高考數(shù)學(xué)（理）一輪課時(shí)達(dá)標(biāo)40空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系

課時(shí)達(dá)標(biāo)第40講[解密考綱]考查點(diǎn)、線、面的位罝關(guān)系常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)．一、選擇題1．設(shè)a，b是平面α內(nèi)兩條不同的直線，l是平面α外的一條直線，則“l(fā)⊥a，l⊥b”是“l(fā)⊥α”的(C)A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件解析直線a，b平行時(shí)，由“l(fā)⊥a，l⊥b”?/“l(fā)⊥α”；“l(fā)⊥α”?“l(fā)⊥a，l⊥b”，所以“l(fā)⊥a，l⊥b”是“l(fā)⊥α”的必要不充分條件．2．如圖所示，ABCD－A1B1C1D1是長方體，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是(A．A，M，O三點(diǎn)共線 B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面解析連接A1C1，AC，則A1C1∥∴A1，C1，C，A四點(diǎn)共面．∴A1C?平面ACC1A∵M(jìn)∈A1C，∴M∈平面ACC1A又M∈平面AB1D1，∴M為平面ACC1A1與AB1D1的公共點(diǎn)同理O，A為平面ACC1A1與平面AB1D1的公共點(diǎn)∴A，M，O三點(diǎn)共線．3．正方體A1C中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點(diǎn)，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是(AA．相交 B．異面C．平行 D．垂直解析如圖所示，直線A1B與直線外一點(diǎn)E確定的平面為A1BCD1，EF?平面A1BCD1，且兩直線不平行，故兩直線相交．4．已知空間中有三條線段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是(D)A．AB∥CDB．AB與CD異面C．AB與CD相交D．AB∥CD或AB與CD異面或AB與CD相交解析若三條線段共面，如果AB，BC，CD構(gòu)成等腰三角形，則直線AB與CD相交，否則直線AB與CD平行；若不共面，則直線AB與CD是異面直線．5.如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，點(diǎn)D1，F(xiàn)1分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，若BC＝CA＝CC1＝1，則BD1與AF1所成角的余弦值為(A．eq\f(\r(30),10) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(30),15) D．eq\f(\r(15),10)解析取BC的中點(diǎn)E，連接EF1，EA，則可知∠EF1A為BD1與AF1所成的角，在△AEF1中，可求得F1E＝eq\f(\r(6),2)，AF1＝eq\f(\r(5),2)，AE＝eq\f(\r(5),2)，由余弦定理得，cos∠EF1A＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2,2×\f(\r(6),2)×\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(30),10)，故選A．6．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)M，N分別在AB1，BC1上，且AM＝eq\f(1,3)AB1，BN＝eq\f(1,3)BC1.給出下列結(jié)論：①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④B1D1⊥MN.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(B)A．1 B．2C．3 D．4解析在BB1上取一點(diǎn)P，使BP＝eq\f(1,3)BB1，連接PN，PM.∵點(diǎn)M，N分別在AB1，BC1上，且AM＝eq\f(1,3)AB1，BN＝eq\f(1,3)BC1，∴PN∥B1C1，PM∥A1B1.又∵PN∩PM＝P，B1C1∩A1B1＝B1，∴平面PMN∥平面A1B1C1D1.∵M(jìn)N?平面PMN，∴MN∥平面A1B1C1D1.又∵AA1⊥平面PMN，∴AA1⊥MN.故①③正確．分別作MM1∥BB1，NN1∥CC1，交A1B1，B1C1于點(diǎn)M1，N1，連接M1N1，則M1N1不平行于A1C1，∴MN與A1C1不平行．又∵A1C1⊥B1D1，∴B1D1與MN不垂直，故②④不正確．∴正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是2，故選B．二、填空題7．下列如圖所示是正方體和正四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，則四個(gè)點(diǎn)共面的圖形是__①②③__.解析在④圖中，可證Q點(diǎn)所在棱與平面PRS平行，因此，P，Q，R，S四點(diǎn)不共面．可證①中四邊形PQRS為梯形；③中可證四邊形PQRS為平行四邊形；②中如圖所示，取A1A與BC的中點(diǎn)為M，N，可證明PMQNRS為平面圖形，且PMQNRS為正六邊形8．四棱錐P－ABCD的頂點(diǎn)P在底面ABCD上的投影恰好是A，其三視圖如圖所示，其中正視圖與側(cè)視圖都是腰長為a的等腰三角形，則在四棱錐P－ABCD的任意兩個(gè)頂點(diǎn)的連線中，互相垂直的異面直線共有__6__對．解析由題意可得PA⊥BC，PA⊥CD，AB⊥PD，BD⊥PA，BD⊥PC，AD⊥PB，即互相垂直的異面直線共有6對．9．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線MN與AC所成的角為60°.其中正確的結(jié)論為__③④__(填所有正確結(jié)論的序號(hào))．解析AM與CC1是異面直線，AM與BN是異面直線，BN與MB1為異面直線．因?yàn)镈1C∥MN，所以直線MN與AC所成的角就是D1C與AC所成的角，為三、解答題10．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，CC1的中點(diǎn)，求異面直線A1M與DN解析如圖，連接D1M，可證D1M⊥又∵A1D1⊥DN，A1D1，MD1?平面A1MD1，A1D1∩MD1＝D1，∴DN⊥平面A1MD1，∴DN⊥A1M即異面直線A1M與DN所成的夾角為9011．如圖，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BCeq\f(1,2)AD，BEeq\f(1,2)FA，G，H分別為FA,FD的中點(diǎn)．(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形．(2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？解析(1)證明：由已知FG＝GA，F(xiàn)H＝HD，可得GHeq\f(1,2)AD．又BCeq\f(1,2)AD，∴GHBC．∴四邊形BCHG為平行四邊形．(2)由BEeq\f(1,2)AF，G為FA的中點(diǎn)知，BEFG，∴四邊形BEFG為平行四邊形．∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，∴EF與CH共面．又D∈FH，∴C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．12．如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中點(diǎn)．(1)求證：AE與PB是異面直線；(2)求異面直線AE和PB所成角的余弦值；(3)求三棱錐A－EBC的體積．解析(1)證明：假設(shè)AE與PB共面，設(shè)此平面為α.因?yàn)锳∈α，B∈α，E∈α，所以平面α即為平面ABE，所以P∈平面ABE，這與P?平面ABE矛盾，所以AE與PB是異面直線．(2)取BC的中點(diǎn)F，連接EF，AF，則EF∥PB，所以∠AEF或其補(bǔ)角就是異面直線AE和PB所成的角，因?yàn)椤螧AC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，所以AF＝eq\r(3)，AE＝eq\r(2)，EF＝eq\r(2)，由余弦定理得cos∠AEF＝eq\f(2＋2－3,2×\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,4)，所以異面直線AE