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文檔簡介
三角函數(shù)與解三角形
五、解答題
46.(2021?江蘇常州市?高三一模)在AABC中,ZBAC=-,點(diǎn)〃在邊8C上,滿足=
2
jr
(1)若/BAD=—,求ZC;
6
(2)若8=230,40=4,求AABC的面積.
【答案】(1)-j:(2)1272.
【解析】
(1)在△AB0中,由正弦定理求得sinZBDA=在,得到NBD4的大小,進(jìn)而求得NC的大小;
2
(2)山48=680,8=28。,得到45=組5。,4。=吆5。,根據(jù)向量的線性運(yùn)算,求得
33
UULT21UULT41
AD^-AB+-AC,進(jìn)而得到AZ)2=—AB2+—AC2,求得8C,AB,AC的長,利用面積公式,即可求
3399
解.
【詳解】
AB
(1)在△A8O中,由正弦定理得———
sinZBADsinABDA
rri>.ABsin—日
所以si?nN/BnD八人A=----------6-=7——3,
BD2
27r7T
因?yàn)镹8DA£(0,?),所以NBZM=—或ZSZM=-,
33
27r7T7T
當(dāng)N8OA='時(shí),可得NB=2,可得NC=2;
77')1TT
當(dāng)時(shí),可得NB=R,因?yàn)镹BAC=X(舍去),
322
IT
綜上可得NC=—.
3
(2)因?yàn)锳B=6BD,CD=2BD,所以AB=^BC,AC="BC,
33
由正通+麗=通+/=麗+:(而-麗=部+/,
——?22.1.14?21,24.
所以AD=(-AB+-AC)2=-AB+-AC+-AB-
33999
4917
即AO?9=-AB2+-AC2,
99
又由49=4,可得《x(^BC)2+"x(*BO)?=4?,解得BC=6Q,
則A3=2MAC=46,
所以S“Bc=g|AMx|AC=120.
47.(2021?河北邯鄲市?高三一模)設(shè)△A5C的內(nèi)角小B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足
3
acosB-bcosA=—c
5
、tanA…?
(1)求-----的值;
tanB
(2)若點(diǎn)〃為邊AB的中點(diǎn),AB=10,CD=59求3c的值.
【答案】(1)4;(2)475.
【解析】
33
(1)由acos8-Z?cosA=yC,帶入余弦定理整理可得/一/=弓。2,所以
9->>?
Q-+c~
tanA_sinAcosB_a2ac_+c2-h2
,帶入/一/^二13/即可得解;
tanBcosAsinBb2+c2-a2.b2+c2-a2
-----------b
2bc
(2)作AB邊上的高C」E,垂足為幺因?yàn)閠anA=C£,tan5=C£,所四12二gg
AEBEtanBAE
又——=4,所以席=4AE,因?yàn)辄c(diǎn)〃為邊A8的中點(diǎn)且A5=10,所以3D=5,A£=2,DE=3,
tanB
再根據(jù)勾股定理即可得解.
【詳解】
3
(1)因?yàn)镼COS8-Z?COSA=—c,
5
所以3
?2-c
2ca2bc5
即。2-b2=|c2
'2+C2-b2
a.
itanA_simnAcosDB_2ac
X.==55->
tan3cosAsinBh~+c—a~.
---------------b
2bc
tanAa~+c2—b-8c25.
所以-----=f——z——=—X--二4.
tanBtr+c~—a7~52c“
(2)如圖,作AB邊上的高CE,垂足為反
LI“.CE_CE?,,tanABE
因?yàn)閠anA----,tanB=-----,所以......-----
AEBEtanBAE
,tanA“一,
又-------=4,所以8E=4AE.
tanB
因?yàn)辄c(diǎn)〃為邊AB的中點(diǎn),AB=10.所以8O=5,AE=2,OE=3.
在直角三角形CDE中,8=5,所以CE=J^二手=4?
在直角三角形BCE中,BE=3、所以8C="7F=4有.
48.(2021?全國高三專題練習(xí))如圖,在AABC中,AB1AC,A3=AC=2,點(diǎn)E,尸是線段8C
7T
(含端點(diǎn))上的動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)E在點(diǎn)尸的右下方,在運(yùn)動(dòng)的過程中,始終保持NE4F=一不變,設(shè)NE45=8
4
弧度.
(1)寫出。的取值范圍,并分別求線段AE,Ab關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求△外尸面積S的最小值.
IT
【答案】(1)0<0<-,
4
【解析】
(1)依據(jù)直角三角形直接寫事。的范圍,然后根據(jù)正弦定理可得AE,A/關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式.
(2)根據(jù)(1)的條件可得$△以「,并結(jié)合輔助角公式,簡單計(jì)算以及判斷即可.
【詳解】
71
(i)由題意知owe4一,
4
AE”—AE72
.兀?it
sinsin0+sin(6+:
4[4
AFAC
-^AF=
71COS。?
4(27
V2V2V2
S-1V2-------=]_______
⑵⑻2
sin(9+:cos022也sin6+交cos/cos。
22
7
]22
1+cos20-V2+1
-sin20+sin(20+;)+l
22
7T
當(dāng)且僅當(dāng)。=可時(shí),取“=”
49.(2021?全國高三專題練習(xí))在AA3c中,a2,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,且bcos-A=c-走a.
2
(1)求角5;
(2)若AABC的面積為26,3c邊上的高A"=l,求。,c.
【答案】(1)(2)b=2幣,c=2.
0
【解析】
(1)化角為邊,化簡得。2+.2一。2=后。,再利用余弦定理求角8:
(2)由正弦定理算出J由面積公式算出a,由余弦定理計(jì)算〃中即可.
【詳解】
解:(1)因?yàn)閎cosA=,所以(?'-=c-^-a,
22bc2
2222
所以。2+c*一“2=2C-yfiac,即c+a-b=y/3ac-
由余弦定理可得cosB=廠+"i-=且,
2ac2
7T
因?yàn)?£(0,萬),所以3=—.
6
AHsin-
AHsinZAHB——2=2.
(2)由正弦定理可得”s一
.71
sin—
6
因?yàn)锳ABC的面積為2g,所以gacsinB:=QQ=2^3,解得d—4也?
由余弦定理可得〃=a2+c2-2accosB=48+4—2x2x46x^=28,
2
則b=2"
3兀
50.(2021?湖南高二月考)如圖,在平面四邊形4四中,ADLCD,ZBAD=一,2AB=S/)=4.
4
(1)求cosNADB;
(2)若除夜,求CD.
【答案】(1)cosZADB=—(2)CD=342
4;
【解析】
(1)△A3。中,利用正弦定理可得sinNAOB,進(jìn)而得出答案;
(2)△BCD中,利用余弦定理可得co.
【詳解】
2,4
ABBD即sin/ADB一屹,解得sinNAD8=3?,故
(1)/XAB。中,
sinNADB-sinNBAD—4
V14
cosZADB=--
4
(2)sinZADB=—=cosACDB
4
△SCO中,MDBW+CD-C)即叵吧上回,
2BDCD424co
化簡得(8-3V2)(CD+V2)=O,解得CO=3啦.
51.(2021?山東高三專題練習(xí))在AA6c中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。,b,c,且
a(sin4-sin3)+Z?sin3=csinC.
(1)求角C;
(2)若c=3,a+Z?=6,求AABC的面積.
【答案】(1)-;(2)見1.
34
【解析】
(1)由正弦定理化角為邊,然后由余弦定理可得。角;
(2)利用余弦定理和已知a+Z?=6可求得a力,從而得三角形面積.
【詳解】
(1)由正弦定理,得sinA=——,sinB——,sinC———,
2R2R2R
22
又a(sinA-sin3)+匕sin8=csinC,所以a?+/,_c-ab,
由余弦定理,得cosC=d■土Q二:=處,
2ab2ab
故cosC=—.
2
又Ce(O,〃),所以C=(.
(2)由余弦定理,得/+〃—刈=9.
9=a2-^-b2-ab
聯(lián)立方程組,
a+b=6
ab=9
化簡,
。+。=6
。=3
解得《
b=3
所以AABC的面積S=-ahsinC=-.
24
7T
52.(2021?全國高三專題練習(xí))在圓內(nèi)接四邊形A3CO中,BC=4,ZB=2NO,NAC3=一,求"8
12
面積的最大值.
【答案】最大值為6百
【解析】
27r7T乃
因?yàn)樗倪呅蜛5CD是圓內(nèi)接四邊形,求得ZB=—,ZD=-,得到NB4C=一,由正弦定理,求得
334
AC=2?,在八48中,由余弦定理和基本不等式,求得A£hC£>?24,即可求解.
【詳解】
因?yàn)樗倪呅蜛3CD是圓內(nèi)接四邊形,可得N5+ND=萬,
27r7i
又因?yàn)镹8=2NO,所以/5=——,/。=一,
33
7127r7C71
在△/WC中,因?yàn)镹ACB=—,可得N84C=乃----------=一,
123124
42
ACBC.BCsmBX2c77
由正弦定理得,所以得AC=.一『=2灰,
sinBsinZBACsinZ-BACy/2
2
在AACD中,由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2ADCDcosD,
即24=AD2+CD2-ADCD>2ADCD-ADCD=ADCD,
當(dāng)且僅當(dāng)AZ>=CD時(shí),取等號(hào),即AD-COW24,
所以=-ADCDsinD=—ADCD<6y/3<
L^nv-Lf2j
即AACD面積的最大值為6百.
53.(2021?山東棗莊市?高三二模)若/(x)=sin(3X+0)(3>O,O<0<1^的部分圖象如圖所示,
人。)=”悟卜。?
(1)求/(元)的解析式;
⑵在銳角AABC中’若A>8,/笥靖=|,求cos"并證明sinA>上已.
5
【答案】(1)/(x)=sin(2x+g];(2)cos上0=當(dāng)叵,證明見解析.
I6;210
【解析】
(1)由/(O)=g結(jié)合。的取值范圍可求得9的值,再結(jié)合需)=0可求得。的值,進(jìn)而可得出函數(shù)
/(x)的解析式;
(2)求出A—8的取值范圍,由已知條件求出sin(A-B)的值,利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及二倍角的
降嘉公式可求得cos±0的值,然后利用兩角和的正弦公式可證明得出sinA>2叵.
25
【詳解】
I1JTJT
(1)ill/(0)=-,得sin°=一,又。<°<一,故9=—
2226
5Kn■I5萬乃LLI5兀TC-,
由了0,得sinco-----1—=0,所以69。----1---=2Z"+",keZ,
12I126126
即ty=2H———,keZ,
由勿>0,結(jié)合函數(shù)圖象可知一?」>',所以0<。<一.
26yl25
又keZ,所以k=1,從而0=12;2=2,因此,/(x)=sin(2x+?
⑵山/(甘培卜in?|,
jr7T4
vO<S<A<-,所以,0<A—8<會(huì)故cos(A-B)=g
甘一…『產(chǎn)尹"等
所以,sin上0/1=回
2210
ITA+BA-B71A-B
又A+8>—,故4=-----+------>—+------
22242
又丫=411%在0,g上單調(diào)遞增,Ae0,7y1j,
2
A-B7iA.—B
所以sinA>sin—+=sin—cos-------
(4242
JT
54.(2021?河北唐山市?高三二模)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為。,b,c,C=§,AB
邊上的高為6.
(1)若s△/AUB>C=26,求△ABC的周長;
21
(2)求*+:的最大值.
ab
【答案】(1)2V10+4:(2)卑.
【解析】
(1)由三角形面積公式可得c=4,a匕=8,結(jié)合余弦定理,可得(a+加2=40,即可得AABC的周長;
27
.2sinA|+sinA
(2)由(1)和正弦定理可得,212sinB+sinAJ,轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)以后利
--1--
ab
27r
用輔助角公式化筒運(yùn)算,由0<A<——,根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解最大值.
3
【詳解】
解:(1)依題意S&JBC=;aAinC=;c?百=2百,可得。=4,
7T
因?yàn)椤?一,所以而=8.由余弦定理得/+62-45=02,
3
因此(a+6)2=。2+3"=40,即a+〃=2jid.
故△ABC的周長為2Jid+4.
(2)由(1)及正弦定理可得,
2sinf--A|+sinA廠
212b+a2b+a2sin£?+sinA
—I——----------(3)_4sin(A+6),(其中。為銳角,
abab2cV3—忑_7F
且tan6=)
2
由題意可知O<A<2工,因此,當(dāng)人+。=工時(shí),2+_1取得最大值YH.
32ab3
55.(2021?遼寧高三二模)已知在銳角AABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為。,b,c,△MC的面
積為S,若45=從+。2-/,。=#.
(1)求A;
(2)若,求△ABC的面積S的大小.
(在①2cos28+cos28=0,②。cosA+acosB=百+1,這兩個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在橫線上)
【答案】(1)A=f;(2)條件選擇見解析;S=的3.
42
【解析】
(1)利用三角形面積公式由45="+。2-〃,得到4'6csinA=〃+c2-a2,再利用余弦定理求解;
2
JT
(2)若選①,由2cos2B+cos25=0,易得8=§,再結(jié)合(1)利用正弦定理求得a,再利用三角形面
積公式求解;若選②,由bcosA+acosB=>^+l,利用余弦定理得易得。=6+1,再利用三角形面積
公式求解.
【詳解】
(1)因?yàn)?s=尸+02一02,
所以4'6csinA=〃+,2一",即4’5〃csinA
2---------------=--------------
2bc2bc
所以sinA=cosA.故tanA=1,
因?yàn)?<A<1,
所以A
4
(2)若選①,因?yàn)?cos23+cos25=0,
1
所以cos~9B=—,
4
所以cos3=±,.
2
7T
因?yàn)?<3<一,
2
所以8=半
aha—瓜
由正弦定理----=-----,得.兀.兀,
sinAsinBsin—sin—
43
所以a=2.
所以S=LaAsinC='?2-V^?sinn----=3+G
22V43j2
若選②,因?yàn)閆?cosA+QCOS5=V3+1,
I/+H—a2a2+(:2_^2
由余弦定理得b--------------+a--------------=J3+1,
2hc2ac
解得c=G+1.
S=g》csinA=g?遙?(G+])?sin:=^^'.
56.(2021?江蘇鹽城市?高三二模)在①gga;②Q=3COS-③asinC=l這三個(gè)條件中任選一個(gè),
補(bǔ)充在下面問題中.若問題中的三角形存在,求該三角形面積的值;若問題中的三角形不存在,說明理由.
問題:是否存在△A8C,它的內(nèi)角的對(duì)邊分別為a,4c,且4118-011(4—。)=6411(7,
c=3?
【答案】答案不唯一,具體見解析.
【解析】
根據(jù)三角形內(nèi)角和為乃及題干條件,結(jié)合兩角和與差的正弦公式,可求得角4
JT2471
選擇①,利用正弦定理可得sinB,根據(jù)角6的范圍,可求得B=§,或5=y.當(dāng)B時(shí),求得角C,
2萬
即可求得面積,當(dāng)8=—時(shí),根據(jù)正弦定理,求得。,即可求得面積;
3
7T
選擇②,根據(jù)余弦定理,可求得。=一,即可求得a,b,進(jìn)而可求得面積;
2
3
選擇③,根據(jù)正弦定理,可得。5由。=。4114=一,與題干條件矛盾,故不存在.
2
【詳解】
解:在△ABC中,B=k(A+C),
所以sin8=sin[K—(A+C)]=sin(A+C).
因?yàn)閟in3-sin(A-C)=V§sinC,
所以sin(A+C)—sin(A-C)=?sinC,
即sinAcosC+cosAsinC-(sinAcosC-cosAsinC)=GsinC,
所以2cosAsinC=V3sinC.
在中,Ce(0,乃),所以sinCHO,
所以cosA=X3.
2
TT
因?yàn)锳e(0,不),所以A=".
6
選擇①:因?yàn)?=百。,由正弦定理得sinB=>/3sinA=>/3sin—=,
因?yàn)锽e(0,萬),
所以3=工,或8=」,此時(shí)△A3C存在.
33
當(dāng)6=生時(shí),C=%,所以b=ccosA='3,
322
所以AABC的面積為S0BC=gbcsinA=gx¥x3xg=¥.
當(dāng)8=女時(shí),。=工,所以6="叫=3&,
36sinC
所以△A5C的面積為Sv”=,bcsinA='x3/x3xL=%^.
MBC2224
選擇②:因?yàn)閍=3cosB,
所以a=3x&+9,得/+62=9=。2,
6a
7T
所以。=一,此時(shí)△ABC存在.
2
7T
因?yàn)锳==,
6
所以h=3cos—=^[1.tz=3xsin-=—
6262
所以AABC的面積為SMBC=-ab=—.
MBC28
3
選擇③:由a=-----,得。sinC=csinA=',
sinAsinC2
這與asinC=l矛盾,所以AABC不存在.
57.(2021?湖南衡陽市?高三一模)△ABC中,角A,B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,且a,b,c成
等差數(shù)列.
71
(1)若A=一,求5;
3
(2)求3的取值范圍.
JTTT
【答案】(1)8=—:(2)0<B<-.
33
【解析】
TT27r
(1)由等差數(shù)列得26=a+c,由正弦定理化邊為角,利用A=9彳?。=彳—8,代入可求得8角:
(2)由余弦定理表示出cosB,代入b=--,用基本不等式得cosB的范圍,從而得B角范圍.
2
【詳解】
(1)a,b,c成等差數(shù)列,2Z?=a+c2sinB=sinA+sinC,
當(dāng)4=2時(shí),2sin8=sin色+sinC,即2sin8=sin—Fsinf-----16>1=cos+—sinB>
333(3)222
—sinB--cosB
222
一£)=1而2萬7171717171-n
sin[850<B<m,------<B-------<—,B-------=-,:?B=
2366266
(Q+C)2
a2+c2
(2)由余弦定理及2Z?=Q+C,3C4、11,當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào).
cosB=-—--〔-亍--J-+—一少一
2ac8ac)42
7T
結(jié)介余弦函數(shù)的單調(diào)性可知:0<84一.
3
58.(2021?遼寧鐵嶺市?高三一模)在①sin?A-(sinJS-sinCj=sinBsinC,②』sin=asin8,
葛一)這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問題中并作答.
③asin6=Z?sinA
△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,若缶+匕=2c,求A和C.
TT57r
【答案】選擇見解析,A=上,C=—.
312
【解析】
選擇條件①,利用正弦定理結(jié)合余弦定理求出cosA的值,結(jié)合角A的取值范圍可求得A的值,由正弦定
理結(jié)合條件&a+b=2c可得出05皿4+$山3=25山。,由三角形的內(nèi)角和定理以及三角恒等變換思想
(萬、1
求出sinC--由角C的取值范圍可求得結(jié)果;
、6)2
A
選擇條件②,利用誘導(dǎo)公式、正弦定理以及三角恒等變換思想求出sin—的值,結(jié)合角A的取值范圍可求得
2
角A的值,由正弦定理結(jié)合條件、&+b=2c可得出、/乞sinA+sinB=2sinC,由三角形的內(nèi)角和定理
以及三角恒等變換思想求出Sin(c-看)=g,由角C的取值范圍可求得結(jié)果;
選擇條件③,由正弦定理以及兩角差的正弦公式可求得tanA的值,結(jié)合角A的取值范圍可求得角A的值,
由正弦定理結(jié)合條件及a+b=2c可得出應(yīng)sinA+sinB=2sinC,由三角形的內(nèi)角和定理以及三角恒等
變換思想求出sin(c-鄉(xiāng)]=1,由角c的取值范圍可求得結(jié)果.
【詳解】
(1)選擇條件①,由sin2A-(sin8-sinC)~=sin8sinC及正弦定理知/一(人一c)?-be,
生1
一
一
改一
整理得,6+,2-4=歷,由余弦定理可得cosA一2-
又因?yàn)锳e(O,%),所以A=q,
又由V5a+》=2c,得V5sinA+sin3=2sinC,
由3=二一。,得血sin工+sin--Cj=2sinC,
33
即逆+^^cosC+LinC=2sinC,即3sinC-&cosC=",即2Gsin[C—%■j=&,整理得,
222
sinfc--'也
I6J2
因?yàn)镃e(0,¥),所以從而C_£=工,解得C=2;
V3/o\o2J6412
選擇條件②,因?yàn)锳+3+C=〃,所以生£=工一4,
222
由bsin'+°=asinB得bcos—=6rsinB,
22
A.AA
由正弦定理知,sin3cos—=sinAsinB-2sin—cos—sinB,
222
萬),4e(0,?),可得
AA1A-rrJT
所以,sinB>0,cos—>0,可得sin7=1,所以,一=一,故從=一.
222263
以下過程同(1)解答;
選擇條件③,山asin8=bsin1與一A),
及正弦定理知,sinAsinB=sin8sin(g—A),乃),則sinB>0,
從而sinA=sin(2^—避■cosA+'sinA,則sinA=GcosA,解得tanA=G,
I3J22
又因?yàn)锳e(O,〃),所以A=?,以下過程同(1)解答.
59.(2021?山東煙臺(tái)市?高三一模)將函數(shù)/(x)=sinx+gcosx圖象上所有點(diǎn)向右平移弓個(gè)單位長度,
然后橫坐標(biāo)縮短為原來的;(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)g(x)的圖象.
(1)求函數(shù)g(x)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在AABC中,內(nèi)角4,民0的對(duì)邊分別為。泊,0,若sin(£—31cos(鄉(xiāng)!,
c=g^j^,b=2\f3,
求AABC的面積.
【答案】⑴g(x)=2sin(2x+V),單調(diào)遞增區(qū)間為:—%暇+br(左eZ);(2)乒叵或
2近.
【解析】
/兀\-rr
(1)由題可得g(x)=2sin2x+”,令一一+2版■<2x+—W—+2版■即可解得單調(diào)遞增區(qū)間;
I262
(2)由題可得c=2,B=作TT或8=1一T,由余弦定理可求得。,即可求出面積.
62
【詳解】
(1)/(x)=sinx+6cosx=2sin[x+?),
/(x)圖象向右平移弓個(gè)單位長度得到y(tǒng)=2sin^x+|j的圖象,
橫坐標(biāo)縮短為原來的g(縱坐標(biāo)不變)得到y(tǒng)=2sin[x+看)圖象,
所以g(x)=2sin(2x+?),
TTTT7TTTTT
令---\-2k7i<2x-\——<——,解得----vk7r<x<——vk7i,
26236
jrjr
所以g(尤)的單調(diào)遞增區(qū)間為:—§+丘,至+攵乃(女eZ)
(2)由(1)知,c=g(?)=2,
因?yàn)閟in-5)cos(看+3)=cos2(看+8)=;,所以cos[看+3)=±g
又因?yàn)?£(0,"),所以8+丁=(二,一二],
6166)
當(dāng)cos(工+/?]=1時(shí),B+—=—,B=—,
16J2636
此時(shí)由余弦定理可知,4+少—2X2XQCOS—=12,解得Q=J^+JTT,
6
所以LBC=g*2x(6+VTTjxsin%=,
當(dāng)cos(工+B]=_L時(shí),B+—=—,B=—,
16J2632
此時(shí)由勾股定理可得,a=712^4=2V2,
所以“AK=gx2x2夜=2夜?
60.(2021?廣東汕頭市?高三一模)在AABC中,角A8,C的對(duì)邊分別為a,dc,已知:
b=>/5,c=yfl,ZB=45°.
(1)求邊8c的長和三角形ABC的面積;
4
(2)在邊3c上取一點(diǎn)。,使得cos?AOB求tanNZMC的值.
32
【答案】(1)8C=3;;(2)—.
S"MC2=—H
【解析】
(1)法r△A6C中,由余弦定理求8C的長,應(yīng)用三角形面積公式求ABC的面積;法二:過A作出高
交BC于F,在所得直角三角形中應(yīng)用勾股定理求BK歹。,即可求BC,由三角形面積公式求ABC的面
積;
(2)由正弦定理、三角形的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的關(guān)系,法一:求sinC、cosC>sinZADB.cosZADB,
由sinNZMC=sin(NAT>3—NC)結(jié)合兩角差正弦公式求值即可;法二:求tanC、tanNADB,再由
tanND4C=tan(1-(NADC+NC))結(jié)合兩角和正切公式求值即可;法三:由(1)法二所作的高,直角
△說中求sinNAZW,進(jìn)而求sinNAOC,再根據(jù)正弦定理及同角三角函數(shù)關(guān)系求值即可.
【詳解】
(1)法一:在AABC中,由。=括,。=后,/3=45°,
日
由余弦定理,b2a2+c2-2tzccosB,得5=2+/-2xJ,解得a=3或a=-l(舍),
2
所以BC=a=3,SARC=—<2csinB=—-3->/2--.
2222
法二:(1)過點(diǎn)A作出高交BC于b,即“AB/為等腰直角三角形,
QAB=O,AF=BF=1,同理△A尸。為直角三角形,
AF=l,AC=y/5,
13
:.FC=2,故5c=5E+EC=3,S△ADBVC=-2\,BC\-\AF,|=-2.
b即1_=XL,得sinC=且,又b=gc=應(yīng),
(2)在△ABC中,由正弦定理
sinBsinCsin45°sinC5
所以NC為銳角,
法一:由上,cosC=Vl-sin2C=^.由cos?AO6|(NAD8為銳角),得
sinZADB=yj\-cos2ZADB3
5
sinNDAC=sin(ZAD3-NC)=sinNA£)8.cos/C-cosNAOB.sinZC
555525
由圖可知:ND4C為銳角,則cosNOAC=Jl—sin?NDAC=,所以
25
sinZDAC2
tanZDAC=
cosZ.DAC11
143
法.:由上,tanC=—,illcos?ADB—(NAD5為銳角),得tan/AO8=—?
254
?;/ADB+NADC=7T
3
/.tanZADC=——,故
4
tan(ZADC)+tan(ZC)
tanZDAC=tan(〃-(ZADC+ZC))=-tan(ZADC+ZC)=-
l-tan(ZADC).tan(ZC)
4
法三:△ATO為直角三角形,且|A尸|二l,cos/A£>5=不,
3
所以sinNADB=ylI-cos2ZADB
5
AF5423
AD=---------^-,DF=ADcosZADB=-,CD=—,sinZADC=-
sinNADB3335
CDAC275
在AA£>C中,由正弦定理得,,故sin"AC
sinNDACsinZADC
sinZDAC2
由圖可知ND4C為銳角,McosZDAC=Vl-sin2ZDAC=.所以tanZDAC=
25cosZDAC11
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