2021年中考人教版數(shù)學一輪復習 第5章 四邊形

第五章四邊形

第一節(jié)多邊形

考點

易錯自糾

易錯點易套錯正多邊形內角、外角的計算公式

1.[2020湖北宜昌]游戲中有數(shù)學智慧.找起點游戲(如圖是游戲的示意圖)規(guī)定:從起點走五段相等直路之后回

到起點，要求每走完一段直路后向右邊偏行.成功的招數(shù)不止一招，可助我們成功的一招是(A

A.每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走

B.每段直路要短

C.每走完一段直路后沿向右偏108。方向行走

D.每段直路要長

起點

2.已知:一個多邊形的每個內角都比它相鄰的外角的4倍還多90。.求這個多邊形的邊數(shù)及內角和.

解:由題意易知該多邊形為正多邊形.

設該多邊形的一內角度數(shù)是a，則與它相鄰的外角的度數(shù)為180。-a,

根據(jù)題意得,a=4(180°-a)+90°,

解得a=162°,

180°-162°=18°.

???任何多邊形的外角和都是360。，

二該多邊形的邊數(shù)為360。+18°=20,

則這個多邊形的內角和為(20-2)X180°=3240°.

真題

考法速覽

考法1多邊形的內角與外角(10年2考)

考法2正多邊形的識別(10年1考)

考法3正多邊形的相關計算(10年3考)

考法4平面圖形的鑲嵌(10年2考)

考法1多邊形的內角與外角

1.[2020河北,18]正六邊形的一個內角是正n邊形T外角的4倍，則n=12.

2.[2016河北,22]已知n邊形的內角和9=(n-2)X180。.

⑴甲同學說能取360。；而乙同學說,。也能取630°.甲、乙的說法對嗎?若對，求出邊數(shù)n；若不對，說明理

曲

⑵若n邊形變?yōu)?n+x)邊形，發(fā)現(xiàn)內角和增加了360。，用列方程的方法確定x.

解:⑴甲對，乙不對.

若0=360",

則(n-2)X180°=360°,

解得n=4.

若0=630°,

則（n-2）X180°=630°,

解得n書.

：n為整數(shù)，

二0不能取630°.

⑵依題意彳導（n-2）XI80°+360°=（n+x-2）X180°,

解得x=2.

考法2正多邊形的識別

3.[2019河北刀下列圖形為正多邊形的是（D）

ABCD

考法3正多邊形的相關計算

s

4.[2014河北15]如圖,邊長為a的正六邊形內有兩個三角形（數(shù)據(jù)如圖），則普=（C）

se

A.3B.4C.5D.6

5.[2015河北,19]平面上，將邊長相等的正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形的一邊重合并疊在一起,如圖,

考法4平面圖形的鑲嵌

6.[2018河北19]如圖⑴作NBPC的平分線的反向延長線PA,現(xiàn)要分別以NAPB,NAPC,NBPC為內角作正多邊形,

且邊長均為I,將作出的三個正多邊形填充不同花紋后可成為一個圖案.

例如，若以NBPC為內角，可作出一個邊長為1的正方形，此時/BPC=90°,而詈45°是360。（多邊形外角和）的，

這樣就恰好可作出兩個邊長均為1的正八邊形，填充花紋后可得到一個符合要求的圖案，如圖⑵所示.

圖⑵中圖案的外輪廓周長是」；在所有符合要求的圖案中選一個外輪廓周長最大的定為會標，則會標的外

輪廓周長是21.

7.[2012河北,18]用4個全等的正八邊形進行拼接，使相鄰的兩個正八邊形有一條公共邊,圍成一圈后中間形成

一個正方形（如圖⑴）.用n個全等的正六邊形按這種方式拼接（如圖⑵），若圍成一圈后中間也形成一個正多邊

形廁n的值為6.

圖⑴圖⑵

第二節(jié)平行四邊形

考點

易錯自糾

易錯點1將平行四邊形面積公式與三角形面積公式混淆而出錯

1.如圖，在AABC中,AB=4,SA*4,將aABC沿直線AB向右平移2個單位長度得到AA'B'C',連接CC',則四邊形

ACCA'的面積為4.

易錯點2誤用“一組對邊平行，一組對邊相等的四邊形是平行四邊形”進行判定

2.在四邊形ABCD中，已知AD〃BC,則添加下列條件不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是(C)

A.AB〃DCB.AD=BC

C.AB=DCD.ZB+ZC=180"

易錯點3題干未給出圖形而忽略分類討論

3.在平行四邊形ABCD中,NA=30°,AD=4祗BD=4,則平行四邊形ABCD的面積為8如或16代.

方法

命題角度1與平行四邊形性質有關的計算

目提分特訓

1.[2020湖南益陽]如圖尸ABCD的對角線AC,BD交于點0,若AC=6,BD=8,則AB的長可能是(D)

A.10B.8

C.7D.6

2.[2020海南]如圖，在"ABCD中,AB=10,AD=15,/BAD的平分線交BC于點E,交DC的延長線于點F,過點B作

BG±AE于點G,若BG=8,則4CEF的周長為(A)

A.16B.17

C.24D.25

命題角度2平行四邊形的判定

G提分特訓

3.[2020湖南衡陽]如圖，在四邊形ABCD中,對角線AC和BD相交于點0.下列條件不熊判斷四邊形ABCD是平行

四邊形的是（C）

A.AB〃DC,AD〃BCB.AB=DC,AD=BC

C.AB//DC,AD=BCD.0A=0C,0B=0D

AD

4.[2019遼寧沈陽]如圖，在四邊形ABCD中，點E和點F是對角線AC上的兩點,AE=CF,DF=BE,且DF〃BE,過點C作

CGLAB交AB的延長線于點G.

⑴求證:四邊形ABCI）是平行四邊形；

⑵若tanNCAB=|,NCBG=45°,BC=4或，則nABCD的面積是2，1.

（1）證明:丁AE=CF,二AE+EF=CF+EF,

即AF=CE.

■.,DFZ/BE,AZDFA=ZBEC.

又.；DF=BE,

.,.△ADF^ACBE,

AD=CB,NDAF=/BCE,二AD〃CB,

???四邊形ABCD是平行四邊形.

⑵24

解法提示:：CG±AB,/.ZG=90°.

VZCBG=45°,

.?.△BCG是等腰直角三角形.

??,BC=4V2,/.BG=CG=4.

VtanZCAB--^,AAG-10,

5AG

AAB=10-4=6,

°ABC1）的面積為6X4=24.

真題

考法速覽

考法1平行四邊形的性質（10年1考）

考法2平行四邊形的判定（10年2考）

考法1平行四邊形的性質

1.[2016河北13]如圖，將用BCD沿對角線AC折疊，使點B落在點B'處.若N1=N2=44。，則NB為（C）

A.66°B.104°

C.114°D.124°

考法2平行四邊形的判定

2.[2020河北10]如圖，將4ABC繞邊AC的中點0順時針旋轉180。，嘉淇發(fā)現(xiàn)旋轉后的ACDA與4ABC構成平

行四邊形,并推理如下：

點4,C分別轉到了點C,4處，Z".K\

而點B轉到了點D處.；力"

；CB=AD,■：X--/

四邊形ABCD是平行四邊形.

小明為保證嘉淇的推理更嚴謹，想在方框中“???CB=AD,”和四邊形……”之間作補充.下列正確的是(B)

A.嘉淇推理嚴謹，不必補充B.應補充:且AB=CD,

C.應補充:且AB〃CD,D.應補充:且0A=0C,

3.[2015河北,22]嘉淇同學要證明命題“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”是正確的,她先用尺規(guī)作

出了如圖所示的四邊形ABCD,并寫出了如下不完整的已知和求證.

Q?知：如圖,在四邊物BCD中.“=仞,AB=CD.

求證：四邊形48C。是四邊形.

⑴在方框中填空,以補全已知和求證;

⑵按嘉淇的想法寫出證明；

我的想法是：利用三

角形全等.依據(jù)“兩紈對

邊分別平行的四邊形是平

行四邊形”來證明.

⑶用文字敘述所證命題的逆命題為平行四邊形的兩組對邊分別相等

(1)CD平行

⑵證明:如圖，連接BD.

(AB=CD,

在AABD和4CDB中,]AD=CB,

(BD=DB,

.".△ABD^ACDB,/.Z1=Z2,Z3=Z4,

；.AB〃CD,AD〃CB,...四邊形ABC1)是平行四邊形.

⑶平行四邊形的兩組對邊分別相等

第三節(jié)矩形、菱形、正方形

考點

易錯自糾

易錯點1楝悉特殊四邊形的判定定理而致錯

1.請判斷下列說法的正誤，正確的畫“J”，錯誤的畫“X”.

⑴四條邊都相等的四邊形是正方形.（X）

⑵對角線相等且互相平分的四邊形是正方形.（X）

⑶對角線互相垂直的平行四邊形是正方形.（X）

⑷兩條對角線分別平分一組對角的平行四邊形是正方形.（X）

2.下列說法中正確的有（C）

①對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

②對角線互相垂直的四邊形是菱形；

③對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形；

④對角線相等的平行四邊形是矩形.

A.1個B.2個C.3個D.4個

易錯點2利用對角線求菱形面積時套錯公式

3.如圖，菱形ABCD的邊長為5cm,對角線BD與AC交于點0,若BD=6cm,則菱形ABCD的面積為（D）

方法

課時一矩形的性質與判定

命題角度I矩形的性質

G提分特訓

1.[2020廣東廣州]如圖，矩形ABCD的對角線AC,BI）交于點0,AB=6,BC=8,過點0作0ELAC,交AD于點E,過點E作

EF_LBD,垂足為F,則0E+EE的值為（C）

2.[2019甘肅蘭州A卷]如圖,在矩形ABCD中,NBAC=60°,以點A為圓心、任意長為半徑作弧分別交AB,AC于點

M,N,再分別以點M,N為圓心、大于挪的長為半徑作弧，兩弧交于點P,作射線AP交BC于點E,若BE=1,則矩形

ABCD的面積等于3V3.

0提分特訓

3.如圖，在。ABCD中,M,N是BD上兩點,BM=DN,連接AM,MC,CN,NA,添加一個條件，使四邊形AMCN是矩形，這個條件是

A.OM=iACB.MB=MO

2

C.BD1ACD.ZAMB=ZCND

4.[2020四川遂寧]如圖，在AABC中,AB=AC,點D,E分別是線段BC,AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長

線于點F,連接CF.

⑴求證:ABDE峪Z\FAE;

⑵求證:四邊形ADCF為矩形.

HII(：

證明:⑴：AF〃BC,二NAFE=NDBE.

,??點E是AD的中點,；.AE=DE.

又NAEF=NDEB,ABDE^AFAE.

(2)VABDE^AFAE,.,.AF=BD.

??,點D是BC的中點,AB=AC,

.,.BD=CD,AD_LBC,，AF=CD.

又AF〃CD,...四邊形ADCF是平行四邊形.

又NADC=90°,...四邊形ADCF為矩形.

課時二菱形的判定與性質

命題角度：3菱形的性質

0提分特訓

5.[2020黑龍江哈爾濱]如圖,在菱形ABCD中,對角線AC,BD相交于點0,點E在線段B0上，連接AE,若

CD=2BE,NDAE=NDEA,E0=l,則線段AE的長為，、泛

\o~~7°

6.[2020張家口橋東區(qū)一模]如圖，在邊長為1的菱形ABCI）中,NABC=60°,將AABD沿射線BD平移得到

△A'B'D'（點A,B,D的對應點分別為點A',B',D'），連接A'C,A'D,B'C.

⑴四邊形A'BrCD的形狀一定是平行四邊形；

⑵A'C+B'C的最小值為_百_.

命題角度1菱形的判定

叫分特訓

7.如圖,AC為矩形ABCD的對角線，點E,F分別在邊BC.AD上，將AABE沿直線AE折疊，使點B落在AC上的點M處，

將4CDF沿直線CF折疊，使點D落在AC上的點N處，易證四邊形AECF是平行四邊形.當ZBAE的度數(shù)為（A）時,

四邊形AECF是菱形.

A.30°B.40°C.45°D.50°

8.[2020江蘇連云港）如圖，在四邊形ABCD中,AD〃BC,對角線BD的垂直平分線與邊AD,BC分別相交于點M,N,連接

BM,DN.

⑴求證:四邊形BNDM是菱形；

⑵若BD=24,MN=10,求菱形BNDM的周長.

⑴證明：：AD〃BC,

ZCBD=ZADB,ZBNO=ZDMO.

???直線M.\是線段BI）的垂直平分線，

.,.OB=OD.

.'.ABON^ADOM,

.\OM=ON,

，四翊鄉(xiāng)BNDM為菱形.

（2）解:???四邊形BNDM為菱形,BM24,\N=10,

.1.OB=iBI）=12,OM-\IN=5.

在Rt△BOM中同IVOM2+BO2V52+12213,

菱形BNDM的周長為4BM4X13=52.

課時三正方形的性質和判定

命題角度5正方形的性質

G提分特訓

9.[2020甘肅天水]如圖，將正方形OEFG放在平面直角坐標系中,0是坐標原點，點E的坐標為⑵3）,則點F的坐標

為（1,5）.

10.[2020山東濱州]如圖，點P是正方形ABCD內一點，且點P到點A,B,C的距離分別為2丹2/,則正方形ABCD

的面積為14+-1K.

命題角度6正方形的判定

目提分特訓

11.如圖，已知平行四邊形ABCD,對角線AC,BD相交于點O,ZOBC=ZOCB.

⑴求證:平行四邊形ABCD是矩形；

⑵請?zhí)砑右粋€條件使矩形ABCD為正方形.

⑴證明:：四邊形ABCD是平行四邊形,

.\OA=OC；OB=OD.

,:ZOBC=ZOCB,

AOB=OC1

???OA=OOOB=OD,???AC=BD,

???平行四邊形ABCD是矩形.

⑵AB=AD（答案不唯一）.

12.如圖，在RtAABC中,NACB=90°,過點C作直線MN〃AB,點D為AB的中點，過點D作DE_LBC,交直線MN于點E,

垂足為點F,連接CD,BE.

⑴求證:CE=AD.

⑵當AABC滿足什么條件時,四邊形CDBE是正方形?請說明你的理由.

MCEN

ADB

⑴證明:丫DE±BC,ZACB=90°AC//DE.

又MN〃AB,

.??四邊形ADEC是平行四邊形，

.'.CE=AD.

⑵當aABC是等腰直角三角形時，四邊形CDBI.是正方形.

理由:由四邊形CDBP：是正方形，可得CD±BI）.

又點I）為AB的中點，

二直線CD是AB的垂直平分線

.?.CA=CB.

又NACB=90°..?.△ABC是等腰直角三角形.

真題

考法速覽

考法1矩形的性質與判定（10年8考）

考法2菱形的性質與判定（10年6考）

考法3正方形的性質與判定（必考）

考法1矩形的性質與判定

1.鏈接第七章第四節(jié)真題第2題

考法2菱形的性質與判定

2.[2019河北,5]如圖，菱形ABCD中,ND=150。，則Nl=

A.30°B.25°

C.20°D.15°

3.[2017河北⑼求證:菱形的兩條對角線互相垂直.

已知:如圖,四邊形ABCD是菱形，對角線AC,BD交于點0.

求證:AC_LBD.

以下是排亂的證明過程：

①又BO=DO,②AO_LBD,即AC_LBD.③Y四邊形ABCD是菱形，④二AB=AD.

證明步驟正確的順序是（B）

A.③~②一①一④B.③-④-*①一②

C.①一②f④-③D.①一④一③一②

4.[2013河北,11]如圖，菱形ABCD中，點在AC±,ME1AD,NF±AB.若NF=NM=2,ME=3,則AN=

B.4C.5

____C

5.[2011河北14]如圖，已知菱形ABCD的頂點A,B在數(shù)軸上對應的數(shù)分別為-4和1,則BC=」

AOB

6.[2014河北,23]如圖,z\ABC中,AB=AC,NBAC=40°,將4ABC繞點A按逆時針方向旋轉100’得到AADE,連接

BD,CE交于點F.

⑴求證:△ABD/AACE；

⑵求NACE的度數(shù)；

⑶求證:四邊形ABFE：是菱形.

(1)證明:如圖,由旋轉可知,AB=AD,AC=AE,NBAD=ZCAE=100°.

AB=AC,AD=AE,.\AABD^AACE.

(2)5D0,-.,AC=AE,ZCAE=100°Z2=Z3=40°.

即NACE=40".

⑶證明如圖,,??/l=N2=40°,

AABZ/CE.

同理N4=/5,；.AE〃BD,

..?四邊形ABFE為平行四邊形.

,.,AB=AD,AD=AE,AAB=AE,

,四邊形ABFE為菱形.

考法3正方形的性質與判定

7.[2016河北,6]關于。ABCD的敘述，正確的是(C)

A.若AB_LB0則。ABCD是菱形

B.若AC_LBD,則。ABCD是正方形

C.若AC=BD,則。ABCD是矩形

I).若AB=AD,Jl!!l°ABCD是正方形

8.[2011河北23]如圖,四邊形ABCD是正方形，點E,K分別在邊BC,AB上，點G在BA的延長線上，且CE=BK=AG.

⑴求證:①DE=DG；②DE_LDG.

⑵尺規(guī)作圖:以線段1)E,DG為邊作出正方形DEFG(要求:只保留作圖痕跡,不寫作法和證明).

⑶連接⑵中的KF,猜想并寫出四邊形CEFK是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想.

s

⑷當需三時，請直接寫出盧巴巴的值.

正方形DEFG

⑴證明:①???四邊形ABCD是防形,

.'.DC=DA,ZDCE=ZDAG=90°.

又VCE=AG,二ADCE^ADAG,

.".ZIiDC=ZGDA,DE=DG.

②,.?NADE+NEDC=90°,

.".ZADE+ZGDA=90°,.'.DE±DG.

⑵如圖⑴或圖⑵所示

G

G

I)

圖⑴圖⑵

⑶四邊形CEFK為平行四邊形.

證明:?四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，

AB//CD,AB=CD,EF=DG,EF//DG.

VBK=AG,.\KG=AB=CD.

J.四邊形CKGD為平行四邊形，

，CK=DG=EF￡K〃DG.

又VDG//EF,二CK//EF,四邊形CEFK為平行四邊形.

s

/.\正方形ABCDn2

（4）二------.

,正方形DEFGn+1

參考答案

第一節(jié)多邊形

考點

【易錯自糾】

1.A由題意可知，要從起點走五段相等直路之后回到起點，應使自己走過的五段直路圍成一個正五邊形即可.

正五邊形的每個外角的度數(shù)為360。+5=72。，可知每走完一段直路后向右偏72°方向行走可回到起點.故選

A.

2.略

真題

1.12.??正六邊形的一個內角的度數(shù)為180。-罷=180°-60。=120。，正n邊形的一個外角的度數(shù)為隨，

6n

.?.120°=^X4,An=12.

n

2.略

3.D各邊都相等、各角都相等的多邊形叫做正多邊形.顯然只有選項D中的圖形符合題意.

4.C如圖,設正六邊形的中心為0.連接0A,0B.；NA0B=360°+6=60°,0A=0B,，ZX0AB是等邊三角形，易知S正

六晚=6SA..圖中空白處兩個直角三角形可拼成T邊長為a的等邊三角形,S空臼=S-

..陰影_$正六邊光S空白「S—A1rs空白一6s空白-S空白一5s空白

,,ssssS

空白空白空白空白空白

5.24?.?正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形每個內角的度數(shù)分別為60。，90。，108。，120。，；.N3=

90°-60°=30°,22=108°-90°=18°,Z1=12O°-108°=12°Z3+Zl-Z2=300+12°-18°=24°.

6.1421題圖⑵中的圖案的外輪廓周長為(8-2)X2+(4-2)=14.設上方正多邊形的邊數(shù)為n,則NBPC3泮;

故下面兩個正多邊形的邊數(shù)為360°360°360°x2n4n當n=3,4,6,10時,三為整數(shù)，故符合要求的圖案有4

型￡(n-2)xi80°(n-2)xl80on-2'n—2

22n

種:當n=3時，氣=12,圖案由一個正三角形和兩個正十二邊形組成,外輪廓周長為(12-2)X2+(3-2)=21；當n=4

時，專8,圖案由一個正四邊形和兩個正八邊形組成,外輪廓周長為(8-2)X2+(4-2)=14；當n=6時，與6,圖案由三

n—2n—2

個正六邊形組成,外輪廓周長為(6-2)X2+(6-2)=12；當n=10時，禺=5,圖案由一個正十邊形和兩個正五邊形組成,

外輪廓周長為(5-2)X2+(10-2)=14.綜上,會標的外輪廓周長是21.

7.6正六邊形的內角和為(6-2)X180°=720。，每個內角的度數(shù)為720°+6=120°.如圖,/1=360°-

120°X2=120°,即中間的正多邊形每個內角的度數(shù)為120。，所以n=6.

第二節(jié)平行四邊形

考點

【易錯自糾】

1.4設4ABC中AB邊上的高為h,則S”“AB?h,即4=1x4h解得h=2.VAC=A'C',AC〃A'C',...四邊形

ACC'A'是平行四邊形,AS—=AA'?h=2X2=4.

2.C根據(jù)“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”，可知添加A中條件可判定四邊形ABCD是平行四邊形;

根據(jù)“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”，可知添加B中條件可判定四邊形ABCD是平行四邊形.若

AD〃BC,AB=DC,則該四邊形可能是平行四邊形，也可能是等腰梯形，故添加C中條件不能判定四邊形ABCD是平行

四邊形.由NB+NC=180°,可得AB〃CD,故添加D中條件可判定四邊形ABCD是平行四邊形.故選C.

3.8遮或16V3過點D作DE1AB于點E,分兩種情況討論.①當點E在AB的延長線上時，如圖⑴，在RtAADE

22

中,NA=30°用口=4百,，D￡3,0=275次￡=］人口=6.根據(jù)勾股定理可得8￡=JBD2-DE2=J4-(2V3)=2,AB=6-2=4,

；.S.如=AB?DE=4X2V3=8V3.②當點E在線段AB上時,如圖⑵，同理可得DE=2A/5,AE=6,BE=2,AB=6+2=8,

?\S。檄產(chǎn)AB?DE=8X2V3=16V3.

例I26°在。ABCD中,AD=BC,AB〃CD,AD〃BC,，NACD=NCAB,NBCD=180--ZD=78°.VAD=AE=BE,AAE=BE=

BC,.\ZBCA=ZBEC,ZEBA=ZCAB,AZBCA=ZBEC=2ZCAB,AZBCD=ZBCA+ZACD=3ZCAB=78°ZCAB=26°.

例2略

提分特訓

l.DV四邊形ABCD是平行四邊形,0A=1AC=3,0B=1BD=4,4-3〈AB<4+3,即1<AB<7,.,.AB的長可能為6.

2.A根據(jù)平行四邊形的性質可知CD=AB=10,BC=AD=15,AB^DC,/.ZAEB=ZDAE.VAF平分

ZBAD,.,.ZBAE=ZDAE,.,.ZAEB=ZBAE,.,.BE=AB=10,/.CE=BC-BE=15-10=5.VBG±AE,BG=8,.,.GE=6?>SGgAE

aCEF

,|S,.,.AE=12,.\AABE的周長為10+10+12=32.VDF/7AB,Z.AABE^AFCE,/.ACEF的周長

△BEA的周長BE102

為32X1=16.

3.C選項A符合平行四邊形的定義，可以判定四邊形ABCD是平行四邊形;選項B中,四邊形兩組對邊分別相等,

可以判定四邊形ABCD是平行四邊形;選項C中，四邊形的一組對邊平行，另一組對邊相等，不能判定四邊形ABCD

是平行四邊形;選項D中，四邊形對角線互相平分，可以判定四邊形ABCD是平行四邊形.故選C.

4.略

真題

1.C由折疊的性質，得NACB'=N2=44°,NB=NB',NBAC=NB'AC.又?.,AB〃CD,；.NACD=NBAC=NB'AC=

izi=22?,AZB=ZB'=180?-ZACB--ZB'AC=180?-44?-22?=114?.

2.B根據(jù)“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”，可知應補充“且AB=CD,”.

3.略

第三節(jié)矩形、菱形、正方形

考點

【易錯自糾】

1.XXXX四條邊都相等的四邊形是菱形，故⑴錯誤.對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，故⑵

錯誤.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故⑶錯誤.兩條對角線分別平分一組對角的平行四邊形是菱形，故

⑷錯誤.

2.C對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故①正確;對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故②錯誤;對角

線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，故③正確;對角線相等的平行四邊形是矩形，故④正確.故選C.

3.D1?四邊形ABCD是菱形，,ACJ_BD,0D=0B=：BD=3cm.又AD=5cm,.\0A=4cm,.\AC=8cm,二S菱形

|AC?BD=1x8X6=24(cm2).

方法

例1A在矩形ABCD中,NABC=90°.?.?NACB=30°,BC=8,...NBAC=60°,AB=BC?tan30°=竽.又0A=0B,

.,.△ABO為等邊三角形.又TAE平分NBAO,；.ZBAE=iZBA0=30o,AE±BO,AAE=AB?cosNBAE與X爭(故選

A.

例2略

例3D過點E作EF±x軸于點F.???四邊形OABC為菱

形,NA0C=60°,；.NA0E=TNA0C=30°,AC_LOB,；.OE=OA?cos30°=4X^=2V3,A0F=0E?cos30°=273X^=3,

EF=OE-sin30°=2V5x1=V5,，E(3,V5).故選D.

例4略例5略

例6A:點E,F分別是AD,BC的中點，點M,N分別是AC,BD的中點,AEN,NF,FM,ME分別是△ABD,ZkBCD,zMBC,

△ACD的中位線,...EN〃AB〃FM,ME〃CD〃NF".四邊形EMFN為平行四邊形.當AB=CD時,EN=FM=ME=NF,平行四

邊形EMFN是菱形.6若AB_LCD,則EN_LME,此時菱形EMFN是正方形.故選A.

提分特訓

1.C由唾鄉(xiāng)的性質得,NBAD=90。,OA=OD,/.BD=VAB2+AD2=10,ZEA0=ZADB,/.sinZADB=^=|.：0E_LA(V.在

RtAAOE中,OE=AE-sin/EAO.,.?EF_LBD,...在RtZXEFD

中,EF=DE?sinZADB..\OE+EF=AE?sinZEAO+DE?sinZADB=(AE+DE)sinZADB=AD?sinZADB=8x|=p

2.3V3由作圖可知,AP是NBAC的平分線.TZBAC=60°ZBAP=ZCAP=30°.在矩形ABCD

中,NABC=90。.?.?NBAE=30°,BE=L；.AB=^捺詔=V5,；.BC=AB?tanNBAC=3,故矩形ABCD的面積為

AB?BC=3V3.

3.A,/四邊形ABCD是平行四邊形,OA=OC,OB=OD.又：BM=DN,OM=ON,.\四邊形AMCN是平行四邊形.若要使

得BMCN是矩形，則需要一個內角是直角或對角線相等.由條件OM=|AC可推理出AC=MN,故此條件符合題意.