2021屆 人教a版 平面向量 單元測試

平面向量

一、單選題

1.已知0為AABC的外心，|而|=16,|衣|=1函，若而且

32x+25y=25,則NB=()

(A)—(B)—(C)—(D)—

31264

【答案】D

【解析】

試題分析：=.?.不。2=》而?於+丫撫?而，取AB中點。連

接。。，為MBC的外心，:.OD±AB

Afi-Ad=|AB||/fd|cosZDAOABAB)=128同理

AC-AO=|AC|(^|AC|)=100,AO2=128x+100y=4(32x+25y)=100

ACV2

,-.|AO|=IO.?.AABC的外接圓半徑r=10,.-J~L=20,sinB=—

sinB2

?.,|福卜|44，」.48不是最大角，,8=(,故選口.

考點：平面向量的基本定理及其意義.

【易錯點睛】本題考查三角形外心的概念，考查向量的數量積的運算及計算公式，考查

余弦函數的定義，以及正弦定理，三角形外接圓半徑的求法，已知三角函數值求角，以

及大邊對大角定理.本題難點在于如何將向量的問題轉化為正余弦定理問題，本題的著

眼在于外接圓的半徑的求法.本題涉及的知識在廣，難度中等.

2.若函數y=Asin(/x+e)A>0,/>0,陷〈'在一個周期內的圖象如圖所示，且

在)’軸上的截距為M,N分別是這段圖象的最高點和最低點，則兩在兩方向

上的投影為（）

AV29RV29?V5nV5

292955

【答案】D

【解析】

【分析】

根據圖象求出函數的解析式，然后求出點的坐標，進而可得所求結果.

【詳解】

根據函數歹=45皿（8+0）缶＞0,啰＞0,冏＜三）在一個周期內的圖象，可得

T12%1c式

—=-----=3—1=2,/.co=—.

44①4

'JITT'）1

再根據五點法作圖可得一-1+9=—，...。二一，

424

...函數的解析式為y=Asin[?x+7].

?.?該函數在鄉(xiāng)軸上的截距為0,

y=Asin--A->/2>A=2,

42

(JIJI)

故函數的解析式為y=2sin[]X+wJ.

二兩?麗=5—4=1，

又|兩j=B

OMON_1_75

向量。河在0M方向上的投影為

\OM\一右-5

故選D.

【點睛】

解答本題的關鍵有兩個：一是正確求出函數的解析式，進而得到兩點的坐標，此處要靈

活運用“五點法”求出。的值；二是注意一個向量在另一個向量方向上的投影的概念,

屬于基礎題.

3.在平面直角坐標系中，已知4(2,2),5(1,1),則向量通的坐標是()

A.(2,2)B.(-2,-2)C.(1,1)D.(-1,-1)

【答案】D

【解析】

【分析】

根據向量的坐標運算即可求出.

【詳解】

因為A(2,2),3(1,1),

所以而=(1,1)_(2,2)=(_1,—1).

故選：D.

【點睛】

本題考查了向量的坐標運算，屬于基礎題.

4.已知向量。=(2/),6=(加,-1),且M_L(N—Z?),則加的值為()

A.1B.3C.1或3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出口-6，再利用向量垂直的坐標表示得到關于加的方程，從而求出加.

【詳解】

因為a=(2,1),各=(機,-1),所以=(2-m,2).

因為萬J?(萬-B),則G-(G-5)=2(2-機)+2=(),解得〃?=3

所以答案選B.

【點睛】

本題主要考查了平面向量的坐標運算，以及向量垂直的坐標表示，屬于基礎題.

5.已知5均為單位向量，它們的夾角為60。，那么|3力+同=()

A.V?B.V10C.V13D.13

【答案】C

【解析】

【分析】

先由題意，求出@石，再由向量模的計算公式，即可求出結果.

【詳解】

因為萬，日均為單位向量，它們的夾角為60°,

所以日石=|G|X|卜以"60

2

因止匕用+可=，9同~+6晨5+忖=A/9+3+1=V13?

故選：C.

【點睛】

本題主要考查求向量的模，熟記向量模的計算公式即可，屬于基礎題型.

6.已知向量日、B滿足同=1，網=2,且伸+力）1,則萬與日的夾角為（）

A.30°B.60。C.120°D.150°

【答案】C

【解析】

【分析】

利用向量垂直關系可知兩向量數量積為零，從而構造出關于兩向量夾角余弦值的方程,

解出余弦值即可求得夾角.

【詳解】

由（45+匕）J_b得：（4、+￡?）?"=4a-b+b2=4xlx2cos<a,b>+4=0

rr1r1

解得：cos<a,b>=--:.<a,b>=120°

本題正確選項：C

【點睛】

本題考查向量夾角的求解問題，關鍵是能夠利用向量的垂直關系將問題轉變?yōu)橄蛄磕ｉL

和夾角的關系式.

7.若舊=&,向=2且僅得則1與3的夾角是（）

【答案】B

【解析】

（CI_b}_Ld/-*一、-*一2-__—2|-*|2

試題分析：根據'',有（。一。）。=0,々-a?b=O,得a?b=a=卜=2,

所以cose=/g=YZ，所以夕=工.

I+H24

考點：向量垂直，夾角.

8.如圖，長方體ABC。-48GA中，2A6=3AA]=6,幫=2而;，點7在棱A4

UUUUU

上，若TP,平面P8C.則7Pq8=（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】D

【解析】

【分析】

根據線面垂直的性質，可知7P，尸3；結合4戶=2PB即可證明△產力4]=ABPB],

UUUUU

進而求得TA\.由線段關系及平面向量數量積定義即可求得7P.B.B.

【詳解】

長方體ABC。-44Goi中，2AB=3A41=6,

點T在棱A4上，若7P_L平面P8C.

則7PLEB，乖=20萬;

則APTAX=/BPB],所以\PTA^=ABPB],

則TA^=PB]=1,

uiruuirIUITIIUUU

所以叱.8避=|!?’48-cosZPTA

V22+12X2X=^=

Iy/22+l2J

故選：D.

【點睛】

本題考查了直線與平面垂直的性質應用，平面向量數量積的運算，屬于基礎題.

9.設［3為基底向量,已知向量而=3—無，而=21+元函=3^-兀若A,B,D三

點共線，則實數攵的值等于()

A.10B.-10C.2

D.-2

【答案】C

【解析】

試題分析：由題意得，BD=CD-CB=Oa-b)-(2a+b)=a-2b,因為三

點共線，所以麗=4而0￡一。=/10-2楊，解得;1=1,攵=2,故選C.

考點：共線向量的應用.

10.如圖，四邊形ABCZ)是正方形，延長C。至點E,使得￡>￡=CD.若點尸為線段

OC上的點，CP=PD.且Q=/n通+〃而，則加一〃=()

-----2——上廠

B

c.-I

【答案】D

【解析】

【分析】

選取而，而為基底，其他向量都用基底表示，可得.

【詳解】

由題意P是CD中點,

AP=AD+DP^AD+-AB,

2

mAE+nAB=m{AD+DE)+nAB=m(AD+C￡>)+nAB=m{AD-AB)+nAB

=mAD+(n-m)AB，

,:AP=mAE+nAB?

<1,解得<3?***W—71=—.

n-m=—n=—2

122

故選：D.

【點睛】

本題考查平面向量基本定理，解題時選取基底，用基底表示其他向量進行運算即可.

11.已知向量癡夾角為60。，且忖|=1,*2,貝||2萬叫=()

A.2B.3C.4D.8-46

【答案】A

【解析】

分析：已知4和6的模長及這兩向量的夾角，可以將所求目標利用平方（模的平方等于

向量的平方），轉化為G和5的線性運算.

詳解：

\2a-b^=（2a-b^=4a2-4?-b+4&2=4xl2-4xlx2xcos60°+22=4,

.?儂-同=2.

故選：A.

點睛：（1）在數量積的基本運算中，經常用到數量積的定義、模、夾角等公式，尤其對

同=Ji不要引起足夠重視，它是求距離常用的公式.

（2）要注意向量運算律與實數運算律的區(qū)別和聯系.在向量的運算中，靈活運用運算律，

就會達到簡化運算的目的.

12.已知AASC的內角A、B、C的對邊分別為。、b、c,。為A4BC內一點，若

分別滿足下列四個條件：

?abA+bOB+cOC^O；

②tanA?OA+tanB-OB+tanC-OC=0?

③sin2AOA+sin2B-OB+sin2COC=0：

@OA+OB+OC=Qi

則點。分別為的（）

A.外心、內心、垂心、重心B.內心、外心、垂心、重心

C.垂心、內心、重心、外心D.內心、垂心、夕卜白、重心

【答案】D

【解析】

【分析】

先考慮直角AABC,可令a=3,b=4,c=5,可得A（0,4）,3（3,0）,C（0,0）,

設0（相，司,由向量的坐標表示和三角函數的恒等變換公式計算可判斷①③④為三角形

的內心、外心和重心;考慮等腰A4BC,底角為30°，設。（-1,6），3（2,0）,A（0,0）,

O（x,y）,由向量的坐標表示和向量垂直的條件，可判斷②為三角形的垂心.

【詳解】

先考慮直角A46C，可令。=3,。=4,。=5,

可得A（0,4）,8（3,0）,C（0,0）,設0（孫〃）,

@aOA+bOB+cOC=6?即為3（一租,4—〃）+4（3—加,—"）+5（一加,—〃）=（0,（））,

即有一12〃2+12=0,—12〃+12=0,解得〃2=幾=1,

即有。到x,丁軸的距離為1,。在/BG4的平分線上，且到A5的距離也為1,

則。為△ABC的內心；

③sin2A-OA+sin2B-OB+sin2C-OC=6，

24?4

即為254-^）+—（3-m,-n）+0（-m,-n）=（0,0）,

3

可得3-2加=0,4—2〃=0,解得加=一,〃=2,

2

由|。4|=|0叫=|0。|=；,故。為AABC的外心；

@O4+dB+OC=0>可得（一加,4一"）+（3-["，一"）+（一租,-〃）=（0,0）,

4

即為3—3加=0,4-3/?=0,解得根=1,〃=

由AC的中點0為（0,2）,|。叫=/，|0目=2坐，即。分中線￡>5比為2:3,

故。為AABC的重心；

考慮等腰AABC,底角為3（1，

設C（—1,6），3（2,0）,A（0,0）,O（x,y）,

②tanA-OA+tanB?OB+tanC-OC=6,

即為一V^（一九,-y）+-^-（2—x,-y）+-^-^—1—-y）=（0,0），

可得@x+@=0，3y+l=0,解得x=-l,y=Y，

333

即0（—1,—6），由OC'AB,后八MBC=6［一日］=-1，即有Q4L8C,

故。為AABC的垂心.

故選：D

【點睛】

本題考查三角形的四心的判斷，考查向量的坐標表示，以及化簡運算能力，通常可用建

立坐標系的方法求解，屬于?？碱}型.

二、填空題

22

13.已知直線Ax+By+C=O與0a/+丁=2交于只0兩點,若滿足^+B=2C?

則"而=；

【答案】-1

【解析】

Ax+By+C=0

設P(xi,yi)，Q(X2,yz),則由方程組，5.

x2-by2=2

直線Ax+By+C=0與圓x?+y2=2聯立消去y,得

「2_2D2

(A2+B2)x2+2ACx+(C2-2B2)=0,.-.xiX2=—~-；

A2+B2

c2-2A2

消去x,得(A2+B2)y2+2BCy+(C2-2B2)=0,二丫皿二二~~2-

A2+B2

C2-IB2C2-2A22c2

OP-OQ=x,X2+yiy2=+-------------

A2+B2A2+B2A2+B2

VA2,C2,B2成等差數列,

.\2C2=A2+B2,

:.OPOQ=-1.

故答案為-1.

14.如圖，在平面斜坐標系NxOy=。中，z.xOy-9,平面上任意一點P關于斜坐標系

的斜坐標這樣定義：若而=x^*+y石（其中石，豆分別是'軸，麗=。2，及）軸同方

向的單位向量），則P點的斜坐標為（",0Q=（x2,y2））,向量而的斜坐標為（X,0Q=

。2，丫2））?給出以下結論：

O

①若J=60°,P(2,-l),則|而|=V3；

②若PQi,Vi),Q(x2,y2)>則況+OQ=(Xi+x2,yt+y2);

③若加=Oi，%)，0Q=(%2)72)?則麗?麗=XrX2+丫1丫2：

④若9=60。，以O為圓心，1為半徑的圓的斜坐標方程為無2+丫2+盯一1=0.

其中所有正確的結論的序號是.

【答案】①②④

【解析】

試題分析：①中|0P『=。02=Q可—初2=4+1—4xg=3二|0P|=百，②中若

P(x【yi)，Q(x2,y2)'則而+的=(Xl，%)+(%2+92)=01+%2，%+%)，③中由數

乘向量的知識可知是正確的，④適用于平面直角坐標系中向量的數量積運算，在斜坐標

系中不成立，⑤長度為的三邊構成三角形，1的對角為120。，由余弦定理得1=

2222

x+y-2xycosl20°A%4-y4-%y-1=0

考點：向量運算

點評：求解本題首先要理解清楚斜坐標系中點的坐標的確定方法，其實質是方在x,y軸

上的分量

15.已知平面向量4,滿足同=2,W=2,忖+2司=5,則向量Z，石夾角的余弦

值為.

【答案金

【解析】

【分析】

利用向量的模和向量的數量積的定義及其性質，即可求解答案.

【詳解】

因為平面向量a,B滿足同=2,網=2,忖+2可=5,

則忖+2同=\]a2+4b2+4a-b=\)22+4x22+4x2x2cosa,b=5，

一55

解得cos@,》=3,故答案為二.

1616

【點睛】

本題主要考查了向量的數量積的定義及其性質的應用，其中熟記平面向量的數量積的定

義及其性質是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.

16.已知A5是直線/上任意兩點，。是/外一點，若/上一點C滿足

0C=CMcos0+OBcos20，則sin20+sin46+sin60的值是.

【答案】V5-1

【解析】

【分析】

依題意知,cos0+cos20=l,于是得cos6=sin2。，sin60=2cos0-1,sin20+sin40+sin60=

2cos0,解方程COS6+COS26=1,可求得cos。，從而可得答案.

【詳解】

解：???A、B、C三點共線，且反=±4cose+礪cos?仇

/.cosO+cos20=l,(三點共線的充要條件)

Acos20=1-cos0,

AcosO=1-cos29=sin20,

Asin60=cos3O=cos0*(1-sin20)=cos0(1-cos0)=cos0-cos20=cos0-(1-cos0)

=2cos0-1,

Asin20+sin4e+sin66

=cos0+cos20+2cos0-1

=cos0+l-COS0+2COS0-1

=2cos0,

由COS?。=1-COS0得COS0=」+.6或COS0=—_—<-1,舍去，

22

.a-1+V5

..cosG=-------，

2

原式=2cos0=亞_1,

故答案為6-1.

【點睛】

本題考查三角函數中的恒等變換應用，求得，sin60=2cos0-1,sin20+sin46+sin69-2cos0

是關鍵，也是難點，考查轉化思想與運算能力，屬于難題.

三、解答題

17.已知ZVRC的三邊長AB=8,BC=7,AC=3.

⑴求宿宿

(2)OA的半徑為3,設P。是的一條直徑，求而?真的最大值和最小值.

【答案】⑴12；(2)最大值為24,最小值為-18.

【解析】

【分析】

(1)先根據余弦定理，求得cos/BAC,再根據平面向量數量積的定義即可求得

ULWUUUl

AB-AC-

ULIUUU,

（2）根據向量加法與減法的線性運算,將3PCQ化簡為麗-而一+衣.麗，設

向量喬與麗夾角為。，進而轉化為余弦函數的表達式，根據余弦函數的值域即可求得

最大值與最小值.

【詳解】

（1）設NB4C=6

則cos”坦把工82+32-72_1

2xABxAC2x8x32'

AB-AC=\AB\\AC\cos0

=8x3x—=12

2

（2）麗而=（而+衣）?（畫+砌

^（BA+AP）-（CA-AP）

=BACA-AP2+AP-（CA-BA^

=BACA-AP2+APCB

設向量,戶，在夾角為8（0<84?），

則上式=12-9+3x7cos8=3+21cos。，

最大值為24,最小值為-18

【點睛】

本題考查了平面向量數量積的應用，向量加法與減法的應用,余弦定理在求角中的用法,

屬于中檔題.

18.如圖，已知平行四邊形458,。是AC與BO的交點，設通=口而=5.

(I)用a、6表示麗和血；

(II)若同=6,同=4,乙DAB=g求2|啊.

【答案】(I)BD=h-a,AO=^a+b).(IDR而|=2如

【解析】

【分析】

【詳解】

解：(I)依題意可知，0是8。的中點，AB=a,AD=b

BD=AD-AB=B-a,AO=；AC=g(A與+AZ5)=；(Q+B)

___jr

(II)■.?2\AO\=\2Ad[=]a+b\,\a\=6,\b\=4,ZDAB=-

'：|a+^|=(a+B)=|A|+忖+2a.B=36+16+2x6x4cos2=76

/.|a+S|=2A/19

2園=2曬.

【點睛】

本題考查向量的加減運算，向量的數量積，屬于基礎題.

19.在鈍角AABC中，。,方,。分別是角4,8,。的對邊，

m=(2Z?-c,cosC),n=(a,cosA),且而〃言.

（1）求角A的大小;

(2)求函數y=2sii/8+cos(?-28j的值域.

【答案】（1）p（2）rl-

【解析】

分析：⑴由祖/方可得（20-c）cosA-acosC=0,利用正弦定理化簡可得

.?.2sinBcosA-sinB=0,進而可得結果；（2）由y=2豆1?5+85（三一28）,利用

二倍角的余弦公式以及兩角差的余弦公式可得函數解析式為s山［26-看）+1由于當角

Jr27r57rTT74

3為鈍角時，角C為銳角，可得一＜B＜—,所以二＜23-一＜—,利用正弦函

23666

數的單調性可得結果.

詳解：（1）由加//打得（乃一c）cosZ-acosC=0,

由正弦定理得2sinBcosd-sinCcosZ-sindecs。=0

.?.2sin5cosZ-siii5=0，r&sinBwO,得Z=￥

3

(2)y=l一」cos23+且Gn2B=sinQB-2)+1,

226

H■

—<B<產

2itIn

當角B為鈍角時，角C為銳角，貝小=>—<Bn<——

c2九?n幾23

0<——S<一

32

5幾_cHIn

—<2B--<—

6669-aw嗎，

0<B<x

￡

當角B為銳角時，角C為鈍角，則〈Hlie=>0<5<—

—<——-Bn<x6

123

nnn二今(一"己)，二

一—<23_—<一,sinQB-eye("3,

66662222

綜上，所求函數的值域為（士1,三3）.

22

點睛：以三角形和平面向量為載體，三角恒等變換為手段，正弦定理、余弦定理為工具，

對三角函數及解三角形進行考查是近幾年高考考查的一類熱點問題，一般難度不大，但

綜合性較強.解答這類問題，兩角和與差的正余弦公式、誘導公式