安徽省合肥市百花中學(xué)八一學(xué)校等四校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

合肥百花中學(xué)等四校2023~2024學(xué)年度第二學(xué)期高二年級期末考試數(shù)學(xué)本試卷共4頁．全卷滿分150分，考試時間120分鐘注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知函數(shù)，則（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)可得，代入運算求解即可.【詳解】由題意可知：，所以.故選：A.2.已知等比數(shù)列的公比為q，且是與的等差中項，則（）A. B.1 C.2 D.或1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差中項可得，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式運算求解.【詳解】因為是與的等差中項，則，即，且，整理可得，解得或.故選：D.3.某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45【答案】A【解析】【詳解】試題分析：記“一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，“第二天空氣質(zhì)量也為優(yōu)良”，由題意可知,所以，故選A.考點：條件概率．4.已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性進行求解即可.【詳解】，，.故選：C.5.將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）A.60種 B.120種 C.240種 D.480種【答案】C【解析】【分析】先確定有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.【詳解】根據(jù)題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個元素，四個項目看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，故選：C.【點睛】本題考查排列組合的應(yīng)用問題，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排思想求解.6.若函數(shù)與在處有相同的切線，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】分析】對，求導(dǎo)，根據(jù)題意得到，再解方程組即可得到答案.【詳解】因為，，則，，可得，，，，因為，在處有相同的切線，即切點為，切線斜率，所以，解得，所以.故選：D.7.某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨立，設(shè)為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，，，則A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3【答案】B【解析】【詳解】分析：判斷出為二項分布，利用公式進行計算即可．或，,可知故答案選B.點睛：本題主要考查二項分布相關(guān)知識，屬于中檔題．8.函數(shù)的定義域為，，對任意，，則的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)在上的單調(diào)性，將不等式轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】依題意可設(shè)，所以.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因為.所以要使，即，只需要，故選B.【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，解題的關(guān)鍵就是利用導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)來解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.設(shè)離散型隨機變量X的分布列為：X01234Pq0.40.1020.2若離散型隨機變量Y滿足，則（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)求得參數(shù)，結(jié)合分布列求得，再結(jié)合期望和方差的性質(zhì)，即可判斷和選擇.【詳解】對于選項A：因為，解得，故A正確；對于選項B：可得，，故B正確；對于選項CD：因為，則有：，故C錯誤；，故D錯誤.故選：AB.10.下列說法正確的是（）A.若回歸方程為，則變量x與y負相關(guān)B.運用最小二乘法求得的經(jīng)驗回歸直線方程一定經(jīng)過樣本點的中心C.若散點圖中所有點都在直線上，則相關(guān)系數(shù)D.若決定系數(shù)的值越接近于1，表示回歸模型的擬合效果越好【答案】ABD【解析】【分析】利用正負相關(guān)的意義判斷A；利用回歸直線的性質(zhì)判斷B；利用相關(guān)系數(shù)、決定系數(shù)意義判斷CD.【詳解】對于A，回歸方程為的斜率為負，則變量x與y負相關(guān)，A正確；對于B，回歸直線方程一定經(jīng)過樣本點的中心，B正確；對于C，散點圖中所有點都在直線上，則相關(guān)系數(shù)，C錯誤；對于D，決定系數(shù)的值越接近于1，表示回歸模型的擬合效果越好，D正確.故選：ABD11.已知數(shù)列滿足，則（）A.數(shù)列是等比數(shù)列B.C.數(shù)列的前n項和D.數(shù)列的前n項和【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義即可求解A，由公比和首項寫出等比數(shù)列的通項即可求解B，根據(jù)分組求和，裂項相消法求和即可求解CD.【詳解】對于AB，由可得又，故為等比數(shù)列，且首項為2，公比為2，則，故，AB正確，對于C，數(shù)列的前n項和，故C錯誤，對于D，，故，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若函數(shù)在處取極值，則___________【答案】3【解析】【詳解】試題分析：=．因為f（x）在1處取極值，所以1是f′（x）=0的根，將x=1代入得a=3．故答案為3.考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．13.的展開式中的系數(shù)為________________（用數(shù)字作答）．【答案】28【解析】【分析】可化為，結(jié)合二項式展開式的通項公式求解.【詳解】因為，所以的展開式中含的項為，的展開式中的系數(shù)為28故答案為：2814.現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則__________，_________．【答案】①.，②.##【解析】【分析】利用古典概型概率公式求，由條件求分布列，再由期望公式求其期望.【詳解】從寫有數(shù)字1,2,2,3,4,5,6的7張卡片中任取3張共有種取法，其中所抽取的卡片上的數(shù)字的最小值為2的取法有種，所以，由已知可得的取值有1，2，3，4，，，，所以,故答案為：，.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.記為等差數(shù)列的前項和，已知，．（1）求的通項公式；（2）求，并求的最小值.【答案】（1）（2）；的最小值為【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列求和公式求得，即可得結(jié)果；（2）根據(jù)等差數(shù)列求和公式可得，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)分析求解.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，，可得，解得：，所以．【小問2詳解】由（1）可得：，可知：時，取得最小值，所以的最小值為．16.已知展開式中的第二項、第三項、第四項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列.（1）求n的值；（2）將展開式中所有項重新排列，求有理項不相鄰的概率.【答案】（1）7（2）【解析】【分析】（1）利用第二項、第三項、第四項的二項式系數(shù)為等差數(shù)列可求；（2）根據(jù)二項展開式的通項可得展開式中共有3項有理項，利用插空法和古典概型的概率計算公式可求概率.【小問1詳解】因為第二項、第三項、第四項的二項式系數(shù)分別為、、，由題意可知：，即，顯然，整理可得，解得或（舍去），所以．【小問2詳解】由（1）可知展開式的通項為，可知展開式共8項，當為有理項，共3項，所以由插空法可得有理項不相鄰的概率．17.一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示．將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨立．(1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率；(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機變量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．【答案】(1)0.108.(2)1.8，0.72.【解析】【詳解】試題分析：（1）設(shè)表示事件“日銷售量不低于100個”，表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里有連續(xù)2天日銷售量不低于100個且另一天的日銷售量低于50個”.因此可求出，，利用事件的獨立性即可求出；（2）由題意可知X~B(3,0.6),所以即可列出分布列，求出期望為E(X)和方差D（X）的值.（1）設(shè)表示事件“日銷售量不低于100個”，表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里有連續(xù)2天日銷售量不低于100個且另一天的日銷售量低于50個”.因此...（2）X的可能取值為0,1,2,3.相應(yīng)的概率為,,,,分布列為X

0

1

2

3

P

0.064

0.288

0.432

0.216

因為X~B(3,0.6),所以期望為E(X)=3×0.6=1.8，方差D（X）=3×0.6×（10.6）=0.72考點：1.頻率分布直方圖；2.二項分布.18.某校為了解校園安全教育系列活動的成效，對全校學(xué)生進行一次安全意識測試，根據(jù)測試成績評定“合格”與“不合格”兩個等級，同時對相應(yīng)等級進行量化：“合格”記5分，“不合格”記0分.現(xiàn)隨機抽取部分學(xué)生的成績，統(tǒng)計結(jié)果及對應(yīng)的頻率分布直方圖如圖所示.等級不合格合格得分頻數(shù)6x24y（1）若測試的同學(xué)中，分數(shù)在，，，內(nèi)女生的人數(shù)分別為2人，8人，16人，4人，完成下面列聯(lián)表，依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為性別與安全意識有關(guān)?等級性別不合格合格總計男生

女生

總計

（2）按比例分配的分層抽樣方法從評定等級為“合格”和“不合格”的學(xué)生中，共選取10人進行座談，再從這10人中任選4人，記所選4人的量化總分為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).附:0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）列聯(lián)表見解析，不能（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖求出樣本容量，再由數(shù)據(jù)表求出，列出列聯(lián)表，計算并比對作答；（2）求出的可能值及各個值對應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可知得分在的頻率為，所以抽取的學(xué)生答卷總數(shù)為，則，，可得列聯(lián)表為：等級性別不合格合格總計男生141630女生102030總計243660零假設(shè)：性別與安全意識無關(guān)，于是，依據(jù)的獨立性檢驗可知：零假設(shè)成立，所以不能認為性別與安全意識有關(guān)．【小問2詳解】“不合格”和“合格”的人數(shù)比例為，因此抽取的10人中“不合格”有4人，“合格”有6人，可知X的可能取值為0，5，10，15，20，則有：，，所以X的分布列為：X05101520P期望．19.設(shè)函數(shù)（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）設(shè)，若函數(shù)有三個不同零點，求c的取值范圍；（Ⅲ）求證：是有三個不同零點的必要而不充分條件.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）見解析.【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）求函數(shù)f（x）導(dǎo)數(shù)，根據(jù)，求切線方程；（Ⅱ）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，由函數(shù)有三個不同零點，求c的取值范圍；（Ⅲ）從兩方面必要性和不充分性證明，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷零點個數(shù).試題解析：（Ⅰ）由，得．因為，，所以曲線在點處的切線方程為．（Ⅱ）當時，，所以．令，得，解得或．與在區(qū)間上的情況如下：

所以，當且時，存在，，，使得．由的單調(diào)性知，當且僅當時，函數(shù)有三個不同零點．（Ⅲ）當時，，，此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以不可能有三個不同零點．當時，只有一個零點，記作．當時，，區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以不可能有三個不同零點．綜上所述，若函數(shù)有三個不同零點，則必有．故是有三個不同零點