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文檔簡介

三角函數(shù)與解三角形

五、解答題

46.(2021?江蘇常州市?高三一模)在AABC中,ZBAC=-,點(diǎn)〃在邊8C上,滿足=

2

jr

(1)若/BAD=—,求ZC;

6

(2)若8=230,40=4,求AABC的面積.

【答案】(1)-j:(2)1272.

【解析】

(1)在△AB0中,由正弦定理求得sinZBDA=在,得到NBD4的大小,進(jìn)而求得NC的大小;

2

(2)山48=680,8=28。,得到45=組5。,4。=吆5。,根據(jù)向量的線性運(yùn)算,求得

33

UULT21UULT41

AD^-AB+-AC,進(jìn)而得到AZ)2=—AB2+—AC2,求得8C,AB,AC的長,利用面積公式,即可求

3399

解.

【詳解】

AB

(1)在△A8O中,由正弦定理得———

sinZBADsinABDA

rri>.ABsin—日

所以si?nN/BnD八人A=----------6-=7——3,

BD2

27r7T

因?yàn)镹8DA£(0,?),所以NBZM=—或ZSZM=-,

33

27r7T7T

當(dāng)N8OA='時(shí),可得NB=2,可得NC=2;

77')1TT

當(dāng)時(shí),可得NB=R,因?yàn)镹BAC=X(舍去),

322

IT

綜上可得NC=—.

3

(2)因?yàn)锳B=6BD,CD=2BD,所以AB=^BC,AC="BC,

33

由正通+麗=通+/=麗+:(而-麗=部+/,

——?22.1.14?21,24.

所以AD=(-AB+-AC)2=-AB+-AC+-AB-

33999

4917

即AO?9=-AB2+-AC2,

99

又由49=4,可得《x(^BC)2+"x(*BO)?=4?,解得BC=6Q,

則A3=2MAC=46,

所以S“Bc=g|AMx|AC=120.

47.(2021?河北邯鄲市?高三一模)設(shè)△A5C的內(nèi)角小B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足

3

acosB-bcosA=—c

5

、tanA…?

(1)求-----的值;

tanB

(2)若點(diǎn)〃為邊AB的中點(diǎn),AB=10,CD=59求3c的值.

【答案】(1)4;(2)475.

【解析】

33

(1)由acos8-Z?cosA=yC,帶入余弦定理整理可得/一/=弓。2,所以

9->>?

Q-+c~

tanA_sinAcosB_a2ac_+c2-h2

,帶入/一/^二13/即可得解;

tanBcosAsinBb2+c2-a2.b2+c2-a2

-----------b

2bc

(2)作AB邊上的高C」E,垂足為幺因?yàn)閠anA=C£,tan5=C£,所四12二gg

AEBEtanBAE

又——=4,所以席=4AE,因?yàn)辄c(diǎn)〃為邊A8的中點(diǎn)且A5=10,所以3D=5,A£=2,DE=3,

tanB

再根據(jù)勾股定理即可得解.

【詳解】

3

(1)因?yàn)镼COS8-Z?COSA=—c,

5

所以3

?2-c

2ca2bc5

即。2-b2=|c2

'2+C2-b2

a.

itanA_simnAcosDB_2ac

X.==55->

tan3cosAsinBh~+c—a~.

---------------b

2bc

tanAa~+c2—b-8c25.

所以-----=f——z——=—X--二4.

tanBtr+c~—a7~52c“

(2)如圖,作AB邊上的高CE,垂足為反

LI“.CE_CE?,,tanABE

因?yàn)閠anA----,tanB=-----,所以......-----

AEBEtanBAE

,tanA“一,

又-------=4,所以8E=4AE.

tanB

因?yàn)辄c(diǎn)〃為邊AB的中點(diǎn),AB=10.所以8O=5,AE=2,OE=3.

在直角三角形CDE中,8=5,所以CE=J^二手=4?

在直角三角形BCE中,BE=3、所以8C="7F=4有.

48.(2021?全國高三專題練習(xí))如圖,在AABC中,AB1AC,A3=AC=2,點(diǎn)E,尸是線段8C

7T

(含端點(diǎn))上的動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)E在點(diǎn)尸的右下方,在運(yùn)動(dòng)的過程中,始終保持NE4F=一不變,設(shè)NE45=8

4

弧度.

(1)寫出。的取值范圍,并分別求線段AE,Ab關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式;

(2)求△外尸面積S的最小值.

IT

【答案】(1)0<0<-,

4

【解析】

(1)依據(jù)直角三角形直接寫事。的范圍,然后根據(jù)正弦定理可得AE,A/關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式.

(2)根據(jù)(1)的條件可得$△以「,并結(jié)合輔助角公式,簡單計(jì)算以及判斷即可.

【詳解】

71

(i)由題意知owe4一,

4

AE”—AE72

.兀?it

sinsin0+sin(6+:

4[4

AFAC

-^AF=

71COS。?

4(27

V2V2V2

S-1V2-------=]_______

⑵⑻2

sin(9+:cos022也sin6+交cos/cos。

22

7

]22

1+cos20-V2+1

-sin20+sin(20+;)+l

22

7T

當(dāng)且僅當(dāng)。=可時(shí),取“=”

49.(2021?全國高三專題練習(xí))在AA3c中,a2,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,且bcos-A=c-走a.

2

(1)求角5;

(2)若AABC的面積為26,3c邊上的高A"=l,求。,c.

【答案】(1)(2)b=2幣,c=2.

0

【解析】

(1)化角為邊,化簡得。2+.2一。2=后。,再利用余弦定理求角8:

(2)由正弦定理算出J由面積公式算出a,由余弦定理計(jì)算〃中即可.

【詳解】

解:(1)因?yàn)閎cosA=,所以(?'-=c-^-a,

22bc2

2222

所以。2+c*一“2=2C-yfiac,即c+a-b=y/3ac-

由余弦定理可得cosB=廠+"i-=且,

2ac2

7T

因?yàn)?£(0,萬),所以3=—.

6

AHsin-

AHsinZAHB——2=2.

(2)由正弦定理可得”s一

.71

sin—

6

因?yàn)锳ABC的面積為2g,所以gacsinB:=QQ=2^3,解得d—4也?

由余弦定理可得〃=a2+c2-2accosB=48+4—2x2x46x^=28,

2

則b=2"

3兀

50.(2021?湖南高二月考)如圖,在平面四邊形4四中,ADLCD,ZBAD=一,2AB=S/)=4.

4

(1)求cosNADB;

(2)若除夜,求CD.

【答案】(1)cosZADB=—(2)CD=342

4;

【解析】

(1)△A3。中,利用正弦定理可得sinNAOB,進(jìn)而得出答案;

(2)△BCD中,利用余弦定理可得co.

【詳解】

2,4

ABBD即sin/ADB一屹,解得sinNAD8=3?,故

(1)/XAB。中,

sinNADB-sinNBAD—4

V14

cosZADB=--

4

(2)sinZADB=—=cosACDB

4

△SCO中,MDBW+CD-C)即叵吧上回,

2BDCD424co

化簡得(8-3V2)(CD+V2)=O,解得CO=3啦.

51.(2021?山東高三專題練習(xí))在AA6c中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。,b,c,且

a(sin4-sin3)+Z?sin3=csinC.

(1)求角C;

(2)若c=3,a+Z?=6,求AABC的面積.

【答案】(1)-;(2)見1.

34

【解析】

(1)由正弦定理化角為邊,然后由余弦定理可得。角;

(2)利用余弦定理和已知a+Z?=6可求得a力,從而得三角形面積.

【詳解】

(1)由正弦定理,得sinA=——,sinB——,sinC———,

2R2R2R

22

又a(sinA-sin3)+匕sin8=csinC,所以a?+/,_c-ab,

由余弦定理,得cosC=d■土Q二:=處,

2ab2ab

故cosC=—.

2

又Ce(O,〃),所以C=(.

(2)由余弦定理,得/+〃—刈=9.

9=a2-^-b2-ab

聯(lián)立方程組,

a+b=6

ab=9

化簡,

。+。=6

。=3

解得《

b=3

所以AABC的面積S=-ahsinC=-.

24

7T

52.(2021?全國高三專題練習(xí))在圓內(nèi)接四邊形A3CO中,BC=4,ZB=2NO,NAC3=一,求"8

12

面積的最大值.

【答案】最大值為6百

【解析】

27r7T乃

因?yàn)樗倪呅蜛5CD是圓內(nèi)接四邊形,求得ZB=—,ZD=-,得到NB4C=一,由正弦定理,求得

334

AC=2?,在八48中,由余弦定理和基本不等式,求得A£hC£>?24,即可求解.

【詳解】

因?yàn)樗倪呅蜛3CD是圓內(nèi)接四邊形,可得N5+ND=萬,

27r7i

又因?yàn)镹8=2NO,所以/5=——,/。=一,

33

7127r7C71

在△/WC中,因?yàn)镹ACB=—,可得N84C=乃----------=一,

123124

42

ACBC.BCsmBX2c77

由正弦定理得,所以得AC=.一『=2灰,

sinBsinZBACsinZ-BACy/2

2

在AACD中,由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2ADCDcosD,

即24=AD2+CD2-ADCD>2ADCD-ADCD=ADCD,

當(dāng)且僅當(dāng)AZ>=CD時(shí),取等號(hào),即AD-COW24,

所以=-ADCDsinD=—ADCD<6y/3<

L^nv-Lf2j

即AACD面積的最大值為6百.

53.(2021?山東棗莊市?高三二模)若/(x)=sin(3X+0)(3>O,O<0<1^的部分圖象如圖所示,

人。)=”悟卜。?

(1)求/(元)的解析式;

⑵在銳角AABC中’若A>8,/笥靖=|,求cos"并證明sinA>上已.

5

【答案】(1)/(x)=sin(2x+g];(2)cos上0=當(dāng)叵,證明見解析.

I6;210

【解析】

(1)由/(O)=g結(jié)合。的取值范圍可求得9的值,再結(jié)合需)=0可求得。的值,進(jìn)而可得出函數(shù)

/(x)的解析式;

(2)求出A—8的取值范圍,由已知條件求出sin(A-B)的值,利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及二倍角的

降嘉公式可求得cos±0的值,然后利用兩角和的正弦公式可證明得出sinA>2叵.

25

【詳解】

I1JTJT

(1)ill/(0)=-,得sin°=一,又。<°<一,故9=—

2226

5Kn■I5萬乃LLI5兀TC-,

由了0,得sinco-----1—=0,所以69。----1---=2Z"+",keZ,

12I126126

即ty=2H———,keZ,

由勿>0,結(jié)合函數(shù)圖象可知一?」>',所以0<。<一.

26yl25

又keZ,所以k=1,從而0=12;2=2,因此,/(x)=sin(2x+?

⑵山/(甘培卜in?|,

jr7T4

vO<S<A<-,所以,0<A—8<會(huì)故cos(A-B)=g

甘一…『產(chǎn)尹"等

所以,sin上0/1=回

2210

ITA+BA-B71A-B

又A+8>—,故4=-----+------>—+------

22242

又丫=411%在0,g上單調(diào)遞增,Ae0,7y1j,

2

A-B7iA.—B

所以sinA>sin—+=sin—cos-------

(4242

JT

54.(2021?河北唐山市?高三二模)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為。,b,c,C=§,AB

邊上的高為6.

(1)若s△/AUB>C=26,求△ABC的周長;

21

(2)求*+:的最大值.

ab

【答案】(1)2V10+4:(2)卑.

【解析】

(1)由三角形面積公式可得c=4,a匕=8,結(jié)合余弦定理,可得(a+加2=40,即可得AABC的周長;

27

.2sinA|+sinA

(2)由(1)和正弦定理可得,212sinB+sinAJ,轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)以后利

--1--

ab

27r

用輔助角公式化筒運(yùn)算,由0<A<——,根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解最大值.

3

【詳解】

解:(1)依題意S&JBC=;aAinC=;c?百=2百,可得。=4,

7T

因?yàn)椤?一,所以而=8.由余弦定理得/+62-45=02,

3

因此(a+6)2=。2+3"=40,即a+〃=2jid.

故△ABC的周長為2Jid+4.

(2)由(1)及正弦定理可得,

2sinf--A|+sinA廠

212b+a2b+a2sin£?+sinA

—I——----------(3)_4sin(A+6),(其中。為銳角,

abab2cV3—忑_7F

且tan6=)

2

由題意可知O<A<2工,因此,當(dāng)人+。=工時(shí),2+_1取得最大值YH.

32ab3

55.(2021?遼寧高三二模)已知在銳角AABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為。,b,c,△MC的面

積為S,若45=從+。2-/,。=#.

(1)求A;

(2)若,求△ABC的面積S的大小.

(在①2cos28+cos28=0,②。cosA+acosB=百+1,這兩個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在橫線上)

【答案】(1)A=f;(2)條件選擇見解析;S=的3.

42

【解析】

(1)利用三角形面積公式由45="+。2-〃,得到4'6csinA=〃+c2-a2,再利用余弦定理求解;

2

JT

(2)若選①,由2cos2B+cos25=0,易得8=§,再結(jié)合(1)利用正弦定理求得a,再利用三角形面

積公式求解;若選②,由bcosA+acosB=>^+l,利用余弦定理得易得。=6+1,再利用三角形面積

公式求解.

【詳解】

(1)因?yàn)?s=尸+02一02,

所以4'6csinA=〃+,2一",即4’5〃csinA

2---------------=--------------

2bc2bc

所以sinA=cosA.故tanA=1,

因?yàn)?<A<1,

所以A

4

(2)若選①,因?yàn)?cos23+cos25=0,

1

所以cos~9B=—,

4

所以cos3=±,.

2

7T

因?yàn)?<3<一,

2

所以8=半

aha—瓜

由正弦定理----=-----,得.兀.兀,

sinAsinBsin—sin—

43

所以a=2.

所以S=LaAsinC='?2-V^?sinn----=3+G

22V43j2

若選②,因?yàn)閆?cosA+QCOS5=V3+1,

I/+H—a2a2+(:2_^2

由余弦定理得b--------------+a--------------=J3+1,

2hc2ac

解得c=G+1.

S=g》csinA=g?遙?(G+])?sin:=^^'.

56.(2021?江蘇鹽城市?高三二模)在①gga;②Q=3COS-③asinC=l這三個(gè)條件中任選一個(gè),

補(bǔ)充在下面問題中.若問題中的三角形存在,求該三角形面積的值;若問題中的三角形不存在,說明理由.

問題:是否存在△A8C,它的內(nèi)角的對(duì)邊分別為a,4c,且4118-011(4—。)=6411(7,

c=3?

【答案】答案不唯一,具體見解析.

【解析】

根據(jù)三角形內(nèi)角和為乃及題干條件,結(jié)合兩角和與差的正弦公式,可求得角4

JT2471

選擇①,利用正弦定理可得sinB,根據(jù)角6的范圍,可求得B=§,或5=y.當(dāng)B時(shí),求得角C,

2萬

即可求得面積,當(dāng)8=—時(shí),根據(jù)正弦定理,求得。,即可求得面積;

3

7T

選擇②,根據(jù)余弦定理,可求得。=一,即可求得a,b,進(jìn)而可求得面積;

2

3

選擇③,根據(jù)正弦定理,可得。5由。=。4114=一,與題干條件矛盾,故不存在.

2

【詳解】

解:在△ABC中,B=k(A+C),

所以sin8=sin[K—(A+C)]=sin(A+C).

因?yàn)閟in3-sin(A-C)=V§sinC,

所以sin(A+C)—sin(A-C)=?sinC,

即sinAcosC+cosAsinC-(sinAcosC-cosAsinC)=GsinC,

所以2cosAsinC=V3sinC.

在中,Ce(0,乃),所以sinCHO,

所以cosA=X3.

2

TT

因?yàn)锳e(0,不),所以A=".

6

選擇①:因?yàn)?=百。,由正弦定理得sinB=>/3sinA=>/3sin—=,

因?yàn)锽e(0,萬),

所以3=工,或8=」,此時(shí)△A3C存在.

33

當(dāng)6=生時(shí),C=%,所以b=ccosA='3,

322

所以AABC的面積為S0BC=gbcsinA=gx¥x3xg=¥.

當(dāng)8=女時(shí),。=工,所以6="叫=3&,

36sinC

所以△A5C的面積為Sv”=,bcsinA='x3/x3xL=%^.

MBC2224

選擇②:因?yàn)閍=3cosB,

所以a=3x&+9,得/+62=9=。2,

6a

7T

所以。=一,此時(shí)△ABC存在.

2

7T

因?yàn)锳==,

6

所以h=3cos—=^[1.tz=3xsin-=—

6262

所以AABC的面積為SMBC=-ab=—.

MBC28

3

選擇③:由a=-----,得。sinC=csinA=',

sinAsinC2

這與asinC=l矛盾,所以AABC不存在.

57.(2021?湖南衡陽市?高三一模)△ABC中,角A,B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,且a,b,c成

等差數(shù)列.

71

(1)若A=一,求5;

3

(2)求3的取值范圍.

JTTT

【答案】(1)8=—:(2)0<B<-.

33

【解析】

TT27r

(1)由等差數(shù)列得26=a+c,由正弦定理化邊為角,利用A=9彳?。=彳—8,代入可求得8角:

(2)由余弦定理表示出cosB,代入b=--,用基本不等式得cosB的范圍,從而得B角范圍.

2

【詳解】

(1)a,b,c成等差數(shù)列,2Z?=a+c2sinB=sinA+sinC,

當(dāng)4=2時(shí),2sin8=sin色+sinC,即2sin8=sin—Fsinf-----16>1=cos+—sinB>

333(3)222

—sinB--cosB

222

一£)=1而2萬7171717171-n

sin[850<B<m,------<B-------<—,B-------=-,:?B=

2366266

(Q+C)2

a2+c2

(2)由余弦定理及2Z?=Q+C,3C4、11,當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào).

cosB=-—--〔-亍--J-+—一少一

2ac8ac)42

7T

結(jié)介余弦函數(shù)的單調(diào)性可知:0<84一.

3

58.(2021?遼寧鐵嶺市?高三一模)在①sin?A-(sinJS-sinCj=sinBsinC,②』sin=asin8,

葛一)這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問題中并作答.

③asin6=Z?sinA

△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,若缶+匕=2c,求A和C.

TT57r

【答案】選擇見解析,A=上,C=—.

312

【解析】

選擇條件①,利用正弦定理結(jié)合余弦定理求出cosA的值,結(jié)合角A的取值范圍可求得A的值,由正弦定

理結(jié)合條件&a+b=2c可得出05皿4+$山3=25山。,由三角形的內(nèi)角和定理以及三角恒等變換思想

(萬、1

求出sinC--由角C的取值范圍可求得結(jié)果;

、6)2

A

選擇條件②,利用誘導(dǎo)公式、正弦定理以及三角恒等變換思想求出sin—的值,結(jié)合角A的取值范圍可求得

2

角A的值,由正弦定理結(jié)合條件、&+b=2c可得出、/乞sinA+sinB=2sinC,由三角形的內(nèi)角和定理

以及三角恒等變換思想求出Sin(c-看)=g,由角C的取值范圍可求得結(jié)果;

選擇條件③,由正弦定理以及兩角差的正弦公式可求得tanA的值,結(jié)合角A的取值范圍可求得角A的值,

由正弦定理結(jié)合條件及a+b=2c可得出應(yīng)sinA+sinB=2sinC,由三角形的內(nèi)角和定理以及三角恒等

變換思想求出sin(c-鄉(xiāng)]=1,由角c的取值范圍可求得結(jié)果.

【詳解】

(1)選擇條件①,由sin2A-(sin8-sinC)~=sin8sinC及正弦定理知/一(人一c)?-be,

生1

改一

整理得,6+,2-4=歷,由余弦定理可得cosA一2-

又因?yàn)锳e(O,%),所以A=q,

又由V5a+》=2c,得V5sinA+sin3=2sinC,

由3=二一。,得血sin工+sin--Cj=2sinC,

33

即逆+^^cosC+LinC=2sinC,即3sinC-&cosC=",即2Gsin[C—%■j=&,整理得,

222

sinfc--'也

I6J2

因?yàn)镃e(0,¥),所以從而C_£=工,解得C=2;

V3/o\o2J6412

選擇條件②,因?yàn)锳+3+C=〃,所以生£=工一4,

222

由bsin'+°=asinB得bcos—=6rsinB,

22

A.AA

由正弦定理知,sin3cos—=sinAsinB-2sin—cos—sinB,

222

萬),4e(0,?),可得

AA1A-rrJT

所以,sinB>0,cos—>0,可得sin7=1,所以,一=一,故從=一.

222263

以下過程同(1)解答;

選擇條件③,山asin8=bsin1與一A),

及正弦定理知,sinAsinB=sin8sin(g—A),乃),則sinB>0,

從而sinA=sin(2^—避■cosA+'sinA,則sinA=GcosA,解得tanA=G,

I3J22

又因?yàn)锳e(O,〃),所以A=?,以下過程同(1)解答.

59.(2021?山東煙臺(tái)市?高三一模)將函數(shù)/(x)=sinx+gcosx圖象上所有點(diǎn)向右平移弓個(gè)單位長度,

然后橫坐標(biāo)縮短為原來的;(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)g(x)的圖象.

(1)求函數(shù)g(x)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)在AABC中,內(nèi)角4,民0的對(duì)邊分別為。泊,0,若sin(£—31cos(鄉(xiāng)!,

c=g^j^,b=2\f3,

求AABC的面積.

【答案】⑴g(x)=2sin(2x+V),單調(diào)遞增區(qū)間為:—%暇+br(左eZ);(2)乒叵或

2近.

【解析】

/兀\-rr

(1)由題可得g(x)=2sin2x+”,令一一+2版■<2x+—W—+2版■即可解得單調(diào)遞增區(qū)間;

I262

(2)由題可得c=2,B=作TT或8=1一T,由余弦定理可求得。,即可求出面積.

62

【詳解】

(1)/(x)=sinx+6cosx=2sin[x+?),

/(x)圖象向右平移弓個(gè)單位長度得到y(tǒng)=2sin^x+|j的圖象,

橫坐標(biāo)縮短為原來的g(縱坐標(biāo)不變)得到y(tǒng)=2sin[x+看)圖象,

所以g(x)=2sin(2x+?),

TTTT7TTTTT

令---\-2k7i<2x-\——<——,解得----vk7r<x<——vk7i,

26236

jrjr

所以g(尤)的單調(diào)遞增區(qū)間為:—§+丘,至+攵乃(女eZ)

(2)由(1)知,c=g(?)=2,

因?yàn)閟in-5)cos(看+3)=cos2(看+8)=;,所以cos[看+3)=±g

又因?yàn)?£(0,"),所以8+丁=(二,一二],

6166)

當(dāng)cos(工+/?]=1時(shí),B+—=—,B=—,

16J2636

此時(shí)由余弦定理可知,4+少—2X2XQCOS—=12,解得Q=J^+JTT,

6

所以LBC=g*2x(6+VTTjxsin%=,

當(dāng)cos(工+B]=_L時(shí),B+—=—,B=—,

16J2632

此時(shí)由勾股定理可得,a=712^4=2V2,

所以“AK=gx2x2夜=2夜?

60.(2021?廣東汕頭市?高三一模)在AABC中,角A8,C的對(duì)邊分別為a,dc,已知:

b=>/5,c=yfl,ZB=45°.

(1)求邊8c的長和三角形ABC的面積;

4

(2)在邊3c上取一點(diǎn)。,使得cos?AOB求tanNZMC的值.

32

【答案】(1)8C=3;;(2)—.

S"MC2=—H

【解析】

(1)法r△A6C中,由余弦定理求8C的長,應(yīng)用三角形面積公式求ABC的面積;法二:過A作出高

交BC于F,在所得直角三角形中應(yīng)用勾股定理求BK歹。,即可求BC,由三角形面積公式求ABC的面

積;

(2)由正弦定理、三角形的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的關(guān)系,法一:求sinC、cosC>sinZADB.cosZADB,

由sinNZMC=sin(NAT>3—NC)結(jié)合兩角差正弦公式求值即可;法二:求tanC、tanNADB,再由

tanND4C=tan(1-(NADC+NC))結(jié)合兩角和正切公式求值即可;法三:由(1)法二所作的高,直角

△說中求sinNAZW,進(jìn)而求sinNAOC,再根據(jù)正弦定理及同角三角函數(shù)關(guān)系求值即可.

【詳解】

(1)法一:在AABC中,由。=括,。=后,/3=45°,

由余弦定理,b2a2+c2-2tzccosB,得5=2+/-2xJ,解得a=3或a=-l(舍),

2

所以BC=a=3,SARC=—<2csinB=—-3->/2--.

2222

法二:(1)過點(diǎn)A作出高交BC于b,即“AB/為等腰直角三角形,

QAB=O,AF=BF=1,同理△A尸。為直角三角形,

AF=l,AC=y/5,

13

:.FC=2,故5c=5E+EC=3,S△ADBVC=-2\,BC\-\AF,|=-2.

b即1_=XL,得sinC=且,又b=gc=應(yīng),

(2)在△ABC中,由正弦定理

sinBsinCsin45°sinC5

所以NC為銳角,

法一:由上,cosC=Vl-sin2C=^.由cos?AO6|(NAD8為銳角),得

sinZADB=yj\-cos2ZADB3

5

sinNDAC=sin(ZAD3-NC)=sinNA£)8.cos/C-cosNAOB.sinZC

555525

由圖可知:ND4C為銳角,則cosNOAC=Jl—sin?NDAC=,所以

25

sinZDAC2

tanZDAC=

cosZ.DAC11

143

法.:由上,tanC=—,illcos?ADB—(NAD5為銳角),得tan/AO8=—?

254

?;/ADB+NADC=7T

3

/.tanZADC=——,故

4

tan(ZADC)+tan(ZC)

tanZDAC=tan(〃-(ZADC+ZC))=-tan(ZADC+ZC)=-

l-tan(ZADC).tan(ZC)

4

法三:△ATO為直角三角形,且|A尸|二l,cos/A£>5=不,

3

所以sinNADB=ylI-cos2ZADB

5

AF5423

AD=---------^-,DF=ADcosZADB=-,CD=—,sinZADC=-

sinNADB3335

CDAC275

在AA£>C中,由正弦定理得,,故sin"AC

sinNDACsinZADC

sinZDAC2

由圖可知ND4C為銳角,McosZDAC=Vl-sin2ZDAC=.所以tanZDAC=

25cosZDAC11

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