0）的圖象過斜邊05的中點。，與43交于點C.若

x

△OBC的面積為3,則人的值是（）

3

A.1B.-C.2D.3

2

【分析】根據反比例函數系數我的幾何意義可得邑?！恪?$."=』1%1，由中點的定義和相似

三角形的性質可得沁=■!■,在根據&。弘=3=邑。”-$4?！?3|口，可求出答案.

S&OBA42

【解答】解：過點。作。ELO4于點E,則SAOOEMSAO/C：J的，?.?。是。8的中點，

:.OD=BD=-OB,

2

?.■DE1OA，ZOAB=90°,:.DE//AB,\ODE^\OBA,/.^22￡=（絲）2=1,

SA的OB4

SbOAB=4SA00E=2I%],

3

=

??^AOBC3=SAOAB-S^OAC=—\k\f又*:k>0，：.k=2,故選：C.

【點評】本題考查反比例函數系數上的幾何意義，相似三角形的判定和性質，理解反比例函

數系數z的幾何意義以及相似三角形的性質是解決問題的關鍵.

賽對支樹林

【對點訓練1】｛反比例函數的幾何意義★★｝如圖，點/與點8分別在函數

夕=勺（占＞0）與卜=4化＜0）的圖象上，線段N8的中點”在y軸上.若&4O8的面積

XX

為3,則勺-網的值是6

【分析】設/(a,6),8(-a,d),代入雙曲線得到勺=岫，k2=-ad,根據三角形的面積公式

求出ab+ad=6,即可得出答案.

【解答】解：作ZC_Lx軸于C,8。_1X軸于。，，4(7//8。/4軸，；加是/18的中點，

0C=0D,設/(a,6),B(—a,d)>代入得：k｛=ab,k2=-ad,,/SMOB=3,

【點評】本題主要考查對反比例函數系數的幾何意義，反比例函數圖象上點的坐標特征，三

角形的面積等知識點的理解和掌握，能求出M+ad=6是解此題的關鍵.

【對點訓練2】｛反比例函數的幾何意義★★｝如圖，4、8兩點在反比例函數了=3

X

的圖象上，過點Z作/C_Lx軸于點C,交OB于點D.若BD=30D,A4。。的面積

17

為1,則人的值為一不一

【分析】先設出點8的坐標，進而表示出點D,4的坐標，利用三角形的面積建立方

程求出加〃=2,即可得出結論.

15

【解答】解：設點3（4肛4〃）,16/W/7=k+\,?;BD=30D,D[m,n）,?.YC_Lx軸,

二.J+1),;A4。。的面積為1,-SMOD=—AD-OC=-(\6n-n)xm=\,

m22

2jiiz3217狀協(xié)受由17

15151515

【點評】本題考查反比例函數系數左的幾何意義、反比例函數圖象上點的坐標特征，解答本

題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用反比例函數的性質解答.

【對點訓練3】｛反比例函數的幾何意義★★｝如圖，點4、8在反比例函數y=上的圖

X

象上，直線48經過原點，點C在y軸正半軸上，且48=BC,=12,N/CO=45。，

【分析】作軸于。，8萬，夕軸于后，根據題意得到澳。。是等腰直角三角形，即

可得出=8,Z.CAD=ZACD=45°,通過證得△CBEszMOZ),得出8E=2。。，設

A(m,n),則8(-加,—〃)，AD=m,OD=n,所以機=2”，從而得到。C=3",AD=In,

根據三角形面積公式得到心X=,。04）=1'3"2〃=6,求得〃=應，從而求得

41/1V/V22

m=2-72,即uj求得k-mn-4.

【解答】解：作軸于。，5后_1卜軸于4,;乙4（7。=45。，；.44。（7是等腰直角三

角形，

AD=CD,NC4D=N4CD=45°,:點月、8在反比例函數y=工的圖象上，直線48經

X

過原點，

..OA=OB=-AB,?;AB=BC,:.OA=-BC,NBAC=NBCA,ZBCE=ZDAO,

22

Dp

vZBEC=ZADO=90°,/.\CBE^\AOD,—=—=2,BE=2OD,